1、分式有意义的条件是（ ） Ax0 By0 Cx3 Dx3 3 （3 分）在某学校“经典古诗文”诵读比赛中，有 21 名同学参加某项比赛，预赛成绩各 不相同，要取前 10 名参加决赛，小颖已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决 赛，只需要再知道这 21 名同学成绩的（ ） A平均数 B中位数 C众数 D方差 4 （3 分）已知一个几何体从三个不同方向看到的图形如图所示，则这个几何体是（ ） A圆柱 B圆锥 C球体 D棱锥 5 （3 分）将点 P（2，3）向左平移 3 个长度单位，再向上平移 2 个长度单位得到点 Q， 则点 Q 的坐标是（ ） A （1，3） B （2，1） C （5，1）
2、 D （5，5） 6 （3 分）已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有 20 个，黑球有 n 个，随机地从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从 中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出白球的频率稳定在 0.4 附近，则 n 的值 约为（ ） A20 B30 C40 D50 7 （3 分）若关于 x 的不等式 2xa0 的正整数解是 1，2，3，则 a 的取值范围是（ ） A6a7 B7a8 C6a7 D6a8 8 （3 分）如图，小球从 A 口往下落，在每个交又口都有向左或向右两种可能，且可能性相 同，则小球最终从 E 口落出的概率为（ ） 第
3、 2 页（共 27 页） A B C D 9 （3 分）如图，隧道的截面由抛物线和长方形 OABC 构成，长方形的长 OA 是 12m，宽 OC 是 4m按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用 yx2+bx+c 表示在抛 物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过 8m那么两排灯的水平距离最小是（ ） A2m B4m C4 m D4m 10 （3 分）如图，边长为 a 的正方形 ABCD 和边长为 b 的等边AEF 均内接于O，则的 值是（ ） A2 B C D 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分）
4、11 （3 分） 12 （3 分）一个不透明的袋子里装有两双只有颜色不同的手套，小明已经摸出一只手套， 他再任意摸取一只，恰好两只手套凑成同一双的概率为 第 3 页（共 27 页） 13 （3 分）计算的结果是 14 （3 分）某学校决定用 1200 元购买篮球和排球，其中篮球每个 120 元，排球每个 90 元， 至少买一个排球，在购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有 种 15 （3 分）如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，2AB2BCCD10，tanB，则 AD 16 （3 分）如图，已知点 A，点 C 在反比例函数 y（k0，x0）的图象上，ABx 轴 于点 B，OC 交 AB 于点
5、 D，若 CDOD，则AOD 与BCD 的面积比为 三、解答题（共三、解答题（共 8 小题，共小题，共 72 分）分） 17计算： （2a）2a3a+a2 18如图，直线 MN 分别交 AB 和 CD 于点 E、F，点 Q 在 PM 上，EPMFQM，且 AEPCFQ，求证：ABCD 19 某中学计划根据学生的兴趣爱好组建课外兴趣小组， 并随机抽取了部分同学的兴趣爱好 进行调查，将收集的数据整理并绘制成下列两幅统计图，请根据图中的信息，完成下列 问题： 第 4 页（共 27 页） （1）学校这次调查共抽取了 名学生； （2）求 m 的值并补全条形统计图； （3）在扇形统计图， “围棋”所在扇形
6、的圆心角度数为 ； （4）设该校共有学生 1000 名，请你估计该校有多少名学生喜欢足球 20已知，将矩形 ABCD 折叠，使点 C 与点 A 重合，点 D 落在点 G 处，折痕为 EF （1）如图 1，求证：BEGF； （2）如图 2，连接 CF、DG，若 CE2BE，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出 图 2 中的四个三角形，使写出的每个三角形都为等腰三角形 21如图，ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的圆 O 交 BC 于点 D，交 AC 于点 E，过点 D 作 DFAC 于点 F，交 AB 的延长线于点 G （1）求证：DF 是O 的切线； （2）已知 BD，CF2，求 DF
