1、如图，已知 DEBC，若165，则B 的度数为（ ） A135 B115 C105 D65 3 （3 分）某班全体同学“运动与健康”评价等级的扇形统计图如图所示，则 A 等级所在扇 形的圆心角度数为（ ） A72 B105 C108 D126 4 （3 分）方程组的解是（ ） A B C D 5 （3 分）如图，下列选项中不是正六棱柱三视图的是（ ） A B C D 6 （3 分）地球上陆地的面积约为 150 000 000km2把“150 000 000”用科学记数法表示为 第 2 页（共 25 页） （ ） A1.5108 B1.5107 C1.5109 D1.5106 7 （3 分）为丰
2、富国民精神文化生活，提升文化素养，全国各地陆续开展全民阅读活动现 在的图书馆不单是人们学习知识的地方，更是成为人们休闲的好去处下列图书馆标志 的图形中不是轴对称图形的是（ ） A B C D 8 （3 分）已知 ab，下列不等式中，变形正确的是（ ） Aa3b3 B3a13b1 C3a3b D 9 （3 分）二次函数 y3（x2）25 与 y 轴交点坐标为（ ） A （0，2） B （0，5） C （0，7） D （0，3） 10 （3 分）某射击俱乐部将 11 名成员在某次射击训练中取得的成绩制成如图所示的条形统 计图，由图可知，11 名成员射击成绩的众数和中位数分别是（ ） A8，9 B8
3、，8 C8，10 D9，8 11 （3 分）下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A两直线平行，同位角相等 B等边三角形是锐角三角形 C如果两个实数是正数，那么它们的积是正数 D全等三角形的对应角相等 12 （3 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P（x0，y0）到直线 Ax+By+C0 的距离公式为 d 第 3 页（共 25 页） ， 例如： 点P0（0， 0） 到直线4x+3y30的距离为d ，根据以上材料，求点 P1（3，4）到直线 yx+的距离为（ ） A3 B4 C5 D6 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 1
4、3 （3 分）化简：|20| 14 （3 分）在函数 y中，自变量 x 的取值范围是 15 （3 分） “石头、剪刀、布”是民间广为流传的一种游戏，游戏时甲乙双方每次做“石头” “剪刀” “布”三种手势中的一种，并约定“石头”胜“剪刀” ， “剪刀”胜“布” ， “布” 胜“石头” ，同种手势不分胜负须继续比赛假定甲、乙两人每次都是等可能地做这三种 手势，那么一次游戏中乙获胜的概率是 16 （3 分）观察下列等式：1，2，3，4，根据 你发现的规律，则第 20 个等式为 17 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，已知ABC 与DEF 位似，原点 O 是位似中心， ，若 AB1.5，则 DE 1
5、8 （3 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，以点 A 为圆心，AB 长为半径画弧交 AD 于点 F， 再分别以点 B、F 为圆心，大于BF 的相同长度为半径画弧，两弧交于点 P；连接 AP 并延长交 BC 于点 E， 连接 EF 若四边形 ABEF 的周长为 16， C60， 则四边形 ABEF 的面积是 三、解答题（三、解答题（本大题共本大题共 8 小题，共小题，共 66 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 第 4 页（共 25 页） 19 （6 分）计算： （1）2020+（）0tan30+（） 1 20 （6 分）已知 x 是方程 x
6、2+3x0 的根，求代数式（+1）的值 21 （6 分）如图，一次函数 yx+3 的图象与反比例函数 y（k0）在第一象限的图 象交于 A（1，a）和 B 两点，与 x 轴交于点 C （1）求反比例函数的解析式； （2）若点 P 在 x 轴上，且APC 的面积为 5，求点 P 的坐标 22 （8 分）如图，在ABCD 中，点 E 在边 BC 上，点 F 在边 AD 的延长线上，且 DFBE， EF 与 CD 交于点 G （1）求证：BDEF （2）若 BE4，EC6，DGF 的面积为 8，求ABCD 的面积 23 （8 分）为了庆祝中华人民共和国成立 70 周年，某市决定开展“我和祖国共成长”
7、主题 演讲比赛，某中学将参加本校选拔赛的 40 名选手的成绩（满分为 100 分，得分为正整数 且无满分，最低为 75 分）分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表 分数段 频数 频率 74.579.5 2 0.05 79.584.5 m 0.2 84.589.5 12 0.3 89.594.5 14 n 94.599.5 4 0.1 第 5 页（共 25 页） （1）表中 m ，n ； （2）请在图中补全频数直方图； （3） 甲同学的比赛成绩是40位参赛选手成绩的中位数， 据此推测他的成绩落在 分 数段内； （4）选拔赛中，成绩在 94.5 分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定
