1、安徽省淮南市安徽省淮南市 2020 届高三第二次模拟考试数学文科试题届高三第二次模拟考试数学文科试题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 请把正确答案的代号填在题后的括号内）请把正确答案的代号填在题后的括号内） 1已知集合 Ax|2x30，集合 B0，1，2，3，则 AB（ ） A1 B2，3 C1，2，3 D*| 3 2+ 2已知 i 为虚数单位，复数 = 2 1+ + 3，则复数 z 的虚部是（ ） Ai B1 C2i D2 3已知抛物线 C： = 1 4 2，则
2、下列关于抛物线 C 的叙述正确的是（ ） A抛物线 C 没有离心率 B抛物线 C 的焦点坐标为( 1 16，0) C抛物线 C 关于 x 轴对称 D抛物线 C 的准线方程为 y1 4已知函数 yf（x） （x，）的图象如图所示，则该函数的解析式可能为（ ） Af（x）sinxcosx Bf（x）sinx|cosx| Cf（x）|sinx|cosx Df（x）|sinxcosx| 5在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E，F 分别为棱 BC，CC1的中点，过点 A，E，F 作 平面截正方体的表面所得图形是（ ） A三角形 B平行四边形 C等腰梯形 D平面五边形 6执行如图所示的程序框图，则
3、输出的 a 值是（ ） A53 B159 C161 D485 7某居民小区 1 单元 15 户某月用水量的茎叶图如图所示（单位：吨） ，若这组数据的平均 数是 19，则 a+b 的值是（ ） A2 B5 C6 D8 8 已知实数 x， y 满足约束条件 + 2 0 2 2 0 1 ， 则目标函数 = (1 2) 2的最大值为 （ ） A1 B1 2 C1 4 D 1 16 9底面边长与侧棱长均相等的正四棱锥（底面为正方形，顶点在底面上的射影为正方形的 中心）的外接球半径与内切球半径比值为（ ） A3 + 1 B3 C2 + 1 D2 10已知函数 f（x）2sinxsin（x+2）是 R 上的
4、奇函数，其中 (0， 2)，则下列关于函 数 g（x）cos（2x）的描述中，其中正确的是（ ） 将函数 f（x）的图象向右平移 8个单位可以得到函数 g（x）的图象； 函数 g（x）图象的一条对称轴方程为 = 8； 当 ,0， 2-时，函数 g（x）的最小值为 2 2 ； 函数 g（x）在, 8 ， 5 8 -上单调递增 A B C D 11已知函数() = 2 3 + 2， 1 ，1 ，若存在 x0R，使得 f（x0）ax0a1 成立， 则实数 a 的取值范围是（ ） A （0，+） B3，0） C （，31，+） D （，3（0，+） 12已知 F1，F2分别是双曲线 C： 2 4 2
5、3 = 1的左，右焦点，动点 A 在双曲线的左支上， 点 B 为圆 E：x2+（y+3）21 上一动点，则|AB|+|AF2|的最小值为（ ） A7 B8 C6 + 3 D23 + 3 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，将每题的正确答案填在题中的横线上）小题，将每题的正确答案填在题中的横线上） 13已知曲线 f（x）（x+a）lnx 在点（1，0）处的切线方程为 y2（x1） ，则实数 a 的 值为 14已知平面向量 ， 满足| | = 2，| | = 3， = (2，3)，设 ， 的夹角为 ，则 cos 的值为 15 如图是以一个正方形的四个顶点和中心为圆心， 以边长的一半
6、为半径在正方形内作圆弧 得到的 现等可能地在该正方形内任取一点， 则该点落在图中阴影部分的概率为 16在ABC 中，角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c若 = 62( + 4)，c6，则 ABC 外接圆的半径大小是 三、解答题： （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）三、解答题： （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17已知各项均不为 0 的等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a59，且 a1，a4，S7成等比数 列 （）求数列an的通项公式 an与 Sn； （）设= (1)(+ 2)，求数列bn的前 20 项和 T20 18 如图， 圆锥PO中， AB是圆O的直径， 且A
