1、第第 1919 讲讲 表面积和体积表面积和体积 熟悉特殊图形的面积和体积计算公式； 能够通过观察法，把复杂的图形简单化； 能够解表面积和体积的相关题目。 小学阶段所学的立体图形主要有四种长方体、正方体、圆柱体和圆锥体。从平面图形到立 体图形是认识上的一个飞跃，需要有更高水平的空间想象能力。因此，要牢固掌握这些几何图 形的特征和有关的计算方法，能将公式作适当的变形，养成“数、形”结合的好习惯，解题时要 认真细致观察，合理大胆想象，正确灵活地计算。 在解答立体图形的表面积问题时，要注意以下几点：在解答立体图形的表面积问题时，要注意以下几点： （1）充分利用正方体六个面 的面积都相等，每个面都是正方
2、形的特点。 （2）把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍。反之，把两个 立体图形粘合到一起，减少的表面积等于粘合面积的两倍。 （3）若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体，应把它们最小的面拼合起来。若把 几个长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面拼合起来。 解答立体图形的体积问题时，要注意以下几点：解答立体图形的体积问题时，要注意以下几点： （1）物体沉入水中，水面上升部分的体积等于物体的体积。把物体从水中取出，水面下降 部分的体积等干物体的体积。这是物体全部浸没在水中的情况。如果物体不全部浸在水中，那 么派开水的体积就等于浸在水中的那部分物体的体积。 （2）
3、把一种形状的物体变为另一种形状的物体后，形状变了，但它的体积保持不变。 （3）求一些不规则形体体积时，可以通过变形的方法求体积。 （4）求与体积相关的最大、最小值时，要大胆想象，多思考、多尝试，防止思维定。 考点一：表面积考点一：表面积 典例分析 知识梳理 教学目标 例例 1、从一个棱长 10 厘米的正方体木块上挖去一个长 10 厘米、宽 2 厘米、高 2 厘米的小长方体，剩下部分 的表面积是多少？ 【解析】这是一道开放题，方法有多种： 按图 18-1 所示，沿着一条棱挖，剩下部分的表面积为 592 平方厘米。 按图 18-2 所示，在某个面挖，剩下部分的表面积为 632 平方厘米。 按图 1
4、8-3 所示，挖通某两个对面，剩下部分的表面积为 672 平方厘米。 例例 2、把 19 个棱长为 3 厘米的正方体重叠起来，如图 18-4 所示，拼成一个立体图形，求这个立体图形的表 面积。 【解析】要求这个复杂形体的表面积，必须从整体入手，从上、左、前三个方向观察，每个方向上的小正 方体各面就组合成了如下图形（如图 18-5 所示）。 18-4 18-2 18-1 18-3 而从另外三个方向上看到的面积与以上三个方向的面积是相等的。整个立体图形的表面积可采用（S 上 +S 左+S 前） 2 来计算。 （3 3 9+3 3 8+3 3 10） 2 =（81+72+90） 2 =243 2 =
5、486（平方厘米） 答：这个立体图形的表面积是 486 平方厘米。 例例 3、把两个长、宽、高分别是 9 厘米、7 厘米、4 厘米的相同长方体，拼成一个 大长方体，这个大长方体 的表面积最少是多少平方厘米？ 【解析】把两个相同的大长方体拼成一个大厂房体，需要把两个相同面拼合，所得大厂房体的表面积就减 少了两个拼合面的面积。要使大长方体的表面积最小，就必须使两个拼合面的面积最大，即减少两个 9 7 的面。 （9 9+9 4+7 4） 2 29 7 2 =（63+36+28） 4126 =508126 =382（平方厘米） 答：这个大厂房体的表面积最少是 382 平方厘米。 例例 4、一个长方体，
6、如果长增加 2 厘米，则体积增加 40 立方厘米；如果宽增加 3 厘米，则体积增加 90 立方 厘米；如果高增加 4 厘米，则体积增加 96 立方里，求原长方体的表面积。 【解析】我们知道：体积=长 宽 高；由长增加 2 厘米，体积增加 40 立方厘米，可知宽 高=40 2=20（平方 厘米）；由宽增加 3 厘米，体积增加 90 立方厘米，可知长 高=90 3=30（平方厘米）；由高增加 4 厘米， 体积增加 96 立方厘米，可知长 宽=96 4=24（平方厘米）。而长方体的表面积=（长 宽+长 高+宽 高） 2= （20+30+24） 2=148（平方厘米）。即 18-5 40 2=20（平
