1、2020 年高考数学模拟试卷（文科）（4 月份） 一、选择题（共 12 小题）. 1设集合 Mx|x 2+3x+20，集合 Nx|（ ） x4，则 MN（ ） Ax|x2 Bx|x1 Cx|x1 Dx|x2 2已知复数 z 的对应点在直线 yx 上，则 z （ ） A1 B2 C3 D4 3在平面直角坐标系 xOy 中，角 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合，终边交 单位圆 O 于点 P（a，b），且 a+b ，则 cos（2 ）的值是（ ） A B C D 4某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状 图、90 后从事互联网行业者岗位分布条形图，则
2、下列结论中不正确的是（ ） 注：90 后指 1990 年及以后出生，80 后指 19801989 年之间出生，80 前指 1979 年及以 前出生 A互联网行业从业人员中 90 后占一半以上 B互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 20% C互联网行业中从事产品岗位的 90 后人数超过总人数的 5% D互联网行业中从事运营岗位的 90 后人数比 80 前人数多 5若“ 0”是“|xa|2”的充分而不必要条件，则实数 a 的取值范围是（ ） A（1，3 B1，3 C（1，3 D1，3 6函数 f（x）sinx cosx（xR）的图象与 x 轴的两个相邻交点的距离是 ，将 f（x） 的图象向
3、左平移 个单位长度后得到函数 g（x）的图象，则函数 g（x）在0， 上的单 调增区间为（ ） A0， B ， C ， D ， 7在区间0，2上任取两个数 x，y 且 x+y2，则使 x2+y21 的概率是（ ） A B C D 8已知双曲线 1（a0，b0），过其左焦点 F 作 x 轴的垂线，交双曲线于 A， B 两点， 若双曲线的右顶点在以 AB 为直径的圆外， 则双曲线离心率的取值范围是 （ ） A（1， ） B（1，2） C（ ，+） D（2，+） 9已知 f（x）（sin） x，（0， ），设 ，bf（log43），cf（log165）， 则 a，b，c 的大小关系是（ ） Acab
4、 Bacb Cbac Dcba 10设函数 f（x）在 R 上可导，其导函数为 f（x），且函数 f（x）在 x1 处取得极大 值，则函数 yxf（x）的图象可能是（ ） A B C D 11在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（1，0），动点 M 满足以 MA 为直径的圆与 y 轴相切， 已知 B（2，1），则|MA|+|MB|的最小值为（ ） A1 B2 C3 D4 12已知函数 f（x） ， ， ，函数 g（x）x3，若方程 g（x）xf（x） 有 4 个不同实根，则实数 a 的取值范围为（ ） A（5， ） B（5， C（3，5） D（3，5） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题
5、5 分，共 20 分把答案填在答题卡相应题号后的横线 上 13已知 ，| |2，| |3，且 3 2 与 垂直，则实数 的值为 14在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若（a+b）（sinAsinB）（ac） sinC，b2，则ABC 的外接圆面积为 15已知函数 f（x）ln（ ）+x+1，且 f（a）+f（a+1）2，则 a 的取值范围是 16农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角 黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义 诗人屈原如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为 1 的正三角形构成的，
6、将它沿 虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为 ；若该 六面体内有一球，则该球体积的最大值为 三.解答题：本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 17 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 为选考题，考生根据要求作答（一）必 考题：共 60 分 17各项均为数的数列an的首项 a1 ，前 n 项和为 Sn，且 Sn+1+Sna （1）求an的通项公式； （2）若数列bn满足 bn ，bn的前 n 项和为 Tn，证：Tn 2 18已知某地区某种昆虫产卵数和温度有关，现收集了一只该品种昆虫的产卵数 y（个）和 温度
