1、2020 年高考数学模拟试卷（理科）（年高考数学模拟试卷（理科）（5 月份）（全国卷）月份）（全国卷） 一、选择题（共 12 小题）. 1已知全集 UR，Ax|（x+1）（x2）0，Bx|2x2，则（UA）B（ ） Ax|1x1 Bx|0x1 Cx|1x1 Dx|x1 2已知 i 为虚数单位，复数 在复平面内所对应点（x，y），则（ ） Ay2x+1 By2x1 Cy2x+5 Dy3x1 3已知向量 （2，m）， （1，2）， （2 ） 则实数 m 的值为（ ） A1 B C D1 4已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数 RO它指的是，在自然况下（没有 外力介入，同时所有人都没有免疫力
2、），一个感染到某种传染病的人，会把疾病传染给 多少人的平均数 它的简单计算公式是 RO1+确诊病例增长率系列间隔， 其中系列间 隔是指在一个传播链中，两例连续病例的间隔时间（单位：天）根据统计，确病例的 平均增长率为 40%，两例连续病例的间隔时间的平均数 5 天，根以上 RO 据计算，若甲 得这种使染病，则 5 轮传播后由甲引起的得病的总人数约为（ ） A81 B243 C248 D363 5已知 ， ， ，则（ ） Acba Babc Ccab Dacb 6 2019 年 10 月 07 日， 中国传统节日重阳节到来之际， 某县民政部门随机抽取 30 个乡村， 统计六十岁以上居民占村中居民
3、的百分比数据，得到如图所示茎叶图，若将所得数据整 理为频率分布直方图，数据被分成 7 组，则茎叶图的中位数位于（ ） A第 3 组 B第 4 组 C第 5 组 D第 6 组 7已知函数 图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的 倍后，得到的函数 在0，2上恰有 5 个不同的 x 值，使其取到最值，则正实数 的取值范围是（ ） A ， B ， C ， D ， 8已知 O 为等腰直角三角形 POD 的直角顶点，以 OP 为旋转轴旋转一周得到几何体，CD 是底面圆O上的弦， COD为等边三角形， 则异面直线OC与PD所成角的余弦值为 （ ） A B C D 9已知椭圆 C1： 的左，右焦点分别为 F1，F
4、2，抛物线 ： 的 准线 l 过点 F1，设 P 是直线 l 与椭圆 C1的交点，Q 是线段 PF2与抛物线 C2的一个交点， 则|QF2|（ ） A B C D 10已知实数 a，b，满足 ，当 取最大值时，tan（ ） A B1 C D2 11设双曲线 ： ， 的左，右焦点分别为 F1、F2，过 F1的直线 l 分 与双曲线左右两支交于 M，N 两点，以 MN 为直径的圆过 F2，且 ，以 下结论正确的个数是（ ） 双曲线 C 的离心率为 ； 双曲线 C 的渐近线方程 ； 直线 l 的斜率为 1 A0 B1 C2 D3 12已知定义在 R 上的奇函数 f（x）exaex+2sinx 满足
5、，则 z xlny 的最小值是（ ） Aln6 B2 Cln6 D2 二填空题：本大共 4 小题，每小题 5 分 13 2020 年 1 月， 某公同通过问卷的形式调查影响员工积极性的六项关健指标： 绩效奖励， 激励措施、工作环境，人际关系、晋升渠道在确定各项指标权重结果后，进得而得到 指标重要性分所象限图（如图）若客户服务中心从中任意抽取不同的两项进行分析， 则这两项来自影响稍弱区的概率为 14已知函数 关于 x1 对称，则 f（2x2）f（0）的解集为 15已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c 周长为 5，bcosC（2ac）cosB， 则B ，若 b2，则ABC 的面
6、积为 16在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六，八是中国人的吉利数字，所以好 多器都做成六棱形和八棱形， 数学李老师有一个正六棱柱形状的笔筒， 底面边长为 6cm， 高为 18cm（底部及筒壁厚度忽略不计），一长度为 cm 的圆铁棒 l（粗细忽略不计） 斜放在笔筒内部，l 的一端置于正六柱某一侧棱的展端，另一端置于和该侧棱正对的侧棱 上一位小朋友玩要时，向笔筒内注水，恰好将圆铁棒淹没，又将一个圆球放在笔筒口， 球面又恰好接触水面，则球的表面积为 cm2 三、解答：解答写出文说明、证明过程或演算步骤 17如图已知 RtPCD、PDCD，A，B 分別为 PD，PC 的中点 PD2DC2，