7、B4， C是底面圆O上一点， 且AC23， 点D为 半径 OB 的中点，连 PD （）求证：PC 在平面 APB 内的射影是 PD； （）若 PA4，求底面圆心 O 到平面 PBC 的距离 19某生物研究所为研发一种新疫苗，在 200 只小白鼠身上进行科研对比实验，得到如表统 计数据： 未感染病毒 感染病毒 总计 未注射疫苗 30 x y 注射疫苗 70 z w 总计 100 100 200 现从未注射疫苗的小白鼠中任取 1 只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为 7 10 （）能否有 99.9%的把握认为注射此种疫苗有效？ （）在未注射疫苗且未感染病毒与注射疫苗且感染病毒的小白鼠中，分别抽取
8、3 只进 行病例分析，然后从这 6 只小白鼠中随机抽取 2 只对注射疫苗情况进行核实，求抽到的 2 只均是注射疫苗且感染病毒的小白鼠的概率 附：2= ()2 (+)(+)(+)(+)，na+b+c+d， P（K2k0） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 20在平面直角坐标系 xOy 中，动点 P 到直线 x4 的距离与到定点 F（1，0）的距离之比 为 2 （）求动点 P 的轨迹 E 的方程； （）过点 F 的直线交轨迹 E 于 A，B 两点，线段 AB 的中垂线与 AB 交于点
9、C，与直线 x4 交于点 D，设直线 AB 的方程为 xmy+1，请用含 m 的式子表示| |，并探究是 否存在实数 m，使| | = 3 5？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由 21已知函数 f（x）x2axlnx，其中 aR （）当 a1 时，判断函数 f（x）的零点个数； （）若对任意 x（0，+） ，f（x）0 恒成立，求实数 a 的取值范围 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题作答时请写清题 号号.选修选修 4-4 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 22在平面直角坐
10、标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 = 3 + 3 = 3 （其中 为参数） ，以 原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 +4cos 0 （）求曲线 C1的普通方程与曲线 C2的直角坐标方程； （）设点 A，B 分别是曲线 C1，C2上两动点且AOB= 2，求AOB 面积的最大值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|xm|+|x+ 1 +1|（其中实数 m0） （）当 m1，解不等式 f（x）3； （）求证：f（x）+ 1 (+1) 2 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题小题.在每小题给出的四个选
11、项中，只有一项是符合题目要求的，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 请把正确答案的代号填在题后的括号内）请把正确答案的代号填在题后的括号内） 1已知集合 Ax|2x30，集合 B0，1，2，3，则 AB（ ） A1 B2，3 C1，2，3 D*| 3 2+,来源:学科网- 求出集合 A，集合 B，由此能求出 AB 集合 Ax|2x30，集合 B0，1，2，3， 由条件知 = *| 3 2+， 则 AB2，3， 故选：B 本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 2已知 i 为虚数单位，复数 = 2 1+ + 3，则复数 z 的虚部是（ ） Ai
