1、已知集合 Ax|x22x0，Bx|0x3，则 AB（ ） A （1，3） B （0，2 C2，3） D （2，3） 2 （4 分）sin225（ ） A B C D 3 （4 分）已知 alog32，b3，cln，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bbac Ccba Dcab 4 （4 分）若 l，m 是平面 外的两条直线，且 l，则 ml 是 m 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5 （4 分）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的 中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等
2、马现齐 王与田忌各出上等马、中等马、下等马一匹，共进行三场比赛，规定：每一场双方均任 意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜则田忌获胜的概率 为（ ） A B C D 6 （4 分）函数 f（x）x的大致图象为（ ） A B C D 第 2 页（共 24 页） 7 （4 分） （2）8展开式中 x3的系数为（ ） A122 B28 C56 D112 8 （4 分）已知函数 f（x）sinx+cosx，则（ ） Af（x）的最小正周期为 Byf（x）图象的一条对称轴方程为 x Cf（x）的最小值为2 Df（x）在0，上为增函数 9 （4 分）如图，已知|1，|，30，若 x+
3、y，x+y（ ） A1 B2 C3 D4 10 （4 分）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收 物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱为调查居民生活垃圾分类投放情况， 现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 1000t 生活垃圾经分拣以后数据统计如表（单位： t） ：根据样本估计本市生活垃圾投放情况，下列说法错误的是（ ） “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾 20 20 60 A厨余垃圾投放正确的概率为 B居民生活垃圾投放错误的概率为 C该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高的是“可
4、回收物”箱 D厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、 “可回收物”箱、 “其他垃圾”箱的投放量的方差为 20000 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 3 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 12 分，在每小题给出的四个选项中，分，在每小题给出的四个选项中， 第 3 页（共 24 页） 有多项符合题目要求全部选对的得有多项符合题目要求全部选对的得 4 分，选对但不全的得分，选对但不全的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 11 （4 分）若 xy，则下列不等式中正确的是（ ） A2x2y B Cx2y2 Dx2+y22xy 12 （4 分）正方体 ABCDA1B1C1D
5、1的棱长为 2，已知平面 AC1，则关于 截此正方体 所得截面的判断正确的是（ ） A截面形状可能为正三角形 B截面形状可能为正方形 C截面形状可能为正六边形 D截面面积最大值为 3 13 （4 分）已知函数 f（x），以下结论正确的是（ ） Af（3）+f（2019）3 Bf（x）在区间4，5上是增函数 C若方程 f（x）kx+1 恰有 3 个实根，则（，） D若函数 yf（x）b 在（，4）上有 6 个零点 xi（i1，2，3，4，5，6） ，则xif （xi）的取值范围是（0，6） 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 16 分分 14
6、 （4 分）已知向量满足| |1，1，则 （） 15 （4 分） “xR，x22xa0”为假命题，则实数 a 的最大值为 16 （4 分）已知函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且在0，+）上是减函数，f（） 0，则不等式 f（logx）0 的解集为 17 （4 分）如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为 1 的正三角形构成的，将它沿虚 线折起来，可以得到右图所示粽子形状的六面体，则该六面体的表面积为 ；若该 六面体内有一小球，则小球的最大体积为 第 4 页（共 24 页） 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 82 分解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤分解
