1、高三数学(文科)试卷 共 5 页 第 1 页 2020 届宁德市普通高中毕业班 6 月质量检查试卷 文 科 数 学 本试卷共 5 页。满分 150 分。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 1已知集合 24 ,1 x AxBx yx，则 A2,B1,C1,2D1,2 2已知(2i)iz，则z A 1 5 B 1 3 C 5 5 D 3 3 3已知等差数列的前 n 项和为 ，且，则 A B. C D 4已知, l m为两条不同直线，, 为两个不同平面，则下列命题中真命题的是 A若mml,/，则/l B若,lm m，则
2、l C若m,/，则/m D若,m，则m 5函数 1 ( )()cos ,00,f xxx x x 的图象可能为 A B C D 6已知数列满足 ，则数列的前 10 项和为 A B C D 7设实数 x，y 满足不等式组 20 3 0 xy xy y ， ， ， 则 1 3 x y 的最大值为 A 1 27 B1 C3 D27 8在三棱锥SABC中，SA平面ABC，AB BC，2ABBC，若其外接球的表面 积为12，则SA A1 B2C2 3D4 AB n a n S 258 9aaa 9 S 21273036 n a 1 1 nn n aa n 1 1a 1nn a a 10 11 11 10
3、 9 10 10 9 高三数学(文科)试卷 共 5 页 第 2 页 9若将函数sin cosyxx的图象向右平移 6 个单位长度，则平移后图象的对称中心为 A ,0 26 k k Z B,0 26 k k Z C ,0 212 k k Z D,0 212 k k Z 10著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”音乐中使用的乐音在高度上不 是任意定的,它们是按照严格的数学方法确定的 我国明代的数学家、音乐理论家朱载堉 创立了十二平均律，是第一个利用数学使音律公式化的人十二平均律的生律法是精确 规定八度的比例，把八度分成 13 个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数如下 表所示，用 12
4、13 ,a aa表示这些半音的频率，且满足 12 1 2 log1(1,2,12) i i a i a 若 某一半音与 # D的频率之比为 3 2，则该半音为 频率 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 a 11 a 12 a 13 a 半音 C # C D # D E F # F G # G A # A B C（八度） A # F B G C # G DA 11已知函数 2 1,2, ( ) log,2, x f x xx 则不等式 (21)(4 )fxfx 的解集为 A B C D 12已知椭圆 22 :1 1612 xy C，圆:A 22 320x
5、yxy，,PQ分别为椭圆C和圆A上 的点， ( 2,0)F ，则PQ PF 的最小值为 A 3 2 4 2 B83 2 C42 D82 11 (,)( ,) 22 3 (,(1,) 2 (, 1(1,) 11 (,)( ,) 62 高三数学(文科)试卷 共 5 页 第 3 页 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知向量 (3 1),( , 2)x，ab ，且a,b共线，则a b_ 14袋中共有 4 个除了颜色外完全相同的球，其中有 1 个红球、1 个白球和 2 个黑球从 袋中任取两球，则两球颜色为一白一黑的概率为_ 15已知双曲线 22 22 1(0,0) xy
6、 ab ab 的一条渐近线与曲线相切，则该双曲线 的离心率为_ 16对于任意实数m，函数( )eee xmm f xaxm都有两个零点，则实数a的取值范围 是_ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考 题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17(12 分) 端午节是我国民间为纪念爱国诗人屈原的一个传统节日某市为了解端午节期间粽子 的销售情况， 随机问卷调查了该市 1000 名消费者在去年端午节期间的粽子购买量 （单位： 克） ，所得数据如下表所示： 购买量 0, 100 100,
7、 200 200, 300 300, 400 400, 500 人数 100 300 400 150 50 将频率视为概率 （1）试求消费者粽子购买量不低于300克的概率； （2）若该市有 100 万名消费者，请估计该市今年在端午节期间应准备多少千克粽子 才能满足市场需求（以各区间中点值作为该区间的购买量） 18(12 分) 在中，, ,A B C的对边分别是, ,a b c，3 cossin0aBbA （1）求角B的大小； （2）若7,5bac，求AC边上的高 1lnyx ABC 高三数学(文科)试卷 共 5 页 第 4 页 19(12 分) 如图， 在ABC中，ACBC，30BAC，4AB
