1、泸州市泸州市 2020 届高三第三次教学质量诊断性数学（理科）试题届高三第三次教学质量诊断性数学（理科）试题 一、选择题：本大题共有一、选择题：本大题共有 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分每小题给出的四个选项中，分每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1设集合 Ax|2x0，Bx|x210，则 AB（ ） A （2，0） B1，0） C （2，1） D1，1 2若2 =1i，则 z（ ） A1+i B1i C1i D1+i 3 （1 1 ） 5 展开式中 1 3项的系数为（ ） A10 B5 C10 D5 4新冠肺炎疫情暴发以
2、来，在以习近平同志为核心的党中央领导下，全党全军全国各族人 民众志成城，共克时艰，疫情防控取得了阶段性成效，彰显了中国特色社会主义制度的 优越性 下面的图表给出了4月18日至5月5日全国疫情每天新增病例的数据统计情况 下列说法中不正确的是（ ） A每天新增疑似病例的中位数为 2 B在对新增确诊病例的统计中，样本容量为 18 C每天新增确诊与新增疑似病例之和不超过 20 例的天数为 13 天 D在对新增确诊病例的统计中，样本是 4 月 18 日至 5 月 5 日 5已知曲线 f（x）ex+1 其中 e 为自然对数的底数）在点 （0，f （0） ）处的切线为 l，命 题 p：点（1，3）在直线 l
3、 上，命题 q：点（1，2）在直线 l 上，则下列命题正确的是 （ ） Apq B （p）q Cpq D （p）（q） 6函数 f（x）= 3+1 的部分图象大致是（ ） A B C D 7等差数列an的公差不为零，其前 n 项和为 Sn，若 a73a4，则10 4 值为（ ） A15 B20 C25 D40 8 某中学高二学生会体育部共有 5 人， 现需从体育部选派 4 人， 分别担任拔河比赛的裁判、 记录结果、核查人数、维待纪律四项工作，每人只担任其中一项工作，其中甲没有担任 裁判工作，则不同的工作安排方式共有（ ） A120 种 B48 种 C96 种 D60 种 9正方体 ABCDA1
4、B1C1D1，下列命题中正确的是（ ） AAC 与 B1C 相交直线且垂直 BAC 与 A1D 是异面直线且垂直 CBD1与 BC 是相交直线且垂直 DAC 与 BD1是异面直线且垂直 10定义在实数集 R 上的函数 f（x）满足 f（x+l）f（lx） ，且当 x1 时，f（x）是增函 数，则 af（log32） ，bf（log 3 1 2） ，cf（3）的大小关系正确的是（ ） Aabc Bbca Ccab Dbac 11已知点 F 为抛物线 C：y22px（p0）的焦点，过点 F 的直线 l 交 C 于 A，B 两点，与 C 的准线交于点 M，若 =2 ，则|AB|的值等于（ ） A3
5、4p B2p C3p D9 4p 12已知曲线 C：f（x） sin（4x+ 3） ，把 C 上各点横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变， 得到函数 g（x）的图象关于 g（x）有下述四个结论： （1）函数 g（x）在（ 11 12， 5 12）上是减函数； （2）方程 g（x）ex10 在（2，0）内有 2 个根； （3）函数 m（x）g（x 6）+2g（ 1 2x 6） （其中 x（0，2） ）的最小值为 33 2 ； （4）当 x1，x2（ 3 4 ， 12） ，且 x1x2 时，g（x1）g（x2） ，则 g（x1+x2）= 3 2 其中正确结论的个数为（ ） A1 B2 C3 D4
6、 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题纸上） 分把答案填在答题纸上） 13已知平面向量 与 满足 = 2，且 （ +2 ）5，则| | 14 已知正项等比数列an的前n项和为Sn， 若a4= 1 8， S3a1= 3 4， 则该数列的公比为 15已知双曲线 C：x2y2m（m0）的焦距为 42，且它的渐近线与圆 x2+（ym）2 16有交点， 连接所有交点的线段围成了几何图形M， 则该几何图形M的面积为 16已知一块边长为 4 的正方形铝板（如图） ，请设计一种裁剪方法，用虚线标示在答题卡 本题图中，通过该方案裁剪，可
