1、数学试题（理科） 第 1 页，共 6 页 惠州市惠州市 20202020 届高三届高三第一次第一次模拟模拟考试考试 理科数学理科数学 2020.6 全卷满分 150 分，时间 120 分钟 注意事项：注意事项： 1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填 写在答题卡上。 2作答选择题时，选出每个小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信 息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。 3非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上， 写在本试卷上无效。 一、选择题：一、选择题：本题共本题共 12 小题，每小
2、题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分。 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1设集合|0Ax x，集合 |1Bx yx，则AB （ ） A|0x x B|01xx C|01xx D|1x x 2已知i为虚数单位，下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ） A(1)ii B 2 (1)ii C 22 (1)ii D 234 i iii 3已知等差数列 n a的前n项和为 n S， 59 50aa， 4 13a ，则 10 S（ ） A170 B. 180 C. 189 D. 190 4在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，其始边与
3、x 轴的非负半轴重合，终边 与单位圆交于点 3 4 , 5 5 P ，则sin2（ ） A 12 25 B 24 25 C 8 5 D 6 5 5函数 | x x y x 的图象大致形状是（ ） A B C D 数学试题（理科） 第 2 页，共 6 页 6 已知某次考试之后， 班主任从全班同学中随机抽取一个容量为 8 的样本， 他们的数学、 物理成绩（单位：分）对应如下表，对应散点图如右图所示： 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学成绩 60 65 70 75 80 85 90 95 物理成绩 72 77 80 84 88 90 93 95 根据以上信息，则下列结论： 根据散点图，可
4、以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系； 根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系； 从全班随机抽取 2 名同学（记为甲、乙），若甲同学的数学成绩为 80 分，乙同学的数学 成绩为 60 分，则可以判断出甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高； 从全班随机抽取 2 名同学（记为甲、乙），若甲同学的数学成绩为 80 分，乙同学的数学 成绩为 60 分，则不能判断出甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高； 其中正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 7在空间中， 、是两条不同的直线，、是两个不同的平面， 则下列命题正确的是（ ） A若/，/，则/ B若/， ， ，则/ C若
5、 = ， ， ，则 D若 ，/， ，则 8“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为 主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台。该平台设有“人物”、“视听学 习”等多个栏目。假设在这些栏目中，某时段“人物”更新了 2 篇文章，“视听学习”更新 了 4 个视频。一位学习者准备从更新的这 6 项内容中随机选取 2 个视频和 2 篇文章进 行学习，则这 2 篇文章学习顺序相邻的学法有（ ）种。 A36 B48 C72 D144 9已知双曲线 22 1 42 xy 的右焦点为F，点P在双曲线左支上，点A坐标为 (0, 2)，则APF的周长最小值为（ ） A4(
6、12) B42 C2( 26) D63 2 数学试题（理科） 第 3 页，共 6 页 10 函数( )2sin() 0,| 2 f xx （）的最小正周期为， 若其图象向右平移 6 个单位后得到的函数为奇函数，则函数( )f x的图象（ ） A关于点0 3 （ ， ）对称 B在 2 2 （-，）上单调递增 C关于直线 3 x 对称 D在 6 x 处取最大值 11已知, ,a b c是在同一平面内的单位向量，若a与b的夹角为60，则 2abac 的最大值是（ ） A 1 2 B2 C 3 2 D 5 2 12 已知偶函数( )f x的定义域为R， 对xR ，(2)( )(1)f xf xf， 且
