1、下列方程是关于 x 的一元二次方程的是（ ） Aax2+bx+c0 B2 Cx2+2xx21 D3（x+1）22（x+1） 2 （4 分）如图，该图形在绕点 O 按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（ ） A72 B108 C144 D216 3 （4 分）对于二次函数 y2（x3）2+2 的图象，下列叙述正确的是（ ） A顶点坐标： （3，2） B对称轴是直线 y3 C当 x3 时，y 随 x 增大而增大 D当 x0 时，y2 4 （4 分）如图，在半径为 5cm 的O 中，直线 l 交O 于 A、B 两点，且弦 AB8cm，要 使直线 l 与O 相切，则需要将直线 l 向下平移（ ） A
2、1cm B2cm C3cm D4cm 5（4 分） 直线 y1x+1 与抛物线 y2x2+3 的图象如图， 当 y1y2时， x 的取值范围为 （ ） 第 2 页（共 28 页） Ax2 Bx1 C2x1 Dx2 或 x1 6 （4 分）关于 x 的一元二次方程（a1）x2+x+a210 的一个根 0，则 a 值为（ ） A1 B1 C1 D0 7 （4 分）如图，AB 垂直于 BC 且 ABBC3cm，与关于点 O 中心对称，AB、BC、 、所围成的图形的面积是（ ）cm2 A B C D 8 （4 分）下列说法中，正确的是（ ） A同一条弦所对的两条弧一定是等弧 B长度相等的两条弧是等弧
3、C正多边形一定是轴对称图形 D三角形的外心到三角形各边的距离相等 9 （4 分） （m2n2） （m2n22）80，则 m2n2的值是（ ） A4 B2 C4 或2 D4 或 2 10 （4 分）一个不透明的盒子中装有 3 个红球和 2 个白球，它们除颜色外都相同，若从中 任意摸出一个球，则下列叙述正确的是（ ） A摸到红球是必然事件 B摸到白球是不可能事件 C摸到红球与摸到白球的可能性相等 D摸到红球比摸到白球的可能性大 第 3 页（共 28 页） 11 （4 分）如图，点 A，B，C，D，E，F 是 O 的六等分点分别以 B、D、F 为圆心， AF 的长为半径画弧，已知 O 的半径为 1，
4、则图中阴影部分的面积为（ ） A+ B C D 12 （4 分）二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示、则下列结论：abc0；a5b+9c 0；3a+c0，正确的是（ ） A B C D 二、填空题（共二、填空题（共 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 20 分）分） 13 （4 分）若 y（m2+m）xm2 2m1x+3 是关于 x 的二次函数，则 m 14 （4 分）如图，将ABC 绕点 A 逆时针旋转 65得ADE，若E70，ADBC，则 BAC 15 （4 分）若二次函数 yax2+bx+a22（a，b 为常数）的图象如图，则 a 第 4 页（共 28 页） 16 （
5、4 分）一个均匀的立方体六个面上分别标有数 1，2，3，4，5，6如图是这个立方体 表面的展开图抛掷这个立方体，则朝上一面上的数恰好等于朝下一面上的数的的概 率是 17 （4 分）若二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象经过点（2，0） ，且其对称轴为 x1， 则使函数值 y0 成立的 x 的取值范围是 三、解答题（共三、解答题（共 5 小题，共小题，共 32 分）分） 18 （8 分）解方程 （l） （2）3x（x1）2（x1） 19 （6 分）已知关于 x 的一元二次方程 x22kx+k220 （1）求证：不论 k 为何值，方程总有两个不相等实数根 （2）设 x1，x2是方程的根，且
6、x122kx1+2x1x25，则 k 的值 20 （6 分）小明对自已所在班级 50 名学生每周参加课外活动时间进行调查，其调查结果绘 制成如图所示的频数分布直方图，根据图中信息，回答下列问题： （1）m ； （2）现从参加课外活动时间在 610 小时的学生中任选 2 人参加市运会开幕式，求所选 2 人中至少有一人参加课外活动时间在 810 小时的概率 （用列表或树状图解答） 21 （6 分）如图，在平面直角坐标系中，点 P（3，4） ，连接 OP，将线段 OP 绕点 O 逆时 针旋转 90得线段 OP1 （1）在图中作出线段 OP1，并写出 P1点的坐标； 第 5 页（共 28 页） （2）