7、焊接做成一个密封的正四棱柱（底面是正方形且侧棱垂 于底面的四棱柱） ，且该四棱柱的全面积等于正方形铝板的面积（要求裁剪的块数尽可能 少，不计焊接缝的面积） ，则该四棱柱外接球的体积为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分分 17某省从 2021 年开始，高考采用取消文理分科，实行“3+1+2”的模式，其中的“1”表
8、示每位学生必须从物理、 历史中选择一个科目且只能选择一个科目 某校高一年级有 2000 名学生（其中女生 900 人） 该校为了解高一年级学生对“1”的选课情况，采用分层抽 样的方法抽取了 200 名学生进行问卷调查，如表是根据调查结果得到的 22 列联表 性别 选择物理 选择历史 总计 男生 50 m 女生 30 n 总计 200 （）求 m，n 的值； （）请你依据该列联表判断是否有 99.5%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的 理由 附：K2= ()2 (+)(+)(+)(+)，其中 na+d+c+d P（K2k0） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.0
9、01 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 18在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a+2b2ccosA （）求 C； （）若 a2，AB 边上的中线 CE 的长为 1，求ABC 的面积 19 如图， 四棱锥 SABCD 的侧面 SAD 是正三角形， ABCD， 且 ABAD， AB2CD4， E 是 SB 中点 （I）求证：CE平面 SAD： （II）若平面 SAD平面 ABCD，且 SB42，求二面角 EACB 的余弦值 20在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l：ykx+m（k0）交椭圆 E： 2 4 +y21 于两点
10、C， D （）若 mkl，且点 P 满足 + + = 0 ，证明：点 P 不在椭圆 E 上； （）若椭圆 E 的左，右焦点分别为 F1，F2，直线 l 与线段 F1F2和椭圆 E 的短轴分别交 于两个不同点 M，N，且|CM|DN|，求四边形 CF1DF2面积的最小值 21已知函数 f（x）xl+axlnx（aR） （）求函数 f（x）的单调增区间； （）函数 g（x）m（x+1）+f（x） ，当 0a1 时，g（x）0 恒成立，求整数 m 的 最小值 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题中任选一题作答，如果多
11、做，则按所做的第 一题计分一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如图就是在平面直角坐标系的“茹茹心形曲 线” ， 又名 RC 心形线 如果以坐标原点 O 为极点， 以 x 轴正半轴为极轴， 建立极坐标系， 其 RC 心形线的极坐标方程为 1 | =1 （）求 RC 心形线的直角坐标方程； （）已知 P （0，2）与直线 l： = 3 = 2 + 4（m 为参数） ，若直线 l 与 RC 心形线交于 两点 M，N，求|PM|PN|的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知 f（x）|2x4|+|x+1|的最小值为 m
12、 （I）求 m 的值； （II）当 a+b+c= 3时，证明： （a+1） 2+（b+l）2+（c+l）216 3 一、选择题：本大题共有一、选择题：本大题共有 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分每小题给出的四个选项中，分每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1设集合 Ax|2x0，Bx|x210，则 AB（ ） A （2，0） B1，0） C （2，1） D1，1 求出集合 A，B，由此能求出 AB 集合 Ax|2x0， Bx|x210x|1x1， ABx|1x01，0） 故选：B 本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，