8、 ， ,E F分别为,AC AB的中点 PEF是AEF以EF为轴旋转得到，连结AP，BP，CP （1）证明：； （2）若，棱上是否存在一点，使得？若存在，确定点 的位置；若不存在，请说明理由 20(12 分) 已知抛物线：，过 (1,0)P 的直线l与交于,M N两点当l垂直 于 x 轴时，MON的面积为 2 （1）求抛物线的方程； （2）若在x轴上存在定点Q满足3QM QN，试求Q的坐标 21(12 分) 已知函数( )2eln (0) x f xax a （1）讨论( )f x的导函数( )fx零点的个数； （2）若( )f xa，求a的取值范围 APBPC 平面 3APPCM E APF
9、P EMB VV M C 2 20ypx pC C 高三数学(文科)试卷 共 5 页 第 5 页 (二二)选考题：共选考题：共 10 分分请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第 一题记分一题记分 22选修 44：坐标系与参数方程（10 分） 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是 cos sin xr yr ， （为参数，0r ） 以 坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 cos()2 2 4 ，且直线l与曲线C相交于A，B两点 （1）写出曲线C的普通方程，并将l的极坐标方程化为
10、直角坐标方程； （2）若4r ，点4 0P,满足 11 = 2 PAPB ，求此时r的值 23选修 45：不等式选讲 （10 分） 已知函数 1f xxax （1）当0a 时，求不等式 1f x 的解集A （2）设 3 2 f xx的解集为B，若AB，求实数a的值 文科数学答案与评分细则 第 1 页 共 8 页 2020 年宁德市普通高中毕业班质量检查试卷（6.6） 数学（文科）试题参考答案及评分标准数学（文科）试题参考答案及评分标准 说明： 1.本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，给出一种或几种解法供参考如果考 生的解法与给出的解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准确定相应的评分
11、细 则 2.对解答题，当考生的解答在某一步出现错误，但整体解决方案可行且后续步骤没有 出现推理或计算错误，则错误部分依细则扣分，并根据对后续步骤影响的程度决定后继部 分的给分，但不得超过后续部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重 的错误，就不再给分 3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4.解答题只给整数分数，选择题和填空题不给中间分 一、选择题：本题考查基础知识和基本运算本题考查基础知识和基本运算本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 1. D 2.C 3.B 4. C 5.A 6.A 7.C 8.B 9.A 10.B 11.A 12.D 二
12、、填空题 ：本题考查基础知识和基本运算本题考查基础知识和基本运算本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13 14 15 16 三、解答题：本大题 共 6 小题，共 70 分 17. 本小题主要考查了平均数、概率等基础知识，考查数据分析能力、运算求解能力，考 查化归与转化思想等.满分 12 分. 解:（1）在随机调查的该超市 1000 名消费者中， 粽子购买量不低于克的共有人，2 分 所以消费者粽子购买量不低于300克的概率4 分 （2）由题意可得，购买 0, 100 的概率为，购买 100, 200的概率为 ，购买 200, 300的概率为，购买300, 400的概率为，购买400
13、, 500的概率为 6 分 所以粽子购买量的平均数为 10分 所以需准备粽子的重量为12 分 20 1 3 2 1 (0, ) e 300200 2001 10005 P 0.10.3 0.40.150.05 50 0.1 150 0.3250 0.4350 0.15450 0.05x 225克 6 0.225 10225000千克 文科数学答案与评分细则 第 2 页 共 8 页 18.本小题主要考查三角函数公式、正余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，逻辑推 理能力，化归与转化思想等满分 12 分 解:（1）在中，因为3 cossin0aBbA， 由正弦定理得，3sincossinsin0A