7、将PAB 沿 AB 折起，得到四棱锥 PABCD，E 为 PD 的中点 （1）证明：PD平面 ABE； （2）当正视图方向与向量 的方向相同时，PABCD 的正视图为直角三角形，求此时 二面角 ABEC 的余弦值 18已知等差数列an的前 n 项和 Sn，n N*，a56，S627，数列bn的前 n 项和 Tn， （1）判断bn+1是等比数列，并求 bn； （2）求数列an bn的前 n 项和 192020 年春季，某出租汽车公同决定更换一批新的小汽车以代替原来报废的出租车，现 有采购成本分别为 11 万元/辆和 8 万元/辆的 A，B 两款车型，根据以往这两种出租车车 型的数据，得到两款出租
8、车型使用寿命频数表如表： 使用寿命年数 5 年 6 年 7 年 8 年 总计 A 型出租车（辆） 10 20 45 25 100 B 型出租车（辆） 15 35 40 10 100 （1）填写如表，并判断是否有 99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车有关？ 使用寿命不高于 6 年 使用寿命不低于 7 年 总计 A 型 B 型 总计 （2）以频率估计概率，从 2020 年生产的 A 和 B 的车型中各随机抽 1 车，以 X 表示这 2 年中使用寿命不低于 7 年的车数，求 X 的分布列和数学期望； （3）根据公司要求，采购成本由出租公司负责，平均每辆出租每年上交公司 6 万元，其 余维修和
9、保险等费用自理，假设每辆出租车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆出 租车使用寿命的概率，分别以这 100 辆出租车所产生的平均利润作为决策依据，如果你 是该公司的负责人，会选择采购哪款车型？ 参考公式： ，其中 na+b+c+d 参考数据： P（K2k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 20已知函数 f（x）exln（x+m），且 x0 是 f（x）的极值点 （1）求 f（x）的最小值； （2）是否存在实数 b，使得关于 x 的不等式 exbx+f（x）在（0，+）上恒成立？若存 在，求出 b 的取值范 围；若不存在，说明理由 21已知直线 ：
10、与椭圆 C：ax 2+by21 交于不同的两点 A，B，线段 AB 的中点为 D，且直线 l 与直线 OD 的斜率之积为 ，若直线 xt 与直线 l 交于点 P， 与直线 OD 交于点 M，且 M 为直线 上一点 （1）求 P 点的轨迹方程； （2）若 ， 为概圆 C 的上顶点，直线 l 与 y 轴交点 G，记 S 表示面积，求 的 最大 请考生从第 22、 23 题中任选一题作答， 并用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑， 按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进 行评分，选修 4 一 4；坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，
11、已知曲线 C1的参数方程 （k 为参数），以 坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 （1）求曲线 C1的普通方程； （2）过曲线 C2上一点 P 作直线 l 与曲线 C1交于 A，B 两点，中点为 D， ， 求|PD|的最小值 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x） （x+1） 2 （1）求 f（x）+|f（x）9|的最小值 M； （2）若正实数 a，b，c 满足了 f（a）+f（b）+f（c）M，求证：a+b+c6 参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个项中，只有一项是符合 题目要求的 1已知全集 U
