1、设全集 U 是实数集 R，函数 yln（x24）的定义域为集合 M，集合 Nx|2x 4，则（UM）N 为（ ） Ax|x2 B2 Cx|x2 Dx2 2 （5 分）已知复数 z 满足 zi2+mi（i 为虚数单位，mR） ，若|z|2，则 m（ ） A1 B1 C1 D0 3 （5 分） 若函数 f （x） （ax1） （x+1） 为偶函数， 则不等式 f （1x） 0 的解集是 （ ） A （2，0） B （，2）（0，+） C （0 2） D （，0）（2，+） 4 （5 分）拋物线 C：y24x 的焦点为 F，P，R 为 C 上位于 F 右侧的两点，若四边形 PFRQ 为正方形，则|P
2、F|（ ） A4+2 B42 C2+2 D2+2 5 （5 分）在二项式的展开式中，有（ ） A含的项 B含的项 C含的项 D含的项 6 （5 分）设 x，y 满足约束条件|x|+|y|1，则 z2x+y 的最小值是（ ） A2 B1 C1 D2 7 （5 分）已知函数 f（x）2sinx（N*）在区间上单调递增，若函数 ， 且当时， g （x） 1， 2， 则实数 a 的取值范围是 （ ） A B C D 8 （5 分）某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长为 1，则该几何体的体积是 （ ） 第 2 页（共 25 页） A5 B6 C40 D48 9 （5 分）我国古代数学著作九章算
3、术中有如下问题： “今有人持米出三关、内关三而 取一，中关五而取一，外关七而取一，余米六斗问：本持米几何？”如图新示的是解 决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的 S 为 6（单位：斗） ，则输入 k 的值是 （ ） A B C D 10 （5 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若（sinA+sinB）2sin2C 3sinAsinB，且 c4，则ABC 面积的最大值是（ ） A4 B C8 D 11（5 分） 一套游戏卡牌含红色 1 点， 红色 2 点 ， 红色 10 点， 及黑色 1 点， 黑色 2 点， ， 黑色 10 点，共计 20 张现从中任意拽出两
4、张，记事件 A，两张卡片颜色不同，事件 B： 至少有一张卡片为偶数点，则 P（A|B）（ ） A B C D 12 （ 5 分 ） 已 知 函 数 y f （ x ） 是 定 义 域 为 R 的 偶 函 数 ， 当 x 0 时 ， ，若关于 x 的方程f（x）2af（x）+b0（a，bR） 第 3 页（共 25 页） 有且只有 7 个不同的实数根，则实数 a 的取值范围是（ ） A （2，5 B （l，6） C （2，6） D （2，6 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知向量与的夹角为 90，且，则 14 （
5、5 分）已知 为锐角，且，则 15 （5 分）以双曲线1（a0，b0）中心 O（坐标原点）为圆心，焦矩为直径 的圆与双曲线交于 M 点（第一象限） ，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，过点 M 作 x 轴垂线，垂足恰为 OF2的中点，则双曲线的离心率为 16 （5 分）在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PD底面 ABCD， 以 BD 的中点 O1为球心，BD 为直径的球与 PB 交于点 M， （异于点 P，B） ，若四面体 MPCD 的顶点均在球 O2的球面上，则球 O1与球 O2的体积比是 三、解答题：三、解答题：共共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解
6、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答，第每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）已知等差数列an的公差 d0，Sn是数列an的前 n 项和，a1，a3与 a2， a4，a8分别组成两个不同的等比数列 （1）求 an； （2）若，求数列bn的前 n 项和 Tn 18 （12 分）如图 1，在ABC 中，C90，BC3，AC6，D，E 分别是 AC，AB 上 的点，且 DEBC、DE2，将ADE 沿 DE 折起到
