1、广元市高广元市高 20202020 届第三次高考适应性统考届第三次高考适应性统考数学试卷（文史类）数学试卷（文史类） 一、选择题一、选择题 1若 2 1 i z i （其中i是虚数单位） ，则z （ ） A1 B2 C2 D4 2已知 2, 3a ， 1, 3b ，则a在b方向上的投影为（ ） A 5 7 7 B 1 2 C 7 7 D 5 2 3已知集合 2 28Ax xx，2,0B ，下列命题为假命题的是（ ） A 00 ,xA xB B 00 ,xB xA C,xA xB D,xB xA 4已知在ABC中，内角, ,A B C所对的边长分别是, ,a b c，则sinsinAB是ba的（
2、 ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5如图，在四棱锥PABCD中，底面为梯形，ADBC，3AD，6BC ，,E F分别为棱,PB PC 的中点，则（ ） AAEDF，且直线,AE FD是共面直线 BAEDF，且直线,AE FD是异面直线 CAEDF，且直线,AE FD是异面直线 DAEDF，且直线,AE FD是共面直线 6 如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著 数书九章 中的 “中国剩余定理” .执行该程序框图， 则输出的n为（ ） A50 B53 C59 D62 7中国农业银行广元分行发行“金穗广元剑门关旅游卡”是以“游广元、知广元、爱广元共
3、享和谐广元” 为主题活动的一项经济性和公益性相结合的重大举措，以最优惠的价格惠及广元户籍市民、浙江及黑龙江 授建省群众、省内援建市市民，凡上述对象均可办理此卡，本人凭此卡及本人身份证一年内（期满后可重 新充值办理）在广元市范围内可无限次游览所有售门票景区景点，如：剑门关、朝天明月峡、旺苍鼓城山 七里峡、青川唐家河、广元皇泽寺、苍溪梨博园、昭化古城等，现有浙江及黑龙江援建省群众甲乙两人 到广元旅游（同游）,第一天他们游览了剑门关、朝天明月峡，第二天他们准备从上面剩下的 5 个景点中选 两个景点游览，则第二天游览青川唐家河的概率是（ ） A 4 25 B 1 5 C 2 5 D 2 3 8设函数
4、2 4 x x f x e ，则函数 f x的图象大致为（ ） A B C D 9若 2 log0.3a ，0.32 b ， 2 0.3c ，则实数, ,a b c的大小关系为（ ） Aabc Bacb Cbac Dbca 10已知O为坐标原点，双曲线 2 2 2 :10 x Cya a ，过双曲线C的左焦点F作双曲线两条渐近线的平 行线，与两渐近线的交点分别为,A B，若四边形OAFB的面积为1，则双曲线C的离心率为（ ） A2 B2 2 C2 D 5 2 11如果关于x的不等式 32 10xax 在1,2上恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A 3 2 2 a B2a C1a D0a 12
5、函数 sin0f xAx对任意的xR都有 2f xfax，且0a时a的最大值为 5 ，下列四个结论： 5 x 是 f x的一个极值点；若 f x为奇函数，则 f x的最小正周期 4 5 T ；若 f x为偶函数，则 f x在,0 5 上单调递增；的取值范围是0,5.其中一定正确 的结论编号是（ ） A B C D 二、填空题二、填空题 13设实数, x y满足约束条件 0 20 10 xy xy y ，则3zxy的最大值为_. 14若2cos2cos 4 ，且, 2 ，则sin2的值为_. 15抛物线 2 :4C yx的焦点为F，直线20yk xk与抛物线C交于不同的,A B两点，且 2 5
6、AF BF ，则k _. 16 如图， 二面角l 满足半平面， 半平面内有一点A（不在l上） ， 半平面内有一点C（不 在l上） ，,A C在直线l的射影分别为,B D（,B D不重合） ，1ABCD，3BD ， 则三棱锥ABCD 外接球的表面积为_. 三、解答题三、解答题 17 记 n S为各项均为正数的等比数列 n a的前n项和， 已知 1 11 8 a ， 321 213SSa， 记 2 l o g nn ba， 其中 x表示不超过x的最大整数，如0.90， 4 1 3 ， 22. （）求 n a的通项公式； （）求 n b的前n项和 n T. 18广元市某校高三数学备课组为了更好地制定
7、二轮复习的计划，开展了试卷讲评后效果的调研，从上学 期市一诊考试数学试题中选出一些学生易错题， 重新进行测试， 并认为做这些题不出任何错误的同学为“过 关” ，出了错误的同学为“不过关” ，现随机抽查了年级50人，他们的测试成绩的频数分布如下表： 市一诊分数段 0,30 30,60 60,90 90,120 120,150 人数 5 10 15 13 7 “过关”人数 1 3 8 8 6 （）由以上统计数据完成如下2 2列联表，并判断是否有95%的把握认为市一诊数学成绩不低于90分 与测试“过关”有关？说明你的理由； 分数低于90分人数 分数不低于90分人数 合计 “过关”人数 “不过关”人数