12、B1 C2i D2 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 = 2 1+ + 3 = 2(1) (1+)(1) + 3 = 2(1) 2 + 3 = 1 + 2， 其虚部为 2 故选：D 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 3已知抛物线 C： = 1 4 2，则下列关于抛物线 C 的叙述正确的是（ ） A抛物线 C 没有离心率 B抛物线 C 的焦点坐标为( 1 16，0) C抛物线 C 关于 x 轴对称 D抛物线 C 的准线方程为 y1 利用抛物线的性质逐一判断选项即可 因为抛物线的离心率为 1，故 A 错误； 根据抛物线方程可得 x24y，则焦点坐标为（0，1）
13、，故 B 错误； 该抛物线应该关于 y 轴对称，故 C 错误， 该抛物线准线方程为 y1，故 D 正确， 故选：D 本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题 4已知函数 yf（x） （x，）的图象如图所示，则该函数的解析式可能为（ ） Af（x）sinxcosx Bf（x）sinx|cosx| Cf（x）|sinx|cosx Df（x）|sinxcosx| 根据题意，由函数的图象可知：f（x）为奇函数且在0，上，f（x）0，据此分析选项 中函数的奇偶性以及在0，上 f（x）的符号，综合即可得答案 根据题意，由函数的图象可知：f（x）为奇函数且在0，上，f（x）0， 据此分析
14、选项： 对于 A，f（x）sinxcosx，有 f（x）sin（x）cos（x）sinxcosxf（x） ， 是奇函数，但在区间（ 2，）上，f（x）0，不符合题意； 对于 B，f（x）sinx|cosx|，有 f（x）sin（x）|cos（x）|sinx|cosx|f（x） ， 是奇函数，且在区间0，上，sinx0，有 f（x）0，符合题意； 对于 C，f（x）|sinx|cosx，有 f（x）|sin（x）|cos（x）|sinx|cosxf（x） ， 是偶函数，不符合题意； 对于 D，f（x）|sinxcosx|，有 f（x）|sin（x）cos（x）|sinxcosx|f（x） ， 是
15、偶函数，不符合题意； 故选：B 本题考查函数的图象分析，注意分析函数的奇偶性以及函数值的符号，属于基础题 5在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E，F 分别为棱 BC，CC1的中点，过点 A，E，F 作 平面截正方体的表面所得图形是（ ） A三角形 B平行四边形 C等腰梯形 D平面五边形 如图连 AD1，BC1，可得 EFBC1AD1，且 EF= 1 2BC1= 1 2AD1，故可得截面为梯形，根 据正方体性质可求得 AED1F 连 AD1，BC1， 则 EFBC1AD1， 且 = 1 21 = 1 2 1，于是所得截面图形是梯形， 设正方体棱长为 2a，则 = 1 = 5， 因此所得截
16、面图形是等腰梯形， 故选：C 来源:学科网 ZXXK 本题考查正方体的截面，考查线线平行证明，数形结合思想，属于中档题 6执行如图所示的程序框图，则输出的 a 值是（ ） A53 B159 C161 D485 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 a 的值，模拟 程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 执行循环体，依次得到： a5，k2； a17，k3； a53，k4； a161，k5， 此时不满足条件，输出 161 故选：C 本题主要考查了循环结构的程序框图， 正确写出每次循环得到的a， k的值是解题的关键， 属于基础题 7某居民小区 1 单元 1
17、5 户某月用水量的茎叶图如图所示（单位：吨） ，若这组数据的平均 数是 19，则 a+b 的值是（ ） A2 B5 C6 D8 由茎叶图的性质和平均数的定义直接求解 由茎叶图知：12+13+15+14+19+17+16+16+23+20+a+25+28+21+20+b+241915， 所以 a+b2 故选：A 本题考查两数和的求法，考查茎叶图等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程 思想，是基础题 8 已知实数 x， y 满足约束条件 + 2 0 2 2 0 1 ， 则目标函数 = (1 2) 2的最大值为 （ ） A1 B1 2 C1 4 D 1 16 由约束条件作出可行域，化目标函数为
