1、2020 年天津市红桥区高考数学二模试卷年天津市红桥区高考数学二模试卷 一、选择题（共 9 小题）. 1已知集合 Ax|x|2，B1，0，1，2，则 AB（ ） A1，0，1 B0，1 C0，1 D1，0，1，2 2设数列an是等比数列，其前 n 项和为 Sn，且 S33a3，则公比 q 的值为（ ） A B C1 或 D1 或 3已知 ， ， ，则（ ） Abac Babc Ccba Dacb 4设 p：log2x0，q：2x11，则 p 是 q 的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5若直线 yx2 被圆（xa）2+y24 所截的弦长为 ，则
2、实数 a 的值为（ ） A1 或 B1 或 3 C2 或 6 D0 或 4 6已知正方体的体积是 8，则这个正方体的外接球的体积是（ ） A B C D 7将函数 ysinx cosx 的图象向右平移 a（a0）个单位长度，所得函数的图象关于 y 轴对称，则 a 的最小值是（ ） A B C D 8已知双曲线 1（a0，b0）的左顶点与抛物线 y 22px（p0）的焦点的距 离为 4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（2，1），则双曲线的 焦距为（ ） A2 B2 C4 D4 9已知函数 f（x） ， ， ，若函数 g（x）f（x）m 有三个零点，则实数 m 的取值范围是（ ）
3、A（，0） B（1，+） C（0，1） D0，1 二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分 10若 i 为虚单位，则复数 11某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团） 合唱社 粤曲社 书法社 高一 45 30 a 高二 15 10 20 学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取 30 人，结果合唱社被抽出 12 人，则这三个社团人数共有 12已知二项式（x2 ） n 的展开式的二项式系数之和为 32，则展开式中含 x 项的系数是 13已知实数 a，b 满足条件：ab0，且 1 是 a2与 b2的等比中项，又是 与 的等差中
4、项， 则 14曲线 yx（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为 15 已知 、 是单位向量， 0 若向量 满足| |1， 则| |的最大值是 三、解答题：本大题共 5 个小题，共 75 分解答写出文字说明、证明过程或演算步骤 16在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，已知 a1，b2，cosC （）求 c 的值； （）求 的值 17设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为 和 ，且各次射击互相独立 （）若甲、乙两人各射击 1 次，求至少有一人命中目标的概率； （） 若甲连续射击 3 次， 设命中目标次数为 ， 求命中目标次数 的分布列及数学期望 18 四棱锥 PAB
5、CD 中， PA平面 ABCD， 四边形 ABCD 是矩形， 且 PAAB2， AD3， E 是线段 BC 上的动点，F 是线段 PE 的中点 （）求证：PB平面 ADF； （）若直线 DE 与平面 ADF 所成角为 30， （1）求线段 CE 的长； （2）求二面角 PEDA 的余弦值 19如图，椭圆 C： 经过点 P（1， ），离心率 e ，直线 l 的方程 为 x4 （1）求椭圆 C 的方程； （2）AB 是经过右焦点 F 的任一弦（不经过点 P），设直线 AB 与直线 l 相交于点 M，记 PA，PB，PM 的斜率分别为 k1，k2，k3问：是否存在常数 ，使得 k1+k2k3？若存在
6、， 求 的值；若不存在，说明理由 20设 aR，函数 f（x）lnxax （）讨论函数 f（x）的单调区间和极值； （）已知 x1 （e 为自然对数的底数）和 x2是函数 f（x）的两个不同的零点，求 a 的值并证明：x2 参考答案 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 Ax|x|2，B1，0，1，2，则 AB（ ） A1，0，1 B0，1 C0，1 D1，0，1，2 【分析】可以求出集合 A，然后进行交集的运算即可 解：Ax|2x2，B1，0，1，2， AB1，0，1 故选：A 2设数列an是等比数列，其前 n 项和为 Sn，且 S33a3，则公比 q
