1、第 1 页 房山区房山区 2020 年高考第二次模拟检测年高考第二次模拟检测 高三高三数学数学 本试卷共 4 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考 试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。 第一部分 （选择题 共 40 分） 一、选择题一、选择题共共 1010 小题，每小题，每小小题题 4 4 分，共分，共 4040 分分。在每小题在每小题列列出的四个选项中，出的四个选项中，选出选出符合题目符合题目 要求的要求的一项。一项。 （1）已知全集U R，集合 2 |0Ax xx，那么集合 UA （A）(,01,) （B）(,0)(1,) （C）(0,1
2、) （D）0,1 （2）在ABC中，若 4 A ， 3 B ，2 3a ，则b （A）2 3 （B）3 2 （C）2 6 （D）3 3 （3）函数( )sin cosf xxx的最小正周期为 （A）1 （B）2 （C） （D）2 （4）若双曲线 22 22 1 xy ab (0,0)ab的一条渐近线经过点(1, 3)，则该双曲线的离心率为 （A）2 （B）3 （C）2 （D）5 （5）函数 2 ( )exf xx的零点个数为 （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （6） “sinsin”是“”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
3、第 2 页 2 222 俯视图 左视图主视图 （7）已知函数( )lg|1|lg|1|f xxx，则( )f x （A）是奇函数，且在(1,)上是增函数 （B）是奇函数，且在(1,)上是减函数 （C）是偶函数，且在(1,)上是增函数 （D）是偶函数，且在(1,)上是减函数 （8）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长侧棱的长为 （9）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是 1C ，空气的温度是 0 C，经过t分 钟后物体的 温度C可由公式 010 ()e kt 求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于 0的常数现有80 C的物体，放在20 C的空气中冷却，4分钟以后物体的
4、温度是40 C，则k约等 于（参考数据：ln3 1.099） （A）0.6 （B）0.5 （C）0.4 （D）0.3 （10）李明自主创业种植有机蔬菜，并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务，甲、乙、丙、丁四家 超市分别需要每隔2天、3天、5天、6天去配送一次已知5月1日李明分别去了这四家超市配 送，那么整个5月他不用去配送的天数是 （A）12 （B）13 （C）14 （D）15 第二部分 （非选择题 共 110 分） 二二、填空题填空题共共 5 5 小题，每小题，每小小题题 5 5 分分，共，共 2525 分。分。 （A）2 （B）2 2 （C）2 3 （D）4 第 3 页 EA1 B1
5、C1 C A B （11）若(i)(1 i)1 3im （mR） ，则m （12）若直线3x 与圆 22 20xyxa相切，则a （13）已知抛物线C: 2 2yx的焦点为F，点M在抛物线C上，| 1MF ，则点M的横坐标是 ，MOF（O为坐标原点）的面积为 （14）已知正方形ABCD的边长为2，若3BPPD，则PA PB的值为 （15）对任意两实数a，b，定义运算“” ： 22, 22,. aba b a b ba ab 给出下列三个结论： 存在实数a，b，c使得a b b cc a 成立； 函数( )sincosf xxx的值域为0,2； 不等式2(1) 1xx的解集是1,) 其中正确结论
6、的序号是 注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得 5 分，不选或有错选得分，其他得 3 分。 三、解答题共三、解答题共 6 6 题，共题，共 8585 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16） （本小题 14 分） 如图， 在三棱柱 111 ABCABC中， 11 BCC B是边长为2的正方形， 平面ABC 平面 11 BCC B，1AB ， ABBC，点E为棱 1 AA的中点 （）求证： 1 BC 平面 11 ABC； （）求直线 1 BC与平面 1 BCE所成角的正弦值 （17） （本小题 14 分） 已知数列 n a
7、的前n项和为 n S， 1 1a ， 是否存在正整数k（1k ） ，使得 12 , kk a a S 0 第 4 页 成等比数列？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由 从 1 20 nn aa ， 1 (2) nn SSn n ， 2 n Sn这三个条件中任选一个，补充在上面问题 中并作答 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。 （18） （本小题 14 分） “十一”黄金周某公园迎来了旅游高峰期，为了引导游客有序游园，该公园每天分别在10时，12时， 14时，16时公布实时在园人数下表记录了10月1日至7日的实时在园人数： 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 10时在园人数