7、和 BG 的长 22为提升青少年的身体素质，郑州市在全市中小学推行“阳光体育”活动，河南省实验中 第 5 页（共 27 页） 学为满足学生的需求，准备再购买一些篮球和足球如果分别用 800 元购买篮球和足球， 购买篮球的个数比足球的个数少 2 个，足球的单价为篮球单价的 （1）求篮球、足球的单价分别为多少元？ （2）学校计划用不多于 5200 元购买篮球、足球共 60 个，那么至少购买多少个足球？ （3）在（2）的条件下，若篮球数量不能低过 15 个，那么有多少种购买方案？哪种方案 费用最少？最少费用是多少？ 23如图，ABC 在平面直角坐标系中，ACB90，ACBC，A 的坐标是（0，m）
8、（m 0） ，点 C 的坐标是（2，0） ，点 B 在 x 轴上方 （1）如图 1 所示，若点 B 在 y 轴上，则 m 的值是 ； （2）如图 2 所示，BC 与 y 轴交于点 D 若 m6，求点 B 的坐标； 若 y 轴恰好平分BAC，求 OD 的长 24已知：抛物线 yax23（a1）x+2a6（a0） （1）求证：抛物线与 x 轴有两个交点 （2）设抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标分别为 x1，x2（其中 x1x2） 若 t 是关于 a 的 函数、且 tax2x1，求这个函数的表达式； （3）若 a1，将抛物线向上平移一个单位后与 x 轴交于点 A、B平移后如图所示，过 A 作直线
9、AC，分别交 y 的正半轴于点 P 和抛物线于点 C，且 OP1M 是线段 AC 上一 动点，求 2MB+MC 的最小值 第 6 页（共 27 页） 第 7 页（共 27 页） 2020 年湖北省武汉市江汉区常青第一学校中考数学一模试卷年湖北省武汉市江汉区常青第一学校中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）下列各题中均有四个备选答案，其中有分）下列各题中均有四个备选答案，其中有 且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的字母代号涂黑且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的字母代号涂黑. 1
10、（3 分）计算31 的结果是（ ） A2 B2 C4 D4 【分析】根据有理数的减法运算法则，减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即 可求解 【解答】解：313+（1）（3+1）4 故选：D 【点评】本题考查了有理数的减法运算，熟记运算法则是解题的关键 2 （3 分）分式有意义的条件是（ ） Ax0 By0 Cx3 Dx3 【分析】根据分式有意义的条件：分母不能为 0 即可得结论 【解答】解：根据分式有意义的条件，得 x30 解得 x3 故选：C 【点评】 本题考查了分式有意义的条件， 解决本题的关键是分母不能为 0， 分子可以为 0 3 （3 分）在某学校“经典古诗文”诵读比赛中，有 2
11、1 名同学参加某项比赛，预赛成绩各 不相同，要取前 10 名参加决赛，小颖已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决 赛，只需要再知道这 21 名同学成绩的（ ） A平均数 B中位数 C众数 D方差 【分析】由于有 21 名同学参加“经典古诗文”诵读，要取前 10 名参加决赛，故应考虑 中位数的大小 【解答】解：共有 21 名学生参加“经典古诗文”诵读，取前 10 名，所以小颖需要知道 自己的成绩是否进入前 10我们把所有同学的成绩按大小顺序排列， 第 11 名的成绩是这组数据的中位数，所以小颖知道这组数据的中位数，才能知道自己是 否进入决赛 第 8 页（共 27 页） 故选：B 【点评】本
12、题考查了用中位数的意义解决实际问题将一组数据按照从小到大（或从大 到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位 数如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数 4 （3 分）已知一个几何体从三个不同方向看到的图形如图所示，则这个几何体是（ ） A圆柱 B圆锥 C球体 D棱锥 【分析】由主视图和左视图可得此几何体为锥体，根据俯视图是圆及圆心可判断出此几 何体为圆锥 【解答】解：主视图和左视图都是三角形， 此几何体为椎体， 俯视图是一个圆， 此几何体为圆锥 故选：B 【点评】本题主要考查了由三视图判断几何体，由主视图和左视图可得几何体是柱体，