7、A1DE 的位置，使 A1CCD，如图 2，M 是 A1D 的中点 （1）证明：CMDE； （2）求二面角 A1BEC 的正切值 第 4 页（共 25 页） 19 （12 分）某工厂生产部件 N，并且将两个部件 N 和一些其他部件组装成一台机器 M研 究发现，机器 M 的使用寿命取决于部件 N 的质量等级，当组装 M 的两个部件 N 均为一 等品时，M 的平均寿命为 a 年，当两个部件 N 中一个为一等品另一个为二等品时，M 的 平均寿命为 b 年，当两个部件 N 均为二等品时，M 的平均寿命为 c 年（abc） 工作人员对以往售出的由两件一等品部件 N 组装成的机器 M 进行质量追踪调査，
8、并将其 使用寿命情况制成如下频率分布表，根据数据完成下列问题： 使用寿命/ 年 0，1 （1，2 （2，3 （3，4 （4，5 （5，6 机器数量/ 台 0 5 5 10 20 10 （I）完成顿率分布直方图，并计算 a 的估计值； （2）已知该工厂生产的部件 N 均为一等品或二等品且组装机器 M 时，选取的两个部 件 N 的质 M 等级相互独立， 工作人员按照类似的方法， 得到 b， c 的估计值分别为 3 和 2， 且某一年出厂的所有机器 M 平均寿命为 3.7 年，试估计当年该工厂生产的部件 N 的一级 品率 20 （12 分）已知 F1，F2分别为椭圆 C：（a0，b0）的左、右焦点，
9、A，B 第 5 页（共 25 页） 分别为 C 的左、右顶点 （1）P 为椭圆所在平面内一动点，O 为坐标原点，若|OP|是|PA|和|PB|的等比中项，求点 P 的轨迹方程； （2）点 D 为 C 的上顶点，直线 F2D 与圆相切，过点 A 且斜率为 l 的直线与 C 交于 A，E 两点，过点 F，且斜率为 1 的直线与 C 交于 G，H（G 在 H 上方）两点，若 四边形 AECH 的面积为，求椭圆 C 的方程 21 （12 分）设函数 （1）讨论 f（x）的单调性； （2）当 x1 时，若曲线 yf（x）在 x1 处的切线方程为：y2ax+23e，且 m1， 证明：e x+x+1 选修选
10、修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为为参数） 以 原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1的极坐标方程为 2 4sin+30 （1）写出 l 的普通方程和 C1的直角坐标方程，若 l 与 C1相交于 A，B 两点，求|AB|的值； （1）若 P 为曲线为参数）上的动点，在（1）的条件下，求|PA|2+|PB|2 的最大值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设函数 f（x）|x+2|2xa| （1）当 a1 时，作出函数 yf（x）的图象，并求 f（x）的最大值； （2）若方程
11、f（x）2x1（a4）有三个不同的解，求 a 的取值范围 第 6 页（共 25 页） 2018-2019 学年山西省吕梁市孝义市高三 （上） 入学数学试卷 （理学年山西省吕梁市孝义市高三 （上） 入学数学试卷 （理 科）科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，毎小题小题，毎小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）设全集 U 是实数集 R，函数 yln（x24）的定义域为集合 M，集合 Nx|2x 4，则（UM）N 为（ ） Ax|
12、x2 B2 Cx|x2 Dx2 【分析】可求出集合 M，然后进行补集、交集的运算即可 【解答】解：Mx|x2，或 x2； UMx|2x2； （UM）Nx|x2 故选：C 【点评】考查函数定义域的概念及求法，描述法的定义，以及补集、交集的运算 2 （5 分）已知复数 z 满足 zi2+mi（i 为虚数单位，mR） ，若|z|2，则 m（ ） A1 B1 C1 D0 【分析】把已知等式变形，再直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数 z，然后利用复 数求模公式计算得答案 【解答】解：由 zi2+mi， 得， |z|2， ，即 m0 故选：D 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求
13、法，是基础题 3 （5 分） 若函数 f （x） （ax1） （x+1） 为偶函数， 则不等式 f （1x） 0 的解集是 （ ） A （2，0） B （，2）（0，+） C （0 2） D （，0）（2，+） 第 7 页（共 25 页） 【分析】根据题意，由偶函数的性质可得 f（x）（ax1） （x+1）ax2+（a1）x1 为偶函数，必有0，即 a1；即可得 f（x）的解析式，则有 f（1x）0 即（1 x）210，解可得 x 的取值范围，即可得答案 【解答】解：根据题意，函数 f（x）（ax1） （x+1）为偶函数， 即 f（x）（ax1） （x+1）ax2+（a1）x1 为偶函数， 必