12、R，Ax|（x+1）（x2）0，Bx|2x2，则（UA）B（ ） Ax|1x1 Bx|0x1 Cx|1x1 Dx|x1 【分析】先解出关于集合 A，B 的不等式，求出 A 的补集，从而求出其补集与 B 的交集 解：因为UAx|（x+1）（x2）0x|1x2， Bx|2x2x|x1， （UA）Bx|1x1； 故选：C 【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据条件求出集合 A，B 是解决本题的关键 2已知 i 为虚数单位，复数 在复平面内所对应点（x，y），则（ ） Ay2x+1 By2x1 Cy2x+5 Dy3x1 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数的实部与虚部，消参数得答案 解：
13、 ， ，得 y2x+1 故选：A 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是 基础题 3已知向量 （2，m）， （1，2）， （2 ） 则实数 m 的值为（ ） A1 B C D1 【分析】先根据平面向量的线性坐标运算法则表示出 2 ，再根据数量积的坐标运算 法则表示出 （2 ），从而得到关于 m 的方程，解之即可 解： （2，m）， （1，2）， ， ， （2 ）6+m（2m+2） ，即 ，解得 ， 故选：B 【点评】本题考查平面向量的坐标运算，熟练掌握平面向量的运算法则是解题的关键， 考查学生的运算能力，属于基础题 4已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传
14、播指数 RO它指的是，在自然况下（没有 外力介入，同时所有人都没有免疫力），一个感染到某种传染病的人，会把疾病传染给 多少人的平均数 它的简单计算公式是 RO1+确诊病例增长率系列间隔， 其中系列间 隔是指在一个传播链中，两例连续病例的间隔时间（单位：天）根据统计，确病例的 平均增长率为 40%，两例连续病例的间隔时间的平均数 5 天，根以上 RO 据计算，若甲 得这种使染病，则 5 轮传播后由甲引起的得病的总人数约为（ ） A81 B243 C248 D363 【分析】根据题意求出 RO 的值，再计算得病总人数 解：由题意知，RO1+40%53， 所以得病总人数为： 3+32+33+34+3
15、5 363（人） 故选：D 【点评】本题考查了等比数列的前 n 项和的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础 题 5已知 ， ， ，则（ ） Acba Babc Ccab Dacb 【分析】先结合对数的换底公式对已知对数式进行化简，然后结合对数函数的单调性即 可比较大小 解：b ，c log 2 ， 因为 ， 所以 ， 所以 abc 故选：B 【点评】 本题主要考查了对数函数的单调性在函数值大小比较中的应用， 属于基础试题 6 2019 年 10 月 07 日， 中国传统节日重阳节到来之际， 某县民政部门随机抽取 30 个乡村， 统计六十岁以上居民占村中居民的百分比数据，得到如图所示茎叶图，若
16、将所得数据整 理为频率分布直方图，数据被分成 7 组，则茎叶图的中位数位于（ ） A第 3 组 B第 4 组 C第 5 组 D第 6 组 【分析】求出数据的极差，分成 7 组，可求组距为 0.9，第 5 组的范围是12.4，13.3，即 可求得中位数为 12.5 应位于第 5 组内 解：数据的极差为 15.18.86.3，分成 7 组，组距为 0.9，第 5 组的范围是12.4，13.3， 中位数为 12.5 应位于第 5 组内 故选：C 【点评】本题考查茎叶图的应用，考查了数形结合思想，属于基础题 7已知函数 图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的 倍后，得到的函数 在0，2上恰有 5 个不同的
17、 x 值，使其取到最值，则正实数 的取值范围是（ ） A ， B ， C ， D ， 【分析】 由题意利用正弦函数的图象和性质， 可得 2 ， ） ， 由此可得结果 解：函数 图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的 倍后， 得到的函数为 ysin（x ）在0，2上恰有 5 个不同的 x 值，使其取到最值； x ，2 ， 2 ， ）， 则正实数 ， ）， 故选：A 【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题 8已知 O 为等腰直角三角形 POD 的直角顶点，以 OP 为旋转轴旋转一周得到几何体，CD 是底面圆O上的弦， COD为等边三角形， 则异面直线OC与PD所成角的余弦值为 （ ） A