13、 锥体还是球体，由俯视图可确定几何体的具体形状 5 （3 分）将点 P（2，3）向左平移 3 个长度单位，再向上平移 2 个长度单位得到点 Q， 则点 Q 的坐标是（ ） A （1，3） B （2，1） C （5，1） D （5，5） 【分析】让 P 的横坐标减 3，纵坐标加 2 即可得到点 Q 的坐标 【解答】解：根据题意，点 Q 的横坐标为：235；纵坐标为3+21； 即点 Q 的坐标是（5，1） 故选：C 【点评】本题考查了坐标与图形变化平移，用到的知识点为：左右移动改变点的横坐 标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加 6 （3 分）已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球
14、除颜色外都相同，其中白球有 20 个，黑球有 n 个，随机地从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从 第 9 页（共 27 页） 中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出白球的频率稳定在 0.4 附近，则 n 的值 约为（ ） A20 B30 C40 D50 【分析】根据白球的频率稳定在 0.4 附近得到白球的概率约为 0.4，根据概率公式列出方 程求解可得 【解答】解：根据题意得0.4， 解得：n30， 故选：B 【点评】此题考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是了解白球的频率稳定在 0.4 附近即为概率约为 0.4 7 （3 分）若关于 x 的不等式 2xa0 的正整数
15、解是 1，2，3，则 a 的取值范围是（ ） A6a7 B7a8 C6a7 D6a8 【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含 a 的式子表示，根据整数解的个数就可以 确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于 a 的不等式，从而求出 a 的范围 【解答】解：解不等式 2xa0，得：x， 不等式 2xa0 的正整数解是 1，2，3， 34， 解得：6a8， 故选：D 【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解出不等式的解集，正确确定的 范围是解决本题的关键解不等式时要用到不等式的基本性质 8 （3 分）如图，小球从 A 口往下落，在每个交又口都有向左或向右两种可能，且可能性相 同，则小球
16、最终从 E 口落出的概率为（ ） 第 10 页（共 27 页） A B C D 【分析】根据“在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等”可知在点 B、C、 D 处都是等可能情况，从而得到在四个出口 E、F、G、H 也都是等可能情况，然后概率 的意义列式即可得解 【解答】解：由图可知，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等， 小球最终落出的点共有 E、F、G、H 四个， 所以，最终从点 E 落出的概率为 故选：B 【点评】本题考查了列表法与树状图法，读懂题目信息，得出所给的图形的对称性以及 可能性相等是解题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比 9 （3 分）如图
17、，隧道的截面由抛物线和长方形 OABC 构成，长方形的长 OA 是 12m，宽 OC 是 4m按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用 yx2+bx+c 表示在抛 物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过 8m那么两排灯的水平距离最小是（ ） A2m B4m C4 m D4m 【分析】根据长方形的长 OA 是 12m，宽 OC 是 4m，可得顶点的横坐标和点 C 的坐标， 即可求出抛物线解析式，再把 y8 代入解析式即可得结论 【解答】解：根据题意，得 OA12，OC4 所以抛物线的顶点横坐标为 6， 即6， b2， C（0，4） ， 第 11 页（共 2
