1、2020 年上海市普陀区中考数学二模试卷年上海市普陀区中考数学二模试卷 一选择题（共一选择题（共 6 小题）小题） 1下列计算中，正确的是（ ） A224 B168 C3 13 D （） 24 2下列二次根式中，与（a0）属同类二次根式的是（ ） A B C D 3关于函数 y，下列说法中错误的是（ ） A函数的图象在第二、四象限 By 的值随 x 的值增大而增大 C函数的图象与坐标轴没有交点 D函数的图象关于原点对称 4如图，矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，如果 OB4，AOB60，那么矩 形 ABCD 的面积等于（ ） A8 B16 C8 D16 5一个事件的概率不可能
2、是（ ） A1.5 B1 C0.5 D0 6如图，已知 A、B、C、D 四点都在O 上，OBAC，BCCD，在下列四个说法中， 2；AC2CD；OCBD；AOD3BOC，正确的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二填空题（共二填空题（共 12 小题）小题） 7计算：a （3a）2 8函数的定义域是 9方程x 的解是 10已知一个样本 1、3、2、5、x 的平均数是 3，那么 x 11如果把二次方程 x2xy2y20 化成两个一次方程，那么所得的两个一次方程分别 是 12已知一件商品的进价为 a 元，超市标价 b 元出售，后因季节原因超市将此商品打八折促 销，如果促销后这件商品
3、还有盈利，那么此时每件商品盈利 元 （用含有 a、b 的 代数式表示） 13如果关于 x 的方程（x2）2m1 没有实数根，那么 m 的取值范围是 14已知正方形的半径是 4，那么这个正方形的边心距是 15今年 3 月，上海市开展了在线学习，同时号召同学们在家要坚持体育锻炼，已知某班学 生一周内在家锻炼时间的频数分布直方图如图所示 如果锻炼时间在 02 小时的学生的 频率是 20%，那么锻炼时间在 46 小时的学生的频率是 16如图，已知ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DEBC，DC、BE 交于点 O， AB3AD，设 ， ，那么向量用向量 、 表示是 17将正比例函数 yk
4、x（k 是常数，k0）的图象，沿着 y 轴的一个方向平移|k|个单位后与 x 轴、y 轴围成一个三角形，我们称这个三角形为正比例函数 ykx 的坐标轴三角形，如 果一个正比例函数的图象经过第一、三象限，且它的坐标轴三角形的面积为 5，那么这个 正比例函数的解析式是 18如图，在 RtABC 中，ACB90，AC6，cotB，点 P 为边 AB 上一点，将 BPC 沿着 PC 翻折得到BPC，BC 与边 AB 的交于点 D，如果BPD 恰好为直角 三角形，那么 BP 三解答题（共三解答题（共 7 小题）小题） 19先化简，再求值：，其中 x+1 20解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来 21在
5、平面直角坐标系 xOy 中（如图） ，已知一次函数 y2x+m 与 yx+n 的图象都经 过点 A（2，0） ，且分别与 y 轴交于点 B 和点 C （1）求 B、C 两点的坐标； （2）设点 D 在直线 yx+n 上，且在 y 轴右侧，当ABD 的面积为 15 时，求点 D 的坐标 22一块显示屏斜挂在展示厅的墙面上，如图是显示屏挂在墙面 MD 的正侧面示意图，其 中 AB 表示显示屏的宽，AB 与墙面 MD 的夹角 的正切值为，在地面 C 处测得显示屏 顶部 A 的仰角为 45，屏幕底部 B 与地面 CD 的距离为 2 米，如果 C 处与墙面之间的水 平距离 CD 为 3.4 米，求显示屏
6、的宽 AB 的长 （结果保留根号） 23已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，点 E 是 DB 延长线 上的一点，且 EAEC，分别延长 AD、EC 交于点 F （1）求证：四边形 ABCD 为菱形； （2）如果AEC2BAC，求证：ECCFAFAD 24 在平面直角坐标系 xOy 中 （如图） ， 已知点 A 在 x 轴的正半轴上， 且与原点的距离为 3， 抛物线 yax24ax+3（a0）经过点 A，其顶点为 C，直线 y1 与 y 轴交于点 B，与抛 物线交于点 D（在其对称轴右侧） ，联结 BC、CD （1）求抛物线的表达式及点 C 的坐标； （2