18、 B C D 【分析】设 OPr，过点 D 作 OC 的平行线交与 CD 于行的半径于点 E，则 OEOC CDODr，PCPD ，PDE（或其补角）为其异面直线 OC 与 PD 所成角，由 此能求出异面直线 OC 与 PD 所成角的余弦值 解：设 OPr，过点 D 作 OC 的平行线交与 CD 于行的半径于点 E， 则 OEOCCDODr，PCPD ， PDE（或其补角）为其异面直线 OC 与 PD 所成角， 在PDE 中，PEPO ，DEr， cosPDE 故选：B 【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查线线垂直的证明，考查空间中 线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运
19、算求解能力，是中档题 9已知椭圆 C1： 的左，右焦点分别为 F1，F2，抛物线 ： 的 准线 l 过点 F1，设 P 是直线 l 与椭圆 C1的交点，Q 是线段 PF2与抛物线 C2的一个交点， 则|QF2|（ ） A B C D 【分析】由椭圆方程求得焦点坐标，可得抛物线方程，作出图形，利用抛物线定义及三 角形相似列式求解|QF2|的值 解：由题意，F1（2，0），则抛物线方程为 y28x 计算可得|PF1| ，|PF2|2a 过 Q 作 QM直线 l 与 M，由抛物线的定义知，|QF2|QM| ， ， 解得：|MQ|12（32 ） |QF2|MQ|12（32 ） 故选：A 【点评】本题考
20、查抛物线与椭圆综合，考查数形结合的解题思想方法，是中档题 10已知实数 a，b，满足 ，当 取最大值时，tan（ ） A B1 C D2 【分析】根据辅助角公式可得 sin（+） 2，进而可求得答案 解：由 得 a 2+4b28， 利用辅助角公式可得： sin （+） 2， 其中 tan ， 所以最大值为 2，当且仅当 a2b2 时成立， 所以 2sin（ ）， 则 2k，k Z，则 tan1， 故选：B 【点评】本题考查三角函数的恒等变形，关键是用三角函数表示 a、b 11设双曲线 ： ， 的左，右焦点分别为 F1、F2，过 F1的直线 l 分 与双曲线左右两支交于 M，N 两点，以 MN
21、为直径的圆过 F2，且 ，以 下结论正确的个数是（ ） 双曲线 C 的离心率为 ； 双曲线 C 的渐近线方程 ； 直线 l 的斜率为 1 A0 B1 C2 D3 【分析】由题意可得 MF2NF2，且|MF2|NF2|，设|MF2|NF2|m，则|MN| m，运 用双曲线的定义和直角三角形的性质和勾股定理，结合双曲线的离心率公式和渐近线方 程，直角三角形的锐角三角函数的定义，即可判断正确结论 解：由 MN 为直径的圆过 F2，且 ， 可得 MF2NF2，且|MF2|NF2|，设|MF2|NF2|m，则|MN| m， 由|MF2|MF1|2a，|NF2|NF1|2a，两式相减可得|NF1|MF1|
22、MN|4a，即有 m 2 a， 设 H 为 MN 的中点，在直角三角形 HF1F2中， 可得 4c24a2+（2a+2 a2a）2，化为 c23a2，e ，故正确； 又 ，可得 ，故正确； 因为|HF2 | |MN|2a，所以|HF1| 2 ， 所以直线 l 的斜率为 ，故错误 故选：C 【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查向量的数量积的定义和性质，同时 考查直角三角形的勾股定理，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题 12已知定义在 R 上的奇函数 f（x）exaex+2sinx 满足 ，则 z xlny 的最小值是（ ） Aln6 B2 Cln6 D2 【分析】由已知可求 a，然