14、有0，即 a1； 则 f（x）x21， 不等式 f（1x）0 即（1x）210， 解可得：0x2， 即不等式的解集为（0，2） ； 故选：C 【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，关键是求出 a 的值，属于基础题 4 （5 分）拋物线 C：y24x 的焦点为 F，P，R 为 C 上位于 F 右侧的两点，若四边形 PFRQ 为正方形，则|PF|（ ） A4+2 B42 C2+2 D2+2 【分析】如图所示，设 P（，y0） ，1，由抛物线的对称性及正方形的性质可得： y01，解得 y0即可得出|PF| 【解答】解：如图所示，设 P（，y0） ，则1， 由抛物线的对称性及正方形的性质可得：y0
15、1，解得 y0（2+2） |PF|4+2 故选：A 第 8 页（共 25 页） 【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、正方形的性质，考查了推理能力与计 算能力，属于中档题 5 （5 分）在二项式的展开式中，有（ ） A含的项 B含的项 C含的项 D含的项 【分析】在二项展开式的通项公式中，分析 x 的幂指数，可得答案 【解答】解：二项式的展开式的通项公式为 Tr+135 r （2）rx103r， 故展开式中含 x 的项为 x10 3r， 结合所给的选项， 故选：B 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质， 属于基础题 6 （5 分）设 x，y 满足约
16、束条件|x|+|y|1，则 z2x+y 的最小值是（ ） A2 B1 C1 D2 【分析】先根据约束条件画出平面区域，然后平移直线 y2x，当过点（1，0）时，直 线在 y 轴上的截距最大，从而求出所求 【解答】解：x，y 满足约束条件|x|+|y|1 的平面区域如下图所示： 平移直线 y2x，由图易得，当 x1，y0 时，即经过 A 时， 目标函数 z2x+y 的最小值为：2 故选：A 第 9 页（共 25 页） 【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题 7 （5 分）已知函数 f（x）2sinx（N*）在区间上单调递增，若函数 ， 且当时， g （x） 1，
17、 2， 则实数 a 的取值范围是 （ ） A B C D 【分析】 根据 f （x） 在区间上单调递增， N*， 可得 ， 函数， 求解 g（x） ，根据当时，g（x）1，2，即可求实数 a 的取值范围； 【解答】解：函数 f（x）2sinx（N*）在区间上单调递增， ，解得：， N* 1 则 f（x）2sinx 由函数，可得 g（x）2sin（x+）2sin（x+） ， 当时，g（x）1，2， 当 x时，可得 g（）1， 解得：， 故选：B 第 10 页（共 25 页） 【点评】本题考查了三角函数的图象及性质的综合应用和计算能力属于中档题 8 （5 分）某几何体的三视图如图所示，若图中小正方
18、形的边长为 1，则该几何体的体积是 （ ） A5 B6 C40 D48 【分析】根据三视图知该几何体是棱长为 4 的正方体，去掉 2 个棱长为 2 的小正方体， 结合图中数据求出几何体的体积 【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是棱长为 4 的正方体， 去掉 2 个棱长为 2 的小正方体，如图所示； 结合图中数据，计算该几何体的体积是 4322348 故选：D 【点评】本题考查了利用几何体三视图求体积的应用问题，是基础题 9 （5 分）我国古代数学著作九章算术中有如下问题： “今有人持米出三关、内关三而 取一，中关五而取一，外关七而取一，余米六斗问：本持米几何？”如图新示的是解 决该问题
19、的程序框图，执行该程序框图，若输出的 S 为 6（单位：斗） ，则输入 k 的值是 （ ） 第 11 页（共 25 页） A B C D 【分析】 由已知中的程序语句可知该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值， 模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】解：模拟程序的运行，可得 Sk，n1， 满足条件 n4，执行循环体，Sk（1）k，n2， 满足条件 n4，执行循环体，Sk（1） ，n3， 满足条件 n4，执行循环体，Sk（1） （1） ，n4， 此时，不满足条件 n4，退出循环，输出 Sk（1） （1）6， 解得：k 故选：C 【点评】本题考查了程序框图