7、当2,3x 时， 2 ( )23f xx，若函数( )log (1)( )(01) a F xxf x aa且在R上恰 有 6 个零点，则实数a的取值范围是（ ） A) 5 5 , 0( B 53 (,) 53 C) 1 , 5 5 ( D 3 (,1) 3 二二、填空题：本题共填空题：本题共4小题，每小题小题，每小题5分分，共，共20分分。 13设直线3yx m是曲线 32 33yxx的一条切线，则实数m的值是_ 14已知数据 122020 ,x xx 的方差为 4，若 231,2,2020 ii yxi， 则新数据 122020 ,y yy 的方差为 15已知数列满足 1 2a ，则 8
8、a 16在平面上给定相异两点A、B，在同一平面上的点P满足 | | PA PB ，当0且 1时，P点的轨迹是一个圆。这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故 n a), 2(22 * 1 Nnnaa n nn 且 数学试题（理科） 第 4 页，共 6 页 我们称这个圆为阿波罗尼斯圆。现有椭圆 22 22 1(0) xy ab ab ，A、B为椭圆的 长轴端点，C、D为椭圆的短轴端点，动点P满足 | 2 | PA PB ，PAB的面积的最大 值为16 3 ，PCD面积的最小值为 2 3 ，则椭圆的离心率为 三三、解答题：共解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第分，解答应
9、写出文字说明，证明过程或演算步骤。第1721题为必考题为必考 题，每个考生都必须作答。第题，每个考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共（一）必考题：共60分。分。 17（本小题满分 12 分） 在ABC中，已知内角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，向量( 3, 2sin )mB， 向量(cos ,cos2 )nBB，且/mn，角B为锐角。 （1）求角B的大小； （2）若2b，求ABC面积的最大值。 18（本小题满分 12 分） 已知几何体ABCDEF中，/ABCD，/FCEA，ADAB，AE 面ABCD， 2AB
10、ADEA，4CDCF （1）求证：平面BDF 平面BCF； （2）求二面角EBDF的余弦值 A B C D E F 数学试题（理科） 第 5 页，共 6 页 19（本小题满分 12 分） 某种水果按照果径大小可分为四类：标准果，优质果，精品果，礼品果。某采购商从 采购的一批水果中随机抽取 100 个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下： 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 个数 10 30 40 20 （1）用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考： 方案 1：不分类卖出，单价为 20 元/kg 方案 2：分类卖出，分类后的水果售价如下表： 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果
11、 售价（元/kg） 16 18 22 24 从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案较好？并说明理由。 （2）从这 100 个水果中用分层抽样的方法抽取 10 个，再从抽取的 10 个水果中随机抽取 3 个，X表示抽取到精品果的数量，求X的分布列及数学期望( )E X 20（本小题满分 12 分） 已知直线l与抛物线 2 4yx相交于A，B两点，且与圆 22 (1)1xy相切。 （1）求直线l在x轴上截距c的取值范围； （2）设F是抛物线的焦点，0FA FB，求直线l的方程。 21（本小题满分 12 分） 设函数( )sin x f xeaxb （, a b为实数） （1）当1a ，0,)x时，(
12、 )0f x 恒成立，求b的取值范围； （2）若曲线( )yf x在0x处的切线方程为1 0xy ，求, a b的值， 并证明(0,)x时，( )lnf xx 数学试题（理科） 第 6 页，共 6 页 （二）选考题：共（二）选考题：共10分。分。请考生在第请考生在第22、23题中任选一题作答。题中任选一题作答。 答题时请答题时请在答卷中在答卷中写清题号并将相应信息点涂黑。写清题号并将相应信息点涂黑。 22（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 2cos sin x y （为参数）以坐 标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标
13、系， 曲线 2 C的极坐标方程为2 （1）求曲线 1 C的普通方程和 2 C的直角坐标方程； （2）设P是曲线 1 C上一点，此时参数 4 ，将射线OP绕坐标原点O逆时针旋转 3 交 曲线 2 C于点Q，记曲线 1 C的上顶点为T，求OTQ的面积。 23（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 已知函数( ) |2 |f xxaxa （1）当1a 时，求不等式( )4 |2|f xx 的解集； （2）设0a，0b，( )f x的最小值为t，若33tb，求 12 ab 的最小值。 第 1 页，共 11 页 惠州市惠州市 20202020 届高三模拟考试理科数学届高三模拟考试理科数学标准标准