7、 x（C）的 7 组观测数据，其散点图如图所示： 根据散点图，结合函数知识，可以发现产卵数 y 和温度 x 可用方程 yebx+a来拟合，令 z lny，结合样本数据可知：z 与温度 x 可用线性回归方程来拟合 根据收集到的数据，计算得到如下值： （xi ）2 （zi ）2 （xi ）（zi ） 27 74 3.537 182 11.9 46.418 表中 zilnyi ， （1）求 z 和温度 x 的回归方程（回归系数结果精确到 0.001）； （2）求产卵数 y 关于温度 x 的回归方程；若该地区一段时间内的气温在 26C36C 之间（包括 26C 与 36C），估计该品种一只昆虫的产卵数
8、的范围， （参考数据：e3.282 27，e3.79244，e5.832341，e6.087440，e6.342548） 附：对于一组数据（1，v1），（2，v2），（n，vn），其回归直线 的 斜率和截距的最小二乘估计分别为 ， 19如图所示，四棱锥 PABCD，底面 ABCD 为四边形，ACBD，BCCD，PBPD， 平面 PAC平面 PBD， ，PCA30，PC4 （1）求证：PA平面 ABCD； （2）若四边形 ABCD 中，BAD120，ABBC，M 为 PC 上一点，且 ，求 三棱锥 MPBD 体积 20已知函数 f（x） alnx（a0） （）若函数 yf（x）图象上各点切线斜率
9、的最大值为 2，求函数 f（x）的极值点； （）若不等式 f（x）2 有解，求 a 的取值范围 21已知椭圆 1（ab0）左顶点为 M，上顶点为 N，直线 MN 的斜率为 （）求椭圆的离心率； （）直线 l：y x+m（m0）与椭圆交于 A，C 两点，与 y 轴交于点 P，以线段 AC 为对角线作正方形 ABCD，若|BP| （i）求椭圆方程； （ii）若点 E 在直线 MN 上，且满足EAC90， 求使得|EC|最长时，直线 AC 的方程 （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 两题中任选一道作答，并用 2B 铅笔将答题卡上 所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；
10、多涂、多答，按所涂的首题进 行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分选修 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（0，02），点 A 为曲线 C1上的动 点，点 B 在线段 OA 的延长线上，且满足|OA| |OB|6，点 B 的轨迹为 C2 （1）求 C1，C2的极坐标方程； （2）设点 C 的极坐标为（2，0），求ABC 面积的最小值 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+a|+|2x1|（aR） （1）当 a1 时，求不等式 f（x）2 的解集； （2）若 f（x）2
11、x 的解集包含 ， ，求实数 a 的取值范围 参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1设集合 Mx|x 2+3x+20，集合 Nx|（ ） x4，则 MN（ ） Ax|x2 Bx|x1 Cx|x1 Dx|x2 【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算即可得到结论 解：Mx|x2+3x+20x|2x1，集合 Nx|（ ） x4x|x2， 则 MNx|x2， 故选：A 2已知复数 z 的对应点在直线 yx 上，则 z （ ） A1 B2 C3 D4 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部等于虚部求得 a 值，