7、的值为（ ） A B C1 或 D1 或 【分析】分两种情况：当 q1 时，得到此等比数列为常数列，各项都等于第一项，已知 的等式显然成立； 当 q不等于 1 时， 利用等比数列的前 n 项和的公式及等比数列的通项 公式公式化简已知的等式，得到关于 q 的方程，根据 q 不等于解出 q 的值，综上，得到 所有满足题意的等比 q 的值 解：当 q1 时，S3a1+a2+a33a13a3，成立； 当 q1 时，得到 S3 ，a3a1q2，又 S33a3， 所以 3q 2， 化简得：2q2q10，即（q1）（2q+1）0， 由 q1 即 q10，解得 q 综上，公比 q 的值为 1 或 故选：C 3
8、已知 ， ， ，则（ ） Abac Babc Ccba Dacb 【分析】 可以得出 ， ， ， 从而得出 a， b， c 的大小关系 解： ， ， ， bac 故选：A 4设 p：log2x0，q：2x11，则 p 是 q 的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】由 log2x0，得 0x1，得 2x11，反之不成立，再由充分必要条件的判定 得结论 解：由 log2x0，得 0x1，则 x10，2x11； 反之，由 2x11，得 x10，则 x1，当 x0 时，log2x0 不成立 log2x02x11，反之不成立 即 p 是 q 的充分
9、而不必要条件 故选：A 5若直线 yx2 被圆（xa）2+y24 所截的弦长为 ，则实数 a 的值为（ ） A1 或 B1 或 3 C2 或 6 D0 或 4 【分析】由圆的方程，得到圆心与半径，再求得圆心到直线的距离，由 求 解 解：圆（xa）2+y24 圆心为：（a，0），半径为：2 圆心到直线的距离为： 解得 a4，或 a0 故选：D 6已知正方体的体积是 8，则这个正方体的外接球的体积是（ ） A B C D 【分析】利用正方体的体积，求出棱长，然后求解外接球的半径，然后求外接球的体积 即可 解：正方体的体积是 8， 所以正方体的棱长为：2 这个正方体的外接球的半径为： 这个正方体的外
10、接球的体积是： 故选：B 7将函数 ysinx cosx 的图象向右平移 a（a0）个单位长度，所得函数的图象关于 y 轴对称，则 a 的最小值是（ ） A B C D 【分析】根据函数 yAsin（x+）的图象变换规律，可得 y2sin（xa ） 的图象 关于 y 轴对称，可得 a k ，kZ，从而求得 a 的最小值 解：将函数 ysinx cosx2sin（x ） 的图象向右平移 a（a0）个单位长度， 可得 y2sin（xa ） 的图象， 根据所得函数的图象关于 y 轴对称，可得 a k ，kZ，即 ak ，kZ 则 a 的最小值为 ， 故选：C 8已知双曲线 1（a0，b0）的左顶点与
11、抛物线 y 22px（p0）的焦点的距 离为 4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（2，1），则双曲线的 焦距为（ ） A2 B2 C4 D4 【分析】根据题意，点（2，1）在抛物线的准线上，结合抛物线的性质，可得 p4， 进而可得抛物线的焦点坐标，依据题意，可得双曲线的左顶点的坐标，即可得 a 的值， 由点（2，1）在双曲线的渐近线上，可得渐近线方程，进而可得 b 的值，由双曲线 的性质，可得 c 的值，进而可得答案 解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（2，1）， 即点（2，1）在抛物线的准线上，又由抛物线 y22px 的准线方程为 x ，则 p 4，
12、则抛物线的焦点为（2，0）； 则双曲线的左顶点为（2，0），即 a2； 点（2，1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为 y x， 由双曲线的性质，可得 b1； 则 c ，则焦距为 2c2 故选：A 9已知函数 f（x） ， ， ，若函数 g（x）f（x）m 有三个零点，则实数 m 的取值范围是（ ） A（，0） B（1，+） C（0，1） D0，1 【分析】先画出函数的图象，然后根据函数 g（x）f（x）m 有 3 个零点即 yf（x） 与 ym 有 3 个交点即可，结合图象可求出 m 的取值范围 解：画出函数 f（x） ， ， 的图象，如下图 函数 g（x）f（x）m 有 3 个零点即 y
13、f（x）与 ym 有 3 个交点即可 根据图象可知 0m1 故选：C 二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分 10若 i 为虚单位，则复数 i 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 解： 故答案为： 11某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团） 合唱社 粤曲社 书法社 高一 45 30 a 高二 15 10 20 学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取 30 人，结果合唱社被抽出 12 人，则这三个社团人数共有 150 【分析】根据每个个体被抽到的概率都相等可得 ，属于 基础题 解：根据分层抽样的定义和方法