20、的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得 出正确的结论，是基础题 10 （5 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若（sinA+sinB）2sin2C 3sinAsinB，且 c4，则ABC 面积的最大值是（ ） A4 B C8 D 【分析】由正弦定理化简已知等式可得：a2+b2c2ab，利用余弦定理可求 cosC， 进而可求 sinC 的值，利用基本不等式可求 ab16，根据三角形面积公式即可求解 【解答】解：（sinA+sinB）2sin2C3sinAsinB， sin2A+sin2B+2sinAsinBsin2C3sinAsinB，可得：sin2A+s
21、in2Bsin2CsinAsinB， 第 12 页（共 25 页） 由正弦定理可得：a2+b2c2ab， cosC，可得：sinC， 又c4，可得：a2+b216ab，可得：ab+16a2+b22ab，即：ab16，当且仅当 a b 时等号成立， SABCabsinC4 故选：B 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角 形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 11（5 分） 一套游戏卡牌含红色 1 点， 红色 2 点 ， 红色 10 点， 及黑色 1 点， 黑色 2 点， ， 黑色 10 点，共计 20 张现从中任意拽出两张，记事件 A，两张卡片
22、颜色不同，事件 B： 至少有一张卡片为偶数点，则 P（A|B）（ ） A B C D 【分析】由古典概型，先求出 P（AB）和 P（B） ，再利用条件概率的求法即可得解 【解答】解：由题意知，B 事件包括两种情形： 两张卡片的颜色均为偶数，两种卡片的点数一个为奇数一个为偶数， 因此 P（AB）+75，P（B）145， P（A|B） 故选：D 【点评】本题考查了条件概率与独立事件，属中档题 12 （ 5 分 ） 已 知 函 数 y f （ x ） 是 定 义 域 为 R 的 偶 函 数 ， 当 x 0 时 ， ，若关于 x 的方程f（x）2af（x）+b0（a，bR） 有且只有 7 个不同的实数
23、根，则实数 a 的取值范围是（ ） A （2，5 B （l，6） C （2，6） D （2，6 【分析】画出偶函数 f（x）的图象，确定函数 f（x）的性质，可得关于 x 的方程f（x）2+ af（x）+b0（a、bR）有且只有 7 个不同实数根，则方程 t2at+b0 必有两个根 t1，t2，其中 t11，t2（1，5】 ，根据根与系数之间的关系，即可得出结论 【解答】解：画出函数 f（x）的图象如右图： 第 13 页（共 25 页） 关于 x 的方程f（x）2af（x）+b0 （a、bR）有且只有 7 个不同实数根， 设 tf（x） ， 则方程 t2at+b0 必有两个根 t1，t2， 其
24、中 t11，t2（1，5， t1+t2a（2，6， 故选：D 【点评】本题考查分段函数的应用，考查函数的性质，考查数形结合的数学思想，正确 理解函数的性质是关键 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知向量与的夹角为 90，且，则 4 【分析】先建立以 AB，AC 分别为 x 轴，y 轴的直角坐标系，点 A 为坐标原点，则 A（0， 0）B（2，0）C（0，2）然后由，即 x+y2 即 可 【解答】解：建立以 AB，AC 分别为 x 轴，y 轴的直角坐标系，点 A 为坐标原点， 则 A（0，0） ，B（2，0） ，
25、C（0，2） ， 设 M（x，y） 则（2，2） ， ， 又， 即点 M 在直线 BC 上，即在直线 x+y2 上， 即 x+y2， 第 14 页（共 25 页） 2（x+y）4， 故答案为：4 【点评】本题考查了向量的数量积的坐标运算，同时考查了三点共线的向量表示 14 （5 分）已知 为锐角，且，则 【分析】直接由三角函数的诱导公式化简结合已知条件计算即可得答案 【解答】解：由 为锐角，且， 得|sin+cos| 故答案为： 【点评】本题考查了三角函数的化简求值，考查了三角函数的诱导公式的运用，是基础 题 15 （5 分）以双曲线1（a0，b0）中心 O（坐标原点）为圆心，焦矩为直径 的圆
26、与双曲线交于 M 点（第一象限） ，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，过点 M 作 x 轴垂线，垂足恰为 OF2的中点，则双曲线的离心率为 1+ 【分析】由题意 M 的坐标为 M（，c） ，代入双曲线方程可得 e 的方程，即可求出 双曲线的离心率 【解答】解：由题意可得圆的半径为 c，圆心为 O， 可得 M 的坐标为 M（，c） ， 代入双曲线方程可得1， 即有e21， e48e2+40， e24+2， 第 15 页（共 25 页） e1+， 故答案为：1+ 【点评】本题考查双曲线与圆的性质，考查方程思想和计算能力，属于中档题 16 （5 分）在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方