12、得到 z，再由 求解 解：z 对应点在直线 yx 上， ，即 a0 z1+i， 则 z 故选：B 3在平面直角坐标系 xOy 中，角 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合，终边交 单位圆 O 于点 P（a，b），且 a+b ，则 cos（2 ）的值是（ ） A B C D 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，求得 sin 和 cos 的值，再利用诱导公式、二倍角的正弦公式，求得要求式子的值 解：角 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合，终边交单位圆 O 于点 P（a， b）， 且 a+b sin+cos，sin2+cos21， sin ，cos ，
13、或 sin ，cos 则 cos（2 ）sin22sincos2 ， 故选：B 4某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状 图、90 后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（ ） 注：90 后指 1990 年及以后出生，80 后指 19801989 年之间出生，80 前指 1979 年及以 前出生 A互联网行业从业人员中 90 后占一半以上 B互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 20% C互联网行业中从事产品岗位的 90 后人数超过总人数的 5% D互联网行业中从事运营岗位的 90 后人数比 80 前人数多 【分析】本题可根据两个图
14、形的数据进行观察，比较，以及计算得出结果 解：由题意，可知： 对于 A：很明显从饼状图中可发现互联网行业从业人员中 90 后占 56%，占一半以上； 对于B： 互联网行业中从事技术岗位的90后人数占总人数的0.560.3960.221760.2， 则包括 80 后、80 前更大于总人数的 20%； 对于 C：产品岗位 90 后人数占总人数的 0.560.0650.03640.05； 对于 D：从事运营岗位的 90 后人数占总人数的 0.560.170.09520.03 故选：C 5若“ 0”是“|xa|2”的充分而不必要条件，则实数 a 的取值范围是（ ） A（1，3 B1，3 C（1，3 D
15、1，3 【分析】根据不等式的解法求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进 行求解即可 解：由 0 得 1x3，由|xa|2 得 a2xa+2， 若“ 0”是“|xa|2”的充分而不必要条件， 则 ，即 ，得1a3， 故选：B 6函数 f（x）sinx cosx（xR）的图象与 x 轴的两个相邻交点的距离是 ，将 f（x） 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 g（x）的图象，则函数 g（x）在0， 上的单 调增区间为（ ） A0， B ， C ， D ， 【分析】根据的性质求出 的值，结合三角函数的图象变换关系求出 g（x）的解析式， 结合函数的单调性进行求解即可 解：f（x）si
16、nx cosx2（ sinx cosx）2sin（x ）， 函数 f（x）sinx cosx（xR）的图象与 x 轴的两个相邻交点的距离是 ， ，即 4， 则 f（x）2sin（4x ）， 将 f（x）的图象向左平移 个单位长度后得到函数 g（x）的图象， 得 g（x）2sin4（x ） 2sin（4x+）， 由 2k 4x+2k ，kZ 得 k x k ，kZ， 0x ， 当 k1 时， x ，即函数的单调递增区间为 ， ， 故选：C 7在区间0，2上任取两个数 x，y 且 x+y2，则使 x2+y21 的概率是（ ） A B C D 【分析】由几何概型中的面积型可得：P（A） 扇形 三角形
17、 ，由扇形及三角形的面积公式 可得解， 解：设事件 A 为“在区间0，2上任取两个数 x，y 且 x+y2， 则使 x2+y21”， 则由几何概型中的面积型可得：P（A） 扇形 三角形 ， 故选：C 8已知双曲线 1（a0，b0），过其左焦点 F 作 x 轴的垂线，交双曲线于 A， B 两点， 若双曲线的右顶点在以 AB 为直径的圆外， 则双曲线离心率的取值范围是 （ ） A（1， ） B（1，2） C（ ，+） D（2，+） 【分析】由右顶点 M 在以 AB 为直径的圆的外，得|MF|AF|，将其转化为关于 a、b、c 的式子，再结合平方关系和离心率的公式，化简整理得 e2e20，解之即可得