7、求点 P 在旋转过程中所绕过的路径长； （3）求线段 OP 在旋转过程中所扫过的图形的面积 22 （6 分）如图，已知在O 中，直径 MN10，正方形 ABCD 的四个顶点分别在O 及半 径 OM、OP 上，并且POM45，求正方形的边长 四、填空题： （本大题共四、填空题： （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 10 分）分） 23 （5 分）已知 m、n 是关于 x 的一元二次方程 x2+px+q0 的两个不相等的实数根，且 m2+mn+n23，则 q 的取值范围是 24 （5 分）如图在 RtABC 中，ACB90，ACBC，以 A 为圆心，AD 长为半径的 弧 D
8、F 交 AC 的延长线于 F，若图中两个阴影部分的面积相等，则 五、解答题（本大题共五、解答题（本大题共 4 小题，共小题，共 40 分）分） 25 （8 分）一个容器盛满纯酒精 20 升，第一次倒出纯酒精若干升后，加水注满，第二次倒 出相同数量的酒精，这时容器内的纯酒精只是原来的，问第一次倒出纯酒精多少升？ 26（10 分） 某校九年级决定购买学习用具对在本次适应性考试中成绩突出的同学进行奖励， 其中计划购买，A、B 两种型号的钢笔共 45 支，已知 A 种钢笔的单价为 7 元/支，购买 B 种钢笔所需费用 y（元）与购买数量 x（支）之间存在如图所示的函数关系式 第 6 页（共 28 页）
9、 （1）求 y 与 x 的函数关系式； （2）若购买计划中，B 种钢笔的数最不超过 35 支，但不少于 A 种钢笔的数量，请设计 购买方案，使总费用最低，并求出最低费用 27 （10 分）如图O 的直径 AB10cm，弦 BC6cm，ACB 的平分线交O 于 D，交 AB 于 E，P 是 AB 延长线上一点，且 PCPE （1）求证：PC 是O 的切线； （2）求 AC、AD 的长 28 （12 分）如图，抛物线 yx2+bx+c 经过 A（1，0） ，C（0，3）两点，点 B 是抛物 线与 x 轴的另一个交点，点 D 与点 C 关于抛物线对称轴对称，作直线 AD点 P 在抛物 线上，过点 P
10、 作 PEx 轴，垂足为点 E，交直线 AD 于点 Q，过点 P 作 PGAD，垂足 为点 G，连接 AP设点 P 的横坐标为 m，PQ 的长度为 d （1）求抛物线的解析式； （2）求点 D 的坐标及直线 AD 的解析式； （3）当点 P 在直线 AD 上方时，求 d 关于 m 的函数关系式，并求出 d 的最大值； （4）当点 P 在直线 AD 上方时，若 PQ 将APG 分成面积相等的两部分，直接写出 m 的 值 第 7 页（共 28 页） 第 8 页（共 28 页） 2020 年四川省凉山州中考数学一模试卷年四川省凉山州中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（
11、共一、选择题（共 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 48 分）在每个小题给出的四个选项中只有一分）在每个小题给出的四个选项中只有一 项是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题下上相应的位置项是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题下上相应的位置 1 （4 分）下列方程是关于 x 的一元二次方程的是（ ） Aax2+bx+c0 B2 Cx2+2xx21 D3（x+1）22（x+1） 【分析】根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最 高次数是 2；二次项系数不为 0；是整式方程；含有一个未知数由这四个条件对四个选 项进行验证，满足这四个条件者为正确答案