8、 合计 （）根据以上数据估计该校市一诊考试数学成绩的中位数.下面的临界值表供参考： 2 P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 k 2.072 2.706 3.841 5.024 2 2 n adbc K abcdacbd 19如图，在矩形ABCD中，22ABAD，E为边CD的中点，以EB为折痕把CEB折起，使点C 到达点P的位置，且使平面PEB 平面ABED. （）证明：PBAE； （）求三棱锥APED的体积. 20已知函数 lnf xx. （）函数 2 1 2 2 t xxaf x，讨论 t x的单调性； （） 函数 3 0g xxx的图象在点P处的切线为l， 证明： 有且只有
9、两个点P使得直线l与函数 f x 的图象也相切. 21已知椭圆 2 2 :1 2 x Cy，点0,1P，直线 1 3 ykx分别交椭圆C于点,A B（,A B与P不重合）. （）证明：PAPB； （）若以点 1 0, 9 E 为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程. 22在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 2cos 22sin x y （为参数） ，直线l过原点且倾 斜角为，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （）求曲线 1 C和直线l的极坐标方程； （）若直线l与曲线 1 C相交于不同的两点,A B，求 OBOA OAOB 的取值范围. 2
10、3已知, a b都是实数，0a，函数 123f xxx . （）若 1f x ，求实数x的取值范围； （）若 5 2 2 ababa f t对满足条件的所有, a b都成立，求实数t的取值范围. 广元市高广元市高 2020 届第三次高考适应性统考届第三次高考适应性统考 数学（文史类）参考答案数学（文史类）参考答案 一、选择题一、选择题 1C 2D 3C 4C 5D 6B 7C 8A 9B 10A 11D 12A 二、填空题二、填空题 135 14 7 8 152 165 三、解答题三、解答题 17解： （）因为： 321 213SSa，所以： 321 3100aaa. 所以： 2 3100qq
11、.解得：2q 或5q （舍）. 所以： 14* 11 211 2 8 nn n anN . （）根据题意有： 4 222 loglog11 24log 11 n nn ban . 因为： 2 3log 114，所以： 2 4log 114 31 n bnnn . 所以：数列 n b是以首项为0，公差为1的等差数列. 所以 2 * 01 22 n nnnn TnN . 18解： （）根据题意得2 2列联表如下： 分数低于90分人数 分数不低于90分人数 合计 “过关”人数 12 14 26 “不过关”人数 18 6 24 合计 30 20 50 所以： 2 2 5012 6 18 14225 4
12、.3273.841 26 24 30 2052 K . 因此有95%的把握认为期末数学成绩不低于90分与测试“过关”有关. （）设该市一诊考试数学成绩的中位数为x. 市一诊分数段 0,30 30,60 60,90 90,120 120,150 人数 5 10 15 13 7 频率 0.1 0.2 0.3 0.26 0.14 根据题意有： 0.3 0.1 0.3600.5 30 x， 解得：80x . 所以：该校市一诊考试数学成绩的中位数为80分. 19解： （）因为1BCCEEDAD，所以：2AEBE， 又因为：2AB ，所以：AEBE. 因为：面PEB 面ABED且面PEB面ABEDBE，
13、所以：AE 面PEB. 所以：PBAE. （）取线段BE的中点F，连接PF，如图所示： 因为1PEPB，且F为线段BE的中点. 所以：PFBE且 2 2 PF . 又因为：面PEB 面ABED且面PEB面ABEDBE， 所以：PF 面AED. 所以：三棱锥APED的体积 11122 1 1 332212 AED VSPF . 20解： （）因为： 2 1 2 ln 2 t xxax，所以： 2 22axa txx xx . 所以：当20a即0a时： t x在0,增； 当20a即0a时：令 0t x有：2xa， 所以： t x在0,2a 减，在 2 ,a 增. （）设 3 000 ,0P x x
14、x . 因为： 2 3g xx，所以： 2 00 3g xx. 所以直线l的方程为： 32 000 3yxxxx，即： 23 00 32yx xx. 假设直线l与 f x的图象也相切，切点为： 11 ,lnxx. 因为 1 fx x ，所以： 1 1 1 fx x . 所以直线l的方程也可以写作为： 11 1 1 lnyxxx x . 又因为： 2 0 1 1 3x x ，即： 1 2 0 1 3 x x . 所以直线l的方程为： 2 0 22 00 11 ln3 33 yxx xx ，即： 2 00 32lnln3 1yx xx. 由有： 3 00 2lnln3 12xx ，即： 3 003