13、考查运算求解能力，是基础题 2若2 =1i，则 z（ ） A1+i B1i C1i D1+i 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 由2 =1i，得 z= 2 1 = 2(1+) (1)(1+) = 1 + ， 故选：D 本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题 3 （1 1 ） 5 展开式中 1 3项的系数为（ ） A10 B5 C10 D5 由题意利用二项展开式的通项公式，求得展开式中 1 3项的系数 （1 1 ） 5 展开式的通项公式为 Tr+1= 5 （1）rxr，令r3，可得 r3， 故展开式中 1 3项的系数为5 3 = 10， 故选：C 本题主要考查二项式定理的应
14、用、二项展开式的通项公式，属于基础题 4新冠肺炎疫情暴发以来，在以习近平同志为核心的党中央领导下，全党全军全国各族人 民众志成城，共克时艰，疫情防控取得了阶段性成效，彰显了中国特色社会主义制度的 优越性 下面的图表给出了4月18日至5月5日全国疫情每天新增病例的数据统计情况 下列说法中不正确的是（ ） A每天新增疑似病例的中位数为 2 B在对新增确诊病例的统计中，样本容量为 18 C每天新增确诊与新增疑似病例之和不超过 20 例的天数为 13 天 D在对新增确诊病例的统计中，样本是 4 月 18 日至 5 月 5 日 根据折线图以及相关统计信息逐一分析即可得到答案 对于 A，每天新增疑似病例依
15、次为 0，0，0，0，1，1，2，2，2，2，2，2，3，3，3，3， 3，5，则中位数为 2，故 A 正确； 对于 B，由统计知识得样本容量为 18，故 B 正确； 对于 C，每天新增确诊与新增疑似病例之和不超过 20 例有 4 月 21 日、23 日、24 日、25 日、26 日、27 日、29 日、30 日、5 月 1 日、2 日、3 日、4 日、5 日，共 13 天，故 C 正 确； 对于 D，样本应该是 4 月 18 日至 5 月 5 日每天新增确诊病例人数，故 D 错误； 故选：D 本题考查合情推理能力，考查图标识别能力，统计相关知识，属于中档题 5已知曲线 f（x）ex+1 其中
16、 e 为自然对数的底数）在点 （0，f （0） ）处的切线为 l，命 题 p：点（1，3）在直线 l 上，命题 q：点（1，2）在直线 l 上，则下列命题正确的是 （ ） Apq B （p）q Cpq D （p）（q） 求出 f（x）ex+1 在点 （0，f （0） ）处的切线 l 的方程为：yx+2；可判断点（1，3） 在直线 l 上，点（1，2）不在直线 l 上，从而可知 p 为真命题，q 为假命题，由此可得 正确答案 由题可知 f（x）ex，所以 f（0）1，f（0）2，所以切线 l 的方程为：yx+2； 当 x1 时，y3，即点（1，3）在直线 l 上，所以 p 为真命题； 当 x1
17、时 y1，即点（1，2）不在直线 l 上，所以 q 为假命题，所以 pq 为真命 题， （p）q 为假命题，pq 为假命题， （p）（q）为假命题， 故选：A 本题主要考察复合命题的真假和求函数在某点处的切线方程，属于基础题 6函数 f（x）= 3+1 的部分图象大致是（ ） A B C D 根据函数的性质采用排除法 因为 f（x）= 3()+1 = f（x） ，所以函数 f（x）为奇函数，图象关于原点对称， 排除 D，来源:学3:9) ;3 2:3 =20， 故选：B 本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 8 某中学高二学生会体育部共有 5 人， 现需从
18、体育部选派 4 人， 分别担任拔河比赛的裁判、 记录结果、核查人数、维待纪律四项工作，每人只担任其中一项工作，其中甲没有担任 裁判工作，则不同的工作安排方式共有（ ） A120 种 B48 种 C96 种 D60 种 先把 5 人随意安排有 A 5 4种方法，再让甲担任裁判工作有 A 4 3种方法，用间接法相减即 可 从 5 人中选 4 人担任 4 项不同工作有 A 5 4种方法若甲担任裁判工作，再从另外 4 人中 选 3 人担任 3 项不同工作有 A 4 3种方法 则符合题意的工作安排方式共有 A 5 4 A 4 3 =96， 故选：C 本题考查排列组合的应用，本题运用间接法，可以避免讨论，