12、【解答】解：A、ax2+bx+c0 当 a0 时，不是一元二次方程，故 A 错误； B、+2 不是整式方程，故 B 错误； C、x2+2xx21 是一元一次方程，故 C 错误； D、3（x+1）22（x+1）是一元二次方程，故 D 正确； 故选：D 【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要 看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是 2 2 （4 分）如图，该图形在绕点 O 按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（ ） A72 B108 C144 D216 【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是 72，并且圆具
13、有旋转 不变性，因而旋转 72的整数倍，就可以与自身重合；不是旋转 72的整数倍，就不能 与其自身重合，即可得出结果 【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转 72的整数倍，就可以与自身重合， 因而 A、C、D 选项都与自身重合， 第 9 页（共 28 页） 不能与其自身重合的是 B 选项 故选：B 【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与 初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度 叫做旋转角 3 （4 分）对于二次函数 y2（x3）2+2 的图象，下列叙述正确的是（ ） A顶点坐标： （3，2） B对称轴是直线 y3 C当
14、 x3 时，y 随 x 增大而增大 D当 x0 时，y2 【分析】根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解 【解答】解：由二次函数 y2（x3）2+2 可知，开口向上对称轴为直线 x3，顶点 坐标为（3，2） ，当 x3 时，y 随 x 增大而增大，故 A、B 错误，C 正确； 令 x0，则 y20，故 D 错误； 故选：C 【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了开口方向，顶点坐标，对称轴以及二 次函数的增减性 4 （4 分）如图，在半径为 5cm 的O 中，直线 l 交O 于 A、B 两点，且弦 AB8cm，要 使直线 l 与O 相切，则需要将直线 l 向下平移（ ） A1c
15、m B2cm C3cm D4cm 【分析】作出 OCAB，利用垂径定理求出 BC4，再利用勾股定理求出 OC3，即可 求出要使直线 l 与O 相切，则需要将直线 l 向下平移的长度 【解答】解：作 OCAB， 半径为 5cm 的O 中，直线 l 交O 于 A、B 两点，且弦 AB8cm BO5，BC4， OC3cm， 第 10 页（共 28 页） 要使直线 l 与O 相切，则需要将直线 l 向下平移 2cm 故选：B 【点评】此题主要考查了切线的性质定理与垂径定理，根据图形求出 OC 的长度是解决 问题的关键 5（4 分） 直线 y1x+1 与抛物线 y2x2+3 的图象如图， 当 y1y2时
16、， x 的取值范围为 （ ） Ax2 Bx1 C2x1 Dx2 或 x1 【分析】根据函数图象，写出直线在抛物线上方部分的 x 的取值范围即可 【解答】解：由图可知，x2 或 x1 时，y1y2 故选：D 【点评】本题考查了二次函数与不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解是解题的 关键 6 （4 分）关于 x 的一元二次方程（a1）x2+x+a210 的一个根 0，则 a 值为（ ） A1 B1 C1 D0 【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得出 a10，a210， 求出 a 的值即可 【解答】解：把 x0 代入方程得：a210， 解得：a1， （a1）x2+x+a210
17、 是关于 x 的一元二次方程， a10， 即 a1， 第 11 页（共 28 页） a 的值是1 故选：B 【点评】本题考查了对一元二次方程的定义，一元二次方程的解等知识点的理解和运用， 注意根据已知得出 a10 且 a210，题目比较好，但是一道比较容易出错的题 7 （4 分）如图，AB 垂直于 BC 且 ABBC3cm，与关于点 O 中心对称，AB、BC、 、所围成的图形的面积是（ ）cm2 A B C D 【分析】由弧 OA 与弧 OC 关于点 O 中心对称，根据中心对称的定义，如果连接 AC，则 点 O 为 AC 的中点，则题中所求面积等于BAC 的面积 【解答】解：连 AC，如图，