7、答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤 18 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知 a+b10，c5， sin2B+sinB0 （1）求 a，b 的值： （2）求 sinC 的值 19 （14 分）已知函数 f（x）x3x2+ax+1 （1）当 a2 时，求曲线 yf（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程； （2）若函数 f（x）在 x1 处有极小值，求函数 f（x）在区间2，上的最大值 20 （14 分）如图，在棱长均为 2 的三棱柱 ABCA1B1C1中，平面 A1CB平面 A1ABB1， AB1A1B，O 为 AB1与 AB 的交点 （1）求证：AB
8、1CO； （2）求平面 ACC1A1与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值 21 （14 分） 在经济学中， 函数 f （x） 的边际函数 Mf （x） 定义为 Mf （x） f （x+1） f （x） 某 医疗设备公司生产某医疗器材，已知每月生产 x 台（xN*）的收益函数为 R（x）3000x 20x2（单位：万元） ，成本函数 C（x）500x+4000（单位：万元） ，该公司每月最多生 产 100 台该医疗器材 （利润函数收益函数成本函数） （1）求利润函数 P（x）及边际利润函数 MP（x） ； （2）此公司每月生产多少台该医疗器材时每台的平均利润最大，最大值为多少？（精确 到 0.1
9、） （3）求 x 为何值时利润函数 P（x）取得最大值，并解释边际利润函数 MP（x）的实际 第 5 页（共 24 页） 意义 22 （14 分）已知函数 f（x）x+m（+lnx） （mR） （1）当 m1 时，讨论 f（x）的单调性； （2）设函数 g（x）f（x）+，若存在不相等的实数 x1，x2，使得 g（x1）g（x2） ， 证明：0mx1+x2 23 （14 分）如图，直角坐标系中，圆的方程为 x2+y21，A（1，0） ，B（，） ，C （，）为圆上三个定点，某同学从 A 点开始，用掷骰子的方法移动棋子规定： 每掷一次骰子，把一枚棋子从一个定点沿圆弧移动到相邻下一个定点；棋子移动
10、的 方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数为偶数，则按图中箭头方向移动；若掷出骰子的 点数为奇数，则按图中箭头相反的方向移动 设掷骰子 n 次时，棋子移动到 A，B，C 处的概率分别为 Pn（A） ，Pn（B） ，Pn（C） 例 如： 掷骰子一次时，棋子移动到 A，B，C 处的概率分别为 P1（A）0，P1（B），P1（C） （1）分别掷骰子二次，三次时，求棋子分别移动到 A，B，C 处的概率； （2）掷骰子 n 次时，若以 x 轴非负半轴为始边，以射线 OA，OB，OC 为终边的角的余 弦值记为随机变量 Xn，求 X4的分布列和数学期望； （3）记 Pn（A）an，Pn（B）bn，Pn（C）cn
11、 ，其中 an+bn+cn1证明：数列bn 是等比数列，并求 a2020 第 6 页（共 24 页） 2019-2020 学年山东省潍坊市高三（上）期中数学试卷学年山东省潍坊市高三（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1 （4 分）已知集合 Ax|x22x0，Bx|0x3，则 AB（ ） A （1，3） B （0，2 C2，3） D （2，3） 【分析】可以求出集
12、合 A，然后进行交集的运算即可 【解答】解：Ax|x0 或 x2，Bx|0x3， AB2，3） 故选：C 【点评】本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查 了计算能力，属于基础题 2 （4 分）sin225（ ） A B C D 【分析】把 225写为 180+45由诱导公式二得特殊角的正弦角，由特殊角正弦值得 结果 【解答】解：sin225sin（180+45）sin45 故选：A 【点评】本题考查用诱导公式化简求值，诱导公式一到四可以把任意角的三角函数化为 锐角的三角函数，是基础题 3 （4 分）已知 alog32，b3，cln，则 a，b，c 的大小关系为（
13、） Aabc Bbac Ccba Dcab 【分析】利用指数与对数函数的单调性即可得出 【解答】解：alog32（0，1） ，b31，cln0， 则 a，b，c 的大小关系：bac 故选：B 第 7 页（共 24 页） 【点评】本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础 题 4 （4 分）若 l，m 是平面 外的两条直线，且 l，则 ml 是 m 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】利用线面平行的判定定理及其性质定理即可判断出结论 【解答】解：l，m 是平面 外的两条直线，l，则 mlm，反之不成立 ml 是 m