18、直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立 方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案 实数 x，y 满足约束条件 + 2 0 2 2 0 1 ，作出可行域如图， 联立 + 2 = 0 2 2 = 0，解得 A（2，0） 由 = 1 + = 2解得 B（1，1） ， 化目标函数 u2xy 为 y2xu 由图可得，当直线 y2xu 过 B 时，直线在 y 轴上的截距最大，u 有最小值为 211 1 目标函数 = (1 2) 2取到最大值，最大值为(1 2) 1 = 1 2 故选：B 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题 9底面边长与侧棱长均相等的正四棱锥（底面为正方形，
19、顶点在底面上的射影为正方形的 中心）的外接球半径与内切球半径比值为（ ） A3 + 1 B3 C2 + 1 D2 不妨设其棱长为 2，如图所示，对角线 ACBDO1设球心为 O，半径为 R根据勾股 定理可得 PO1 设 OO1x， 则 x2+(2)2=R2， R+x= 2， 联立解得 R 设内切球半径 r， 根据体积计算公式可得1 3 r （22+ 1 2 2 3 4） = 1 3 22 2， 解得 r， 即可得出结论 不妨设其棱长为 2，如图所示，对角线 ACBDO1设球心为 O，半径为 R PO1=22 (2)2= 2 设 OO1x，则 x2+(2)2=R2，R+x= 2， 联立解得 R=
20、 2 设内切球半径 r，则1 3 r（22+ 1 2 2 3 4）= 1 3 22 2， 解得 = 2 3+1， 于是 =2 3+1 2 =3 + 1， 故选：A 本题考查了空间位置关系、勾股定理、三棱锥的体积计算公式、球的表面积，考查了推 理能力与计算能力，属于中档题 10已知函数 f（x）2sinxsin（x+2）是 R 上的奇函数，其中 (0， 2)，则下列关于函 数 g（x）cos（2x）的描述中，其中正确的是（ ） 将函数 f（x）的图象向右平移 8个单位可以得到函数 g（x）的图象； 函数 g（x）图象的一条对称轴方程为 = 8； 当 ,0， 2-时，函数 g（x）的最小值为 2
21、2 ； 函数 g（x）在, 8 ， 5 8 -上单调递增 A B C D 结合 f（x）奇偶性求出 ，进而也可以得到 g（x） ，然后利用三角函数图象与性质，逐个 验证可知正确 因为函数y2sinx是R上的奇函数， 要使函数f （x） 是R上的奇函数， 则函数ysin （x+2） 是 R 上的偶函数， 又 (0， 2)得2 = 2， 所以 = 4， 于是() = 2( + 2) = 2 = 2， () = (2 4) 将函数 f（x）的图象向右平移 8个单位得到函数 = 2( 8) = (2 4)的图象， 错误； 当 = 8时，( 8) = 1，正确； 当 ,0， 2-时， 4 2 4 3 4
22、 ，于是函数 g（x）的最小值为 2 2 ，正确； 又2 2 4 2 + ，即 + 8 + 5 8 ，于是函数 g（x）在, 8 ， 5 8 -上单 调递减，错误 故选：C 本题结合命题真假性考查了三角函数图象与性质，属于中档题 11已知函数() = 2 3 + 2， 1 ，1 ，若存在 x0R，使得 f（x0）ax0a1 成立， 则实数 a 的取值范围是（ ） A （0，+） B3，0） C （，31，+） D （，3（0，+） 画出函数的图象，判断直线系结果的定点，利用数形结合转化求解即可 作出函数 f（x）的图象，直线 yaxa1a（x1）1 过定点（1，1） 当 a0 时，显然满足题意
23、； 当 a0 时，不符合； 当 a0 时，联立 = 2 3 + 2 = 1 ， 得 x2（a+3）x+a+30， 其（a+3）24（a+3）（a+3） （a1）0， 解得 a3 综上可得实数 a 的取值范围是（，3（0，+） ， 故选：D 本题考查函数与方程的应用，考查数形结合以及计算能力，是中档题 12已知 F1，F2分别是双曲线 C： 2 4 2 3 = 1的左，右焦点，动点 A 在双曲线的左支上， 点 B 为圆 E：x2+（y+3）21 上一动点，则|AB|+|AF2|的最小值为（ ） A7 B8 C6 + 3 D23 + 3 求得双曲线的 a，b，c，可得焦点坐标，求得圆 E 的圆心和