18、ABBC，ABBC3cm， ABC 为等腰直角三角形， 又与关于点 O 中心对称， OAOC，弧 OA弧 OC， 弓形 OA 的面积弓形 OC 的面积， AB、BC、与所围成的图形的面积三角形 ABC 的面积33（cm2） 故选：A 【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质：等腰直角三角形的两腰相等，两锐角都为 45；也考查了中心对称的性质以及三角形的面积公式 8 （4 分）下列说法中，正确的是（ ） A同一条弦所对的两条弧一定是等弧 第 12 页（共 28 页） B长度相等的两条弧是等弧 C正多边形一定是轴对称图形 D三角形的外心到三角形各边的距离相等 【分析】根据等弧的定义对 A、B 进行判
19、断；根据正多边的性质对 C 进行判断；根据三 角形外心的性质对 D 进行判断 【解答】解：A、在同圆或等圆中，同一条弦所对的两条弧可能有一条是劣弧，一条是优 弧，所以 A 选项错误； B、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以 B 选项错误； C、正多边形一定是轴对称图形，对称轴的条数等于它的边数，所以 C 选项正确； D、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，所以 D 选项错误 故选：C 【点评】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、 优弧、劣弧、等圆、等弧等） 也考查了等腰三角形的性质 9 （4 分） （m2n2） （m2n22）80，则 m2n2的
20、值是（ ） A4 B2 C4 或2 D4 或 2 【分析】本题可设 xm2n2，则原式可化为 x（x2）80，对方程去括号得 x22x 80，解方程即可求得 x 的值，即 m2n2的值 【解答】解：设 xm2n2，则原方程可化为：x（x2）80 即 x22x80 解得：x4 或2 故选：C 【点评】本题考查了一元二次方程的解法解一元二次方程常用的方法有直接开平方法， 配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法 10 （4 分）一个不透明的盒子中装有 3 个红球和 2 个白球，它们除颜色外都相同，若从中 任意摸出一个球，则下列叙述正确的是（ ） A摸到红球是必然事件 B摸到白
21、球是不可能事件 C摸到红球与摸到白球的可能性相等 D摸到红球比摸到白球的可能性大 【分析】根据随机事件的定义可对 A、B 进行判断；利用概率公式求出摸到红球的概率和 摸到白球的概率，然后通过比较两概率的大小可对 C、D 进行判断 第 13 页（共 28 页） 【解答】解：从中任意摸出一个球，摸到红球和摸到白球都是随机事件；摸到红球的概 率为，摸到白球的概率为，所以摸到红球比摸到白球的可能性大 故选：D 【点评】本题考查了可能性的大小：通过比较两个事件的概率的大小判断两个事件发生 的可能性的大小也考查了随机事件的定义 11 （4 分）如图，点 A，B，C，D，E，F 是 O 的六等分点分别以 B
22、、D、F 为圆心， AF 的长为半径画弧，已知 O 的半径为 1，则图中阴影部分的面积为（ ） A+ B C D 【分析】 连接 OA、 OB、 AB， 作 OHAB 于 H， 根据正多边形的中心角的求法求出AOB， 根据扇形面积公式计算 【解答】解：连接 OA、OB、AB，作 OHAB 于 H， 点 A、B、C、D、E、F 是O 的等分点， AOB60， 又 OAOB， AOB 是等边三角形， ABOB1，ABO60， OH， “三叶轮”图案的面积（1）6， 故选：B 第 14 页（共 28 页） 【点评】本题考查的是正多边形和圆、扇形面积的计算，掌握正多边形的中心角的求法、 扇形面积公式是