7、）点 P 是 y 轴的负半轴上的一点，如果PBC 与BCD 相似，且相似比不为 1，求点 P 的坐标； （3）将CBD 绕着点 B 逆时针方向旋转，使射线 BC 经过点 A，另一边与抛物线交于点 E（点 E 在对称轴的右侧） ，求点 E 的坐标 25如图，已知在四边形 ABCD 中，ADBC，ABC90，以 AB 为直径的O 交边 DC 于 E、F 两点，AD1，BC5，设O 的半径长为 r （1）联结 OF，当 OFBC 时，求O 的半径长； （2）过点 O 作 OHEF，垂足为点 H，设 OHy，试用 r 的代数式表示 y； （3）设点 G 为 DC 的中点，联结 OG、OD，ODG 是否
8、能成为等腰三角形？如果能， 试求出 r 的值；如不能，试说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 6 小题）小题） 1下列计算中，正确的是（ ） A224 B168 C3 13 D （） 24 【分析】根据分数指数幂、负整数指数幂计算，判断即可 【解答】解：A、224，本选项计算错误； B、164，本选项计算错误； C、3 1 ，本选项计算错误； D、 （） 2 4，本选项计算正确； 故选：D 2下列二次根式中，与（a0）属同类二次根式的是（ ） A B C D 【分析】先化简，再根据同类二次根式的定义解答 【解答】解：A.，与的被开方数不同，则它们不是同类二次
9、根式，故本 选项不合题意； B.，与的被开方数不同，则它们不是同类二次根式，故本选项不合题意； C.，与的被开方数相同，则它们是同类二次根式，故本选项正确； D.与的被开方数不同，则它们不是同类二次根式，故本选项不合题意 故选：C 3关于函数 y，下列说法中错误的是（ ） A函数的图象在第二、四象限 By 的值随 x 的值增大而增大 C函数的图象与坐标轴没有交点 D函数的图象关于原点对称 【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是 否正确，从而可以解答本题 【解答】解：函数 y， 该函数的图象在第二、四象限，故选项 A 正确； 在每个象限内，y 随 x 的增大
10、而增大，故选项 B 错误； 函数的图象与坐标轴没有交点，故选项 C 正确； 函数的图象关于原点对称，故选项 D 正确； 故选：B 4如图，矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，如果 OB4，AOB60，那么矩 形 ABCD 的面积等于（ ） A8 B16 C8 D16 【分析】由矩形的性质得出 OABO，证AOB 是等边三角形，得出 ABOB4，由勾 股定理求出 AD，即可求出矩形的面积 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形 BAD90，AOCOAC，BODOBD，ACBD2OB8， OABO， AOB60， AOB 是等边三角形， ABOB4， AD4， 矩形 ABCD 的面积
11、ABAD4416； 故选：D 5一个事件的概率不可能是（ ） A1.5 B1 C0.5 D0 【分析】根据概率的知识，可以得到概率的最大与最小值，从而可以解答本题 【解答】解：一个事件的概率最大是 1，最小是 0，故选项 A 错误， 故选：A 6如图，已知 A、B、C、D 四点都在O 上，OBAC，BCCD，在下列四个说法中， 2；AC2CD；OCBD；AOD3BOC，正确的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据题意和垂径定理，可以得到 ACBD，然后即可判断各 个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题 【解答】解：OBAC，BCCD， ， 2，故正确； ACAB+
12、BCBC+CD2CD，故错误； OCBD，故正确； AOD3BOC，故正确； 故选：C 二填空题（共二填空题（共 12 小题）小题） 7计算：a （3a）2 9a3 【分析】先根据积的乘方法则计算，再根据单项式乘以单项式法则计算 【解答】解：原式a9a29a3， 故答案为：9a3 8函数的定义域是 x1 【分析】根据分式的意义，分母不等于 0，可以求出 x 的范围 【解答】解：根据题意得：x+10， 解得：x1 故答案为 x1 9方程x 的解是 x0 【分析】先两边平方得到 x25x0，再把方程左边进行因式分解得到 x（x5）0，方 程转化为两个一元一次方程：x0 或 x50，即可得到原方程的