18、7 页） c4， 所以抛物线解析式为： yx2+2x+4 （x6）2+10 当 y8 时， 8（x6）2+10， 解得 x16+2，x262 则 x1x24 所以两排灯的水平距离最小是 4 故选：D 【点评】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是把实际问题转化为二次函数问 题解决 10 （3 分）如图，边长为 a 的正方形 ABCD 和边长为 b 的等边AEF 均内接于O，则的 值是（ ） A2 B C D 【分析】可以构造一个由正多边形的半径、边心距和半边组成的直角三角形来解决问题 【解答】解：设其半径是 r，则其正三角形的边长是r， 正方形的边长是r，则它们的比是： 则内接正方形的边长
19、与内接正三角形的边长的比为：3 即则的值， 故选：D 【点评】此题主要考查了正多边形和圆，能够构造一个由正多边形的半径、边心距和半 边组成的直角三角形该正多边形的半径即是圆的半径，其半边所对的角是它的中心角 第 12 页（共 27 页） 的一半，即 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分） 5 【分析】首先化简二次根式，计算绝对值，再算乘法，后算加法即可 【解答】解：原式2+92+35， 故答案为：5 【点评】此题主要考查了二次根式的加减法，关键是注意计算顺序 12 （3 分）一个不透明的袋子里装有两双只有颜色不同的手套，小
20、明已经摸出一只手套， 他再任意摸取一只，恰好两只手套凑成同一双的概率为 【分析】列举出所有情况，让恰好是一双的情况数除以总情况数即为所求的概率 【解答】解：设两双只有颜色不同的手套的颜色为红和绿， 列表得： （红，绿） （红，绿） （绿，绿） （红，绿） （红，绿） （绿，绿） （红，红） （绿，红） （绿，红） （红，红） （绿，红） （绿，红） 一共有 12 种等可能的情况，恰好是一双的有 4 种情况， 恰好是一双的概率为， 故答案为： 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率用到的知识点为：概率所求情况数与 总情况数之比 13 （3 分）计算的结果是 1 【分析】先变形为同分母分式的减法
21、，再约分即可得 【解答】解：原式 第 13 页（共 27 页） 1， 故答案为：1 【点评】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是熟练掌握分式的加减运算法则和分 式的基本性质 14 （3 分）某学校决定用 1200 元购买篮球和排球，其中篮球每个 120 元，排球每个 90 元， 至少买一个排球，在购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有 3 种 【分析】设可以购买 x 个篮球，y 个排球，根据总价单价数量，即可得出关于 x，y 的二元一次方程，结合 y 为正整数、x 为非负整数，即可得出各购买方程，此题得解 【解答】解：设可以购买 x 个篮球，y 个排球， 依题意，得：120x+90y1200，
22、 x10y y 为正整数，x 为非负整数， ， 共有 3 种购买方案 故答案为：3 【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解 题的关键 15 （3 分）如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，2AB2BCCD10，tanB，则 AD 3 【分析】过 A 作 AFCD 于 F，过 C 作 CEAB 于 E，根据矩形的性质得出 AFCE， AECF，求出 AF 和 DF 长，再根据勾股定理求出即可 【解答】解：2AB2BCCD10， 第 14 页（共 27 页） ABBC5， 过 A 作 AFCD 于 F，过 C 作 CEAB 于 E， 则AECAFDBEC90
23、，AFCE， ABCD， 四边形 AECF 是矩形， AECF，AFCE， 在 RtBEC 中，tanB， 又BC5， CE3，BE4， AECF541，AFCE3， CD10， DF1019， 在 RtAFD 中，由勾股定理得：AD3， 故答案为： 【点评】本题考查了解直角三角形和矩形的性质和判定、平行线的性质等知识点，能构 造直角三角形是解此题的关键 16 （3 分）如图，已知点 A，点 C 在反比例函数 y（k0，x0）的图象上，ABx 轴 于点 B，OC 交 AB 于点 D，若 CDOD，则AOD 与BCD 的面积比为 3 【分析】解： 作 CEx 轴于 E， 如图， 利用平行线分线段