23、解题的关键 12 （4 分）二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示、则下列结论：abc0；a5b+9c 0；3a+c0，正确的是（ ） A B C D 【分析】由抛物线对称轴的位置判断 ab 的符号，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 的符号， 然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 【解答】解：抛物线的对称轴在 y 轴的左侧， ab0， 由图象可知：c0， abc0， 故正确； x1， b2a， a5b+9c9c9a9（ca）0，故正确， x1， b2a， 由图象可知：9a3b+c0， 9a6a+c0，即 3a+c0，故正确； 第 15 页（共 28 页
24、） 故选：C 【点评】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数 yax2+bx+c 系数 符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与 y 轴的交点、抛物线与 x 轴交点的个数确定， 熟练掌握二次函数的性质是关键 二、填空题（共二、填空题（共 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 20 分）分） 13 （4 分）若 y（m2+m）xm2 2m1x+3 是关于 x 的二次函数，则 m 3 【分析】根据二次函数的定义求解即可 【解答】解：由题意，得 m22m12，且 m2+m0， 解得 m3， 故答案为：3 【点评】本题考查了二次函数，利用二次函数的定义是解题关键，注意二次项的系数
25、不 等于零 14 （4 分）如图，将ABC 绕点 A 逆时针旋转 65得ADE，若E70，ADBC，则 BAC 85 【分析】由旋转的性质可得BAD65，EACB70，由直角三角形的性质可 得DAC20，即可求解 【解答】解：将ABC 绕点 A 逆时针旋转 65得ADE， BAD65，EACB70， ADBC， DAC20， BACBAD+DAC85 故答案为：85 【点评】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键 15 （4 分）若二次函数 yax2+bx+a22（a，b 为常数）的图象如图，则 a 第 16 页（共 28 页） 【分析】根据图象可以知道图象经过点（0，0） ，因而把
26、这个点代入记得到一个关于 a 的 方程，就可以求出 a 的值 【解答】解：把原点（0，0）代入抛物线解析式，得 a220， 解得 a， 函数开口向上，a0， a 故答案为： 【点评】本题考查了二次函数图象上的点的坐标，根据对于函数图象的描述能够理解函 数的解析式的特点，是解决本题的关键 16 （4 分）一个均匀的立方体六个面上分别标有数 1，2，3，4，5，6如图是这个立方体 表面的展开图抛掷这个立方体，则朝上一面上的数恰好等于朝下一面上的数的的概 率是 【分析】由题意可知，6 和 3 相对，4 和 1 相对，5 和 2 相对，朝上一面上的数恰好等于 朝下一面上的数的的只有 6 和 3并且还得
27、 3 朝上，6 朝下，则可得到所求的结果 【解答】解：由分析知：3 朝上时，朝上一面上的数恰好等于朝下一面上的数的；但 1、 2、3、4、5、6 都有可能朝上， 所以朝上一面上的数恰好等于朝下一面上的数的的概率 故答案为 【点评】本题考查灵活运用正方体的相对面解答问题，立意新颖，是一道不错的题用 到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比 第 17 页（共 28 页） 17 （4 分）若二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象经过点（2，0） ，且其对称轴为 x1， 则使函数值 y0 成立的 x 的取值范围是 4x2 【分析】直接利用二次函数对称性得出图象与 x 轴的另一个交点，再画出图
28、象，得出 y 0 成立的 x 的取值范围 【解答】解：如图所示：图象经过点（2，0） ，且其对称轴为 x1， 图象与 x 轴的另一个交点为： （4，0） ， 则使函数值 y0 成立的 x 的取值范围是：4x2 故答案为：4x2 【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确利用数形结合得出 x 的取值范围是解题 关键 三、解答题（共三、解答题（共 5 小题，共小题，共 32 分）分） 18 （8 分）解方程 （l） （2）3x（x1）2（x1） 【分析】 （1）根据公式法解方程即可； （2）根据提公因式法解方程即可 【解答】解： （1）x2x0， 解得：x， 所以 x1，x2 （2）3x（x1）2