14、的充分不必要条件 故选：A 【点评】本题考查了线面平行的判定定理及其性质定理，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 5 （4 分）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的 中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马现齐 王与田忌各出上等马、中等马、下等马一匹，共进行三场比赛，规定：每一场双方均任 意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜则田忌获胜的概率 为（ ） A B C D 【分析】设齐王的上等马、中等马、下等马分别为 A，B，C，田忌的上等马、中等马、 下等马分别为 a，b，c，每一场双方均任意选一匹马参赛，且
15、每匹马仅参赛一次，胜两场 或两场以上者获胜利用列举法能求出田忌获胜的概率 【解答】解：设齐王的上等马、中等马、下等马分别为 A，B，C， 设田忌的上等马、中等马、下等马分别为 a，b，c， 每一场双方均任意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜 基本事件有： （Aa，Bb，Cc） ， （Aa，Bc，Cb） ， （Ab，Bc，Ca） ， （Ab，Bc，Ca） ， （Ac， Bb，Ca） ， （Ac，Ba，Cb） ，共 6 个， 田忌获胜包含的基本事件有： （Ac，Ba，Cb） ，只有 1 个， 田忌获胜的概率为 p 故选：B 【点评】本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考
16、查运算求解能力，是基础题 第 8 页（共 24 页） 6 （4 分）函数 f（x）x的大致图象为（ ） A B C D 【分析】根据条件判断函数的奇偶性和对称性，结合极限思想进行排除即可 【解答】解：函数的定义域为（，0）（0，+） ， f（x）x（x）f（x） ，则函数 f（x）是奇函数，图象 关于原点对称，排除 B，D， 当 x0 且 x0，f（x）+，排除 C， 故选：A 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数的奇偶性，对称性以及极限思 想，利用排除法是解决本题的关键 7 （4 分） （2）8展开式中 x3的系数为（ ） A122 B28 C56 D112 【分析】写出二项展
17、开式的通项，令 x 的指数为 3 求得 r 值，则答案可求 【解答】解：由 取，得 r6 （2）8展开式中 x3的系数为 故选：D 【点评】本题考查二项式定理，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题 8 （4 分）已知函数 f（x）sinx+cosx，则（ ） Af（x）的最小正周期为 第 9 页（共 24 页） Byf（x）图象的一条对称轴方程为 x Cf（x）的最小值为2 Df（x）在0，上为增函数 【分析】利用辅助角公式化积，然后逐一分析四个选项得答案 【解答】解：f（x）sinx+cosx， f（x）的最小正周期为 2，故 A 错误； 又 f（），yf（x）图象的一条对称轴方程为 x，故
18、 B 正确； f（x）的最小值为，故 C 错误； 由 x0，得 x+，则 f（x）在0，上先增后减，故 D 错误 故选：B 【点评】本题考查三角函数的恒等变换应用，考查 yAsin（x+）型函数的图象与性 质，是基础题 9 （4 分）如图，已知|1，|，30，若 x+y，x+y（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】建系，利用坐标法表示出x+y，进而可求出 x，y 值 【解答】解：建立如图所以坐标系，根据条件不妨设 A（1，0） ，B（，） ，C（， ） ， 则（，）x（1，0）+y（，） ， 所以，解得 x2，y1， 第 10 页（共 24 页） 所以 x+y3， 故选：C 【点评】本题考查
19、平面向量基本定理，根据图象，用坐标法解题较为容易，属于基础题 10 （4 分）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收 物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱为调查居民生活垃圾分类投放情况， 现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 1000t 生活垃圾经分拣以后数据统计如表（单位： t） ：根据样本估计本市生活垃圾投放情况，下列说法错误的是（ ） “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾 20 20 60 A厨余垃圾投放正确的概率为 B居民生活垃圾投放错误的概率为 C该市三类垃圾箱中投放正