19、简化计算 9正方体 ABCDA1B1C1D1，下列命题中正确的是（ ） AAC 与 B1C 相交直线且垂直 BAC 与 A1D 是异面直线且垂直 CBD1与 BC 是相交直线且垂直 DAC 与 BD1是异面直线且垂直 分别求出 AC 与 B1C、AC 与 A1D、BD1与 BC 所成角判断 A、B、C 错误；证明 AC 与 BD1 垂直判断 D 正确 如图， 连接 AB1， 可得AB1C 为正三角形， 可得 AC 与 B1C 是相交直线且成 60角， 故 A 错误； A1DB1C，AC 与 A1D 是异面直线且成 60角，故 B 错误； BD1与 BC 是相交直线，所成角为D1BC，其正切值为
20、 2 2 ，故 C 错误； 连接 BD，可知 BDAC，则 BD1AC，可知 AC 与 BD1是异面直线且垂直，故 D 正确 故选：D 本题考查空间中直线与直线位置关系的判定， 考查空间想象能力与思维能力， 是中档题 10定义在实数集 R 上的函数 f（x）满足 f（x+l）f（lx） ，且当 x1 时，f（x）是增函 数，则 af（log32） ，bf（log 3 1 2） ，cf（3）的大小关系正确的是（ ） Aabc Bbca Ccab Dbac 根据题意，函数 f（x）的图象关于直线 x1 对称，当 x1 时，f（x）是增函数，则函数 f（x）在（，1上为减函数；af（log39 2）
21、 ，bf（log34） ，cf（log33 3 ） ，只要分 析清楚 3 3 ，9 2，4 大小，即可得出结论 根据题意，函数 f（x）满足 f（x+l）f（lx） ，即函数 f（x）的图象关于直线 x1 对称， 若当 x1 时，f（x）是增函数，则函数 f（x）在（，1上为减函数； af（log32）f（2log32）f（log39 2） bf（log 3 1 2）f（ 3 2）f（ 32 3 3 ）f（2log32）f（log34） ，cf（3） f（log33 3 ） ， 因为 3223 所以 321.522， 两边取对数 ln31.5ln22ln2， 所以3 2 1.52， 所以2ln
22、32ln2， 所以 3 2 4， 所以 3 3 3 2 4， 要分析 3 3 与9 2大小，只需确定3ln3 与 ln 9 2的大小， 也就是3ln3 与 2ln3ln2 的大小， 即 ln2 与 2ln33ln3（23）ln3 的大小， 需分析 1 2;3与 3 2的大小， 而 1 2;3 =2+3，3 2 =log23（1，2） ， 所以 2+3log23， 所以 3 3 9 2， 所以 3 3 9 24， 所以 log33 3 log39 2 log341， 所以 f（log33 3 ）f（log39 2）f（log34） ， 所以 cab， 故选：C 本题考查函数的对称性与单调性的应用
23、，注意分析函数的对称性，属于基础题 11已知点 F 为抛物线 C：y22px（p0）的焦点，过点 F 的直线 l 交 C 于 A，B 两点，与 C 的准线交于点 M，若 =2 ，则|AB|的值等于（ ） A3 4p B2p C3p D9 4p 先设出直线 l 的方程， 再与抛物线方程联立求得 y1+y2与 y1y2， 然后利用 =2 与弦长 公式求得|AB| 由题意设直线 l：xky+ 2，k0，B（x1，y1） ，A（x2，y2） 则 M（ 2， ） ，由 = + 2 2= 2 联立得 y22pkyp20，则0， y1+y22pk， y 12= 2 =2 ， 点A是线段BM的中点， y2=
24、+1 2 ， 由可得2 = 2 3 1= 4 3 + 3 代入可整理得：8k4+7k210，解得：k 2 = 1 8又|AB| x1+x2+pk（y1+y2）+2p 2pk2+2p，|AB|= 9 4 故选：D 本题主要考查抛物线的焦点弦的求法，属于基础题 12已知曲线 C：f（x） sin（4x+ 3） ，把 C 上各点横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变， 得到函数 g（x）的图象关于 g（x）有下述四个结论： （1）函数 g（x）在（ 11 12， 5 12）上是减函数； （2）方程 g（x）ex10 在（2，0）内有 2 个根； （3）函数 m（x）g（x 6）+2g（ 1 2x 6
25、） （其中 x（0，2） ）的最小值为 33 2 ； （4）当 x1，x2（ 3 4 ， 12） ，且 x1x2 时，g（x1）g（x2） ，则 g（x1+x2）= 3 2 其中正确结论的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 由三角函数图象平移法则得出函数 g（x）的解析式，再对题目中的命题分析、判断真假 性即可 曲线 C：f（x）sin（4x+ 3） ，把 C 上各点横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变， 得 yf（1 2x）sin（2x+ 3）的图象，所以函数 g（x）sin（2x+ 3） ； 对于（1） ，当 x（ 11 12， 5 12） ，2x+ 3（ 3 2 ， 2）上是减函数，