14、BBA，2 分 因为sin0A，所以3cossin0BB，3 分 所以tan3B ，4 分 因为 0B， ，所以 3 B . 5 分 （2）设AC边上的高为， 因为 3 B ， 7,5bac， 所以 22222 2cosbacacBacac，7 分 即 2 7()3acac，8 分 所以6ac，9 分 因为 13 3 sin 22 ABC SacB， 17 22 ABCbb Sbhh，11 分 所以 73 3 22 b h， 3 21 7 b h 所以AC边上的高 3 21 7 . 12 分 19.本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、平面与平面位置关系，几 何体的体积等基础知识
15、，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与 转化思想等满分 12 分 解法一:（1）依题意得， 所以1分 因为分别为的中点， 所以 因为 所以 又因为由AEF沿旋转得到， 所以3分 ABC 0 h AEEPEC APPC ,E F,AC AB / /EFBC ACBC EFAC PEFEF EFPE 文科数学答案与评分细则 第 3 页 共 8 页 ， 则4 分 所以，即5 分 所以6 分 （2）因为， 0 30BAC， 所以，7 分 又，所以8 分 由（1）知 所9 分 若， 则 所以10 分 由（1）知，在中， ，即 解得 所以为正三角形，11 分 即， 所以为的中点12 分
16、 解法二： （1）因为由AEF沿旋转得到， 所以在中， 所以，2 分 同理，在中，4 分 因为，5 分 ACPEEACAPC 平面PEAPC 平面 EFAPC 平面 EFAPBCAP BCPCC APBPC 平面 ACBC4AB 2 3AC 3AEPE 2BC 3AP 3 3 4 APE S EFAPC 平面 113 33 1 3344 PAEFFAPEAPE VVSEF E APFP EMB VV 13 34 EMC SBC 3 3 8 EMC S Rt APC 222 APPCAC 222 3(2 3)PC 3PC PEC 3 3 4 PEC S 1 2 EMCPEC SS MPC PEF
17、EF APCAEEPEC APPC APBAPPB PBPCPPBPBC 平面PCPBC 平面 文科数学答案与评分细则 第 4 页 共 8 页 所以6 分 （2）若， 则8 分 因为， 所以，10 分 又 所以为的中点.12 分 20.本小题主要考查直线，抛物线，直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解 能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问 题的能力满分 12 分 解： （1）由 2 2, 1 ypx x 得2yp .1 分 因为直线 l 垂直于 x 轴时，MON的面积为 2， 所以 11 | |2 212 22 MNOPp ，2 分 解得 2
18、p ，3 分 所以抛物线C的方程为 2 4yx.4 分 （2）依题意可设直线l的方程为 1xmy ， 01122 (,0),( ,),(,)Q xM x yN xy， 由 2 4 , 1 yx xmy 得 2 440ymy，5 分 显然0 恒成立， 121 2 4 ,4yym y y .6 分 因为 101202 (,) (,)QM QNxxyxxy 7 分 10201 2 () ()xxxxy y APBPC 平面 E APFP EMB VV FAPEB MCE VV 1 / / 2 EFBCEFBC且 2 APEEMC SS AEEC MPC 10201 2 (1)(1)myxmyxy y
19、 22 1 20120 (1)(1)()(1)my ymxyyx 文科数学答案与评分细则 第 5 页 共 8 页 所以 所以 此时点Q的坐标为(0,0).12 分 21本小题主要考查函数、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算 求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形 结合思想等满分 12 分 解法一:（1）( )2e(0,0) x a fxxa x ，1 分 当0a 时，由0x 得，( )2e2 x fx，所以 ( )fx 没有零点；2 分 当0a 时， ( )fx 在(0, )单调递增，3 分 又( )2e10 a f a ， 设 1