18、到此双 曲线的离心率 e 的取值范围 解：由于双曲线 1（a0，b0），则直线 AB 方程为：xc， 因此，设 A（c，y0），B（c，y0）， 1，解之得 y0 ，得|AF| ， 双曲线的右顶点 M（a，0）在以 AB 为直径的圆外， |MF|AF|，即 a+c ， 将 b2c2a2，并化简整理，得 2a2+acc20 两边都除以 a2，整理得 e2e20， e1，解之得 1e2 故选：B 9已知 f（x）（sin） x，（0， ），设 ，bf（log43），cf（log165）， 则 a，b，c 的大小关系是（ ） Acab Bacb Cbac Dcba 【分析】根据题意，分析可得 f（x
19、）（sin）x为减函数，由对数的运算性质分析可得 log165 log2 log43，结合函数的单调性分析可得答案 解：根据题意，f（x）（sin）x，（0， ），则 0sin1，则函数 f（x）（sin） x 为减函数， 又由 log 2 log 4 log 167，log43log169，则有 log165 log2 log43， 则 cab， 故选：A 10设函数 f（x）在 R 上可导，其导函数为 f（x），且函数 f（x）在 x1 处取得极大 值，则函数 yxf（x）的图象可能是（ ） A B C D 【分析】由题设条件知：当 0x1 以及 x0 时，xf（x）的符号；当 x1 时，
20、 xf（x）0；当 x1 时，xf（x）符号由此观察四个选项能够得到正确结果 解：函数 f（x）在 R 上可导，其导函数 f（x）， 且函数 f（x）在 x1 处取得极大值， 当 x1 时，f（x）0； 当 x1 时，f（x）0； 当 x1 时，f（x）0 当 0x1 时，xf（x）0；x0 时，xf（x）0； 当 x1 时，xf（x）0； 当 x1 时，xf（x）0 故选：D 11在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（1，0），动点 M 满足以 MA 为直径的圆与 y 轴相切， 已知 B（2，1），则|MA|+|MB|的最小值为（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】设 M（x，y），又由动
21、点 M 满足以 MA 为直径的圆与 y 轴相切，则有（ ）2 （ ） 2+（ ） 2， 整理可得：y24x， 即可得 M 的轨迹是抛物线，其焦点为 A（1， 0） ， 准线为 x1， 作出图形， 过 B 作抛物线的准线的垂线， 垂足为 D， 交抛物线与 M， 则|BD|即为所求最小值 解：设 M（x，y），以 MA 为直径的圆的圆心为（ ， ）， 又由动点 M 满足以 MA 为直径的圆与 y 轴相切，则有（ ）2（ ）2 +（ ） 2， 整理得：y24x， 则 M 的轨迹是抛物线，其焦点为 A（1，0），准线为 x1， 如图， 则当 B、M、D 三点共线时，|MA|+|MB|取得最小值， |M
22、A|+|MB|取得最小值为|BD|2（1）3 故选：C 12已知函数 f（x） ， ， ，函数 g（x）x3，若方程 g（x）xf（x） 有 4 个不同实根，则实数 a 的取值范围为（ ） A（5， ） B（5， C（3，5） D（3，5） 【分析】方程 g（x）xf（x），化为 x3xf（x），即 x0 或 x2f（x），要使方程 g（x） xf（x）有 4 个不同实根，则需方程 x2f（x）有 3 个非 0 不同根，当 x0 时，方程 g （x）f（x）有 1 个根，则只需：x0 时，ya|x | 与 g（x）x2有两个交点即可， 数形结合得答案 解：方程 g（x）xf（x），化为 x3x
23、f（x），即 x0 或 x2f（x）， 要使方程 g（x）xf（x）有 4 个不同实根，则需方程 x2f（x）有 3 个非 0 不同根， 如图： 而当 x0 时，方程 g（x）f（x）有 1 个根， 则只需：x0 时，ya|x | 与 g（x）x2有两个交点即可 过点（ ， ）作 g（x）x2（x0）的切线，设切点为（m，m2） 切线方程为 ym22m（xm），把点（ ， ）代入上式得 m ， 切线斜率为 2m5 由 a （0 ） 0，解得 a 实数 a 的取值范围为（5， 故选：B 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡相应题号后的横线 上 13已知 ，