23、后对函数求导，结合导数可判断函数的单调性，进而可得关于 x，y 的不等式组，结合线性规划知识即可求解 解：由题意 f（0）1a0 可得 a1， 所以 f（x）exex+2sinx， 2+2cosx0， 故 f（x）在 R 上单调递增，则 ， 作出可行域如图所示，其中 A（0， ），B（0，3），C（ ， ）， 设 yexz，则由图象可知，设 yx+3 与 yexz相切于点 D（x0，y0）， 由 yexz，令 1 可得 x0z， ， ， 故 yx+3 与 yexz相切于点 D（2，1）时，z 取得最小值 zmin2 故选：B 【点评】本题综合考查了导数与单调性的关系的应用及利用线性规划知识求解
24、目标函数 的最值，体现 了转化思想及数形结合思想的应用 二填空题：本大共 4 小题，每小题 5 分 13 2020 年 1 月， 某公同通过问卷的形式调查影响员工积极性的六项关健指标： 绩效奖励， 激励措施、工作环境，人际关系、晋升渠道在确定各项指标权重结果后，进得而得到 指标重要性分所象限图（如图）若客户服务中心从中任意抽取不同的两项进行分析， 则这两项来自影响稍弱区的概率为 【分析】由图知，来自影响稍弱区的指标有激励措施、工作环境、人际关系等三项，由 此能求出这两项来自影响稍弱区的概率 解：由图知，来自影响稍弱区的指标有激励措施、工作环境、人际关系等三项， 则这两项来自影响稍弱区的概率是：
25、 P 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 14已知函数 关于 x1 对称，则 f（2x2）f（0）的解集为 1，2 【分析】 先求出 a 的值， 可得函数的解析式， 再根据图象的对称性以及 f （2x2） f （0） ， 求出 x 的范围 解：函数 关于 x1 对称， a1，f（x） （0，1， 则由 f（2x2）f（0） ， 结合图象可得 02x22，求得 1x2， 故答案为：1，2 【点评】本题主要考查指数不等式的性质，函数图象的对称性，属于中档题 15已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c 周长为 5，bcosC
26、（2ac）cosB， 则B ，若 b2，则ABC 的面积为 【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式，结合 sinA0，可得 cosB ，结合范围 B （0，），可求 B ，进而根据余弦定理可求 ac 的值，根据三角形的面积公式即可 求解 解：bcosC（2ac）cosB， 由正弦定理可得： sinBcosC （2sinAsinC） cosB， 可得 sinBcosC+cosBsinC2sinAcosB， sin（B+C）2sinAcosB， sin（B+C）sin（A）sinA，且 sinA0， 可得 cosB ， B （0，）， B ， 又b2，a+c3， a2+c22accosBb2，
27、（a+c）23ac4， ac ， SABC acsinB 故答案为： ， 【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，三角形的面积 公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题 16在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六，八是中国人的吉利数字，所以好 多器都做成六棱形和八棱形， 数学李老师有一个正六棱柱形状的笔筒， 底面边长为 6cm， 高为 18cm（底部及筒壁厚度忽略不计），一长度为 cm 的圆铁棒 l（粗细忽略不计） 斜放在笔筒内部，l 的一端置于正六柱某一侧棱的展端，另一端置于和该侧棱正对的侧棱 上一位小朋友玩要时，向笔筒内注水，恰好将圆
28、铁棒淹没，又将一个圆球放在笔筒口， 球面又恰好接触水面，则球的表面积为 cm2 【分析】根据铁棒与底面六边形的最长对角线、相对棱的部分长 h 构成直角三角形求出 容器内水面的高度 h， 再利用球的半径和球被六棱柱体上底面截面圆的半径和球心到截面 圆的距离构成直角三角形求出球的半径，即可计算球的表面积 解：如图所示， 六棱柱笔筒的边长为 6cm，高为 18cm， 铁棒与底面六边形的最长对角线、相対棱的部分长 h 构成直角三角形， 所以 2 ，解得 h14， 所以容器内水面的高度为 14cm， 设球的半径为 R， 则球被六棱柱体上面截得圆的半径为 r 3 ， 球心到截面圆 的距离为 R4， 所以