14、答案答案与评分细则与评分细则 一、选择题一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C D B B B D C A A D B 1.【解析】集合 B= 1x x ，则 AB=0x x，故选 A 2.【解析】对于 A：(1)1iii ，不是纯虚数；对于 B： 22 (1)22iii是实数 对于 C： 22 (1)2iii 为纯虚数；对于 D： 234 11 0i iiiii 不是纯虚数故选 C 3.【解析】因为 59 50aa，所以 759 250aaa，即 7 25a ，则 11047 38aaaa， 故 110 10 10() 5 38 190. 2 a
15、a S 故选 D. 4.【解析】由定义知 sin= 4 5 ， 3 cos 5 ，所以 24 sin22sincos 25 ，故选 B. 5.【解析】 ,0 ,0 x x x y x ，故选 B 另解：(1)1f，可排除 CD， 1 ( 1)1f ，可排除 A，故选 B 6.【解析】由散点图知两变量间是相关关系，非函数关系，所以正确。利用概率知识进行预测，得 到的结论有一定的随机性，所以正确，故选 B。 7.【解析】选项 A 错误，同时和一个平面平行的两条直线不一定平行，可能相交，可能异面；选项 B 错误，两平面平行，两平面内的直线不一定平行，可能异面； 选项 C 错误，一个平面内垂直于两平面
16、交线的直线，只有在两个平面互相垂直时才与另一个平面垂 直；选项 D正确，由,/,nmm得,n又， ,n故选 D。 8.【解析】从 4 个视频中选 2 个有 2 4 C种方法，2 篇文章全选 2 2 C种方法，2 篇文章要相邻则可以先捆绑 看成 1 个元素，三个学习内容全排列为 3 3 A种方法，最后需要对捆绑元素进行松绑全排列 2 2 A，故满 足题意的学法有 2232 4232 72C C A A ，选 C。 9.【解析】( 6,0)F，设左焦点为 0( 6,0)F ，由题意可知APF的周长l为|PAPF|AF， 而 000 | 2|,| 2| | 2PFaPFlPAPFaAFAFAFa 4
17、 244( 2 1) ， 当 且仅当 0 ,A F P三点共线时取“=”，故选 A。 10.【解析】函数( )f x的最小正周期为，可得2， ( )f x向右平移 6 个单位后得到的函数为 第 2 页，共 11 页 2sin 2()2sin(2) 63 yxx ，此函数为奇函数，又 2 ，所以 3 故函数 ( )2sin(2) 3 f xx ， 2 ( )sin()0, 333 fA 正确；( )f x的递增区间为 5 , 1212 kkkZ ，故 B 错；2, 32 xkkZ , 122 k xkZ ，所以直 线 3 x 不是对称轴，故 C 错；当, 12 xkkZ 时( )f x有最大值，
18、 2 ( )2sin 63 f 非最 值，故 D 错。故选 A. 11.【解析】 1 () (2 )2() 2 a bac =a b c，因a与b为单位向量且夹角为 60，得ab为单位向 量，c是自由单位向量，所以()a b c最小值为1，所以() (2 )a bac最大值为 5 2 ，选 D. 另解：假设(cos ,sin )c，运用三角函数求最值。 12.【解析】令1x，则(1)= ( 1)(1)2 (1)ffff ，所以(1)=0f，所以(2)( )f xf x，即函 数的周期为 2.若( ) log1 a yf xx恰有 6 个零点，则01a，由此可画出函数( )yf x和 log1
19、a yx的图象如图所示，由图可 知(2)=2=log 3 a f，得 3 = 3 a， (4)=2=log 5 a f，得 5 = 5 a，故 53 , 53 a ，故选 B. 二、二、填空题（本大题共填空题（本大题共 4 题，每小题题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.） 13、4 14、16 15、2048（或写成 11 2） 16、 3 2 13、 【解析】， 直线 是曲线的一 条切线， 解得， 即切点的横坐标为 1， 代入曲线方程得切点坐标 ， 切点在切线上， 代入，解得， 实数 m 的值为 4故答案为 4 14、 【解析】若样本数据 n xxx、 21 的方差为 2 s，则bax
20、baxbax n 、 21 的方差为 22s a；已知 202021 xxx、 的方差为 4，又因为62 ii xy则 202021 yyy、 的方差 第 3 页，共 11 页 为 16 15、 【解析】因为 n nn aa22 1 得1 22 1 1 n n n n aa ，累加可得 2 n n a n，即2n n an ，所以 811 8 8 222048a 另解：根据递推公式代入计算得： 2348 824642048aaaa，、。 16. 【解析】 依题意(,0), ( ,0)A aB a， 设 2222 ( , ),| 2|,()2 ()P x yPAPBxayxay， 两边平方化简