24、| |2，| |3，且 3 2 与 垂直，则实数 的值为 【分析】两个向量垂直的充要条件为两向量的数量积为零 解：因为 与 垂直 （ ） （ ）0 即 3 0 12180 故答案为 14在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若（a+b）（sinAsinB）（ac） sinC，b2，则ABC 的外接圆面积为 【分析】ABC 中，由条件利用正弦定理可得 a2+c2b2a，求得 cosB的值，即可求 得 B 的值利用正弦定理，圆的面积公式即可求解 解：ABC 中，由（a+b）（sinAsinB）（ac）sinC0， 利用正弦定理可得：（a+b）（ab）（ac）c0，即 a2+c2b
25、2a， cosB ， B b2， 设ABC 的外接圆半径为 R，可得 2R ，可得 R ，可得ABC 的外接 圆面积 SR2 故答案为： 15 已知函数 f （x） ln （ ） +x+1， 且 f （a） +f （a+1） 2， 则 a 的取值范围是 （ ， 0） 【分析】先求出函数的定义域，构造 g（x）f（x）1ln x，则 g（x）为奇函数， 且在定义域 （1， 1） 内单调递增， 不等式即 g （a） g （a1） ， 由 ， 解得 a 的范围 解：根据题意，函数 f（x）ln（ ）+x+1，有 0， 解可得1x1，即函数 f（x）的定义域为（1，1）， 设 g（x）f（x）1ln
26、x， 则 g（x）ln x（ln 1）g（x），则函数 g（x）为奇函数 当 x 在（1，1）内增大时， 增大，ln 增大，即 g（x）增大， 故 g（x）ln x 在（1，1）上为增函数， f（a）+f（a+1）2，等价于 f（a）1f（a+1）1，等价于 g（a）g（a+1）， 即 g（a）g（a1）， ，解得 a0， 故答案为：（ ，0） 16农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角 黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义 诗人屈原如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为 1 的正三角形构成的，将它沿 虚线折起来
27、，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为 ；若该 六面体内有一球，则该球体积的最大值为 【分析】该六面体是由两个全等的正四面体组合而成，正四面体的棱长为 1，在棱长为 1 的正四面体 SABC 中，取 BC 中点 D，连结 SD、AD，作 SO平面 ABC，垂足 O 在 AD 上，求出 ADSD ，OD ，SO ，该六面体的体积 V2VSABC；当该六面体内有一球，且该球体积取最大值时，球心为 O，且该球与 SD 相 切，过球心 O 作 OESD，则 OE 就是球半径，由此能求出该球体积的最大值 解：该六面体是由两个全等的正四面体组合而成，正四面体的棱长为 1， 如图，在棱长为
28、1 的正四面体 SABC 中， 取 BC 中点 D，连结 SD、AD， 作 SO平面 ABC，垂足 O 在 AD 上， 则 ADSD ，OD ，SO ， 该六面体的体积： V2VSABC2 当该六面体内有一球，且该球体积取最大值时，球心为 O，且该球与 SD 相切， 过球心 O 作 OESD，则 OE 就是球半径， SOODSDOE，球半径 ROE ， 该球体积的最大值为：V球 故答案为： ， 三.解答题：本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 17 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 为选考题，考生根据要求作答（一）必 考题：共 6
29、0 分 17各项均为数的数列an的首项 a1 ，前 n 项和为 Sn，且 Sn+1+Sna （1）求an的通项公式； （2）若数列bn满足 bn ，bn的前 n 项和为 Tn，证：Tn 2 【分析】 （1） 先由 Sn+1+Sna S ， 两式相减推得 an+1an （n 2），再验证 n1 时也成立，说明an是等差数列，求出其通项公式即可； （2）由（1）知 bn 2（ ），再利用裂项相消法求出前 n 项和为 T n即 可证明结论 解：（1）Sn+1+Sna ， 当 n2 时，S ， 由得，an+1+an ， an0，0，a n+1 an （n2）， 由知 S ，即 2a1+a2 ， 又 a