29、R2（R4）2 ，解得 R ； 所以球的表面积为 4 （cm2） 故答案为： 【点评】本题考查了球与六棱柱体的结构特征与计算问题，是中档题 三、解答：解答写出文说明、证明过程或演算步骤 17如图已知 RtPCD、PDCD，A，B 分別为 PD，PC 的中点 PD2DC2，将PAB 沿 AB 折起，得到四棱锥 PABCD，E 为 PD 的中点 （1）证明：PD平面 ABE； （2）当正视图方向与向量 的方向相同时，PABCD 的正视图为直角三角形，求此时 二面角 ABEC 的余弦值 【分析】 （1）由平面图可知，ABPA，ABAD，得到 AB平面 PAD，得 ABP D，再由已知可得 AEPD由
30、直线与平面垂直的判定可得 PD平面 ABE； （2）由 PABCD 的正视图与PAD 全等，为直角三角形，得 PAAD，以 A 为原 点，分别以 AB、AD、AP所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面 BEC 的一个法向量与平面 ABE 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角 A BEC 的余弦值 【解答】（1）证明：由平面图可知，ABPA，ABAD， 又 PAADA，AB平面 PAD，得 ABPD E 为 PD 的中点，PAAD，AEPD AEABA，PD平面 ABE； （2）解：PABCD 的正视图与PAD 全等，为直角三角形， 故 PAAD， 以 A 为原点
31、，分别以 AB、AD、AP所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系 则 A（0，0，0），D（0，1，0），P（0，0，1）， B（ ，0，0），C（1，1，0），E（0， ， ）， ， ， ， ， ， ， ， ， 设平面 BEC 的一个法向量为 ， ， ， 由 ，取 x2，得 ， ， 为平面 ABE 的一个法向量， 设二面角 ABEC 为 ，cos ， 二面角 ABEC 为钝角， cos ， 故二面角 ABEC 的余弦值为 【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用 空间向量求解空间角，是中档题 18已知等差数列an的前 n 项和 Sn，n 一、选择题*
32、，a56，S627，数列bn的前 n 项 和 Tn， （1）判断bn+1是等比数列，并求 bn； （2）求数列an bn的前 n 项和 【分析】（1） n2 时，bnTnTn1，化为：bn2bn1+1，变形 为：bn+12（bn1+1），进而证明结论利用通项公式考点 bn （2） 设等差数列an的公差为 d， 由 a56， S627， 利用通项公式可得： a1+4d6， 6a1+15d 27，联立解得：a1，d，可得 an可得 an bn（n+1） 2n（n+1）利用错位相减 法与等差数列得求和公式即可得出 解：（1） n2 时，bnTnTn12bnn（2bn1n+1），化为：bn2bn1+1
33、， bn+12（bn1+1）， n1 时，b12b11，解得 b11b1+12 bn+1是等比数列，首项与公比都为 2， bn2n1 （2）设等差数列an的公差为 d，a56，S627， a1+4d6，6a1+15d27， 联立解得：a12，d1， an2+n1n+1 an bn（n+1） 2n（n+1） 数列（n+1） 2n的前 n 项和 An22+322+423+（n+1） 2n 2An222+323+n 2n+（n+1） 2n+1 相减可得：An4+22+23+2n（n+1） 2n+12 （n+1） 2 n+1 化为：Ann 2n+1 数列an bn的前 n 项和n 2n+1 【点评】本
34、题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位 相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 192020 年春季，某出租汽车公同决定更换一批新的小汽车以代替原来报废的出租车，现 有采购成本分别为 11 万元/辆和 8 万元/辆的 A，B 两款车型，根据以往这两种出租车车 型的数据，得到两款出租车型使用寿命频数表如表： 使用寿命年数 5 年 6 年 7 年 8 年 总计 A 型出租车（辆） 10 20 45 25 100 B 型出租车（辆） 15 35 40 10 100 （1）填写如表，并判断是否有 99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车有关？ 使用寿命不高于 6