29、（x1）0 （x1） （3x2）0 第 18 页（共 28 页） 解得：x11，x2 【点评】本题考查了解一元二次方程，解决本题的关键是掌握因式分解法解方程 19 （6 分）已知关于 x 的一元二次方程 x22kx+k220 （1）求证：不论 k 为何值，方程总有两个不相等实数根 （2）设 x1，x2是方程的根，且 x122kx1+2x1x25，则 k 的值 【分析】 （1）先计算出判别式得到2k2+8，从而得到0，于是可判断不论 k 为何 值，方程总有两个不相等实数根 （2） 先利用方程解得定义得到 x122kx1k2+2， 根据根与系数的关系得到 x1x2k2 2，则k2+2+2 （k22
30、）5，然后解关于 k 的方程即可 【解答】 （1）证明：（2k）24（k22） 2k2+80， 所以不论 k 为何值，方程总有两个不相等实数根； （2）解：x1是方程的根， x122kx1+k220， x122kx1k2+2， x122kx1+2x1x25，x1x2k22， k2+2+2 （k22）5， 整理得 k2140， k 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的两个实数根；当0 时，方程有两个相 等的两个实数根；当0 时，方程无实数根也考查了根与系数的关系 20 （6 分）小明对自已所在班级 50
31、名学生每周参加课外活动时间进行调查，其调查结果绘 制成如图所示的频数分布直方图，根据图中信息，回答下列问题： （1）m 3 ； （2）现从参加课外活动时间在 610 小时的学生中任选 2 人参加市运会开幕式，求所选 2 人中至少有一人参加课外活动时间在 810 小时的概率 （用列表或树状图解答） 第 19 页（共 28 页） 【分析】 （1）根据班级总人数有 50 名学生以及利用条形图得出 m 的值即可； （2）根据在 610 小时的 5 名学生中随机选取 2 人，利用树形图求出概率即可 【解答】解： （1）m50（6+14+25+2）50473， 故答案为：3； （2）分别用 A，B 表示在
32、 68 小时与在 810 小时的学生， 画树状图得： 共有 20 种等可能的结果， 其中至少有 1 人课外活动时间在 810 小时的有 14 种情况， 其中至少有 1 人课外活动时间在 810 小时的概率为： 【点评】此题主要考查了频数分布直方图以及树状图法求概率，正确画出树状图是解题 关键 21 （6 分）如图，在平面直角坐标系中，点 P（3，4） ，连接 OP，将线段 OP 绕点 O 逆时 针旋转 90得线段 OP1 （1）在图中作出线段 OP1，并写出 P1点的坐标； （2）求点 P 在旋转过程中所绕过的路径长； （3）求线段 OP 在旋转过程中所扫过的图形的面积 第 20 页（共 28
33、 页） 【分析】 （1）依据线段 OP 绕点 O 逆时针旋转 90，即可得到线段 OP1 （2）依据弧长计算公式，即可得到点 P 在旋转过程中所绕过的路径长 （3）依据扇形面积计算公式，即可得到线段 OP 在旋转过程中所扫过的图形的面积 【解答】解： （1）如图所示，线段 OP1即为所求，P1点的坐标为（4，3） ； （2）点 P 在旋转过程中所绕过的路径长为： ； （3）线段 OP 在旋转过程中所扫过的图形的面积为： 【点评】本题主要考查了利用旋转变换作图，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等 于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的 方法，找到对应点，顺