24、半径，运用双曲线的定义和 圆的性质，结合三点共线取得最值的性质，即可得到所求最小值 双曲线 2 4 2 3 = 1中 a2， = 3， = 4 + 3 = 7，1(7，0)， F2（7，0） ， 圆 E 半径为 r1，E（0，3） ， |AF2|AF1|+2a|AF1|+4， |AB|AE|BE|AE|1 （当且仅当 A，E，B 共线 且 B 在 A，E 之间时取等号） ， |AB|+|AF2|AE|1+|AF1|+4|AF1|+|AE|+3|EF1|+3 =(7)2+ 32+37， 当且仅当 A 是线段 EF1与双曲线的交点时取等号 |AB|+|AF2|的最小值是 7 故选：A 本题考查双曲
25、线的定义和方程、性质，以及圆的方程和性质，考查三点共线取得最值的 性质，考查运算能力，属于中档题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，将每题的正确答案填在题中的横线上）小题，将每题的正确答案填在题中的横线上） 13已知曲线 f（x）（x+a）lnx 在点（1，0）处的切线方程为 y2（x1） ，则实数 a 的 值为 1 先对函数求导数，然后令 x1 处的导数为 2，即可解出 a 的值 由题意() = + + ， 所以 f（1）1+a2，得 a1 故答案为：1 本题考查导数的几何意义，以及学生运用方程思想求解问题的能力属于基础题 14已知平面向量 ， 满足| | = 2，| |
26、= 3， = (2，3)，设 ， 的夹角为 ，则 cos 的值为 2 3 通过向量的模的运算法则，结合已知条件，利用向量的数量积求解即可， 由已知得| |2= 2 2 + 2 = 5， 于是 = 4， = | | |= 4 23 = 2 3 故答案为：2 3 本题考查向量的数量积以及向量的模的运算法则的应用，考查计算能力，是基础题 15 如图是以一个正方形的四个顶点和中心为圆心， 以边长的一半为半径在正方形内作圆弧 得到的现等可能地在该正方形内任取一点，则该点落在图中阴影部分的概率为 2 1 设正方形的边长为 2a，求出空白部分的面积，再由正方形面积减去空白部分的面积得到 阴影部分的面积，由测
27、度比是面积比得答案 设正方形的边长为 2a，则空白部分的面积为（2a）2a228a22a2， 因此所求概率为4 2(8222) 42 = 2 1 故答案为： 2 1 本题考查几何概型概率的求法，考查圆面积公式的应用，是基础题 16在ABC 中，角 A，B，C 所对边分别为a，b，c若 = 62( + 4)，c6，则 ABC 外接圆的半径大小是 32 由已知利用三角函数恒等变换的应用，正弦定理 sinBcosCsinBsinC，结合 sinB0，可 求 tanC1，结合范围 C（0，） ，可求 = 4，设ABC 外接圆的半径大小为 R，根据 正弦定理即可求解ABC 外接圆的半径 由条件知 =2(
28、 + 4) = 2( 2 2 + 2 2 ) = + ， 根据正弦定理得： = ， 所以 sinAsinC （sinB+cosB）sinCsinB+sinCcosB， 又 sinAsin（B+C）sinBcosC+cosBsinC， 于是 sinBcosCsinBsinC， 因 sinB0， 所以 tanC1， 又 C（0，） ， 所以 = 4， 设ABC 外接圆的半径大小为 R，根据正弦定理得2 = = 6 4 = 62， 因此 = 32 故答案为：32 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了 计算能力和转化思想，属于基础题 三、解答题： （解答应写出文
29、字说明三、解答题： （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）、证明过程或演算步骤） 17已知各项均不为 0 的等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a59，且 a1，a4，S7成等比数 列 （）求数列an的通项公式 an与 Sn； （）设= (1)(+ 2)，求数列bn的前 20 项和 T20 （）设等差数列an的公差为 d，运用等差数列的通项公式和求和公式，以及等比数列 的中项性质，可得首项和公差的方程组，解方程可得首项和公差，即可得到 an与 Sn； （）求得= (1)(+ 2) = (1)(2+ 2)，运用分组求和和平方差公式，结合 等差数列的求和公式，计算可得所求和 （）设等差数列