30、1 ，a2 ， a2a1 ，故 an+1an （nN*）， 所以数列an是首项 a1 ，公差 d 的等差数列， an （2）证明：由（1）知 bn 2（ ）， Tn2 （1 ） 2（1 ） 2 18已知某地区某种昆虫产卵数和温度有关，现收集了一只该品种昆虫的产卵数 y（个）和 温度 x（C）的 7 组观测数据，其散点图如图所示： 根据散点图，结合函数知识，可以发现产卵数 y 和温度 x 可用方程 yebx+a来拟合，令 z lny，结合样本数据可知：z 与温度 x 可用线性回归方程来拟合 根据收集到的数据，计算得到如下值： （xi ）2 （zi ）2 （xi ）（zi ） 27 74 3.53
31、7 182 11.9 46.418 表中 zilnyi ， （1）求 z 和温度 x 的回归方程（回归系数结果精确到 0.001）； （2）求产卵数 y 关于温度 x 的回归方程；若该地区一段时间内的气温在 26C36C 之间（包括 26C 与 36C），估计该品种一只昆虫的产卵数的范围， （参考数据：e3.282 27，e3.79244，e5.832341，e6.087440，e6.342548） 附：对于一组数据（1，v1），（2，v2），（n，vn），其回归直线 的 斜率和截距的最小二乘估计分别为 ， 【分析】（1）由已知求得 与 的值，即可得到 z 关于 x 的线性回归方程； （2）由
32、此产卵数 y 关于温度 x 的回归方程，再分别求出 x26 与 x36 的 y 值，结合函 数 ye0.255x3.348 单调递增得答案 解：（1）由 z 和温度 x 可以用线性回归方程拟合，设 ， ， z 关于 x 的线性回归方程为 ； （2）由（1）可得 lny0.255x3.348， 于是产卵数 y 关于温度 x 的回归方程为 ye0.255x3.348 当 x26 时，ye0.255263.348e3.28227； 当 x36 时，ye0.255363.348e5.832341 函数 ye0.255x3.348 单调递增， 在气温在 26C36C 之间时，该品种一只昆虫的产卵数的估计
33、范围是27，341内 的正整数 19如图所示，四棱锥 PABCD，底面 ABCD 为四边形，ACBD，BCCD，PBPD， 平面 PAC平面 PBD， ，PCA30，PC4 （1）求证：PA平面 ABCD； （2）若四边形 ABCD 中，BAD120，ABBC，M 为 PC 上一点，且 ，求 三棱锥 MPBD 体积 【分析】 （1） 设 ACBDO， 连结 PO， 推导出 POBD， 则 BD平面 PAC， PABD， 推导出 PAAC，PABD，由此能证明 PA平面 ABCD （2）点 M 到平面 PBD 的距离是点 C 到平面 PBD 的距离的 ，从而 ，由此能求出三棱锥 MPBD 体积
34、【解答】证明：（1）设 ACBDO，连结 PO， BCCD，O 为 BD 中点，又PBPD，POBD， 平面 PAC平面 PBD，平面 PAC平面 PBDPO， BD平面 PAC，PA平面 PAC，PABD， 在PCA 中，由余弦定理得 PA2PC2+AC22PC AC cos30， PA216+122 4， 而 PA2+AC2PC2，PAAC， PABD，BDACO，PA平面 ABCD 解：（2） 2，点 M 到平面 PBD 的距离是点 C 到平面 PBD 的距离的 ， ， 在四边形 ABCD 中，BAD120，ABBC， BAC60，ABACsin30 ，BC3， ， 三棱锥 MPBD 体
35、积： 20已知函数 f（x） alnx（a0） （）若函数 yf（x）图象上各点切线斜率的最大值为 2，求函数 f（x）的极值点； （）若不等式 f（x）2 有解，求 a 的取值范围 【分析】 （） 求出原函数的导函数， 得到当 时， f （x） 取最大值 ， 由 求得 a 值，代入函数解析式，分析单调性，进一步得到极值点 （）求出原函数的导函数，分析单调性，得到 f（x）f（ ）a+aln ，把关于 x 的 不等式 f（x）2 有解转化为 a+aln 2，即 0，再由 g（x）lnx+1x 的 单调性得到 g（x）g（1）0，则 0 等价于 0 且 ，由此求得 a 的取值范围 解：（）f（x