35、年 使用寿命不低于 7 年 总计 A 型 B 型 总计 （2）以频率估计概率，从 2020 年生产的 A 和 B 的车型中各随机抽 1 车，以 X 表示这 2 年中使用寿命不低于 7 年的车数，求 X 的分布列和数学期望； （3）根据公司要求，采购成本由出租公司负责，平均每辆出租每年上交公司 6 万元，其 余维修和保险等费用自理，假设每辆出租车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆出 租车使用寿命的概率，分别以这 100 辆出租车所产生的平均利润作为决策依据，如果你 是该公司的负责人，会选择采购哪款车型？ 参考公式： ，其中 na+b+c+d 参考数据： P（K2k） 0.050 0.010 0
36、.001 k 3.841 6.635 10.828 【分析】（1）先补充完整 22 列联表，然后根据 K2的公式计算出其观测值，并与附表 中的数据进行对比即可作出判断； （2）X 的可能取值为 0，1，2，先求出两种车型使用寿命不低于 7 年和低于 7 年的占比 数，然后依据相互独立事件的概率逐一求出每个 X 的取值所对应的概率即可得分布列， 进而求得数学期望； （3） 先求出两款出租车型的每辆车的利润， 然后结合频数分布列求两种车型的平均利润， 比较大小后，取较大者即可 解：（1）补充完整的 22 列联表如下所示， 使用寿命不高于 6 年 使用寿命不低于 7 年 总计 A 型 30 70 1
37、00 B 型 50 50 100 总计 80 120 200 ， 有 99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车有关 （2）由题可知，A 型车使用寿命不低于 7 年的车数占 ，低于 7 年的车数占 ； B 型车使用寿命不低于 7 年的车数占 ，低于 7 年的车数占 X 的可能取值为 0，1，2， P（X0） ，P（X1） ，P（X2） X 的分布列为 X 0 1 2 P 数学期望 E（X） （3）平均每辆出租车年上交公司 6 万元，且 A，B 两款车型的采购成本分别为 11 万元 /辆和 8 万元/辆， 两款出租车型的每辆车的利润如下表： 使用寿命 年数 5 年 6 年 7 年 8 年 A
38、型 6511 19 6611 25 6711 31 6811 37 B 型 658 22 668 28 678 34 688 40 用频率估计概率，这 100 辆 A 型出租车的平均利润为 （万元）， 这 100 辆 B 型出租车的平均利润为 （万元）， 30.730.1， 故会选择采购 B 款车型 【点评】本题考查独立性检验、离散型随机变量的分布列与数学期望、平均数的求法， 考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题 20已知函数 f（x）exln（x+m），且 x0 是 f（x）的极值点 （1）求 f（x）的最小值； （2）是否存在实数 b，使得关于 x 的不等式 exbx+f（x）在（0
39、，+）上恒成立？若存 在，求出 b 的取值范 围；若不存在，说明理由 【分析】（1）由已知结合极值存在条件可求 m，然后结合导数单调性及最值的关系即可 求解； （2）由已知不等式代入整理可得 ln（1+x）bx，可考虑构造函数 h（x）ln（x+1） bx，结合导数与单调性的关系对 b 进行分类讨论可求 解：（1） ， 由 x0 是 f（x）的极值点可得 1 0，即 m1，经检验 m1 符合题意， ， 设 g（x）ex（x+1）1，则 g（x）ex（x+2）0 在 x1 时恒成立， 故 g（x）在（1，+）上单调递增且 g（0）0， 所以，当 x0 时，g（x）0 即 f（x）0，函数 f（x