20、确的概率最高的是“可回收物”箱 D厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、 “可回收物”箱、 “其他垃圾”箱的投放量的方差为 20000 【分析】由表格可得：厨余垃圾投放正确的概率；可回收物投放正 确的概率；其他垃圾投放正确的概率 A可知：厨余垃圾投放正确的概率； B居民生活垃圾投放错误的概率由题意可知：生活垃圾投放错误有 200+60+20+20 300，可得生活垃圾投放错误的概率； 第 11 页（共 24 页） C由计算该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高 D厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、 “可回收物”箱、 “其他垃圾”箱的的投放量的平均数 ，利用方差计算公式即可得出方差 【解答】解：由表格可得：厨余垃圾投放
21、正确的概率；可回收物投 放正确的概率；其他垃圾投放正确的概率 A可知：厨余垃圾投放正确的概率，正确； B居民生活垃圾投放错误的概率由题意可知：生活垃圾投放错误有 200+60+20+20 300，故生活垃圾投放错误的概率为，正确； C该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高的是“可回收物”箱，正确 D厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、 “可回收物”箱、 “其他垃圾”箱的的投放量的平均数 ，可得方差 20000 故选：D 【点评】本题考查了概率与统计的计算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 3 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 12 分，在每
22、小题给出的四个选项分，在每小题给出的四个选项中，中， 有多项符合题目要求全部选对的得有多项符合题目要求全部选对的得 4 分，选对但不全的得分，选对但不全的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 11 （4 分）若 xy，则下列不等式中正确的是（ ） A2x2y B Cx2y2 Dx2+y22xy 【分析】由指数函数的单调性可知，当 xy，有 2x2y 当 0xy0 时，不成立； 当 0xy 时，x2y2不成立； 由 x2+y22xy（xy）20 成立，可判断； 【解答】解：由指数函数的单调性可知，当 xy，有 2x2y，故 A 正确； 当 0xy0 时，不成立； 当 0xy 时，x2y
23、2不成立； 第 12 页（共 24 页） x2+y22xy（xy）20 成立，从而有 x2+y22xy 成立； 故选：AD 【点评】本题主要考查了利用已知函数及不等式的性质比较大小，属于基础试题 12 （4 分）正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，已知平面 AC1，则关于 截此正方体 所得截面的判断正确的是（ ） A截面形状可能为正三角形 B截面形状可能为正方形 C截面形状可能为正六边形 D截面面积最大值为 3 【分析】画出图形，得出结果 【解答】解：如图，显然 A，C 成立，下面说明 D 成立， 如图截得正六边形，面积最大，MN，GH， OE， 所以 S2， 故 D 成立， 故选：
24、ACD 【点评】考查空间想象能力，截面图面积的最大值，中档题 13 （4 分）已知函数 f（x），以下结论正确的是（ ） Af（3）+f（2019）3 Bf（x）在区间4，5上是增函数 C若方程 f（x）kx+1 恰有 3 个实根，则（，） 第 13 页（共 24 页） D若函数 yf（x）b 在（，4）上有 6 个零点 xi（i1，2，3，4，5，6） ，则xif （xi）的取值范围是（0，6） 【分析】A：f（3）+f（2019）（3）22（3）+f（10092+1）3+f（1） 进而求解； B：有函数图象可知对否； C：方程 f（x）kx+1 恰有 3 个实根，即函数 ykx+1 与 f
25、（x）图象有 3 个交点，由图象 可知 ykx+1 与 x 轴交点位于 2，4 中间时正好满足，进而求解； D：如图所示，若函数 yf（x）b 在（，4）上有 6 个零点，即函数 yb 与 f（x） 图象有 6 个交点，交点横坐标分别记作 x1，x2，x3，x4，x5，x6，此时 0f（x1）1，0 f（x2）1，0f（x3）1，0f（x4）1，0f（x5）1，0f（x6）1，进而求 解； 【解答】解：作出函数 f（x），如图 A：f（3）+f（2019）（3）22（3）+f（10092+1）3+f（1）3， 故 A 错； B：由图知 B 正确； C：方程 f（x）kx+1 恰有 3 个实根，