7、方厘米） 90 3=30（平方厘米） 96 4=24（平方厘米） （30+20+24） 2 =74 2 =148（平方厘米） 答：原 长方体的表面积是 148 平方厘米。 例例 5、如图 18-6 所示，将高都是 1 米，底面半径分别为 1.5 米、1 米和 0.5 米的三个圆柱组成一个物体。求 这个物体的表面积。 【解析】如果分别求出三个圆柱的表面积，再减去重叠部分的面积，这样计算比较麻烦。实际上三个向上 的面的面积和恰好是大圆柱的一个底面积。这样，这个物体的表面积就等于一个大圆柱的表面积加上中、 小圆柱的侧面积。 3.14 1.5 1.5 2+2 3.14 1.5 1+2 3.14 1 1
8、+2 3.14 0.5 1 =3.14 （4.5+3+2+1） =3.14 10.5 =32.97（平方米） 答：这个物体的表面积是 32.97 平方米。 考点二：求体积考点二：求体积 例例 1、有大、中、小三个正方体水池，它们的内边长分别为 6 米、3 米、2 米。把两堆碎石分别沉在中、小 水池里，两个水池水面分别升高了 6 厘米和 4 厘米。如果将这两堆碎石都沉在大水池里，大水池的水面升 高多少厘米？ 【解析】中、小水池升高部分是一个长方体，它的体积就等同于碎石的体积。两个水池水面分别升高了 6 厘米和 4 厘米，两堆碎石的体积就是 3 3 0.06+2 2 0.04=0.7(立方米)。把
9、它沉到大水池里，水面升高部分 的体积也就是 0. 7 立方米，再除以它的底面积就能求得升高了多少厘米。 3 3 0. 06+2 2 0. 04=0.7(立方米) 0. 7 （6 6）=7/360(米)=1 又 17/18（厘米） 答：大水池的水面升高了 1 又 17/18 厘米。 例例 2 2、一个底面半径是 10 厘米的圆柱形瓶中，水深 8 厘米，要在瓶中放入长和宽都是 8 厘米、高是 15 厘米 的一块铁块，把铁块竖放在水中，水面上升几厘米？ 18-6 【解析】在瓶中放铁块要考虑铁块是全部沉入水中，还是部分沉入水中。如果铁块是全部沉入水中，排开 水的体积是 8815=960(立方厘米)。而
10、现在瓶中水深是 8 厘米，要淹没 15 厘米高的铁块，水面就要上升 15 一 8=7(厘米)， 需要排开水的体积是(3. 141010-8 8 ) 7=1750(立方厘米)， 可知铁块是部分在水中。 当铁块放入瓶中后， 瓶中水所接触的底面积就是 3. 141010 一 88=250(平方厘米)。 水的形状变了， 但体积还是 3. 1410108=2512(立方厘米)。水的高度是 2512250=10. 048(厘米)，上升 10. 048-8=2. 048(厘米)； 3.1410108（3.141010-88)-8 =2512250-8 =10.048-8 =2.048（厘米） 答：水面上升了
11、 2. 048 厘米。 例例 3 3、某面粉厂有一容积是 24 立方米的长方体储粮池，它的长是宽或高的 2 倍。当贴着它一最大的内侧面 将面粉堆成一个最大的半圆锥体时，求这堆面粉的体积(如图-1 所示)。 【解析】设圆锥体的底面半径是 r，则长方体的高和宽也都是 r，长是 2r。长方体的容积是 2rrr=24，即 r 的立方=12。这个半圆锥体的体积是 1/3r 的平方r2=1/6r 的立方，将 r 的立方=12 代入，就可以 求得面粉的体积。 设圆锥体的底面半径是 r，则长方体的容积是 2r r r=24 的立方=12。 1/33. 14r 的平方r2 =1/63014r 的立方 =1/63
12、.1412 =6.28（立方米） 答：这堆面粉的体积是 6. 28 立方米。 18-7 例例 4、一只集装箱，它的内尺寸是 181818。现在有批货箱，它的外尺寸是 149。问这只集装箱能装 多少只货箱？ 【解析】因为集装箱内尺寸 18 不是货箱尺寸 4 的倍数，所以，只能先在 18 1618 的空间放货箱，可放 181618（149）=144(只)。这时还有 18218 的空间，但只能在 18216 的空间放货箱，可 放 18216 （149)=16(只)。 最后剩下 1822 的空间无法再放货箱， 所以最多能装 144+16=160(只)。 答：问这只集装箱能装 160 只货箱。 课堂狙击