27、形，PD底面 ABCD， 以 BD 的中点 O1为球心，BD 为直径的球与 PB 交于点 M， （异于点 P，B） ，若四面体 MPCD 的顶点均在球 O2的球面上，则球 O1与球 O2的体积比是 【分析】设 ABa，求得 MDMCMP，找出四面体 MPCD 与球 O2的位置 关系，分别求出球 O1与球 O2的半径，则答案可求 【解答】解：设 ABa，由已知可得， 又 PD，即， O1为 PD 的中点，M 为 PB 的中点， 则在四面体 MPCD 中，PCD 为直角三角形，且 PD，CDa，PC， MDMCMP，则四面体 MPCD 与球 O2的位置关系如图所示： MO2平面 PCD，且垂足为
28、PC 的中点 N， 在 RtMNC 中，NC，MCa，则NMC60， 又 O2MO2C，MO2C 为正三角形， O2MO2CMCa，即球 O2的半径为 a， 又球 O1 的半径为， 球 O1与球 O2的体积比是 故答案为： 【点评】本题考查球的表面积与体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，属难题 第 16 页（共 25 页） 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答，第每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：
29、共题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）已知等差数列an的公差 d0，Sn是数列an的前 n 项和，a1，a3与 a2， a4，a8分别组成两个不同的等比数列 （1）求 an； （2）若，求数列bn的前 n 项和 Tn 【分析】 （1）运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差， 即可得到所求通项公式； （2）求得 bn+ （） ，再由分组求和和等差数列的求和公式，计 算可得所求和 【解答】解： （1）由题意可得， 即为， 解得 a1d2， 可得 an2n； （2）bn +（） ， 可得前 n 项和 Tnn（+）+（1+） + 【点
30、评】本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查数列的求和方法： 分组求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题 18 （12 分）如图 1，在ABC 中，C90，BC3，AC6，D，E 分别是 AC，AB 上 的点，且 DEBC、DE2，将ADE 沿 DE 折起到A1DE 的位置，使 A1CCD，如图 第 17 页（共 25 页） 2，M 是 A1D 的中点 （1）证明：CMDE； （2）求二面角 A1BEC 的正切值 【分析】 （1）推导出 DEAC，DEA1D，DECD，DE平面 A1DC，由此能证明 CM DE （2）以 C 为坐标原点，建立空间直角坐标系 Cxyz，利用向量法能
31、求出二面角 A1BE C 的正切值 【解答】证明： （1）ACBC，DEBC，DEAC， DEA1D，DECD， DE平面 A1DC， CM平面 A1CD，CMDE 解： （2）如图，以 C 为坐标原点，建立空间直角坐标系 Cxyz， 则 A1（0，0，2） ，B（3，0，0） ，E（2，2，0） ， 设平面 A1BE 的一个法向量 （x，y，z） ， 则，取 y1，得 （2，1，） ， A1C平面 BCDE，（0，0，2）是平面 BCDE 的一个法向量， 设二面角 A1BEC 的平面角为 ， 则|cos|， sin， 第 18 页（共 25 页） tan 二面角 A1BEC 的正切值为 【点
32、评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题 19 （12 分）某工厂生产部件 N，并且将两个部件 N 和一些其他部件组装成一台机器 M研 究发现，机器 M 的使用寿命取决于部件 N 的质量等级，当组装 M 的两个部件 N 均为一 等品时，M 的平均寿命为 a 年，当两个部件 N 中一个为一等品另一个为二等品时，M 的 平均寿命为 b 年，当两个部件 N 均为二等品时，M 的平均寿命为 c 年（abc） 工作人员对以往售出的由两件一等品部件 N 组装成的机器 M 进行质量追踪调査， 并将其