26、即函数 ykx+1 与 f（x）图象有 3 个交点，由图象 可知 ykx+1 与 x 轴交点位于 2，4 中间时正好满足，此时 k（，） ； D：如图所示，若函数 yf（x）b 在（，4）上有 6 个零点，即函数 yb 与 f（x） 图象有 6 个交点，交点横坐标分别记作 x1，x2，x3，x4，x5，x6 此时 0f（x1）1，0f（x2）1，0f（x3）1，0f（x4）1，0f（x5）1，0 f（x6）1， 0f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）+f（x5）+f（x6）6，故 D 正确； 故选：BCD 第 14 页（共 24 页） 【点评】考查分段函数，周期函数图象性质，理解及应
27、用，数形结合的思想，属于中档 题； 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 16 分分 14 （4 分）已知向量满足| |1，1，则 （） 2 【分析】原式可化为，代入即可 【解答】解：| |1，1， （）1（1）2 故答案为：2 【点评】本题考查平面向量数量积的性质及其运算，属于基础题 15 （4 分） “xR，x22xa0”为假命题，则实数 a 的最大值为 1 【分析】由已知可得， “xR，x22xa0”为真命题，从而有 ax22x 恒成立，结 合二次函数的性质可求 【解答】解：由“xR，x22xa0”为假命题，可知， “xR，x22xa0
28、”为 真命题， ax22x 恒成立， 由二次函数的性质可知，x22x1， 则实数 a1，即 a 的最大值为1 故答案为：1 【点评】本题主要考查了命题的否定的应用及由不等式恒成立求求参数范围，体现了转 化思想的应用 第 15 页（共 24 页） 16 （4 分）已知函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且在0，+）上是减函数，f（） 0，则不等式 f（logx）0 的解集为 （，2） 【分析】结合函数的奇偶性和单调性的关系，将不等式进行等价转化，进行求解即可 【解答】解：f（x）是定义在 R 上的偶函数，且在0，+）上是减函数，f（） 0， f（）f（）0， 则不等式 f（logx）0 等价
29、为不等式 f（|logx|）f（） ， 即|logx|， 得logx， 得x2， 即不等式的解集为（，2） ， 故答案为： （，2） 【点评】本题主要考查不等式的求解，结合函数奇偶性和单调性的关系进行转化是解决 本题的关键比较基础 17 （4 分）如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为 1 的正三角形构成的，将它沿虚 线折起来，可以得到右图所示粽子形状的六面体，则该六面体的表面积为 ；若 该六面体内有一小球，则小球的最大体积为 【分析】计算每个面的面积再乘以 6 即可；判断出体积最大时即球与每个面都相切即内 第 16 页（共 24 页） 切球，利用等积法计算出 R 即可 【解答】解：根据题意
30、可知该六面体可看成是两个正四面体拼成，棱长为 1，则其表面积 为 612； 因为每个三角形面积是， 六面体体积是正四面体体积的 2 倍，所以该六面体的体积是 ， 由图形的对称性可知，要想小球的体积达到最大，即球与六个面都想切时最大， 设该球的半径为 R，则有6R，解得 R， 所以球的体积 V， 故答案为； 【点评】本题考查由平面图形折成空间几何体，考查空间几何体的表面积、体积计算公 式，考查逻辑推理能力和空间想象能力，属于中档题 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 82 分解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤 18 （12
31、分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知 a+b10，c5， sin2B+sinB0 （1）求 a，b 的值： （2）求 sinC 的值 【分析】 （1）由二倍角的正弦函数公式化简已知等式结合 sinB0，可得 cosB，进 而由余弦定理可求 a，b 的值 （2）利用同角三角函数基本关系式可求 sinB 的值，进而根据正弦定理可求 sinC 的值 【解答】解： （1）由 sin2B+sinB0，可得 2sinBcosB+sinB0， 因为在ABC 中，sinB0，可得 cosB， 由余弦定理 b2a2+c22accosB，可得 b2a2+522， 因为 b10a， 所