13、 1、把一个长为 12 分米，宽为 6 分米，高为 9 分米的长方体木块锯成两个想同的小长方体木块，这两个小 长方体的表面积之和，比原来长方体的表面积增加了多少平方分米？ 【解析】这有三种情况： 如果把长锯开，则增加 692=108 平方分米 如果把宽锯开，则增加 1292=216 平方分米 如果把高锯开，则增加 1262=144 平方分米 2、将一个表面积为 30 平方厘米的正方体等分成两个长方体，再将这两个长方体拼成一个大长方体。求大 长方体的表面积是多少？ 【解析】将正方体分为两个长方体，表面积就增加了 2 个 30615 平方厘米，拼成大正方体，表面积将 减少两个拼合面的面积，正好是
14、1 个 30615 平方厘米，所以大长方体的表面积是： 30+30+635 平方厘米 3、一个长方体木块，从下部和上部分别截去高为 3 厘米和 2 厘米的长方体后，便成为一个正方体，其表面 积减少了 120 平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？ 实战演练 【解析】减少的表面积实质是高度分别为 2 厘米和 3 厘米的前、后、左、右四个面的面积之和。 把两个合并起来，用 120（2+3）24 厘米，求到正方体底面的周长，正方体的棱长就是 244 6 厘米。 原长方体的体积是： 66（6+3+2）396 立方厘米 4、一个精美小礼品盒的形状是长 9 厘米，宽 6 厘米，高 4 厘米的长方体。请
15、你帮厂家设计一个能装 10 个 小礼品盒的大纸箱，你觉得怎样设计比较合理？为什么？ 【解析】大长方体盒子的 长 9 厘米 宽 62=12 厘米 高 45=20 厘米 5、用直径为 20 厘米的圆钢，锻造成长、宽、高分别为 30 厘米、20 厘米、5 厘米的长方体钢板，应截取圆 钢多长（精确到 0.1 厘米）？ 【解析】二者体积相等 30205=3000 立方厘米 20/2=10 10103.14=314 3000/314 9.6 厘米 故答案为：9.6 6、如图 18-8 所示，圆锥形容器中装有 3 升水，水面高度正好是圆锥高度的一半。这个容器还能装多少水？ 【解析】装水的部分是小圆锥,容器是
16、大圆锥 小圆锥的高：大圆锥的高=1：2 则： 小圆锥的底面半径：大圆锥的底面半径=1：2 小圆锥的底面积：大圆锥的底面积=1：4 18-8 小圆锥的容积：大圆锥的容积=（11/3）：（42/3）=1：8 所以 圆锥形容器的容积=3*8=24 升 这个容器还能装 24-3=21 升 7、如右图 18-9 所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为 1 米、2 米、4 米，要在表面 涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？ 【解析】 44（112244）4 =100（平方米） 答：模型涂刷油漆的面积是 100 平方米。 8、从一个长、宽、高分别为 21
17、厘米、15 厘米、12 厘米的厂房体上面，尽可能大地切下一个正方体，然后 从剩余的部分再尽可能大地切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大地切下一个正方体，剩 下的体积是多少立方厘米？ 【解析】切最大的正方形的体积：121212=1728cm 长方形的体积：211512=3780cm 再切正方形的体积：15-12=3cm 333=27cm 剩下的体积：3780-1728-27=2025cm 课后反击 1、从一个长 10 厘米、宽 6 厘米、高 5 厘米的长方体木块上挖去一个棱长 2 厘米的小正方体，剩下部分的 表面积是多少？ 【解析】（1）从面的中间挖菱形： 原长方体的表面积： （65