34、次连接得出旋转后的图形 22 （6 分）如图，已知在O 中，直径 MN10，正方形 ABCD 的四个顶点分别在O 及半 径 OM、OP 上，并且POM45，求正方形的边长 第 21 页（共 28 页） 【分析】证出DCO 是等腰直角三角形，得出 DCCO，求出 BO2AB，连接 AO，得 出 AO5，再根据勾股定理求出 AB 的长即可 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， ABCBCD90，ABBCCD， DCO90， POM45， CDO45， CDCO， BOBC+COBC+CD， BO2AB， 连接 AO，如图： MN10， AO5， 在 RtABO 中，AB2+BO2AO2， 即
35、AB2+（2AB）252， 解得：AB， 则正方形 ABCD 的边长为 【点评】此题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质，解题的关键是证出DCO 是等腰直角三角形，得出 BO2AB，作出辅助线，利用勾股定理求解 四、填空题： （本大题共四、填空题： （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 10 分）分） 23 （5 分）已知 m、n 是关于 x 的一元二次方程 x2+px+q0 的两个不相等的实数根，且 m2+mn+n23，则 q 的取值范围是 q1 【分析】先由韦达定理得出 m+np，mnq，代入到（m+n） 2mn3，可得 p2q+3， 再结合p24q0 知 q+3
36、4q0，解之可得答案 【解答】解：m、n 是关于 x 的一元二次方程 x2+px+q0 的两个不相等的实数根， m+np，mnq， 第 22 页（共 28 页） m2+mn+n23， （m+n）2mn3， 则（p）2q3，即 p2q3， p2q+3， 又p24q0， q+34q0， 解得 q1， 故答案为：q1 【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握 x1，x2是方程 x2+px+q0 的 两根时，x1+x2p，x1x2q 及一元二次方程根的判别式 24 （5 分）如图在 RtABC 中，ACB90，ACBC，以 A 为圆心，AD 长为半径的 弧 DF 交 AC 的延长线于 F，
37、若图中两个阴影部分的面积相等，则 【分析】由题意，图中两个阴影部分的面积相等，则扇形 ADF 和ABC 的面积相等；根 据等腰直角三角形的性质及面积公式分别表示出ABC 和扇形 ADF 的面积，变形得出 AD 和 AB 的数量关系，进而得出 DB 和 AB 的数量关系，两者相比，计算即可 【解答】解：图中两个阴影部分的面积相等 S扇形ADFSABC ACB90，ACBC ABC 为等腰直角三角形 AB45 AB22AC2 S扇形ADFSABC ACBC AD2 第 23 页（共 28 页） ADAB DBABAD（1）AB 故答案为： 【点评】本题考查了扇形面积和直角三角形的面积计算及线段的比
38、例问题，熟练掌握相 关计算公式是解题的关键 五、解答题（本大题共五、解答题（本大题共 4 小题，共小题，共 40 分）分） 25 （8 分）一个容器盛满纯酒精 20 升，第一次倒出纯酒精若干升后，加水注满，第二次倒 出相同数量的酒精，这时容器内的纯酒精只是原来的，问第一次倒出纯酒精多少升？ 【分析】设第一次倒出酒精 x 升，根据两次倒出的升数相同及最后剩余的酒精量列出有 关 x 的方程求解即可 【解答】解：设第一次倒出酒精 x 升，根据题意得： 20xx20 整理得：x240x+3000 解得：x130（舍去） ，x210 答：第一次倒出酒精 10 升 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，得
39、到剩下纯酒精的等量关系是解决本题的关 键 26（10 分） 某校九年级决定购买学习用具对在本次适应性考试中成绩突出的同学进行奖励， 其中计划购买，A、B 两种型号的钢笔共 45 支，已知 A 种钢笔的单价为 7 元/支，购买 B 种钢笔所需费用 y（元）与购买数量 x（支）之间存在如图所示的函数关系式 （1）求 y 与 x 的函数关系式； （2）若购买计划中，B 种钢笔的数最不超过 35 支，但不少于 A 种钢笔的数量，请设计 第 24 页（共 28 页） 购买方案，使总费用最低，并求出最低费用 【分析】 （1）根据函数图象中的数据可以求得 y 与 x 的函数关系式； （2）根据（1）中的函数