21、P 的轨迹方程： 222 54 ()() 33 xaya，故为圆心为 5 (,0) 3 a ，半径 4 3 a r 的圆. max 1416 ()22 233 PAB a Saa ， min 1542 ()2(),1. 23333 PCD aaa Sbbb 故离心率 2 3 1 ( ) 2 b e a . 另解：本题可以运用数形结合方法求解，如右图。 三三、解答题：共解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个考生题为必考题，每个考生 都必须作答。第都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。题为选
22、考题，考生根据要求作答。 17 （本小题满分 12 分） （1）解法一：解法一：由/mn得3cos2 =2sincosBBB，-1 分 即sin2 3cos2BB -2 分 所以tan23B ，-3 分 B为锐角，2(0, )B，-4 分【没有没有此步骤，本得分点不给分】此步骤，本得分点不给分】 2 2 3 B ，-5 分 即 3 B -6 分 解法解法二二：由/mn得3cos2 =2sincosBBB，-1 分 即sin2 3cos2BB -2 分 所以sin2 + 3cos2 =0 BB 即2sin 2 +=0 3 B ，-3 分 2 += 3 Bk ，即 =+ 62 k B -4 分【没
23、有没有此步骤，本得分点不给分】此步骤，本得分点不给分】 第 4 页，共 11 页 B为锐角，-5 分【没有没有此步骤，本得分点不给分】此步骤，本得分点不给分】 所以 3 B -6 分 （2）解法解法一一：,2 3 Bb ，由余弦定理 222 cos 2 acb B ac ，-7 分 得 22 40acac -8 分 又 22 2acac代入上式得4ac，-9 分 当且仅当2ac时取等号成立. -10 分【没有没有此步骤，本得分点不给分】此步骤，本得分点不给分】 1133 sin3 2224 ABC SacBacac ，-11 分 故ABC的面积最大值为3.-12 分 解法解法二二：,2 3 B
24、b ，由正弦定理2 sin b R B ，得 4 2 3 R -7 分 所以 4 2sinsin 3 aRAA，-8 分 442 2sinsinsin 333 cRCCA -9 分 由 14 32 sinsinsin 233 SacBAA 2 33 =sin 2 363 A -10 分 因为 7 2 666 A ，则当2= 62 A 即= 3 A 时，-11 分 max 2 33 3 33 S， 故ABC的面积最大值为3.-12 分 第 5 页，共 11 页 18 （本小题满分 12 分） （1）证明：由已知可得 2 2BDBC BCBDCDBCBD, 222 -1 分 /FCEA，且AE 面
25、 ABCD， FCABCD面，-2 分 BCABCD面，BDFC，-3 分 FCBCC，BCBCF面，FCBCF面-4 分【步骤不全，本得分点不给分】步骤不全，本得分点不给分】 BDBCF面-5 分 BDBDF且面，故BDFBCF面面-6 分 （2）解法一解法一（向量法）（向量法） ： 分别以 DA、DC 所在直线为x轴、y轴， 以 D 为垂足作面 DAC 的垂线 DZ 为z轴，建系如图-7 分 (0,0,0), (2,2,0), (2,0,2) (0,4,4)DBEF， 则(2,2,0),(2,0,2),(0,4,4)DBDEDF,-8 分 设面 DEB 的法向量为( , , )mx y z
26、， 则 0220 220 0 m DBxy xz m DE ， 取1x ，则1yz，故(1, 1, 1)m -9 分 设面 DBF 的法向量为( , , )nx y z，则 0220 440 0 n DBxy yz n DF ， 取1x ，则1,1yz，故(1, 1,1)n-10 分 则 1 cos, 3| | m n m n mn ， -11 分 由图可得二面角 E-BD-F 的余弦值为 1 3 -12 分 【注：右图建系方法的法向量【注：右图建系方法的法向量(1,1,1)m和和(1,1, 1)n】 A B C D E F y z x A B C D E F y z x A B C D E
27、F 第 6 页，共 11 页 解法解法二（几何法）二（几何法） ： 由（1）得DBFBC面，则DBFB， 取 DB 中点 M，DF 中点 N，连接 EM，MN（如图） 则/MNBF，即MNDB.-7 分 2 2EBEDBD，EMBD， 则EMN为二面角 E-BD-F 的平面角.-8 分 易得6EM ， 22 11 6 22 MNBFBCFC，-9 分 由 EAHN 为矩形，则2 2ENAH-10 分 222 66 81 cos 232 66 EMMNEN EMN EM MN ，-11 分 故二面角的余弦值为 1 3 -12 分【没有没有此步骤，本得分点不给分】此步骤，本得分点不给分】 19 （