24、成比例得到， 设 D（m，n） ，则 C（2m，2n） ，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到 k4mn，则 第 15 页（共 27 页） A（m，4n） ，然后根据三角形面积公式用 m、n 表示 SAOD和 SBCD，从而得到它们的比 【解答】解：作 CEx 轴于 E，如图， DBCE， ， 设 D（m，n） ，则 C（2m，2n） ， C（2m，2n）在反比例函数图象上， k2m2n4mn， A（m，4n） ， SAOD（4nn）mmn，SBCD（2mm）nmn AOD 与BCD 的面积比mn：mn3 故答案为 3 【点评】 本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义： 在反比例函数 y图
25、象中任取一点， 过这一个点向 x 轴和 y 轴分别作垂线， 与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k| 也考查了反 比例函数图象上点的坐标特征 三、解答题（共三、解答题（共 8 小题，共小题，共 72 分）分） 17计算： （2a）2a3a+a2 【分析】先去括号，然后合并同类项 【解答】解：原式4a23a2+a22a2 【点评】考查了单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方属于基础计算题，熟记计算法 则即可解题 18如图，直线 MN 分别交 AB 和 CD 于点 E、F，点 Q 在 PM 上，EPMFQM，且 AEPCFQ，求证：ABCD 第 16 页（共 27 页） 【分析】根据三角形内角和定理和等量
26、关系可得12，再根据平行线的判定即可求 解 【解答】解：如图， EPMFQM，AEPCFQ，EPM+AEP+1180，FQM+CFQ+ 2180， 12， ABCD 【点评】考查了平行线的判定，关键是熟悉同位角相等，两直线平行的知识点 19 某中学计划根据学生的兴趣爱好组建课外兴趣小组， 并随机抽取了部分同学的兴趣爱好 进行调查，将收集的数据整理并绘制成下列两幅统计图，请根据图中的信息，完成下列 问题： （1）学校这次调查共抽取了 100 名学生； （2）求 m 的值并补全条形统计图； （3）在扇形统计图， “围棋”所在扇形的圆心角度数为 36 ； 第 17 页（共 27 页） （4）设该校共
27、有学生 1000 名，请你估计该校有多少名学生喜欢足球 【分析】 （1）用“围棋”的人数除以其所占百分比可得； （2）用总人数乘以“书法”人数所占百分比求得其人数，据此即可补全图形； （3）用 360乘以“围棋”人数所占百分比即可得； （4）用总人数乘以样本中“舞蹈”人数所占百分比可得 【解答】解： （1）学校本次调查的学生人数为 1010%100 名， 故答案为：100； （2）m1002525201020， “书法”的人数为 10020%20 人， 补全图形如下： （3）在扇形统计图中， “书法”所在扇形的圆心角度数为 36010%36， 故答案为：36； （4）估计该校喜欢舞蹈的学生人数
28、为 100025%250 人 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统 计图中得到必要的信息是解决问题的关键 条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据； 扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小也考查了用样本估计总体的思想 20已知，将矩形 ABCD 折叠，使点 C 与点 A 重合，点 D 落在点 G 处，折痕为 EF 第 18 页（共 27 页） （1）如图 1，求证：BEGF； （2）如图 2，连接 CF、DG，若 CE2BE，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出 图 2 中的四个三角形，使写出的每个三角形都为等腰三角形 【分析】 （1）由矩形的性质和折
29、叠的性质可得BAEGAF，AGAB，BAGF 90，即可证ABEAGF，可得 BEGF； （2）由矩形的性质和折叠的性质以及全等三角形的性质可得：CEF，AGD，FGD， DGC，AEF 是等腰三角形 【解答】证明： （1）矩形 ABCD ABCD，BAD90 由折叠可知：AGCD，AGFDCB90GAE ABAG，BAE90EAF，GAF90EAF BAEGAF，且 AGAB，BAGF90 ABEAGF（ASA） BEFG （2）将矩形 ABCD 折叠，使点 C 与点 A 重合，点 D 落在点 G 处 AECE，AFCF，GFDF，AGCD，AEFCEF，AFECFE GFD 是等腰三角形，