15、 22ln1 ln0xx . 令： 3 0000 22ln1 ln300m xxxx ， 所以： 2 00 0 2 6m xx x . 令 2 00 0 2 60m xx x ，得： 3 0 1 3 x ， 所以： 0 m x在 3 1 0, 3 减，在 3 1 , 3 增. 所以： 33 0 min 11111 22ln1 ln3ln30 33333 m xm ， 又因为：当0x时， 0 m x；当x 时， 0 m x. 所以： 3 000 22ln1 ln30m xxx 在0,有且只有两个实数根. 所以：有且只有两个点P使得直线l与函数 f x的图象也相切. 21解： （）根据题意有：直线
16、PB、PA斜率均存在.设 11 ,A x y、 22 ,B x y 联立： 2 2 1 2 1 3 x y ykx ，有： 22 416 210 39 k kxx， 所以： 12 2 4 3 21 k xx k ， 12 2 16 9 21 x x k . 因为： 2 121212 12 121212 44416 11 3339 PAPB kxkxk x xk xx yy kk xxxxx x 22 23 2 1616 16 99 21219 1 16 9 21 kk kk k ， 所以：PAPB. （）方法一、如图所示： 设线段AB的中点为, DD D xy， 则： 12 2 2 3 221
17、 D k xx x k ， 22 21 11 33 321321 DD k ykxk kk . 因为以 1 0, 9 E 为圆心的圆与直线AB相切于AB的中点D， 所以：EDAB， 又因为： 22 21 1 33 , 21219 k ED kk ，且AB与1,k平行， 所以： 22 21 1 33 0 21219 k k kk ， 解得：0k 或1. 当0k 时： 2 11 493 9 1 r k ， 所以：圆E的方程为： 2 2 116 981 xy . 当1k 时：有： 2 11 2 293 9 1 r k ， 所以：圆E的方程为： 2 2 18 981 xy . 由有：圆E的方程为 2
18、2 116 981 xy 或 2 2 18 981 xy . 方法二、 因为以 1 0, 9 E 为圆心的圆与直线AB相切于AB的中点D， 所以：圆的半径 22 22 2 11 21 193 33 21219 1 k r kk k ， 解得：0k 或1. 前后同方法一： 方法三、如图所示： 根据题意结合图形有：EAEB，即： 22 22 1122 11 99 xyxy ， 即： 22 22 1122 11 2222 99 yyyy ， 化简得： 1212 2 0 9 yyyy ，所以： 12 0yy或 12 2 9 yy . 当 12 0yy时，易得：0k ，即： 1 : 3 AB ly ，易
19、得： 1 0, 3 D ， 所以： 4 9 rED.所以：圆E的方程为： 2 2 116 981 xy . 当 12 2 9 yy 时： 2 1212 2 4 222 3 32139 k yyk xx k ， 解得：1k . 所以： 12 1 29 D yy y ，所以： 1 2 3 9 D D y x kk . 即： 21 , 99 D k . 有： 22 2112 2 9999 rED k ，所以：圆E的方程为： 2 2 18 981 xy . 由有：圆E的方程为 2 2 116 981 xy 或 2 2 18 981 xy . 22解： （）由 2cos 22sin x y （为参数）有
20、： 22 420xyy， 所以： 1 C的极坐标方程为： 2 4 sin20， 直线l的极坐标方程为：0,R . （）联立： 2 4 sin20 有： 2 4 sin20 根据题有： 2 16sin80，所以： 2 1 sin1 2 . 在极坐标系下设 1, A 、 2, B ，所以： 2 12 4sin， 12 2 . 所以： 222 2 2121 1212 16sin4 8sin2 2 OBOA OAOB . 因为： 2 1 sin1 2 ，所以： 2 28sin26 所以： OBOA OAOB 取值范围为：2,6. 23解： （）因为： 335 123121 222 f xxxxxxx（ 3 2 x 时取等）. 因为： 5 1 2 .所以：xR. （）由： 5 2 2 ababa f t，有： 5 2 2 abab f t a ， 即： min 5 2 2 abab f t a . 因为： 555 22 3 22222 3 aa abababbabb a aaaa （2ab时取等） ， 所以： 3f t .即：1233tt . 即： 3 2 323 t t 或 3 1 2 43 t t 或 1 323 t t . 解得： 35 23 t 或 3 1 2 t 或无解，所以： 5 1, 3 t .