8、2 名选手参加全市决赛，请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率 24 （10 分） 某商店以固定进价一次性购进一种商品， 3 月份按一定售价销售， 销售额为 2400 元，为扩大销量，减少库存，4 月份在 3 月份售价基础上打 9 折销售，结果销售量增加 30 件，销售额增加 840 元 （1）求该商店 3 月份这种商品的售价是多少元？ （2）如果该商店 3 月份销售这种商品的利润为 900 元，那么该商店 4 月份销售这种商品 的利润是多少元？ 25 （10 分）如图，点 E 是ABC 的内心，AE 的延长线和ABC 的外接圆O 相交于点 D， 过 D 作直线 DGBC （1）
9、求证：DG 是O 的切线； （2）若 DE6，BC6，求优弧的长 26 （12 分）如图，抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0） ，点 B（3，0） ，与 y 轴 第 6 页（共 25 页） 交于点 C，且过点 D（2，3） 点 P、Q 是抛物线 yax2+bx+c 上的动点 （1）求抛物线的解析式； （2）当点 P 在直线 OD 下方时，求POD 面积的最大值 （3）直线 OQ 与线段 BC 相交于点 E，当OBE 与ABC 相似时，求点 Q 的坐标 第 7 页（共 25 页） 2020 年广西百色市中考数学招生模拟试卷（一）年广西百色市中考数学招生模拟试卷（一） 参考答
10、案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分在每小题给出的四个选项中只有分在每小题给出的四个选项中只有 一项是符合要求的）一项是符合要求的） 1 （3 分）三角形的外角和等于（ ） A90 B180 C360 D540 【分析】根据任何一个多边形的外角和均为 360解答 【解答】解：三角形的外角和为 360， 故选：C 【点评】 本题考查的是三角形的外角的性质， 掌握任何一个多边形的外角和均为 360是 解题的关键 2 （3 分）如图，已知 DEBC，若165，则B 的度数为（ ） A135 B115 C1
11、05 D65 【分析】先根据对顶角相等求出2，再根据平行线的性质得出2+B180，即可求 出答案 【解答】解： 165， 2165， DEBC， 2+B180， 第 8 页（共 25 页） B115， 故选：B 【点评】本题考查了平行线的性质，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键，注意： 两直线平行，同旁内角互补 3 （3 分）某班全体同学“运动与健康”评价等级的扇形统计图如图所示，则 A 等级所在扇 形的圆心角度数为（ ） A72 B105 C108 D126 【分析】根据扇形统计图中的数据可以求得 A 等级所在扇形的圆心角度数 【解答】解：由扇形统计图可得， A 等级所在扇形的圆心角度数
12、为：360（135%20%15%）108， 故选：C 【点评】本题考查扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答 4 （3 分）方程组的解是（ ） A B C D 【分析】方程组利用加减消元法求出解即可 【解答】解：， +得：5x5， 解得：x1， 把 x1 代入得：y2， 则方程组的解为， 故选：C 【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键 5 （3 分）如图，下列选项中不是正六棱柱三视图的是（ ） 第 9 页（共 25 页） A B C D 【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形 【解答】解：正六棱柱三视图分别
13、为：三个左右相邻的矩形，两个左右相邻的矩形，正 六边形 故选：A 【点评】本题考查了几何体的三种视图，注意所有的看到的棱都应表现在三视图中 6 （3 分）地球上陆地的面积约为 150 000 000km2把“150 000 000”用科学记数法表示为 （ ） A1.5108 B1.5107 C1.5109 D1.5106 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：150 000 00
14、01.5108， 故选：A 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其 中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 7 （3 分）为丰富国民精神文化生活，提升文化素养，全国各地陆续开展全民阅读活动现 在的图书馆不单是人们学习知识的地方，更是成为人们休闲的好去处下列图书馆标志 的图形中不是轴对称图形的是（ ） A B 第 10 页（共 25 页） C D 【分析】根据轴对称图形的概念判断即可 【解答】解：A、是轴对称图形； B、不是轴对称图形； C、是轴对称图形； D、是轴对称图形 故选：B 【点评】本题考查的是轴对称图形的概念