13、解为 x10，x25， 检验原方程的解为 x0 【解答】解：把方程x 两边平方，得 5xx2， x25x0， x（x5）0， x0 或 x50， x10，x25 检验：把 x10，x25 代入方程x， 可知 x10 是原方程的根，x25 是原方程的增根， 所以原方程的解为 x0 故答案为：x0 10已知一个样本 1、3、2、5、x 的平均数是 3，那么 x 4 【分析】根据一个样本 1、3、2、5、x 的平均数是 3，可以求得 x 的值，本题得以解决 【解答】解：一个样本 1、3、2、5、x 的平均数是 3， （1+3+2+5+x）53， 解得，x4， 故答案为：4 11 如果把二次方程 x2
14、xy2y20 化成两个一次方程， 那么所得的两个一次方程分别是 x 2y0 或 x+y0 【分析】由于二元二次方程 x2xy2y20 进行因式分解可以变为（x2y） （x+y）0， 即可解决问题 【解答】解：x2xy2y20， （x2y） （x+y）0， x2y0 或 x+y0 故答案为：x2y0 或 x+y0 12已知一件商品的进价为 a 元，超市标价 b 元出售，后因季节原因超市将此商品打八折促 销，如果促销后这件商品还有盈利，那么此时每件商品盈利 （0.8ba） 元 （用含有 a、b 的代数式表示） 【分析】 根据 “标价售价” 用代数式表示出售价， 再根据 “售价进价利润” 用代数式表
15、示盈利 【解答】解：根据题意得，每件商品盈利（0.8ba）元， 故答案为： （0.8ba） 13如果关于 x 的方程（x2）2m1 没有实数根，那么 m 的取值范围是 m1 【分析】根据直接开平方法定义即可求得 m 的取值范围 【解答】解：关于 x 的方程（x2）2m1 没有实数根， m10， 解得 m1， 所以 m 的取值范围是 m1 故答案为：m1 14已知正方形的半径是 4，那么这个正方形的边心距是 2 【分析】正方形的边心距就是正方形的中心到正方形的边的距离，利用边长的一半和边 心距、半径围成直角三角形求解即可 【解答】解：如图，根据正方形的性质知：BOC 是等腰直角三角形， 过 O
16、作 OEBC 于 E， 正方形的半径是 4， BO4， OEBEBO2， 故答案为：2 15今年 3 月，上海市开展了在线学习，同时号召同学们在家要坚持体育锻炼，已知某班学 生一周内在家锻炼时间的频数分布直方图如图所示 如果锻炼时间在 02 小时的学生的 频率是 20%，那么锻炼时间在 46 小时的学生的频率是 0.25 【分析】 先由锻炼时间在02小时的学生的频率是20%， 人数为8求出被调查的总人数， 再根据频率频数总人数可得答案 【解答】解：锻炼时间在 02 小时的学生的频率是 20%，人数为 8， 被调查的总人数为 820%40（人） ， 则锻炼时间在 46 小时的学生的频率是 104
17、00.25， 故答案为：0.25 16如图，已知ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DEBC，DC、BE 交于点 O， AB3AD，设 ， ，那么向量用向量 、 表示是 + 【分析】 利用平行线分线段成比例定理求出， 根据三角形法则求出， 证明 DODC 即可 【解答】解：DEBC， ， BC3DE， ， 3 ， DOECOB， ， ODOCCD， +， +3 ， +， 故答案为：+ 17将正比例函数 ykx（k 是常数，k0）的图象，沿着 y 轴的一个方向平移|k|个单位后与 x 轴、y 轴围成一个三角形，我们称这个三角形为正比例函数 ykx 的坐标轴三角形，如 果一个正比例函
18、数的图象经过第一、三象限，且它的坐标轴三角形的面积为 5，那么这个 正比例函数的解析式是 y10x 【分析】分别求出向上和向下平移时，与坐标轴的交点坐标，再根据它的坐标轴三角形 的面积为 5，求出 k 的值即可 【解答】解：正比例函数的图象经过第一、三象限， k0， 当正比例函数 ykx（k 是常数，k0）的图象，沿着 y 轴向上平移|k|个单位时，所得 函数的解析式为 ykx+k， 与 x 轴的交点坐标为（1，0） ，与 y 轴的交点坐标为（0，k） ， 它的坐标轴三角形的面积为 5， 5， k10， 这个正比例函数的解析式是 y10x， 当正比例函数 ykx（k 是常数，k0）的图象，沿着
19、 y 轴向下平移|k|个单位时，所得 函数的解析式为 ykxk， 与 x 轴的交点坐标为（1，0） ，与 y 轴的交点坐标为（0，k） ， 它的坐标轴三角形的面积为 5， 5， k10， 这个正比例函数的解析式是 y10x， 故答案为：y10x 18如图，在 RtABC 中，ACB90，AC6，cotB，点 P 为边 AB 上一点，将 BPC 沿着 PC 翻折得到BPC，BC 与边 AB 的交于点 D，如果BPD 恰好为直角 三角形，那么 BP 4 或 【分析】分两种情形：如图 1 中，当DPB90时，过点 C 作 CHAB 于 H如图 2 中，当PDB90时，设 BPPBx分别求解即可解决问