40、）单调递增， 当1x0 时，g（x）0 即 f（x）0，函数 f（x）单调递减， 故当 x0 时，f（x）取得最小值 f（0）1， （2）由 exbx+f（x）在（0，+）上恒成立可得 ln（1+x）bx， 设 h（x）ln（x+1）bx，则 ， （i）若 b1，则 x0 时， 0，h（x）单调递减， 所以 h（x）h（0）0，符合题意， （ii）若 b0，则 x0 时， 0，h（x）单调递增，h（x）h（0）0， 不符合题意， （iii）若 0b1，则 时，x ， 当 x ， 时，h（x）0，h（x）单调递增，此时 h（x）h（0）0，不满足 题意， 综上，b 的范围1，+） 【点评】本题主
41、要考查了利用导数求解函数的单调性及极值和最值，还考查了由不等式 的恒成立求参数的范围问题，体现了分类讨论思想的应用 21已知直线 ： 与椭圆 C：ax 2+by21 交于不同的两点 A，B，线段 AB 的中点为 D，且直线 l 与直线 OD 的斜率之积为 ，若直线 xt 与直线 l 交于点 P， 与直线 OD 交于点 M，且 M 为直线 上一点 （1）求 P 点的轨迹方程； （2）若 ， 为概圆 C 的上顶点，直线 l 与 y 轴交点 G，记 S 表示面积，求 的 最大 【分析】（1）设 A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），联立两方程，结合韦达定理 可得 x1+x2 ，则 x
42、 0 ，再带回直线方程进而得到 b4a，从而 tm，消去 m 后可得 x22y； （2）结合（1）表示出 P（m， ），F（0， ），D（ ， ），M（m， ），再分别表示出两三角形的面积，利用换元思想得最值 解：（1）设 A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0）， 联立 得（bm2+a）x2m2bx 10， 则 x1+x2 ，则 x 0 ， 将其代入 ymx 得 y0 ， 因为 m ，所以 ，即 b4a， 故 OD 方程为 y x， 则 t，故 tm， 代入 ymx ，得 P（m， ），消去 m， 可得 P 点的轨迹方程为 x22y（x0）； （2）由题得 b4，所以椭圆 C 的
43、方程为 x2+4y21， 由（1）知 x0 ，y 0 ， 对于直线 l，令 x0，y ，则 G（0， ）， 所以 P（m， ），F（0， ），D（ ， ），M（m， ）， 所以 SPFG |GF|m| |m|（m 2+1） SPDM |PM| |mx0| ， 则 ，令 n2m2+1， 则 ， 当 ，即 n2 时， 取得最大值 ，此时 m ，满足0 【点评】本题考查点的轨迹方程，考查直线与椭圆的综合，转化思想、换元思想、函数 思想等，综合性强，属于难题 请考生从第 22、 23 题中任选一题作答， 并用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑， 按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题
44、进行评分；不涂，按本选考题的首题进 行评分，选修 4 一 4；坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C1的参数方程 （k 为参数），以 坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 （1）求曲线 C1的普通方程； （2）过曲线 C2上一点 P 作直线 l 与曲线 C1交于 A，B 两点，中点为 D， ， 求|PD|的最小值 【分析】 （1） 直接利用转换关系， 把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换， 进一步利用三角函数关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果 （2）利用点到直线的距离公式的应用求出结果 解：（1）曲线 C1的参数方程 （k 为参数），整理得 ，又 ， 两式相除得： ，代入 ， 得到（x+1）2+y24（y2） （2）曲线 C2的极坐标方程为 根据 转换为直角坐标 方程为 xy40 设圆心 C1（1，0）到直线 l 的距离为 d， 则|AB| ，解得 d1 所以：|PD| ， 当|PC1|最小时，|PD|最小， 由于|PC1|的最小值为圆心 C1到直线 C2的距离 根据