15、轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部 分折叠后可重合 8 （3 分）已知 ab，下列不等式中，变形正确的是（ ） Aa3b3 B3a13b1 C3a3b D 【分析】根据不等式的性质解答即可 【解答】解：A、不等式 ab 的两边同时减去 3，不等式仍成立，即 a3b3，故本 选项错误； B、不等式 ab 的两边同时乘以 3 再减去 1，不等式仍成立，即 3a13b1，故本选 项错误； C、不等式 ab 的两边同时乘以3，不等式的符号方向改变，即3a3b，故本选项 正确； D、不等式 ab 的两边同时除以 3，不等式仍成立，即，故本选项错误； 故选：C 【点评】本题考查了不等式的性质注意：不等
16、式两边都乘以同一个负数，不等号的方 向改变 9 （3 分）二次函数 y3（x2）25 与 y 轴交点坐标为（ ） A （0，2） B （0，5） C （0，7） D （0，3） 【分析】根据题目中的函数解析式，令 x0，求出相应的 y 的值，即可解答本题 【解答】解：y3（x2）25 当 x0 时，y7， 第 11 页（共 25 页） 即二次函数 y3（x2）25 与 y 轴交点坐标为（0，7） ， 故选：C 【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确二次函数与 y 轴交点的横坐标等于 0 10 （3 分）某射击俱乐部将 11 名成员在某次射击训练中取得的成绩制成如图所示
17、的条形统 计图，由图可知，11 名成员射击成绩的众数和中位数分别是（ ） A8，9 B8，8 C8，10 D9，8 【分析】中位数，因图中是按从小到大的顺序排列的，所以只要找出最中间的一个数（或 最中间的两个数）即可，本题是最中间的那个数；对于众数可由条形统计图中出现频数 最大或条形最高的数据写出 【解答】解：由条形统计图知 8 环的人数最多， 所以众数为 8 环， 由于共有 11 个数据， 所以中位数为第 6 个数据，即中位数为 8 环， 故选：B 【点评】本题主要考查了确定一组数据的中位数和众数的能力注意找中位数的时候一 定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个
18、，则正中 间的数字即为所求如果是偶数个则找中间两位数的平均数 11 （3 分）下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A两直线平行，同位角相等 B等边三角形是锐角三角形 C如果两个实数是正数，那么它们的积是正数 D全等三角形的对应角相等 【分析】分别写出各个选项的逆命题后再判断其正确或错误，即确定它是真命题还是假 命题 第 12 页（共 25 页） 【解答】解：A、逆命题是“同位角相等两直线平行”正确，故是真命题； B、逆命题是“锐角三角形是等边三角形” ，锐角三角形不一定是等边三角形，所以逆命 题错误，故是假命题； C、逆命题是“如果两个实数的积是正数，那么它们是正数” ，逆命题错误，故是假命题
19、； D、逆命题是“对应角相等的三角形全等” ，逆命题错误，故是假命题 故选：A 【点评】主要考查了逆命题和真假命题的定义对事物做出判断的语句叫做命题，正确 的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题举出反例能有效的说明该命题是假命题 12 （3 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P（x0，y0）到直线 Ax+By+C0 的距离公式为 d ， 例如： 点P0（0， 0） 到直线4x+3y30的距离为d ，根据以上材料，求点 P1（3，4）到直线 yx+的距离为（ ） A3 B4 C5 D6 【分析】根据题目中的距离，可以求得点 P1（3，4）到直线 yx+的距离，本题 得以解决 【解答】解：yx
20、+， x+y0， 点 P1（3，4）到直线 yx+的距离为：4， 故选：B 【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用一 次函数的性质解答 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 13 （3 分）化简：|20| 20 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案 【解答】解：|20|20， 故答案为：20 【点评】此题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值性质：当 a 是正有理数时，a 的 第 13 页（共 25 页） 绝对值是它本身 a； 当 a 是负有理数时， a 的绝对值是它的相反数a； 当