26、所以（1）正确； 对于（2） ，方程 g（x）ex10，得 g（x）ex+1，yg（x）sin（2x+ 3）1，y ex+11； x（2，0）时，两函数图象没有交点，所以原方程没有实数根，所以（2）错误； 对于（3） ，函数 m（x）g（x 6）+2g（ 1 2x 6）sin2（x 6）+ 3+2sin2（ 1 2x 6） + 3sin2x+2sinx， 则 m（x）2cos2x+2cosx2（2cos2x+cosx1）2（cosx+1） （2cosx1） ， 令m （x） 0， 解得x= 3或x= 5 3 ， x= 5 3 时f （x） 取得最小值为sin10 3 +2sin5 3 = 33
27、 2 ， 所以（3）正确； 对于（4） ，2x+ 3 = 2 +k，x= 12 + 2 ，kZ； 当 x1，x2（ 3 4 ， 12） ，且 x1x2 时，g（x1）g（x2） ， 则 g（x1+x2）g（2（ 5 12） ）sin（ 5 3 + 3）sin 2 3 = 3 2 ，所以（4）正确 综上知，其中正确结论的序号是（1） 、 （3） 、 （4） ，共 3 个 故选：C 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是中档 题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题纸上） 分把答案填在答题
28、纸上） 13已知平面向量 与 满足 = 2，且 （ +2 ）5，则| | 3 （ +2 ）可整理为| |245，解得即可 （ +2 ）| |2+2 =| |245，解得|29， 所以| |3， 故答案为：3 本题考查平面向量数量积的运算，属于基础题 14 已知正项等比数列an的前 n 项和为 Sn， 若 a4= 1 8， S3a1= 3 4， 则该数列的公比为 1 2 利用等比数列通项公式、前 n 项和公式列出方程组，能求出该数列的公比 正项等比数列an的前 n 项和为 Sn，a4= 1 8，S3a1= 3 4， q0，且 q1， 13= 1 8 1(13) 1 1= 3 4 ， 由 q0，解
29、得该数列的公比 q= 1 2 故答案为：1 2 本题考查等比数列的公比的求法， 考查等比数列的性质等基础知识， 考查运算求解能力， 是基础题 15已知双曲线 C：x2y2m（m0）的焦距为 42，且它的渐近线与圆 x2+（ym）2 16 有交点，连接所有交点的线段围成了几何图形 M，则该几何图形 M 的面积为 16 化双曲线方程为标准方程，求出 c，结合已知求得 m，得到双曲线的渐近线方程与圆的方 程，联立渐近线方程与圆的方程求得交点坐标，再由三角形面积公式求解几何图形 M 的 面积 由双曲线 C：x2y2m（m0） ，得 2 2 = 1， 则 = 2+ 2= 2，则2 = 22，得 m4 双
30、曲线的渐近线方程为 yx， 圆 x2+（ym）216 化为 x2+（y4）216， 如图： 联立 = 2+ ( 4)2= 16，解得 B（4，4） ； 联立 = 2+ ( 4)2= 16，解得 A（4，4） 几何图形 M 的面积为1 2 8 4 = 16 故答案为：16 本题考查圆与双曲线的综合，考查数形结合的解题思想方法，是中档题 16已知一块边长为 4 的正方形铝板（如图） ，请设计一种裁剪方法，用虚线标示在答题卡 本题图中，通过该方案裁剪，可焊接做成一个密封的正四棱柱（底面是正方形且侧棱垂 于底面的四棱柱） ，且该四棱柱的全面积等于正方形铝板的面积（要求裁剪的块数尽可能 少，不计焊接缝的
31、面积） ，则该四棱柱外接球的体积为 53 6 将正方形甲按图中虚线剪开，以两个正方形为底面，四个长方形为侧面，焊接成一个底 面边长为 2，高为 1 的正四棱柱 ABCDA1B1C1D1该四棱柱外接球的半径 R= 1 2 = 5 2 由此能求出该四棱柱外接球的体积 将正方形甲按图中虚线剪开， 以两个正方形为底面，四个长方形为侧面， 焊接成一个底面边长为 2，高为 1 的正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 底面 ABCD 为边长为 2 的正方形， 该四棱柱外接球的半径 R= 1 2 = 1+4 2 = 5 2 该四棱柱外接球的体积为： V= 4 3 ( 5 2 )3= 53 6 故答案为：53 6