30、an的公差为 d，则 a5a1+4d9， 由 a1， a4， S7成等比数列知4 2 = 1 7= 1 74， 因 a40， 得 a47a1， 于是 d2a1， 解得 a11，d2，an2n1，= (1+21) 2 = 2 （）因为= (1)(+ 2) = (1)(2+ 2)， 所以 T20b1+b2+b20（12+21）+（22+22）（32+23）+（202+220） （2212+4232+202192）+210 = (1 + 2 + 3 + + 20) + 20 = 20(1+20) 2 + 20 = 210 + 20 = 230 本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等比数列的中项
31、性质，考查数列的分组 求和，主要考查化简运算能力，属于中档题 18 如图， 圆锥PO中， AB是圆O的直径， 且AB4， C是底面圆O上一点， 且AC23， 点D为 半径 OB 的中点，连 PD （）求证：PC 在平面 APB 内的射影是 PD； （）若 PA4，求底面圆心 O 到平面 PBC 的距离 （）推导出BOC 是正三角形，CDOB，OPCD，从而 CD平面 PAB，由此能证 明 PC 在平面 APB 内的射影是 PD （） 设点O到平面PBC的距离为d， 由= = 1 3 = 15 3 = 2， 能 求出底面圆心 O 到平面 PBC 的距离 （）证明：AB4， = 23，ACBC，
32、= 3， OBOC，BOC 是正三角形， 又 D 点是 OB 的中点，CDOB， 又 PO平面 ABC，OPCD， OPOBO，CD平面 PAB， PC 在平面 APB 内的射影是 PD （）由 PA4，知 = 23，PBPC4， = 1 3 = 1 3 3 4 22 23 = 2， = 1 2 2 42 12= 15， 设点 O 到平面 PBC 的距离为 d， 则= = 1 3 = 15 3 = 2， 解得 = 215 5 ， 底面圆心 O 到平面 PBC 的距离为215 5 本题考查直线在平面内的射影的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、 线面、面面间的位置关系等基础知识，考查
33、运算求解能力，是中档题 19某生物研究所为研发一种新疫苗，在 200 只小白鼠身上进行科研对比实验，得到如表统 计数据： 未感染病毒 感染病毒 总计 未注射疫苗 30 x y 注射疫苗 70 z来源:Zxxk.Com w 总计 100 100 200 现从未注射疫苗的小白鼠中任取 1 只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为 7 10 （）能否有 99.9%的把握认为注射此种疫苗有效？ （）在未注射疫苗且未感染病毒与注射疫苗且感染病毒的小白鼠中，分别抽取 3 只进 行病例分析， 然后从这 6 只小白鼠中随机抽取 2 只对注射疫苗情况进行核实， 求抽到的 2 只均是注射疫苗且感染病毒的小白鼠的概率
34、附：2= ()2 (+)(+)(+)(+)，na+b+c+d， P（K2k0） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （）根据题意求出 x，y，z，w 的值，计算 K 的观测值 K2，对照题目中的表格，得出 统计结论； （）由条件知将抽到的 3 只未注射疫苗且未感染病毒的小白鼠记为 A，B，C，将抽到 的 3 只注射疫苗且感染病毒的小白鼠分别记为 D，E，F，列举出所有的基本事件，再利 用古典概型的概率公式即可求解 （）由条件知 x70，y100，z30，w100， 所以2= 200(
35、30307070)2 100100100100 = 3210.828， 所以有 99.9%的把握认为注射此种疫苗有效； （）由条件知将抽到的 3 只未注射疫苗且未感染病毒的小白鼠记为 A，B，C，将抽到 的 3 只注射疫苗且感染病毒的小白鼠分别记为 D，E，F， 从这 6 只小白鼠中随机抽取 2 只共有（A，B） ， （A，C） ， （A，D） ， （A，E） ， （A，F） ， （B， C） ， （B，D） ， （B，E） ， （B，F） ， （C，D） ， （C，E） ， （C，F） ， （D，E） ， （D，F） ， （E， F）15 种可能， 抽到的 2 只均是注射疫苗且感染病毒的小白