21、a 是零时， a 的绝对值是零 14 （3 分）在函数 y中，自变量 x 的取值范围是 x2 【分析】根据被开方数大于等于 0，分母不等于 0 列式计算即可得解 【解答】解：由题意得，x20， 解得 x2 故答案为：x2 【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整 式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负 15 （3 分） “石头、剪刀、布”是民间广为流传的一种游戏，游戏时甲乙双方每次做“石头” “剪刀” “布”三种手势中的一种，并约定“石头”胜“剪刀” ， “剪刀”胜
22、“布” ， “布” 胜“石头” ，同种手势不分胜负须继续比赛假定甲、乙两人每次都是等可能地做这三种 手势，那么一次游戏中乙获胜的概率是 【分析】用列表法或树状图法列举出所有等可能出现的情况，从中找出符合条件的情况 数，进而求出概率 【解答】解：用列表法表示所有可能出现的结果有： 共有 9 种情况，其中乙获胜的有 3 中， P 乙获胜 故答案为： 【点评】考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种 结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件 16 （3 分）观察下列等式：1，2，3，4，根据 你发现的规律，则第 20 个等式为 20 第 14 页（共 25 页） 【分析】
23、根据题目中的式子，可以发现式子的变化特点，从而可以写出第 n 个等式，然 后令 n20，即可写出第 20 个等式 【解答】解：一列等式为 1，2，3，4， 第 n 个等式为：n， 当 n20 时，这个等式为：20，即 20， 故答案为：20 【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点， 写出第 20 个等式 17 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，已知ABC 与DEF 位似，原点 O 是位似中心， ，若 AB1.5，则 DE 4.5 【分析】利用位似的性质得，然后利用比例的性质计算 DE 的长 【解答】解：ABC 与DEF 位似，原点 O 是位似中心， ， ，
24、 ， ， DE31.54.5 故答案为 4.5 【点评】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相 交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心 18 （3 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，以点 A 为圆心，AB 长为半径画弧交 AD 于点 F， 第 15 页（共 25 页） 再分别以点 B、F 为圆心，大于BF 的相同长度为半径画弧，两弧交于点 P；连接 AP 并延长交 BC 于点 E， 连接 EF 若四边形 ABEF 的周长为 16， C60， 则四边形 ABEF 的面积是 8 【分析】由作法得 AE 平分BAD，ABAF，所
25、以12，再证明 AFBE，则可判 断四边形 AFEB 为平行四边形，于是利用 ABAF 可判断四边形 ABEF 是菱形；根据菱 形的性质得 AGEG，BFAE，求出 BF 和 AG 的长，即可得出结果 【解答】解：由作法得 AE 平分BAD，ABAF， 则12， 四边形 ABCD 为平行四边形， BEAF，BAFC60， 2BEA， 1BEA30， BABE， AFBE， 四边形 AFEB 为平行四边形，ABF 是等边三角形， 而 ABAF， 四边形 ABEF 是菱形； BFAE，AGEG， 四边形 ABEF 的周长为 16， AFBFAB4， 在 RtABG 中，130， BGAB2，AGB
26、G2， AE2AG4， 菱形 ABEF 的面积BFAE448； 第 16 页（共 25 页） 故答案为：8 【点评】本题考查了基本作图、平行四边形的性质与判定、菱形的判定与性质、等边三 角形的判定与性质；证明四边形 ABEF 是菱形是解题的关键 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 66 分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19 （6 分）计算： （1）2020+（）0tan30+（） 1 【分析】直接利用负整数指数的性质以及特殊角的三角函数值和零指数幂的性质分别化 简得出答案 【解答】解：原式1+1+2 1+11+2
27、 3 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键 20 （6 分）已知 x 是方程 x2+3x0 的根，求代数式（+1）的值 【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后由方程 x2+3x0，得到 x 的值，再将使得原分式有意义的 x 的值代入化简后的式子即可解答本题 【解答】解： （+1） x+1， 由 x2+3x0 可得 x10，x23， 当 x0 时，原式无意义， x3， 当 x3 时，原式3+12 【点评】本题考查分式的化简求值、一元二次方程的解，解答本题的关键是明确分式化 简求值的方法 21 （6 分）如图，一次函数 yx+3 的图象与反比例函数 y（k0）在第