30、 ADBC AFECEF AECAFECFECEF AFAECFCE AEF，CEF 是等腰三角形 CE2BE AE2BE，且ABC90 第 19 页（共 27 页） BAE30 AEB60 ABEAGF GAFBAE30，AFGAEB60 GDF30 GADGDF AGGD AGGDCD AGD，GDC 是等腰三角形 综上所述：CEF，AGD，FGD，DGC，AEF 是等腰三角形 【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的 判定，熟练运用折叠的性质是本题的关键 21如图，ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的圆 O 交 BC 于点 D，交 AC 于点 E，
31、过点 D 作 DFAC 于点 F，交 AB 的延长线于点 G （1）求证：DF 是O 的切线； （2）已知 BD，CF2，求 DF 和 BG 的长 【分析】 （1）连接 OD，根据圆周角定理得到 ADBC，结合等腰三角形的性质知 BD CD，再根据 OAOB 知 ODAC，从而由 DFAC 可得 ODDF，即可得证； （2）连接 BEBEDF，可得 DF 是BEC 的中位线，设 AEx，则 ACABx+4，根 据勾股定理列方程可得 x 的值，证明GODGAF，列比例式可得 BG 的长 【解答】解： （1）AB 是O 的直径， ADB90， 连接 OD， 第 20 页（共 27 页） ADB90
32、，即 ADBC， ABAC， BDCD， 又OAOB， ODAC， DFAC， ODDF， DF 是圆 O 的切线； （2）连接 BE CDBD2， CF2， DF4， AB 是直径， AEBCEB90， BEAC， DFAC， DFBE， EFFC2， BE2DF8， 第 21 页（共 27 页） 设 AEx，则 ACABx+4 由勾股定理得：AB2AE2+BE2， （x+4）282+x2， x6， AE6，AB4+610， ODAF， GODGAF， ， ， BG 【点评】本题主要考查圆的切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质及中位 线定理等知识点，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的
33、判定与性质是解题的关键 22为提升青少年的身体素质，郑州市在全市中小学推行“阳光体育”活动，河南省实验中 学为满足学生的需求，准备再购买一些篮球和足球如果分别用 800 元购买篮球和足球， 购买篮球的个数比足球的个数少 2 个，足球的单价为篮球单价的 （1）求篮球、足球的单价分别为多少元？ （2）学校计划用不多于 5200 元购买篮球、足球共 60 个，那么至少购买多少个足球？ （3）在（2）的条件下，若篮球数量不能低过 15 个，那么有多少种购买方案？哪种方案 费用最少？最少费用是多少？ 【分析】 （1）设篮球的单价为 x 元/个，则足球的单价为 0.8x 元/个，根据用 800 元购买篮
34、球的个数比购买足球的个数少 2 个，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得 出结论； （2）购买 m 个足球，则购买（60m）个篮球，根据总价单价购买数量结合总价钱 不多于 5200 元，即可得出关于 m 的一元一次不等式，解之即可得出 m 的取值范围，取 其内的最小正整数即可； （3）解不等式得到 40m45，于是得到 6 种购买方案；设总费用为 w 元，由题意得到 函数关系式 w80m+100（100m）20m+6000，根据一次函数的性质即可得到结论 【解答】解： （1）设篮球的单价为 x 元/个，则足球的单价为 0.8x 元/个， 第 22 页（共 27 页） 根据题意得：+
35、2， 解得：x100， 经检验，x100 是原方程的解， 0.8x80 答：篮球的单价为 100 元/个，足球的单价为 80 元/个 （2）设购买 m 个足球，则购买（60m）个篮球， 根据题意得：80m+100（60m）5200， 解得：m40 答：至少要购买 40 个足球； （3）由题意得，60m15， 解得：m45， m40， 40m45， m 为整数， m 可取 40，41，42，43，44，45，共 6 种购买方案； 分别为足球 40 个，篮球 20 个；足球 41 个，篮球 19 个；足球 42 个，篮球 18 个；足球 43 个，篮球 17 个；足球 44 个，篮球 16 个；足