32、以（10a）2a2+522， 解得 a3，b7 （2）由 cosB，可得 sinB， 第 17 页（共 24 页） 由正弦定理，可得 sinC 【点评】本题主要考查了二倍角的正弦函数公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式， 正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 19 （14 分）已知函数 f（x）x3x2+ax+1 （1）当 a2 时，求曲线 yf（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程； （2）若函数 f（x）在 x1 处有极小值，求函数 f（x）在区间2，上的最大值 【分析】 （1） 欲求在点（0，f（0） ）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利 用
33、导数求出在 x0 处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问 题解决 （2） 函数 f（x）在 x1 处有极小值，所以 f（1）2+a0，解得 a2，此时 ，通过求导得单调区间得出函数 f（x）在区间2，上的最大 值 【解答】解： （1）当 a2 时， f（x）3x2x+2， f（0）2，又 f（0）1， 曲线 yf（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程为 y12x，即 2xy+10 （2）f（x）3x2x+a， 函数 f（x）在 x1 处有极小值， 所以 f（1）2+a0， 解得 a2， 此时，f（x）3x2x2， 由 f（x）0，得 x或 x1， 当或 x1 时，f（x）
34、0， 当时，f（x）0， 所以 f（x）在， （1，）上是增函数，在上是减函数 第 18 页（共 24 页） 所以 f（1）f（2）5， 因为， 所以 f（x）的最大值为因为 【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线 方程等知识，解答的关键是导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大 于 0 时原函数单调递增，当导函数小于 0 时原函数单调递减 20 （14 分）如图，在棱长均为 2 的三棱柱 ABCA1B1C1中，平面 A1CB平面 A1ABB1， AB1A1B，O 为 AB1与 AB 的交点 （1）求证：AB1CO； （2）求平面 ACC1A1
35、与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值 【分析】 （1）推导出 A1BAB1，从而 A1B平面 A1CB，由此能证明 AB1CO （2）推导出 COOB，COAB1，从而 CO平面 A1ABB1，以 O 为坐标原点，以 OA， OB， OC 所在直线分别为 x， y， z 轴， 建立空间直角坐标系， 利用向量法能求出平面 ACC1A1 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值 【解答】解： （1）证明：在棱长均为 2 的三棱柱 ABCA1B1C1中， 四边形 A1ABB1是菱形， A1BAB1， 平面 A1CB平面 A1ABB1，平面 A1CB平面 A1ABB1A1B， A1B平面 A1CB， CO
36、平面 A1CB，AB1CO （2）解：AB1A1B，菱形 A1ABB1为正方形， 在 RtCOA 中，CO， 在COB 中，COOB，CB2，CO2+OB2CB2， COOB，又 COAB1，A1BAB1O， 第 19 页（共 24 页） CO平面 A1ABB1， 以 O 为坐标原点，以 OA，OB，OC 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系， A（，0，0） ，A1（0，0） ，C（0，0，） ，B（0，0） ， （，0） ，（） ，（，0） ， 设平面 ACC1A1的一个法向量 （x，y，z） ， 则，取 x1， （1，1，1） ， 设平面 ABC 的一个法向量 （x，y，z
37、） ， 则，取 x1，得 （1，1，1） ， 设平面 ACC1A1与平面 ABC 所成锐二面角为 ， 则 cos， 平面 ACC1A1与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 21 （14 分） 在经济学中， 函数 f （x） 的边际函数 Mf （x） 定义为 Mf （x） f （x+1） f （x） 某 医疗设备公司生产某医疗器材，已知每月生产 x 台（xN*）的收益函数为 R（x）3000x 20x2（单位：万元） ，成本函数 C（x）500x+4000（
38、单位：万元） ，该公司每月最多生 产 100 台该医疗器材 （利润函数收益函数成本函数） （1）求利润函数 P（x）及边际利润函数 MP（x） ； （2）此公司每月生产多少台该医疗器材时每台的平均利润最大，最大值为多少？（精确 到 0.1） （3）求 x 为何值时利润函数 P（x）取得最大值，并解释边际利润函数 MP（x）的实际 意义 第 20 页（共 24 页） 【分析】 （1）根据利润公式得出 P（x） ，根据边际函数定义得出 MP（x） ； （2）判断函数单调性，计算 x14 和 x15 对应的平均利润，得出结论； （3）根据二次函数的对称性求出 x 的值 【解答】解： （1）P（x）3