28、一象限的图 象交于 A（1，a）和 B 两点，与 x 轴交于点 C （1）求反比例函数的解析式； 第 17 页（共 25 页） （2）若点 P 在 x 轴上，且APC 的面积为 5，求点 P 的坐标 【分析】 （1）利用点 A 在 yx+3 上求 a，进而代入反比例函数 y（k0）求 k 即 可； （2）设 P（x，0） ，求得 C 点的坐标，则 PC|3x|，然后根据三角形面积公式列出方 程，解方程即可 【解答】解： （1）把点 A（1，a）代入 yx+3，得 a2， A（1，2） 把 A（1，2）代入反比例函数 y， k122； 反比例函数的表达式为 y； （2）一次函数 yx+3 的图象
29、与 x 轴交于点 C， C（3，0） ， 设 P（x，0） ， PC|3x|， SAPC|3x|25， x2 或 x8， P 的坐标为（2，0）或（8，0） 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求出反比例函数 的解析式等知识点，能用待定系数法求出反比例函数的解析式是解此题的关键 22 （8 分）如图，在ABCD 中，点 E 在边 BC 上，点 F 在边 AD 的延长线上，且 DFBE， EF 与 CD 交于点 G （1）求证：BDEF （2）若 BE4，EC6，DGF 的面积为 8，求ABCD 的面积 第 18 页（共 25 页） 【分析】 （1）根据平行四边的判定与
30、性质，可得答案； （2）根据相似三角形的判定与性质，可得答案 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC DFBE， 四边形 BEFD 是平行四边形， BDEF； （2）四边形 BEFD 是平行四边形， DFBE4ADBCBE+EC4+610， DBEF，ABCD， FADB，AFDC， DFGADB， ， SDFG8， SADB50， ABCD 的面积2SADB250100 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了平行四边形的判定与性质，相似 三角形的判定与性质 23 （8 分）为了庆祝中华人民共和国成立 70 周年，某市决定开展“我和祖国共成长”主题 演讲比赛
31、，某中学将参加本校选拔赛的 40 名选手的成绩（满分为 100 分，得分为正整数 且无满分，最低为 75 分）分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表 分数段 频数 频率 74.579.5 2 0.05 79.584.5 m 0.2 第 19 页（共 25 页） 84.589.5 12 0.3 89.594.5 14 n 94.599.5 4 0.1 （1）表中 m 8 ，n 0.35 ； （2）请在图中补全频数直方图； （3） 甲同学的比赛成绩是 40 位参赛选手成绩的中位数， 据此推测他的成绩落在 84.5 89.5 分数段内； （4）选拔赛中，成绩在 94.5 分以上的选手，男生和女生各占
32、一半，学校从中随机确定 2 名选手参加全市决赛，请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率 【分析】 （1）根据频率频数总数求解可得； （2）根据所求结果即可补全图形； （3）根据中位数的概念求解可得； （4）首先根据题意画出树状图，然后由表格即可求得所有等可能的结果与挑选的两位学 生恰好是一男一女的情况，再利用概率公式求解即可求得答案 【解答】解： （1）m400.28，n14400.35， 故答案为：8，0.35； （2）补全图形如下： 第 20 页（共 25 页） （3）由于 40 个数据的中位数是第 20、21 个数据的平均数，而第 20、21 个数据均落在 84.589.5
33、， 测他的成绩落在分数段 84.589.5 内， 故答案为：84.589.5 （4）选手有 4 人，2 名是男生，2 名是女生 ， 恰好是一名男生和一名女生的概率为 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率、频数分布直方图、扇形统计图以及众数 与中位数的定义用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比 24 （10 分） 某商店以固定进价一次性购进一种商品， 3 月份按一定售价销售， 销售额为 2400 元，为扩大销量，减少库存，4 月份在 3 月份售价基础上打 9 折销售，结果销售量增加 30 件，销售额增加 840 元 （1）求该商店 3 月份这种商品的售价是多少元？ （2）如果该商店 3