20、题 【解答】解：如图 1 中，当DPB90时，过点 C 作 CHAB 于 H cotB，AC6， BC8， AB10， BCACABCH， CH， B+A90，B+PDB90，BB，PDBADC， ADCA， ACCD6， CHAD， AHDH， BDABAD10，DBCBCDCBCA2，设 PBx， 在 RtPDB中，则有 x2+（x）222， 解得 x或（舍弃） ， 如图 2 中，当PDB90时，设 BPPBx 在 RtPDB中，则有 x2（x）2+（）2， 解得 x4， 综上所述，满足条件的 PB 的值为或 4 故答案为 4 或 三解答题（共三解答题（共 7 小题）小题） 19先化简，再
21、求值：，其中 x+1 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 x 的值代入计算可得 【解答】解：原式 ， 当 x+1 时， 原式 23 20解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来 【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可 【解答】解：， 解不等式，得：x2， 解不等式，得：x1， 将不等式解集表示在数轴上如下： 所以不等式组的解集为1x2 21在平面直角坐标系 xOy 中（如图） ，已知一次函数 y2x+m 与 yx+n 的图象都经 过点 A（2，0） ，且分别与 y 轴交于点 B 和点 C （1）求 B、C 两点的坐标； （2）设点 D 在直线 yx+n 上
22、，且在 y 轴右侧，当ABD 的面积为 15 时，求点 D 的坐标 【分析】 （1）依据一次函数 y2x+m 与 yx+n 的图象都经过点 A（2，0） ，即可 得到 m 和 n 的值，进而得出 B、C 两点的坐标； （2）依据 SABC+SBCD15，即可得到点 D 的横坐标，进而得出点 D 的坐标 【解答】解： （1）将 A（2，0）代入 y2x+m，解得 m4， y2x+4， 令 x0，则 y4，即 B（0，4） ， 将 A（2，0）代入 yx+n，解得 n1， yx1， 令 x0，则 y1，即 C（0，1） ， （2）如图，过 D 作 DEBC 于 E， 当ABD 的面积为 15 时，
23、SABC+SBCD15， 即AOBC+DEBC15， 25+DE515， DE4， yx1 中，令 x4，则 y3， D（4，3） 22一块显示屏斜挂在展示厅的墙面上，如图是显示屏挂在墙面 MD 的正侧面示意图，其 中 AB 表示显示屏的宽，AB 与墙面 MD 的夹角 的正切值为，在地面 C 处测得显示屏 顶部 A 的仰角为 45，屏幕底部 B 与地面 CD 的距离为 2 米，如果 C 处与墙面之间的水 平距离 CD 为 3.4 米，求显示屏的宽 AB 的长 （结果保留根号） 【分析】过 A 作 APDM 于 P，AHCD 于 H，过 B 作 BNAH 于 N， 设 APBN2x， ANPB5
24、x，解直角三角形即可得到结论 【解答】解：过 A 作 APDM 于 P，AHCD 于 H，过 B 作 BNAH 于 N， tanABM， 设 APBN2x，ANPB5x， BD2，CD3.4， HN2，CH3.42x， AH5x+2， ACD45， AHCH， 3.42x5x+2， 解得：x0.2， PB1，AP0.4， AB（米） ， 答：显示屏的宽 AB 的长为米 23已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，点 E 是 DB 延长线 上的一点，且 EAEC，分别延长 AD、EC 交于点 F （1）求证：四边形 ABCD 为菱形； （2）如果AEC2BAC
25、，求证：ECCFAFAD 【分析】 （1）由四边形 ABCD 是平行四边形知 OAOC，结合 EAEC 知 EOAC，从 而得证； （2）先由AEBCEBAEC，平行四边形 ABCD 为菱形得CDFDAC+ DCAAEF， 据此可证FCDFAE 得， 结合 CDAD， AECE 可得答案 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是平行四边形， OAOC， 又EAEC， EOAC， 四边形 ABCD 是菱形； （2）AEBCEBAEC，平行四边形 ABCD 为菱形， AEBCEBBACBCADACDCA， CDFDAC+DCAAEF， FCDFAE， ， CDAD，AECE， ，即 ECCFAFA