20、0 2 b且 4 a b ，则2e2 e,4 b a b ， ( )2 e40f b， 所以 ( )fx 有且只有一个零点. 5 分 （2）依题意得，2eln0(0) x aaxa在0 +，恒成立. 当0a 时，不等式显然成立；6 分 当0a 时，(1ln )2exax，即 21ln ex x a 成立，7 分 设 1ln ( ) ex x g x ， 则 1 1ln ( ) e x x g x x ，8 分 设 1 ( )1lnh xx x ，则( )h x在0 +，单调递减，且(1)0h，9 分 所以，当 0,1x 时， ( )0h x ， ( )0g x ， ( )g x单调递增； 当
21、1,+x时，( )0h x ， ( )0g x ， ( )g x单调递减. 222 00 22 00 4(1)4(1)(1) 4(1)4 3 mmxx x mx 0 2 0 40 (1)43 x x 0 0x 文科数学答案与评分细则 第 6 页 共 8 页 所以 max 1 ( )(1) e g xg.10 分 所以 21 ea ，解得0,2ea.11 分 综上，当 0,2ea 时， ( )f xa . 12 分 解法二:（1）( )2e(0,0) x a fxxa x ，1 分 当0a 时，由0x 得，( )2e2 x fx，所以 ( )fx 没有零点；2 分 当0a 时，曲线2exy 与
22、a y x 在(0,)x只有一个交点，4 分 所以( )2e(0) x a fxx x 有且只有一个零点. 5 分 （2） 依题意得，2eln0(0) x aaxa在0 +，恒成立. 当0a 时，不等式显然成立；6 分 当0a 时，设( )( )2eln x g xf xaaax，则( )2ex a g x x ， 由（1）知， ( )g x 在 0 +， 单调递增，且只有一个零点， 即存在唯一 0 0x ，使得 0 0 0 ()2e0 x a g x x ，7 分 当 0 (0,)xx时，( )0g x ， ( )g x单调递减； 当 0 (,)xx时，( )0g x ， ( )g x单调递
23、增； 所以， 0 min00 ( )()2eln x g xg xaax，8 分 由 0 0 2e0 x a x ，得 0 00 0 2e,lnln 2 x aa xx x ，9 分 所以000 00 ()(ln)lnln0 222 aaaaa g xaaxaxaaaa xx ，10 分 解得，02ea，11 分 综上，当 0,2ea 时， ( )f xa . 12 分 文科数学答案与评分细则 第 7 页 共 8 页 解法三:（1）( )2e(0,0) x a fxxa x ，1 分 因为 ( )fx 零点个数即 (0)ya a 与2 e (0) x yxx交点个数，2 分 设( )2 e (
24、0) x h xxx，则( )2(1)exh xx， 当 0,x时，( )0h x 恒成立， ( )h x单调递增. 又 (0)0h ，3 分 所以当0a 时， ( )fx 没有零点；4 分 当0a 时，有且只有一个零点.5 分 （2）同解法一. 22选修44；坐标系与参数方程 本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、参数方程的应用，意在考查考生综合运用知识 和运算求解能力 满分 10 分 曲线C的普通方程为 222 xyr，2 分 （1）将 cos ,sinxy 代入直线l的极坐标方程中， 得到l的直角坐标方程为 40xy 4 分 （2）点4 0P，在直线l上， 则l的参数方程可设为 2 4
25、2 2 2 xt yt （t为参数）5 分 将l的参数方程与曲线C的普通方程联立，得 22 4 2160ttr 显然0 ， 设点AB、对应的参数分别为 12 、tt，则由韦达定理得 12 2 12 4 2 16 tt ttr ， ， 6 分 且当4r 时， 2 12 160ttr7 分 所以 21 21 2 2 12 114 2 =2 1616 tttt PAPBttrr ，9 分 得 2 5r 10 分 23选修45：不等式选讲 文科数学答案与评分细则 第 8 页 共 8 页 本小题考查含绝对值、参数的不等式有解问题与基本不等式的应用，考查运算求解能力、 推理论证能力，考查化归与转化思想等
26、满分 10 分 解法一： （1）当0a 时， 1f xxx 解不等式11xx 由绝对值不等式知，111xxxx2 分 当且仅当10xx时等号成立，3 分 因此 1f x的解集A=01xx4 分 （2）由AB，即01 ，x，不等式 3 2 f xx 恒成立5 分 01 ，x， 3 2 f xx 等价于 3 1 2 xaxx，整理得 1 2 xa7 分 故 11 22 xa在01 ，x恒成立8 分 则 1 2 1 2 ax ax 在01 ，x恒成立，得 1 2 1 2 a a 所以实数a的值为 1 2 10 分 解法二： （1）当0a 时， 1f xxx 解不等式11xx 当0x时， 等价于11 xx，解得0x1 分 当01x时， 等价于11 xx，解得01x2 分 当1x时， 等价于1 1xx ，解得1x3 分 因此 1f x的解集A为01xx4 分 （2）同解法一.