36、） （x0）（1 分） a0，当 时，f（x）取最大值 ， ， a0，a4 此时 f（x） ，在（0， ）上，f（x）0，f（x）单调递减，在 （ ，+）上，f（x）0，f（x）单调递增， f（x）的极小值点为 x ，无极大值点 （）f（x） ，其中 x0 且 a0， 在（0， ）上，f（x）0，f（x）单调递减，在（ ，+）上，f（x）0，f（x） 单调递增， f（x）f（ ）a+aln 关于 x 的不等式 f（x）2 有解，a+aln 2， a0， 0， 令 g（x）lnx+1x，g（x） ， 在（0，1）上，g（x）0，g（x）单调递增，在（1，+）上，g（x）0，g（x） 单调递减，
37、g（x）g（1）0， 0 等价于 0 且 a 的取值范围是 a0 且 a2 21已知椭圆 1（ab0）左顶点为 M，上顶点为 N，直线 MN 的斜率为 （）求椭圆的离心率； （）直线 l：y x+m（m0）与椭圆交于 A，C 两点，与 y 轴交于点 P，以线段 AC 为对角线作正方形 ABCD，若|BP| （i）求椭圆方程； （ii）若点 E 在直线 MN 上，且满足EAC90， 求使得|EC|最长时，直线 AC 的方程 【分析】（）根据直线的斜率可得 a2b，即可求出离心率， （）（i）将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求得 AC 及丨 PQ 丨， 根据勾股定理即可求出 b 的值
38、， （ii）根据平行间的距离公式求出|AE|，再根据勾股定理和二次函数的性质即可求出 解：（）左顶点为 M，上顶点为 N，直线 MN 的斜率为 ， e ， （）（i）由（）知椭圆方程为 x2+4y24b2， 设 A（x1，y1），C（x2，y2），线段 AC 中点 Q 则 ，整理得：x2+2mx+2m22b20， 由（2m）24（2m2b2）2b2m20， 则 x1+x22m，x1x22m22b2， y1+y2 （x1+x2）+2mm， 则 Q（m， m）， 由 l 与 y 轴的交点 P（0，m）， 丨 PQ| |m|， |BP|2|BQ|2+|PQ|2 |AC| 2+|PQ|2 （2b 2m
39、2 ） m 2 b2 ， b21， 即 b1， 椭圆方程为 y 21； （ii）由（i）可知|AC| ， 直线 MN 的方程为 y x+1， 直线 MN 与直线 L 的距离为 ， 点 E 在直线 MN 上，且满足EAC90， |AE| ， |EC|2|AE|2+|AC|2 （1m） 2+5（2m2） m2 m ， 当 m 时，此时|EC|最长， 故直线直线 AC 的方程 y x 一、选择题 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（0，02），点 A 为曲线 C1上的动 点，点 B 在线段 OA 的延长线上，且满足
40、|OA| |OB|6，点 B 的轨迹为 C2 （1）求 C1，C2的极坐标方程； （2）设点 C 的极坐标为（2，0），求ABC 面积的最小值 【分析】 （1） 直接利用转换关系， 把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换 （2）利用（1）的结论，进一步利用三角形的面积公式的应用求出结果 解：（1）曲线 C1的参数方程为 （ 为参数）， 转换为直角坐标方程为：x2+（y1）21， 转换为极坐标方程为：2sin， 设点 B 的极坐标为（，），点 A 的极坐标为（0，0） 则：|OB|，|OA|0， 且满足|OA| |OB|6， 整理得： ， 即：sin3 （2）点 C 的极坐标为（2，0）
41、， 则：|OC|3， 所以： ， |32sin2| 当 sin1 时，SABC的最小值为 1 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+a|+|2x1|（aR） （1）当 a1 时，求不等式 f（x）2 的解集； （2）若 f（x）2x 的解集包含 ， ，求实数 a 的取值范围 【分析】（1）代入 a 的值，通过讨论 x 的范围，求出不等式的解集即可； （2）求出不等式的解集，结合集合的包含关系得到关于 a 的不等式组，解出即可 解：（1）a1 时，f（x）2 可化为|x1|+|2x1|2， 当 x 时，不等式为 1x+12x2，解得：x0， 当 x1 时，不等式为 1x+2x12，无解， 当 x1 时，不等式为 x1+2x12，解得：x ， 综上，不等式的解集是（，0 ，+）； （2）若 f（x）2x 的解集包含 ， ， 则不等式可化为|x+a|+2x12x，即|x+a|1， 解得：a1xa+1， 由题意得 ，解得： a ， 故实数 a 的范围是 ，