33、 使用寿命情况制成如下频率分布表，根据数据完成下列问题： 使用寿命/ 年 0，1 （1，2 （2，3 （3，4 （4，5 （5，6 机器数量/ 台 0 5 5 10 20 10 （I）完成顿率分布直方图，并计算 a 的估计值； （2）已知该工厂生产的部件 N 均为一等品或二等品且组装机器 M 时，选取的两个部 件 N 的质 M 等级相互独立， 工作人员按照类似的方法， 得到 b， c 的估计值分别为 3 和 2， 且某一年出厂的所有机器 M 平均寿命为 3.7 年，试估计当年该工厂生产的部件 N 的一级 第 19 页（共 25 页） 品率 【分析】 （1）根据题意可将数据做整理，从而能作出频率
34、分布直方图，进而能求出 a 的 估计值 （2）设当年该工厂生产的部件 N 的一级品率为 p，则二级品率为 1p，设当年组装的任 意一台机器 M 的使用寿命为随机变量 X，由此能求出 X 的分布列，再由 EX4p2+32p （1p）+2（1p）23.7，能估计当年该工厂生产的部件 N 的一级品率 【解答】解： （1）根据题意可将数据做如下整理： 使用寿命/ 年 0，1 （1，2 （2，3 （3，4 （4，5 （5，6 机器数量/ 年 0 5 5 10 20 10 频率 0.1 0.1 0.2 0.4 0.2 频率/组距 0.1 0.1 0.2 0.4 0.2 作出频率分布直方图，如下： a 的估
35、计值为：1.50.1+2.50.1+3.50.2+4.50.4+5.50.24（年） a 的估计值为 4 （2）设当年该工厂生产的部件 N 的一级品率为 p，则二级品率为 1p， 设当年组装的任意一台机器 M 的使用寿命为随机变量 X，则 X 的分布列为： M 的使用寿命 X 4 3 2 M 中一等品部件数 2 1 0 概率 P p2 2p（1p） （1p）2 由 EX4p2+32p（1p）+2（1p）22p+23.7， 解得 p0.85， 估计当年该工厂生产的部件 N 的一级品率为 85% 第 20 页（共 25 页） 【点评】本题考查频率分布直方图的作法及应用，考查离散型随机变量的分布列及
36、数学 期望的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 20 （12 分）已知 F1，F2分别为椭圆 C：（a0，b0）的左、右焦点，A，B 分别为 C 的左、右顶点 （1）P 为椭圆所在平面内一动点，O 为坐标原点，若|OP|是|PA|和|PB|的等比中项，求点 P 的轨迹方程； （2）点 D 为 C 的上顶点，直线 F2D 与圆相切，过点 A 且斜率为 l 的直线与 C 交于 A，E 两点，过点 F，且斜率为 1 的直线与 C 交于 G，H（G 在 H 上方）两点，若 四边形 AECH 的面积为，求椭圆 C 的方程 【分析】 （1）设 P（x，y） ，又 A（a，
37、0） ，B（a，0） ，且|PO|2|PA|PB|，化简整理即 可得到点 P 的轨迹方程为 x2y2， （2）由直线 F2D 与圆相切及直角三角形 DOF2的性质可得bc，可得 b c，设斜率为 1 的直线 l 的方程为 xym，椭圆方程为+1，根据韦达定理 和弦长公式和点到直线的距离公式即可表示出四边形的面积，即可求出 c22，问题得以 解决 【解答】解： （1）设 P（x，y） ，又 A（a，0） ，B（a，0） ，且|PO|2|PA|PB|， x2+y2，化简得 x2y2， 则点 P 的轨迹方程为 x2y2， （2）由直线 F2D 与圆相切及直角三角形 DOF2的性质可得bc， b2+c
38、22bc， 则 bc， 则 a22c2， 设斜率为 1 的直线 l 的方程为 xym， 椭圆方程为+1， 联立可得 3y2+2my+m2 2c20， 第 21 页（共 25 页） 由24c28m20，可得 3c2m2， 设 l 与 C 相交于 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ， 则 y1+y2，y1y2， |PQ|， 令 mc，则|GH|c， 令 ma，则|AE|c， 点 A（a，0）到直线 xy+c0 的距离为c， 四边形 AECH 的面积 S（c+c） cc2， c22，a24，符合0， 故所求椭圆的方程为+1 【点评】本题考查了双曲线的轨迹方程，直线和椭圆的位置关系，韦达定理，弦长
39、公式， 点到直线的距离公式，四边形的面积，属于中档题 21 （12 分）设函数 （1）讨论 f（x）的单调性； （2）当 x1 时，若曲线 yf（x）在 x1 处的切线方程为：y2ax+23e，且 m1， 证明：e x+x+1 【分析】 （1）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间即可； （2）求出 a 的值，问题转化为（x+1）ln（x+1）+1，设 x+1t，t0，令 g（t） tlnt+1，根据函数的单调性证明即可 【解答】解： （1）f（x）（x0） ， 若 a1，f（x）0，f（x）在（0，+） 递增， 若 a1，当 x（0，1a）时，f（x）0，f（x）在（0，1