18、+105+106）2=560(cm2) 挖掉的正方体面积是： 226=24(cm2) 原面积+正方体面积=560+24=584（cm2) 18-9 因为挖出的面积只有五面,因此正方体的面积得减去一面后再加入原面积 （原面积又少了一面 22 的面 积），总共减去两个 22 的面积后才是被挖出后的面积，即： 584-（22）2=576（cm2) （2）从面的一个角挖菱形： 虽挖出了一个小菱形,但总面积没变, 还是 560 （cm2)因为挖出的小菱形增加了 3个面,但原面积失去 3 个了小菱形的面,所以还是560 cm2。 2、有一个长方体如下图 18-10 所示，它的正面和上面的面积之和是 209
19、。如果它的长、宽、高都是质数， 这个长方体的体积是多少？ 【解析】长方体正面及上面的面积之和恰好等于这个长方体的长（宽+高），2091119， 所以长11，宽+高19，或长19，宽+高11， 根据题意，宽和高只能是 17 和 2，长方体的体积就是 11172374 3、一包香烟的形状是长方体，它的长是 9 厘米，宽是 5 厘米，高是 2 厘米。把 10 包香烟包装在一起形成 一个大长方体，称为一条。可以怎样包装？算一算需要多少包装纸（包转念能够纸的重叠部分忽略不计）。 你认为哪一种包装比较合理？ 【解析】将 9 厘米和 5 厘米的一面叠在一起节约. 长=9 厘米 宽=5 厘米 高=210=20
20、 厘米 需要纸： =2（95+920+520） =650 平方厘米 4、有 30 个棱长为 1 米的正方体，在地面上摆成如右图的形式，求这个立体图形的表面积 18-10 是多少平方米？ 【解析】422（12121314）4 72（平方米）。 答：这个立体图形的表面积为 72 平方米。 5、现有一张长 40 厘米、宽 20 厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是 5 厘米的长方体无盖铁皮盒（焊接 处及铁皮厚度不计，容积越大越好），你做出的铁皮盒容积是多少立方厘米？ 【解析】（1）（40-52）（20-52）5 =30105 =1500（毫升）； （2）（40-5）（20-52）5 =35105 =
21、1750（毫升）； （3）（40-54）205 =20205 =2000（毫升）； （1） （2） （3） 答：有三种焊接方法，铁皮盒的最大容积是 2000 毫升。 6、有一个长方体的盒子，从里面量长为 40 厘米、宽为 12 厘米、高为 7 厘米。在这个盒子里放长 5 厘米、 宽 4 厘米、高 3 厘米的长方体木块，最多可放几块？ 【解析】分上下两层来分析：上层高 3 厘米，可放： （405）（124） =83 =24（块） 下层高 4 厘米，可放： （405）（123） =84 =32（块） 24+32=56（块） 答：最多可以放 56 块。 7、一个正方体的纸盒中如图 18-12 所示，
22、恰好能装入一个体积 6.28 立方厘米的圆柱体。纸盒的容积有多大 （取 3.14）？ 【解析】如上图所示，题目说恰好装入，由此可得正方体边长跟圆柱体地面圆半径之间的关系： a=2r，取3.14， 有：圆柱体积=ar=6.28，解得 r=1； 所以正方体体积为：a=（2r）=8 立方分米 在解答立体图形的表面积问题时，要注意以下几点：在解答立体图形的表面积问题时，要注意以下几点： （1）充分利用正方体六个面 的面积都相等，每个面都是正方形的特点。 （2）把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍。反之，把两个立体图形粘合 到一起，减少的表面积等于粘合面积的两倍。 （3）若把几个长
23、方体拼成一个表面积最大的长方体，应把它们最小的面拼合起来。若把几个长方体拼 成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面拼合起来。 解答立体图形的体积问题时，要注意以下几点：解答立体图形的体积问题时，要注意以下几点： （1）物体沉入水中，水面上升部分的体积等于物体的体积。把物体从水中取出，水面下降部分的体积 等干物体的体积。这是物体全部浸没在水中的情况。如果物体不全部浸在水中，那么派开水的体积就等于 浸在水中的那部分物体的体积。 （2）把一种形状的物体变为另一种形状的物体后，形状变了，但它的体积保持不变。 （3）求一些不规则形体体积时，可以通过变形的方法求体积。 （4）求与体积相关的最大、最小值时，要大胆想象，多思考、多尝试，防止思维定。 名师点拨 学霸经验 18-12 本节课我学到了 我需要努力的地方是