32、 来源:Z*xx*k.Com 本题考查四棱柱外接球的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基 础知识，考查运算求解能力，是中档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分分 17某省从 2021 年开始，高考采用取消文理分科，实行“3+1+2”的模式，其中的“1”表 示每位学生必须从物理、 历史中选择一个科
33、目且只能选择一个科目 某校高一年级有 2000 名学生（其中女生 900 人） 该校为了解高一年级学生对“1”的选课情况，采用分层抽 样的方法抽取了 200 名学生进行问卷调查，如表是根据调查结果得到的 22 列联表 性别 选择物理 选择历史 总计 男生 60 50 m 女生 30 60 n 总计 90 110 200 （）求 m，n 的值； （）请你依据该列联表判断是否有 99.5%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的 理由 附：K2= ()2 (+)(+)(+)(+)，其中 na+d+c+d P（K2k0） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2
34、.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （）根据分层抽样得到抽取的 200 名学生中女生人数和男生人数，即为 m，n 的值； （）根据题目所给的数据填写 22 列联表计算 K 的观测值 K2，对照题目中的表格， 得出统计结论 （）因为高一年级有 2000 名学生，其中女生 900 人，所以采用分层抽样的方法抽取的 200 名学生中女生人数为： 900 2000 200 =90 人，男生 20090110 人， 所以 m110，n90； （）根据题目所给数据得到如下 22 的列联表： 性别 选择物理 选择历史 总计 男生 60 50 110 女生 30 60 90
35、 总计 90 110 200 则 K 的观测值：K2= 200(60605030)2 1109090110 8.999， 由于 8.9997.879， 有 99.5%的把握认为选择科目与性别有关 本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目 18在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a+2b2ccosA （）求 C； （）若 a2，AB 边上的中线 CE 的长为 1，求ABC 的面积 （1）利用正弦定理把 a+2b2ccosA 边化角，三角化简可求值 （2）由三角形中线向量 = + 2 ，两边平方结合已知求出边 b，进而求出面积 （1）a+2b
36、2ccosA，sinA+2sinB2sinCcosA，即 sinA+2sinAcosC+2cosAsinC 2sinCcosA， sinA+2sinAcosC0，由于 sinA0，cosC= 1 2，又 0C， C= 2 3 （2） = + 2 ， 2=1 4（ 2+ 2+2 ） ，即 1= 1 4（b 2+4+4bcos2 3 ） ，b 2 则ABC 的面积 S= 1 2absinC= 1 2 22sin2 3 =3 本题考查三角形的正弦定理和中线向量定理的运用，考查运算能力，属于基础题 19 如图， 四棱锥 SABCD 的侧面 SAD 是正三角形， ABCD， 且 ABAD， AB2CD4
37、， E 是 SB 中点 （I）求证：CE平面 SAD： （II）若平面 SAD平面 ABCD，且 SB42，求二面角 EACB 的余弦值 （I）取 AB 中点 F，连结 EF，CF，推导出 EFSA，四边形 AFCD 是平行四边形，从而 FCAD，进而平面 EFC平面 ASD，由此能证明 CE平面 SAD来源:学科网 （II）以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，过 A 作平面 ABCD 的垂线为 z 轴，建立空 间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 EACB 的余弦值 （I）证明：取 AB 中点 F，连结 EF，CF， ABCD，AB2CD4，E 是 SB 中点， EFSA，A