40、a）递减， 当 x（1a，+）时，f（x）0，f（x）在（1a，+）递增， 综上，a1 时，f（x）在（0，+）递增，无递减区间， a1 时，f（x）在（0，1a）递减，在（1a，+）递增； 第 22 页（共 25 页） （2）曲线 yf（x）在 x1 处的曲线方程是：y2ax+23e， 故 f（1）2a2a3e+2，则 ae， 故 f（x）elnx+x， ae1，f（x）在（0，+）递增， 又x+mx+1，f（x+m）f（x+1） ， 故欲证 f（x+m）+e x+x+1，m1， 即证 eln（x+1）+x+1e x+x+1， 即证（x+1）ln（x+1）+1， 设 x+1t，t0，令 g（
41、t）tlnt+1，则 g（t）lnt+1， 在（0，）上，g（t）0，g（t）是减函数， 在（，+）上，g（t）0，g（t）递增， 故 g（t）g（）1， 令 h（t），则 h（t）， 在（0，1）上，h（t）0，h（t）递增， 在（1，+）上，h（t）0，h（t）递减， 故 h（t）h（1）1， 故 h（t）g（t） ，即（x+1）ln（x+1）+1， 由此可知 f（x+1）+e x+x+1， 即 m1，e x+x+1 【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转 化思想，是一道综合题 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在
42、平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为为参数） 以 原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1的极坐标方程为 2 4sin+30 第 23 页（共 25 页） （1）写出 l 的普通方程和 C1的直角坐标方程，若 l 与 C1相交于 A，B 两点，求|AB|的值； （1）若 P 为曲线为参数）上的动点，在（1）的条件下，求|PA|2+|PB|2 的最大值 【分析】 （1）直接利用转换关系式把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换 （2） 利用余弦定理和三角函数关系式的恒等变变换及一元二次方程的最大值的应用求出 结果 【解答】解： （1）直线 l 的参数方
43、程为为参数） 转换为直角坐标方程为：xsinycos+2cos0 曲线 C1的极坐标方程为 24sin+30 转换为直角坐标方程为：x2+（y2）21 由于直线 l 经过曲线 C1的圆心， 则：|AB|2 （2）在PC1A 和PC1B 中， |C1A|C1B|1 由余弦定理得：， ， 由于：PC1A 和PC1B 互补， 所以：， 设 P（2cos，2sin） ，C1（0，2） ， ， 当 sin时，求出最大值为， 故： 【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元 二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型 选修选修 4-5：不等
44、式选讲：不等式选讲 23设函数 f（x）|x+2|2xa| （1）当 a1 时，作出函数 yf（x）的图象，并求 f（x）的最大值； 第 24 页（共 25 页） （2）若方程 f（x）2x1（a4）有三个不同的解，求 a 的取值范围 【分析】 （1）由绝对值的意义，讨论 x 的范围去绝对值，画出 f（x）的图象，可得 f（x） 的最大值； （2）讨论当 x2 时，当2x时，当 x时，去绝对值解方程可得三个解，再 解关于 a 的不等式组，即可得到所求范围 【解答】解： （1）当 a1 时，可得 f（x）|x+2|2x1| ， 作出函数 yf（x）的图象如右图： 可得 x时，f（x）取得最大值； （2）方程 f（x）2x1（a4） ， 即|x+2|2xa|2x1（a4） ， 当 x2 时，原方程即为 xa22x1，即有 x1a； 当2x时，原方程即为 3x+2a2x1，可得 xa3； 当 x时，原方程即为x+a+22x1，可得 x1+ 方程 f（x）2x1（a4）有三个不同的解， 可得，即， 解得 1a6， 即 a 的范围是（1，6） 第 25 页（共 25 页） 【点评】本题考查绝对值函数的图象和性质，考查分类讨论思想方法和数形结合思想， 考查化简运算能力，属于中档题