14、可得 ， 解得 a30， 故这三个社团人数共有 45+15+30+10+30+20150 人， 故答案为 150 12 已知二项式 （x2 ） n 的展开式的二项式系数之和为 32， 则展开式中含 x 项的系数是 10 【分析】先求得 n5，以及二项式展开式的通项公式，再令 x 的幂指数等于 1，求得 r 的值，即可求得含 x 的项的系数 解：由题意可得 2n32，n5，展开式的通项公式为 Tr+1 x102r xr x103r 令 103r1，r3，故展开式中含 x 项的系数是 10， 故答案为 10 13已知实数 a，b 满足条件：ab0，且 1 是 a2与 b2的等比中项，又是 与 的等
15、差中项， 则 【分析】利用等比中项的定义得到 ab1，再利用等差中项的定义得到 a+b2，代 入所求式子即可求出结果 解：1 是 a2与 b2的等比中项，a2b21，又ab0， ab1， 1 又是 与 的等差中项， ， ，a+b2， ， 故答案为： 14曲线 yx（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为 y4x3 【分析】先求导函数，求出切线的斜率，再求切线的方程 解：求导函数，可得 y3lnx+4， 当 x1 时，y4， 曲线 yx（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为 y14（x1），即 y4x3 故答案为：y4x3 15 已知 、 是单位向量， 0 若向量 满足| |1， 则|
16、 |的最大值是 【分析】通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和圆的方程及数形结合即可得出 解： 、 是单位向量， 0若向量 满足| |1， 设 （1，0）， （0，1）， （x，y）， 则 （x1，y1）， | |1， （x1）2+（y1）21， 故向量| |的轨迹是在以（1，1）为圆心，半径等于 1 的圆上， | |的最大值为 ， 故答案为： 三、解答题：本大题共 5 个小题，共 75 分解答写出文字说明、证明过程或演算步骤 16在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，已知 a1，b2，cosC （）求 c 的值； （）求 的值 【分析】（）由余弦定理可知，c2a2+b
17、22abcosC，代入已知数据即可得解； （）由同角三角函数的平方关系可知，sinC ，再结合二倍角公式 可得，sin2C ，cos2C ，最后利用正弦的两角和公式将 展开后，代 入数据即可得解 解：（）由余弦定理可知，c2a2+b22abcosC， ，解得 c2 （）sin2C+cos2C1，且 C（0，），sinC ， sin2C2sinCcosC ，cos2C ， sin2C cos2C 17设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为 和 ，且各次射击互相独立 （）若甲、乙两人各射击 1 次，求至少有一人命中目标的概率； （） 若甲连续射击 3 次， 设命中目标次数为 ， 求命中目标次数
18、的分布列及数学期望 【分析】（）从正面考虑，分三种情况：甲乙均命中、甲中乙未中、甲未中乙中，再 求出三种情况的概率和即可；（或从反面考虑，先求出甲乙均未中的概率，在利用对立 事件的概率求解即可）； （） 的所有可能取值为 0，1，2，3，则 B（ ， ），然后根据二项分布求概率的 方式逐一求出每个 的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望，也可以根 据二项分布的性质求数学期望 解： （）设“至少有一人命中目标”为事件 A，则 P（A） （或设“两人都没命中目标”为事件 B，P（B） ，“至少有一人命中目标” 为事件 A，则 P（A）1P（B） （） 的所有可能取值为 0，1，2，3，则
19、 B（ ， ）， P（0） ，P（1） ，P（2） ，P（3） 的分布列为 0 1 2 3 P 数学期望 18 四棱锥 PABCD 中， PA平面 ABCD， 四边形 ABCD 是矩形， 且 PAAB2， AD3， E 是线段 BC 上的动点，F 是线段 PE 的中点 （）求证：PB平面 ADF； （）若直线 DE 与平面 ADF 所成角为 30， （1）求线段 CE 的长； （2）求二面角 PEDA 的余弦值 【分析】 （）以点 A 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能证明 PB平面 ADF （）（1）求出平面 ADF 的法向量和平面 ADF 的一个法向量，利用向量法能求出线段 CE 的长