28、本小题满分 12 分） 【解析】 （1）解答一：解答一：设方案 2 的单价为，则单价的期望值为： 1342 ( )1618222420.6 10101010 E-2 分 因为( )20E，-3 分 所以从采购商的采购资金成本采购资金成本角度考虑，采取方案 1 比较好.-4 分 解答解答二二：设方案 2 的单价为，则单价的期望值为： 1342 ( )1618222420.6 10101010 E-2 分 虽然( )20E，( ) 200.6E，-3 分 但从采购商后期对水果分类的人力资源和时间成本对水果分类的人力资源和时间成本角度考虑，采取方案 2 较好. -4 分 【注意：本题为开放题，【注意
29、：本题为开放题，不排除学生有更多回答的角度，但不排除学生有更多回答的角度，但只要学生只要学生作出数学的计算，根据计算的结作出数学的计算，根据计算的结 果作出果作出有理有据有理有据的回答的回答，就可以适当给分，就可以适当给分】 （2）用分层抽样的方法从 100 个水果中抽取 10 个， 则其中精品果 4 个，非精品果 6 个.-5 分 现从中抽取 3 个，则精品果的数量 X 服从超几何分布， X 所有可能的取值为：0,1,2,3.-6 分【取值没有取值没有列全，本得分点不给分】列全，本得分点不给分】 第 7 页，共 11 页 则 3 6 3 10 1 (0) 6 C P X C ， 31 64
30、3 10 1 (1) 2 C C P X C ， 12 64 3 10 3 (2), 10 C C P X C 3 4 3 10 1 (3) 30 C P X C ，-10 分 【此步骤中此步骤中每对每对 1 个得个得 1 分分，过程必须写出组合数，否则共扣，过程必须写出组合数，否则共扣 1 分】分】 所有 X 的分布列如下: X 0 1 2 3 P 1 6 1 2 3 10 1 30 -11 分【无列表，本得分点不给分】无列表，本得分点不给分】 11316 ()0123. 6210305 E X -12 分 20 （本小题满分 12 分） 【解析】 （1）设直线l的方程为xmyc，-1 分
31、22 (1)1xy的圆心为(1,0)，半径为 1. -2 分 由直线l与圆相切得： 2 |1| 1 1 c m ，化简得 22 2 ,mcc-3 分 直线l的方程代入抛物线，消去x得： 2 440(*)ymyc，-4 分 由直线l与抛物线相交于 A，B 两点，得 22 ( 4 )1600mcmc ， 将 22 2 ,mcc代入不等式，得 2 01ccc 或0c-5 分 注意到 22 202mccc 或0c-6 分 综上知，c 的取值范围是,02, （2）设 1122 ( ,), (,),(1,0)A x yB x yF由(*)得 1212 4 ,4yym y yc-7 分 22 12 1212
32、12 (1)(1)(1)(1) 44 yy FA FBxxy yy y 22 121212 311 ()()1 2164 y yy yyy-8 分 将 1212 4 ,4yym y yc代入上式， 由0FA FB，得 22 461 0cmc -9 分 第 8 页，共 11 页 所以 222 4(2 )6103210cccccc ， 解得 1 3 c 或1c（舍去） ，-10 分 故 7 . 3 m-11 分 所以直线l的方程为371 0xy 或3710xy - 12 分 21 （本小题满分 12 分） 【解析】 （1）由( )sin x f xeaxb，当 1a 时， ( )sin( )cos
33、 . xx f xexbfxex -1 分 当0,)x时，1 x e ， 当cos12,1 x xxkkNe时，此时.-2 分 所以 ( ) cos0 x fxex，即( )f x在0,)x上单调递增-3 分 故 min ( )(0)1f xfb ，-4 分 由( )0f x 恒成立，得10b ，所以1.b-5 分 （2）解法一：解法一： ( ) cos x fxeax，且(0) 1.fb 由题意得 0 (0)10.feaa -6 分 又(0,1)b在切线1 0xy 上，代入得：0 1102bb ，-7 分 所以( )2 x f xe. 下面先证：21 x ex ，即10(0) x exx ，
34、令( )1(0) x g xexx 则 ( ) 1 x g xe，所以( )g x在(0,)是增函数. -8 分 故( )(0)0g xg，即21 x ex -9 分 再证：1 lnxx ，即1 ln0(0)xxx ， 令( )1 lnxxx ，则 11 ( )1 x x xx ( ) 01xx.故( ) x在(0,1)上是减函数，在(1,)上是增函数，-10 分 则 min ( )(1)0x，即1 ln0xx ， 第 9 页，共 11 页 所以1 lnxx -11 分 由得2ln x ex ，即( )lnf xx在(0,)成立.-12 分 解法解法二二： ( ) cos x fxeax，且(0) 1.fb 由题意得 0 (0)10.feaa -6 分 又(0,1)b在切线1 0xy 上，代入得：0 1102bb ，-7 分 所以( )2 x f xe. 要证2ln x ex 在(0,)上成立2 ln0 x ex 在(0,)上成立. 令( )ln2(0) x g xexx，则 11 ( )(0) x x xe g xex xx -8 分 令 ( )1( )(1)0 xx h xxeh xex ，所以( )h x在(0,)上递增. 令( )0h x