8、 11526 18005 19682 8284 13830 10101 6663 12时在园人数 26518 37089 42931 16845 34017 23168 14800 14时在园人数 37322 38045 40631 20711 36558 24706 15125 16时在园人数 27306 29687 30638 16181 20821 16169 10866 通常用公园实时在园人数与公园的最大承载量（同一时段在园人数的饱和量）之比来表示游园舒适度， 40%以下称为“舒适” ，已知该公园的最大承载量是8万人 （）甲同学从10月1日至7日中随机选1天的下午14时去该公园游览，求
9、他遇上“舒适”的概率； （）从10月1日至7日中任选两天，记这两天中这4个时间的游览舒适度都为“舒适”的天数为X，求 X的分布列和数学期望； （） 根据10月1日至7日每天12时的在园人数， 判断从哪天开始连续三天12时的在园人数的方差最大？ （只需写出结论） （19） （本小题 14 分） 已知椭圆C的两个顶点分别为( 2,0)A ，(2,0)B，焦点在x轴上，离心率为 1 2 （）求椭圆C的方程； （） 设O为原点， 点P在椭圆C上， 点Q和点P关于x轴对称， 直线AP与直线BQ交于点M， 求证： P，M两点的横坐标之积等于4，并求OM的取值范围 （20） （本小题 15 分） 第 5 页
10、 已知函数 cos ( )e 1 sin x x f x x （）求函数( )f x的定义域； （）求曲线( )f x在点(0(0)f，处的切线方程； （）求证：当 (,) 2 2 x 时，( )2f x （21） （本小题 14 分） 已知集合P的元素个数为3n ()n * N且元素均为正整数， 若能够将集合P分成元素个数相同且两两 没有公共元素的三个集合A，B，C，即PABC，AB ，AC ，BC ，其 中 12 , n Aa aa， 12 , n Bb bb， 12 , n Cc cc，且满足 12n ccc， kkk abc， 1,2,kn，则称集合P为“完美集合” （）若集合1,2,
11、3P ，1,2,3,4,5,6Q ，判断集合P和集合Q是否为“完美集合”？并说明理由； （）已知集合1, ,3,4,5,6Px为“完美集合” ，求正整数x的值； （）设集合 |13 ,Pxxn n * N，证明：集合P为“完美集合”的一个必要条件是4nk或 41nk()n * N 房山区房山区 2020 年第二次模拟检测年第二次模拟检测答案答案 第 6 页 高三数学高三数学 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 4 分，共分，共 4040 分）分） 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 5 分，共分，共 2525 分，有两空的第一空分，有两空的第一空 3 3 分，第二空分，第二空 2
12、2 分）分） （11）2 （12）3 （13） 1 2 ； 1 4 （14） 3 4 （15） 三、三、解答题（共解答题（共 6 6 小题，共小题，共 8585 分）分） （16） （本小题 14 分） 解： （）平面ABC 平面 11 BCC B，平面ABC平面 11 BCC BBC 又ABBC， AB 平面 11 BCC B， （有前面的，才得分） 11 AB/AB， 11 AB 平面 11 BCC B， 1 BC 平面 11 BCC B， 11 AB 1 BC， 又 11 BCC B是正方形， 11 BCBC 111 BCABC平面 （有前面的，才得分） （）由 1 ,AB BC BB两
13、两垂直，如图建立直角坐标系 ( 0 , 0 , 0 )B， 1(2,2,0) C，(2,0,0)C，(0,1,1)E， 1( 0, 2, 0 ) B， 1 (2,2,0)BC ， 1 (2, 2,0)BC ， (2 , 1, 1)CE 设平面 1 BCE的法向量为( , , )nx y z，则有 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A C B A C C D B z y x EA1 B1 C1 C A B 第 7 页 1 0, 0, n BC n CE 即 220 20 xy xyz ， ， 令1x ，得(1,1,1)n 设直线 1 BC与平面 1 BCE所成角为，所
14、以 46 sin|cos,| 32 23 n BC n BC BC n （17）（本小题 14 分） 解：选择 由 1 20 nn aa ，得 1 2 nn aa ，得 1 2 n n a a ， 因为 1 1a ，所以 n a是以 1 为首项，2 为公比的等比数列 所以 11 1 2 nn n aa q 所以 1 2k k a 22 2 1 2 (1)1 2 21 11 2 kk k k aq S q 若 12 , kk a a S 成等比数列，则 2 12kk aaS 即 1 2 (2) k 2 21 k 化简得 2 (2 )16 240 kk 解得282 15 k 因为k为正整数且1k