20、 （2）求出平面 PED 的法向量，和平面 ADF 的一个法向量，平面 ADE 的一个法向量， 利用向量法能求出二面角 PEDA 的余弦值 解：（）证明：依题意，以点 A 为原点建立空间直角坐标系（如图）， 可得 A （0， 0， 0） ， B （2， 0， 0） ， C （2， 3， 0） ， D （0， 3， 0） ， E （2， y， 0） ， ， ， ， P （0， 0， 2） 向量 ， ， ，向量 ， ， ， ， ， ， ， ， 即 PBAD，PBAF，AFADA， 所以 PB平面 ADF （）解：（1）设 ， ， 为平面 ADF 的法向量， 则 ， 不妨令 x1，可得 ， ， 为平
21、面 ADF 的一个法向量， 向量 ， ， 直线 DE 与平面 ADF 所成角为 30，于是有 ， 所以 ，得 y1，y5（舍） E（2，1，0），C（2，3，0），线段 CE 的长为 2 （2）设 （a，b，c）为平面 PED 的法向量， ， ， ， ， ， 则 ， 不妨令 a2，可得 ， ， 为平面 ADF 的一个法向量， 又 ， ， 为平面 ADE 的一个法向量， 二面角 PEDA 的余弦值为：cos ， 19如图，椭圆 C： 经过点 P（1， ），离心率 e ，直线 l 的方程 为 x4 （1）求椭圆 C 的方程； （2）AB 是经过右焦点 F 的任一弦（不经过点 P），设直线 AB 与
22、直线 l 相交于点 M，记 PA，PB，PM 的斜率分别为 k1，k2，k3问：是否存在常数 ，使得 k1+k2k3？若存在， 求 的值；若不存在，说明理由 【分析】（1）由题意将点 P （1， ）代入椭圆的方程，得到 ， 再由离心率为 e ，将 a，b 用 c 表示出来代入方程，解得 c，从而解得 a，b，即可得到 椭圆的标准方程； （2）方法一：可先设出直线 AB 的方程为 yk（x1），代入椭圆的方程并整理成关于 x 的一元二次方程， 设 A （x1， y1） ， B （x2， y2） ， 利用根与系数的关系求得 x1+x2 ， ，再求点 M 的坐标，分别表示出 k1，k2，k3比较 k
23、1+k2k3即可求得参 数的值； 方法二：设 B（x0，y0）（x01），以之表示出直线 FB 的方程为 ，由 此方程求得 M 的坐标，再与椭圆方程联立，求得 A 的坐标，由此表示出 k1，k2，k3比 较 k1+k2k3即可求得参数的值 解：（1） 椭圆 C： 经过点 P （1， ） ， 可得 由离心率 e 得 ，即 a2c，则 b 23c2，代入解得 c1，a2，b 故椭圆的方程为 （2）方法一：由题意可设 AB 的斜率为 k，则直线 AB 的方程为 yk（x1） 代入椭圆方程 并整理得（4k 2+3）x28k2x+4k2120 设 A（x1，y1），B（x2，y2）， x1+x2 ， 在
24、方程中，令 x4 得，M 的坐标为（4，3k）， 从而 ， ， k 注意到 A，F，B 共线，则有 kkAFkBF，即有 k 所以 k1+k2 （ ） 2k 代入得 k1+k22k 2k1 又 k3 k ，所以 k1+k22k3 故存在常数 2 符合题意 方法二：设 B（x0，y0）（x01），则直线 FB 的方程为 令 x4，求得 M（4， ） 从而直线 PM 的斜率为 k3 ， 联立 ，得 A（ ， ）， 则直线 PA 的斜率 k1 ，直线 PB 的斜率为 k2 所以 k1+k2 2 2k3， 故存在常数 2 符合题意 20设 a一、选择题，函数 f（x）lnxax （）讨论函数 f（x）
25、的单调区间和极值； （）已知 x1 （e 为自然对数的底数）和 x2是函数 f（x）的两个不同的零点，求 a 的值并证明：x2 【分析】（I）先求函数 f（x）的导函数 f（x），并确定函数的定义域，再解不等式 f （x）0，f（x）0，即可分别求得函数 f（x）的单调增区间和单调减区间，进而利 用极值定义求得函数的极值，由于导函数中含有参数 a，故为解不等式的需要，需讨论 a 的正负； （II）将 x1 代入函数 f（x），即可得 a 的值，再利用（I）中的单调性和函数的零点 存在性定理，证明函数的另一个零点 x2是在区间（ ， ）上，即可证明结论 解：（）函数 f（x）的定义域为（0，+）
26、 求导数，得 f（x） a 若 a0，则 f（x）0，f（x）是（0，+）上的增函数，无极值； 若 a0，令 f（x）0，得 x 当 x（0， ）时，f（x）0，f（x）是增函数； 当 x（ ，+）时，f（x）0，f（x）是减函数 当 x 时，f（x）有极大值，极大值为 f（ ）ln 1lna1 综上所述，当 a0 时，f（x）的递增区间为（0，+），无极值；当 a0 时，f（x）的 递增区间为（0， ），递减区间为（ ，+），极大值为lna1 （）x1 是函数 f（x）的零点， f （ ）0，即 a 0，解得 a f（x）lnx x f（ ） 0，f（ ） 0，f（ ） f（ ）0 由（）知，函数 f（x）在（2 ，+）上单调递减， 函数 f（x）在区间（ ， ）上有唯一零点， 因此 x2