38、F CD，四边形 AFCD 是平行四边形，FCAD， EFFCF，ASADD，平面 EFC平面 ASD， CE平面 EFC，CE平面 SAD （II）解：四棱锥 SABCD 的侧面 SAD 是正三角形，ABCD， ABAD，AB2CD4，E 是 SB 中点平面 SAD平面 ABCD，且 SB42， 以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，过 A 作平面 ABCD 的垂线为 z 轴，建立空间直 角坐标系， 则 A（0，0，0） ，C（2，4，0） ，B（4，0，0） ，S（0，2，23） ，E（2，1，3） ， =（2，4，0） ， =（2，1，3） ， 设平面 ACE 的法向量 =
39、（x，y，z） ， 则 = 2 + 4 = 0 = 2 + + 3 = 0 ，取 x2，得 =（2，1， 3 3 ） ， 平面 ABC 的法向量 =（0，0，1） ， 设二面角 EACB 的平面角为 ， 则 cos= | | | |= 3 3 5+1 3 = 1 4， 二面角 EACB 的余弦值为1 4 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面 间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、逻辑推理能力，是中档题 20在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l：ykx+m（k0）交椭圆 E： 2 4 +y21 于两点 C， D （）若 mkl，且点 P 满足 + +
40、 = 0 ，证明：点 P 不在椭圆 E 上； （）若椭圆 E 的左，右焦点分别为 F1，F2，直线 l 与线段 F1F2和椭圆 E 的短轴分别交 于两个不同点 M，N，且|CM|DN|，求四边形 CF1DF2面积的最小值 （） 设直线 l： ykx+m （k0） ， 联立椭圆方程， 运用韦达定理， 以及向量的加法运算， 结合椭圆方程，判断即可得证； （）联立直线 l 的方程和椭圆方程，运用韦达定理，以及三角形的面积公式，及不等 式的性质，可得最小值 （）证明：设直线 l：ykx+m（k0）交椭圆 x2+4y24 于两点 C（x1，y1） ，D（x2， y2） ， 将 yx+1 代入椭圆方程可得
41、 5x2+8x0， 所以 x1+x2= 8 5，y1+y2x1+x2+2= 8 5 +2= 2 5， 由 + + = 0 ，可得 = （ + ）（x1x2，y1y2）（8 5， 2 5） ， 由于 (8 5) 2 4 +（ 2 5） 2=4 5 1， 所以点 P 不在椭圆 E 上； （）由 ykx+m（k0）代入椭圆 x2+4y24， 可得（1+4k2）x2+8kmx+4m240， 可得 x1+x2= 8 1+42，x1x2= 424 1+42 ， 又 M（ ，0） ，N（0，m） ，因为|CM|DN|， 所以 xMx1x2xN，即 xM+xNx1+x2，所以 8 1+42 = ， 因为直线
42、ykx+m（k0）与线段 F1F2和椭圆的短轴分别交于不同的两点， 所以 m0，又 k0，则 k= 1 2， 故 x1+x22m，x1x22m22， 3 2m 3，即 3 2 m 3 2 ， 由 y1= 1 2x1+m，y2= 1 2x2+m，所以|y1y2|（ 1 2x1+m）（ 1 2x2+m）|= 1 2|x1x2| = 1 2(1 + 2)2 412= 1 2(2) 2 4(22 2) = 2 2， 由 S 12=S12+S12= 1 2|F1F2| （|y1|+|y2|） = 3|y1y2|= 32 2 3 5 2 = 15 2 ， 当 m 3 2 时，四边形 CF1DF2面积取得最小值 15 2 本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方 程，运用韦达定理，考查向量的坐标运算，主要考查化简运算能力，属于中档题 21已知函数 f（x）xl+axlnx（aR） （）求函数 f（x）的单调增区间；来源:Zxxk.Com （）函数 g（x）m（x+1）+f（x） ，当 0a1 时，g（x）0 恒成立，求整数 m 的 最小值 （） 求导， 然后分 a0， a0 及 a0 三种情况讨论 f （x） 0 的解集即可得出结论； （）问题等价于 1 +1 在 x0 且 0a1 上恒成立，令() = 1