26、D 24 在平面直角坐标系 xOy 中 （如图） ， 已知点 A 在 x 轴的正半轴上， 且与原点的距离为 3， 抛物线 yax24ax+3（a0）经过点 A，其顶点为 C，直线 y1 与 y 轴交于点 B，与抛 物线交于点 D（在其对称轴右侧） ，联结 BC、CD （1）求抛物线的表达式及点 C 的坐标； （2）点 P 是 y 轴的负半轴上的一点，如果PBC 与BCD 相似，且相似比不为 1，求点 P 的坐标； （3）将CBD 绕着点 B 逆时针方向旋转，使射线 BC 经过点 A，另一边与抛物线交于点 E（点 E 在对称轴的右侧） ，求点 E 的坐标 【分析】 （1）把点 A 的坐标代入抛物
27、线的解析式中可得：a 的值，从而得抛物线的解析 式，配方得顶点 C 的坐标； （2）根据DBCPBC45，且相似比不为 1，所以只能CBPDBC，列比例 式可得 BP 的长，从而得点 P 的坐标； （3）连接 AC，过 E 作 EHBD 于 H，先根据勾股定理的逆定理证明ABC 是等腰直角 三角形，且ACB90，由等角三角函数得 tanABCtanEBD，设 EH m，则 BH2m，表示 E（2m，m+1） ，代入抛物线的解析式，可得结论 【解答】解： （1）点 A 在 x 轴的正半轴上，且与原点的距离为 3， A（3，0） ， 把 A（3，0）代入抛物线 yax24ax+3 中得：09a12
28、a+3， a1， 抛物线的表达式为：yx24x+3， yx24x+3（x2）21， C（2，1） ； （2）当 y1 时，x24x+31， 解得：x12，x22+， 由题意得：D（2+，1） ， B（0，1） ，C（2，1） ， BC2，BD2+， DBCPBC45，且相似比不为 1， 只能CBPDBC， ，即， BP84， P（0，47） ； （3）连接 AC，过 E 作 EHBD 于 H， 由旋转得：CBDABE， EBDABC， AB232+1210，BC222+224，AC212+122， AB2BC2+AC2， ABC 是等腰直角三角形，且ACB90， tanABC， tanEBD，
29、 设 EHm，则 BH2m， E（2m，m+1） ， 点 E 在抛物线上， （2m）242m+3m+1， 4m29m+20， 解得：m12，m2（舍） ， E（4，3） 25如图，已知在四边形 ABCD 中，ADBC，ABC90，以 AB 为直径的O 交边 DC 于 E、F 两点，AD1，BC5，设O 的半径长为 r （1）联结 OF，当 OFBC 时，求O 的半径长； （2）过点 O 作 OHEF，垂足为点 H，设 OHy，试用 r 的代数式表示 y； （3）设点 G 为 DC 的中点，联结 OG、OD，ODG 是否能成为等腰三角形？如果能， 试求出 r 的值；如不能，试说明理由 【分析】
30、（1）证 OF 为梯形 ABCD 的中位线，得出 rOF（AD+BC）3 即可； （2）连接 OD、OC，过点 D 作 DMBC 于 M，则 CMBCBM4，由勾股定理得出 DC2， 由四边形 ABCD 的面积DOC 的面积+AOD 的面积+BOC 的面积， 进而得出答案； （3）证 OG 是梯形 ABCD 的中位线，得出 OGAD，OG3，DGCD，由 勾股定理得 OD，分三种情况，分别求解即可 【解答】解： （1）OFBC，OAOB， OF 为梯形 ABCD 的中位线， OF（AD+BC）（1+5）3， 即O 的半径长为 3； （2）连接 OD、OC，过点 D 作 DMBC 于 M，如图
31、1 所示： 则 BMAD1， CMBCBM4， DC2， 四边形 ABCD 的面积DOC 的面积+AOD 的面积+BOC 的面积， （1+5）2r2y+r1+r5， 整理得：y； （3）ODG 能成为等腰三角形，理由如下： 点 G 为 DC 的中点，OAOB， OG 是梯形 ABCD 的中位线， OGAD，OG（AD+BC）（1+5）3， DGCD， 由勾股定理得：OD， 分三种情况： DGDO 时，则，无解； ODOG 时，如图 2 所示： 3， 解得：r2； GDGO 时，作 OHCD 于 H，如图 3 所示： GODGDO， OGAD， ADOGOD， ADOGDO， 在ADO 和HDO 中， ADOHDO（AAS） ， OAOH， 则此时圆 O 和 CD 相切，不合题意； 综上所述，ODG 能成为等腰三角形，r2