39、000x20x2（500x+4000）20x2+2500x4000， （1x 100，xN ） ， MP（x）P（x+1）P（x）40x+2480 （2）每台器材的平均利润为20（x+）+2500400+2500， 当且仅当 x即 x10时取等号 又 xN ，且当 x14 时，每台器材的平均利润为 1934.3 万元， 当 x15 时，每台器材的平均利润为 1933.3 万元， 故每月生产 14 台医疗器材时，平均利润最大，最大利润为 1934.3 万元 （3）P（x）20（x62.5）2+74125 又 xN ，故当 x62 或 63 时，P（x）取得最大值 MP（x）反映了产量与利润增量的
40、关系 【点评】本题考查了二次函数的性质，基本不等式的应用，属于中档题 22 （14 分）已知函数 f（x）x+m（+lnx） （mR） （1）当 m1 时，讨论 f（x）的单调性； （2）设函数 g（x）f（x）+，若存在不相等的实数 x1，x2，使得 g（x1）g（x2） ， 证明：0mx1+x2 【分析】 （1） 分三种情况， 当 0m11，当 m11，当 m11，去讨论 f（x）的单调性 （2）g（x）f（x）+xmlnx，当 m0 时，g（x）0，所以 g（x）在（0，+）上是增函数，故不存在不相等的实数 x1，x2，使得 g（x1）g（x2） ， 所以 m0 由 g（x1）g（x2）
41、使得 x1mlnx1x2mlnx2，即 m（lnx2lnx1）x2x1不妨设 0 x1x2，则 m，要证 mx1+x2，即可 第 21 页（共 24 页） 【解答】解： （1）函数 f（x）的定义域为（0，+） m1，所以 m10 当 0m11，即 1m2 时， 由 f（x）0 得 x1 或 xm1， 由 f（x）0 得 m1x1， 所以 f（x）在（0，m1） ， （1，+）上是增函数，在（m1，1）上是减函数； 当 m11，即 m2 时， f（x）0， 所以 f（x）在（0，+）上是增函数； 当 m11，即 m2 时， 由 f（x）0 得 xm1 或 x1， 由 f（x）0 得 1xm1，
42、 所以 f（x）在（0，1） ， （m1，+）上是增函数，在（1，m1）上是减函数 综上可知： 当 1m2 时，f（x）在（0，m1） ， （1，+）上是增函数，在（m1，1）上是减函 数； 当 m2 时，f（x）在（0，+）上是增函数； 当 m2 时，f（x）在（0，1） ， （m1，+）上是增函数，在（1，m1）上是减函数 （2）证明：g（x）f（x）+xmlnx， ， 当 m0 时，g（x）0， 所以 g（x）在（0，+）上是增函数，故不存在不相等的实数 x1，x2，使得 g（x1）g （x2） ，所以 m0 由 g（x1）g（x2）使得 x1mlnx1x2mlnx2，即 m（lnx2l
43、nx1）x2x1 不妨设 0x1x2，则 m， 要证 mx1+x2， 第 22 页（共 24 页） 只需要证， 即证 只需证， 令 t， 只需要证， 即证， 令， 则 所以 h（t）在（1，+）上是增函数，所以 h（t）h（1）0 从而，故 0mx1+x2 【点评】本题考查导数求函数单调性，以及证明问题的方法，属于难题 23 （14 分）如图，直角坐标系中，圆的方程为 x2+y21，A（1，0） ，B（，） ，C （，）为圆上三个定点，某同学从 A 点开始，用掷骰子的方法移动棋子规定： 每掷一次骰子，把一枚棋子从一个定点沿圆弧移动到相邻下一个定点；棋子移动的 方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数
44、为偶数，则按图中箭头方向移动；若掷出骰子的 点数为奇数，则按图中箭头相反的方向移动 设掷骰子 n 次时，棋子移动到 A，B，C 处的概率分别为 Pn（A） ，Pn（B） ，Pn（C） 例 如： 掷骰子一次时，棋子移动到 A，B，C 处的概率分别为 P1（A）0，P1（B），P1（C） （1）分别掷骰子二次，三次时，求棋子分别移动到 A，B，C 处的概率； 第 23 页（共 24 页） （2）掷骰子 n 次时，若以 x 轴非负半轴为始边，以射线 OA，OB，OC 为终边的角的余 弦值记为随机变量 Xn，求 X4的分布列和数学期望； （3）记 Pn（A）an，Pn（B）bn，Pn（C）cn ，其中 an+bn+cn1证明：数列bn 是等比数列，并求 a2020 【分析】 （1）由概率的乘法公式，可得所求值； （2）随机变量 X4的可能取值为 1，结合（1）运用概率乘法公式，可得随机变量 的分布列和期望； （3）易得 bncn，即 bn1cn1，n2，由条件推得 2bn+bn11，由构造等比数列， 可得 bn+ （）n 1，即可得到所求值 【解答】解： （1）P2（A）+，P2（B），P2（C） ， P3（A）+，P3（B）（+） ，P3（C）（+） ； （2）随机变量 X4的可能取值为 1， 由（1）可得 P（x41）（P3（B）+P3（C） ） （+） ， P（x4