15、，所以k不存在 选择 当 1 2 nnn naSSn 时， 因为 1 1a 符合上式，所以 n an n a是以 1 为首项，1 为公差的等差数列 所以 k ak 12 2 ()(2)(12)(2)(3)(2) 222 k k aakkkkk S 若 12 , kk a a S 成等比数列，则 2 12kk aaS 第 8 页 即 2 (3)(2) 2 kk k 因为k为正整数且1k ，所以解得6k 选择 当 22 1 2(1)21 nnn naSSnnn 时， 因为 1 1a 符合上式，所以21 n an n a是以 1 为首项，2 为公差的等差数列 所以21 k ak， 2 2(2) 12
16、3 k akk 2 12 2 ()(2)(123)(2) (2) 22 k k aakkk Sk 若 12 , kk a a S 成等比数列，则 2 12kk aaS 即 22 (21)(2)kk 因为k为正整数且1k ，所以解得3k （18） （本小题 14 分） （）由题意知，若舒适度为“舒适” ，则在园人数不大于 40 83.2 100 万， 所以10月1日至7日中下午14时舒适度为“舒适”的天数为3天， 因此甲同学从10月1日至7日中随机选1天的下午14时去该景区游览，遇上“舒适”的概率为 3 7 （）这记这两天中这4个时间的游览舒适度都为“舒适”的天数为X，则X的可能取值为0,1,2
17、 10月1日至7日中这4个时间的游览舒适度都为“舒适”的有3天，则 2 4 2 7 2 (0) 7 C P X C 11 43 2 7 4 (1) 7 C C P X C 2 3 2 7 1 (2) 7 C P X C X的分布列为 X 0 1 2 P 2 7 4 7 1 7 所以X的期望 2416 012 7777 EX （）从10月2日开始连续三天的在园人数的方差最大 （19）（本小题 14 分） 解： （） 设椭圆C的方程为 22 22 1(0) xy ab ab . 第 9 页 依题意，2a， 1 2 c a . 得1c ， 222 3bac. 所以，椭圆C的方程为 22 1 43 x
18、y . （）依题意，可设( , )P m n（22m 且0m） ，则( ,)Q mn. 点P在椭圆C上，则 22 1 43 mn ， AP的斜率为 1 2 n k m ，直线AP方程为(2) 2 n yx m ， BQ的斜率为 1 2 n k m ，直线BQ的方程为(2) 2 n yx m . 设( , )M x y，由 (2) 2 (2) 2 n yx m n yx m 得 4 2 x m n y m ，所以M的坐标为 4 2 (,) n m m . 所以P，M的横坐标之积等于 4 4m m . 22 22 222 4216428 328 3 nnm OM mmmmm ， 由 2 04m，
19、所以，OM的取值范围是2,. （20） （本小题 15 分） 解： （）由sin1x，得 2 () 2 xkk Z 所以( )f x的定义域为 |2 () 2 x xkk Z 第 10 页 （） 0 cos0 (0)e2 1 sin0 f 2 2 sin (1 sin )cos1 ( )ee (1 sin )1 sin xx xxx fx xx （ 2 () 2 xkk Z） (0)0 f 所以，曲线( )f x在点(0(0)f，处的切线方程为2y （）法一：由 1 ( )e 1 sin x fx x ， 令 1 ( )e 1 sin x g x x ，则 2 cos ( )e (1 sin
20、) x x g x x 当 (,) 2 2 x 时，( )0g x，则( )g x在 (,) 2 2 上单调递增，且(0)0g 所以当 (,0) 2 x 时，( )0fx，( )f x单调递减， 当 (0,) 2 x时，( )0fx，( )f x单调递增， ( )f x的极小值为(0)2f 所以，当 (,) 2 2 x 时，( )2f x 法二： 1 ( )e 1 sin x fx x 当0x时， 0 1 (0)e0 1 sin0 f ； 当(,0) 2 x 时，sin( 1,0),x 1 sin(0,1),x 11 (1,),(, 1), 1 sin1 sinxx 2 e(e,1) x ，所
21、以当(,0) 2 x 时，( )0fx，( )f x单调递减， 当(0,) 2 x 时，sin(0,1),x 1111 1 sin(1,2),( ,1),( 1,), 1 sin21 sin2 x xx 2 e(1,e ) x ，所以当(0,) 2 x 时，( )0fx，( )f x单调递增， ( )f x的极小值为(0)2f 所以，当 (,) 2 2 x 时，( )2f x （21） （本小题 14 分） 解： （）将P分为集合1,2,3满足条件，是完美集合 第 11 页 将Q分成3个，每个中有两个元素，若为完美集合，则 111 abc， 222 abc Q中所有元素之和为21， 12 21
22、 210.510.5cc，不符合要求； （）若集合1,4A，3,5B ，根据完美集合的概念知集合6,7C ， 若集合1,5A，3,6B ，根据完美集合的概念知集合4,11C ， 若集合1,3A，4,6B ，根据完美集合的概念知集合5,9C ， 故x的一个可能值为7,9,11中任一个； （）证明：P 中所有元素之和为 3 ( 31) 123 2 nn n 111222nnn abcabcabc 121 2() nn cccc 3 n cn 121 3 (31) 3 4 n nn cccn 121 9 (1) 4 n n n ccc ，等号右边为正整数， 则等式左边9 (1)n n可以被4整除， 4nk或14nk ()n * N，即4nk或41nk()n * N