34、 月份销售这种商品的利润为 900 元，那么该商店 4 月份销售这种商品 的利润是多少元？ 【分析】 （1）设该商店 3 月份这种商品的售价为 x 元，则 4 月份这种商品的售价为 0.9x 元，根据数量总价单价结合 4 月份比 3 月份多销售 30 件，即可得出关于 x 的分式方 程，解之经检验即可得出结论； 第 21 页（共 25 页） （2）设该商品的进价为 y 元，根据销售利润每件的利润销售数量，即可得出关于 y 的一元一次方程，解之即可得出该商品的进价，再利用 4 月份的利润每件的利润销 售数量，即可求出结论 【解答】解： （1）设该商店 3 月份这种商品的售价为 x 元，则 4 月
35、份这种商品的售价为 0.9x 元， 根据题意得：30， 解得：x40， 经检验，x40 是原分式方程的解 答：该商店 3 月份这种商品的售价是 40 元 （2）设该商品的进价为 y 元， 根据题意得： （40y）900， 解得：y25， （400.925）990（元） 答：该商店 4 月份销售这种商品的利润是 990 元 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是： （1）找 准等量关系，正确列出分式方程； （2）找准等量关系，正确列出一元一次方程 25 （10 分）如图，点 E 是ABC 的内心，AE 的延长线和ABC 的外接圆O 相交于点 D， 过 D 作直线 D
36、GBC （1）求证：DG 是O 的切线； （2）若 DE6，BC6，求优弧的长 【分析】 （1）连接 OD 交 BC 于 H，连接 OB、OC，如图，利用三角形内心的性质得到 BADCAD，则，利用垂径定理得到 ODBC，BHCH，从而得到 ODDG， 然后根据切线的判定定理得到结论； 第 22 页（共 25 页） （2）连接 BD、OB，如图，先证明DEBDBE 得到 DBDE6，再利用正弦定义 求出BDH60，则可判断OBD 为等边三角形，所以BOD60，OBBD6， 则BOC120，然后根据弧长公式计算优弧的长 【解答】 （1）证明：连接 OD 交 BC 于 H，连接 OB、OC，如图，
37、 点 E 是ABC 的内心， AD 平分BAC， 即BADCAD， BODCOD， ， ODBC，BHCH， DGBC， ODDG， DG 是O 的切线； （2）解：连接 BD、OB，如图， 点 E 是ABC 的内心， ABECBE， DBCBAD， DEBBAD+ABEDBC+CBEDBE， DBDE6， BHBC3， 在 RtBDH 中，sinBDH， BDH60， 而 OBOD， OBD 为等边三角形， BOD60，OBBD6， BOC120， 优弧的长8 第 23 页（共 25 页） 【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等； 三角形的内心与三角形顶点
38、的连线平分这个内角也考查了切线的判定和弧长公式 26 （12 分）如图，抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0） ，点 B（3，0） ，与 y 轴 交于点 C，且过点 D（2，3） 点 P、Q 是抛物线 yax2+bx+c 上的动点 （1）求抛物线的解析式； （2）当点 P 在直线 OD 下方时，求POD 面积的最大值 （3）直线 OQ 与线段 BC 相交于点 E，当OBE 与ABC 相似时，求点 Q 的坐标 【分析】 （1）函数的表达式为：ya（x+1） （x3） ，将点 D 坐标代入上式，即可求解； （2）SPODOG（xDxP）（3+2m） （2m）m2+m+3，即可求
39、解； （3）分ACBBOQ、BACBOQ，两种情况分别求解，通过角的关系，确定直 线 OQ 倾斜角，进而求解 【解答】解： （1）函数的表达式为：ya（x+1） （x3） ，将点 D 坐标代入上式并解得： a1， 故抛物线的表达式为：yx22x3； （2）设直线 PD 与 y 轴交于点 G，设点 P（m，m22m3） ， 第 24 页（共 25 页） 将点 P、D 的坐标代入一次函数表达式：ysx+t 并解得： 直线 PD 的表达式为：ymx32m，则 OG3+2m， SPODOG（xDxP）（3+2m） （2m）m2+m+3， 10，故 SPOD有最大值，当 m时，其最大值为； （3）OBO
40、C3，OCBOBC45， ABCOBE，故OBE 与ABC 相似时，分为两种情况： 当ACBBOQ 时， AB4，BC3，AC， 过点 A 作 AHBC 于点 H， SABCAHBCABOC，解得：AH2， 则 sinACB，则 tanACB2， 则直线 OQ 的表达式为：y2x， 第 25 页（共 25 页） 联立并解得：x或， 故点 Q（，2）或（，2） ， BACBOQ 时， tanBAC3tanBOQ， 则点 Q（n，3n） ， 则直线 OQ 的表达式为：y3x， 联立并解得：x， 故点 Q（，）或（，） ； 综上， 当OBE与ABC相似时， Q的坐标为：（， 2） 或 （， 2） 或 （， ）或（，） 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面积的 计算等，其中（3） ，要注意分类求解，避免遗漏