36、球 45 个，篮球 15 个； 设总费用为 w 元，由题意得，w80m+100（60m）20m+6000， 200， w 随着 m 的增大而减小， 当 m45 时，w最小5100， 答：买足球 45 个，篮球 15 个费用最少，最少费用是 5100 元 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是： （1） 找准等量关系，列出分式方程； （2）根据总价单价购买数量结合总价钱不多于 5200 元，列出关于 m 的一元一次不等式 23如图，ABC 在平面直角坐标系中，ACB90，ACBC，A 的坐标是（0，m） （m 0） ，点 C 的坐标是（2，0） ，点 B 在 x
37、轴上方 （1）如图 1 所示，若点 B 在 y 轴上，则 m 的值是 2 ； 第 23 页（共 27 页） （2）如图 2 所示，BC 与 y 轴交于点 D 若 m6，求点 B 的坐标； 若 y 轴恰好平分BAC，求 OD 的长 【分析】 （1）利用等腰三角形的三线合一的性质即可解决问题； （2）如图 21 中，作 BHx 轴于 H只要证明BHCCOA（AAS）即可解决问 题； 如图 22 中，在 OA 截取一点 F，使得 OFOC解直角三角形求出 OA 的长，再利 用相似三角形的性质求出 OD 的长即可解决问题； 【解答】解： （1）如图 1 中， CBCA，OCAB， OCBOCA45，
38、OAOC2， A（0，2） ， m2 故答案为2 （2）如图 21 中，作 BHx 轴于 H 第 24 页（共 27 页） AOCBHCACB90， BCH+ACO90，ACO+OAC90， BCHOAC， BCAC， BHCCOA（AAS） ， BHOC2，CHOA6， OHCHOC4， B（4，2） 如图 22 中，在 OA 截取一点 F，使得 OFOC OFOC2，OCF90， FC2，OFCOCF45， AD 平分CAB， DACCAB22.5， OFCFAC+FCA， FCA22.5， FACFCA22.5， 第 25 页（共 27 页） AFCF2， OA2+2， A（0，22）
39、， DCOOAC，CODAOC90， CODAOC， ， ， OD22 【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、 解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题， 属于中考压轴题 24已知：抛物线 yax23（a1）x+2a6（a0） （1）求证：抛物线与 x 轴有两个交点 （2）设抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标分别为 x1，x2（其中 x1x2） 若 t 是关于 a 的 函数、且 tax2x1，求这个函数的表达式； （3）若 a1，将抛物线向上平移一个单位后与 x 轴交于点 A、B平移后如图所示，过 A 作直线 AC，分别
40、交 y 的正半轴于点 P 和抛物线于点 C，且 OP1M 是线段 AC 上一 动点，求 2MB+MC 的最小值 【分析】 （1）可求出根的判别式的值，由根的判别式的值直接判断； （2）令 y0，求出含 a 的两个交点的横坐标，代入 tax2x1即可； （3）求出平移后抛物线的解析式及 A，B 的坐标，求出直线 AC 的解析式及点 C 的坐标， 过 C 作 CNy 轴，过 M 作 MGCN 于 G，过 C 作 CHx 轴于 H，证AOPCGM， 推出，2MB+MC2（MB+GM） ，而 MB+GM 的最小值即 B 到 CN 最小距离 CH， 第 26 页（共 27 页） 即可写出 2MB+MC
41、的最小值 【解答】 （1）证明：b24ab3（a1）24a（2a6）a2+6a+9（a+3）2， a0， （a+3）20， 抛物线与 x 轴有两个交点； （2）解：令 y0，则 ax23（a1）x+2a60， 或， a0， 且 x1x2， x12， ， ta5； （3）解：当 a1 时，则 yx24， 向上平移一个单位得 yx23， 令 y0，则 x230， 得， ， OP1， 直线， 联立：， 解得， 即， 第 27 页（共 27 页） AO， 在 RtAOP 中， AP2， 过 C 作 CNy 轴，过 M 作 MGCN 于 G，过 C 作 CHx 轴于 H， CNx 轴， GCMPAO， 又AOPCGM90， AOPCGM， ， ， B 到 CN 最小距离为 CH， MB+GM 的最小值为 CH 的长度， 2MB+MC 的最小值为 【点评】本题考查了抛物线与坐标轴交点的求法，最短路径问题等，解题关键是能够通 过作合适的辅助线，将相关线段的和的最小值转化为垂线段最短的问题等