36、鼠有（D，E） ， （D，F） ， （E，F）3 种情况， 所以抽到的 2 只均是注射疫苗且感染病毒的小白鼠的概率为 3 15 = 1 5 本题考查了独立性检验的应用问题，考查了古典概率的概率公式，也考查了计算能力的 应用问题，是中档题 20在平面直角坐标系 xOy 中，动点 P 到直线 x4 的距离与到定点 F（1，0）的距离之比 为 2 （）求动点 P 的轨迹 E 的方程； （）过点 F 的直线交轨迹 E 于 A，B 两点，线段 AB 的中垂线与 AB 交于点 C，与直线 x4 交于点 D，设直线 AB 的方程为 xmy+1，请用含 m 的式子表示| |，并探究是 否存在实数 m，使| |
37、 = 3 5？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由 （）设 P（x，y） ，动点 P 到直线 x4 的距离与到定点 F（1，0）的距离之比为 2列 出方程求解即可 （）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，联立 = + 1 2 4 + 2 3 = 1，消去 x，得（3m 2+4）y2+6my9 0，利用韦达定理，结合弦长公式，求出 AB，CD，然后求解即可 （）设 P（x，y） ，则 |4| (1)2+2 = 2，化简整理得 2 4 + 2 3 = 1 所以动点 P 的轨迹 E 的方程为 2 4 + 2 3 = 1 （）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，来源:学科网 Z
38、XXK 联立 = + 1 2 4 + 2 3 = 1，消去 x，得（3m 2+4）y2+6my90， 根据韦达定理可得1+ 2= 6 32+4，12 = 9 32+4， 所以| = 1 + 2|1 2| = 1 + 2 (1+ 2)2 412= 12(2+1) 32+4 ， 又( 4 32+4 ， 3 32+4)， 于是| = 1 + 2| 4 32+4 (4)| = 4(32+5)1+2 32+4 ， 所以| | = 32+1 32+5 令| | = 32+1 32+5 = 3 5，解得 m0 因此存在 m0，使| | = 3 5 本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查
39、转化思想以及计算 能力，是难题 21已知函数 f（x）x2axlnx，其中 aR （）当 a1 时，判断函数 f（x）的零点个数； （）若对任意 x（0，+） ，f（x）0 恒成立，求实数 a 的取值范围 （）将 a1 代入，研究函数的单调性，可知在 x1 处取得最小值，而 f（1）0，由 此即可得出零点个数； （） 法 1： 问题转化为 2 对任意 x （0， +） 恒成立， 令() = 2 (0)， 利 用导数求其最小值即可得出结论； 法 2：依题意，x2lnxax 对任意 x（0，+）恒成立，构造函数 F（x）x2lnx（x 0） ，利用导数研究函数 F（x）的性质，易知，yax（x0）
40、与函数 F（x）的图象相 切时属临界状态，利用导数的几何意义即可得出结论； 法 3：依题意，只需f（x）min0 即可，直接利用导数求出函数 f（x）的最小值得出结 论 （）当 a1 时，f（x）x2xlnx，其定义域为（0，+） ， 求导得() = 2 1 1 = 221 = (1)(2+1) ， 于是当 x（0，1）时，f（x）0，函数 f（x）单调递减； 当 x（1，+）时，f（x）0，函数 f（x）单调递增， 又 f（1）0， 所以函数 f（x）的零点个数为 1； （）法 1：因对任意 x（0，+） ，f（x）0 恒成立，即 x2axlnx0 对任意 x（0， +）恒成立，于是 2 对
41、任意 x（0，+）恒成立， 令() = 2 (0)，只需 ag（x）min 对函数 g（x）求导，得() = 21+ 2 ，令 h（x）x21+lnx（x0） ， 则() = 2 + 1 0，所以函数 h（x）在（0，+）上单调递增 又 h（1）0， 所以当 x（0，1）时，h（x）0，g（x）0，函数 g（x）单调递减； 当 x（1，+）时，h（x）0，g（x）0，函数 g（x）单调递增， 所以函数g（x）ming（1）1， 于是 a1，即实数 a 的取值范围为（，1 法 2：因对任意 x（0，+） ，f（x）0 恒成立，即 x2lnxax 对任意 x（0，+） 恒成立， 构造函数 F（x）x2lnx（x0） ，对其求导，得() = 2 1 = 221 ， 令 F（x）0，得 = 2 2 （ 2 2 舍去） ， 所以当 (0， 2 2 )时，F（x）0，函数 F（x）单调递减；当 ( 2 2 ，+