40、关系式和题意，可以求得费用的最小值和所对应的的购买方案 【解答】解： （1）当 0x20 时，设 y 与 x 的函数关系式为 yk1x， 20k1160， 解得，k18， 即当 0x20 时，y 与 x 的函数关系式为 y8x， 当 20x45 时，设 y 与 x 的函数关系式是 yk2x+b， ，解得， 即当 20x45 时，y 与 x 的函数关系式是 y6x+40， 综上可知：y 与 x 的函数关系式为 y； （2）设购买 B 种钢笔 x 支，则购买 A 种钢笔 x 支（45x）支， B 种钢笔的数最不超过 35 支，但不少于 A 种钢笔的数量， ， 解得 22.5x35， x 为整数，
41、23x35， 设总费用为 W 元， 当 23x35 时，y6x+40， W7（45x）+（6x+40）355x， 以为 k10，所以 W 随 x 的增大而减小， 故当 x35 时，W 取得最小值，此时 W320，45x10， 第 25 页（共 28 页） 答：当购买 A 种钢笔 10 支，B 种钢笔 35 支时总费用最低，最低费用是 320 元 【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确 题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答 27 （10 分）如图O 的直径 AB10cm，弦 BC6cm，ACB 的平分线交O 于 D，交 AB 于 E，P 是 AB 延
42、长线上一点，且 PCPE （1）求证：PC 是O 的切线； （2）求 AC、AD 的长 【分析】 （1）连结 OC，由 PCPE 得PCEPEC，利用三角形外角性质得PEC EAC+ACEEAC+45，加上CAB90ABC，ABCOCB，于是可得 到PCE90OCB+4590 （OCE+45） +45， 则OCE+PCE90， 于是根据切线的判定定理可得 PC 为O 的切线； （2）连结 BD，如图，根据圆周角定理由 AB 为直径得ACB90，则可利用勾股定理 计算出 AC8；由 DC 平分ACB 得ACDBCD45，根据圆周角定理得DAB DBA45，则ADB 为等腰直角三角形，由勾股定理即
43、可得出 AD 的长 【解答】 （1）证明：连结 OC，如图所示： PCPE， PCEPEC， PECEAC+ACEEAC+45， 而CAB90ABC，ABCOCB， PCE90OCB+4590（OCE+45）+45， OCE+PCE90， 即PCO90， OCPC， PC 为O 的切线； （2）连结 BD，如图所示， AB 为直径， 第 26 页（共 28 页） ACB90， 在 RtACB 中，AB10cm，BC6cm， AC8（cm） ； DC 平分ACB， ACDBCD45， DABDBA45 ADB 为等腰直角三角形， ADAB5（cm） 【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，直线和圆
44、的位置关系有三种：相离、相切、 相交；重点是相切，本题是常考题型，在判断直线和圆的位置关系时，首先要看直线与 圆有几个交点，根据交点的个数来确定其位置关系，在证明直线和圆相切时有两种方法： 有半径，证明垂直，有垂直，证半径；本题属于第种情况 28 （12 分）如图，抛物线 yx2+bx+c 经过 A（1，0） ，C（0，3）两点，点 B 是抛物 线与 x 轴的另一个交点，点 D 与点 C 关于抛物线对称轴对称，作直线 AD点 P 在抛物 线上，过点 P 作 PEx 轴，垂足为点 E，交直线 AD 于点 Q，过点 P 作 PGAD，垂足 为点 G，连接 AP设点 P 的横坐标为 m，PQ 的长度
45、为 d （1）求抛物线的解析式； （2）求点 D 的坐标及直线 AD 的解析式； （3）当点 P 在直线 AD 上方时，求 d 关于 m 的函数关系式，并求出 d 的最大值； （4）当点 P 在直线 AD 上方时，若 PQ 将APG 分成面积相等的两部分，直接写出 m 的 值 第 27 页（共 28 页） 【分析】 （1）根据待定系数法可求抛物线的解析式； （2）将 yx2+2x+3 配方得抛物线的对称轴，根据轴对称的性质可得点 D 的坐标，再 根据待定系数法可求直线 AD 的解析式； （3） 根据两点间的距离公式可得 dm2+2m+3m1m2+m+2 （m） 2+ ， 依此可求 d 的最大值； （4）可设直线 PG
