1、数学试题（文科） 第 1 页，共 6 页 惠州市惠州市 2020 届高三届高三第一次第一次模拟模拟考试考试 文科数学文科数学 2020.6 全卷满分 150 分，时间 120 分钟 注意事项：注意事项： 1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在 答题卡上。 2作答选择题时，选出每个小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。 3非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在 本试卷上无效。 一、选择题：一、选择题：本题共本题共 12 小题，每小题小题，
2、每小题 5 分，共分，共 60 分分。 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1设集合|0Ax x，集合 |1Bx yx，则AB （ ） A|0x x B|01xx C|01xx D|1x x 2已知i为虚数单位，下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ） A(1)ii B 2 (1)ii C 22 (1)ii D 234 i iii 3已知, a bR，则ab“”是 22 loglogab“”的（ ）条件。 A充分而不必要 B必要而不充分 C充要 D既不充分也不必要 4已知数据 122020 ,x xx的方差为 4，若 231,2,2020
3、 ii yxi， 则新数据 122020 ,y yy的方差为（ ） A. 16 B. 13 C. 8 D. 16 5函数 | x x y x 的图象大致形状是（ ） A B C D 数学试题（文科） 第 2 页，共 6 页 6我国古代木匠精于钻研，技艺精湛，常常设计出巧夺天工的建筑在一座宫殿中，有一件 特别的“柱脚”的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 8 4 3 B 8 8 3 C8 4 D8 8 7在ABC中，角 , ,A B C的对边分别为, ,a b c，若2a，3c ， 且满足2coscosacBbC（），则 BCAB 的值为（ ） A. 2 B. 3 C.1 D.3 8已
4、知函数 | | ( )| x f xex，则满足 1 (21)( ) 3 fxf的x取值范围是（ ） A. 1 2 3 3 （ ，） B. 1 2 3 3 ，） C. 1 2 2 3 （ ，） D. 1 2 2 3，） 9已知是抛物线2= 4的焦点，过焦点的直线交抛物线的准线于点，点在抛物线上， 且| = | = 3，则直线的斜率为（ ） A1 B2 C2 D22 10空间中，m,n是两条不同的直线，, 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若/ , /mn，则/m n B. 若/ ,mn，则/mn C. 若= , ,m nnm，则n D. 若,/ ,mmn n，则 11函数( )
5、2sin() 0,| 2 f xx （）的最小正周期为，若其图象向右平移 6 个 单位后得到的函数为奇函数，则函数( )f x的图象（ ） A. 关于点0 3 （ ， ）对称 B. 在 2 2 （-，）上单调递增 C. 关于直线 3 x 对称 D. 在 6 x 处取最大值 数学试题（文科） 第 3 页，共 6 页 12已知函数 ( ) ln x f x ex ，若关于x的方程 2 10fxmf x 恰好有四个不相等的实 数根，则实数 m 的取值范围是（ ） A2, B 1, C1,2 D2,4 二、填空题：本题共二、填空题：本题共4小题，每小题小题，每小题5分分，共，共20分分。 13设直线y
6、 x m 是曲线 x ye的一条切线，则实数m的值是_ 14已知向量(1,3)ax，( ,1)bx，若向量a b与a垂直，则x=_ 152020 年初，一场突如其来的“新型冠状肺炎”使得 全国学生无法在春季正常返校开学， 不得不在家 “停课不停学”。为了解高三学生每天居家学习时 长，从某校的调查问卷中，随机抽取n个学生的 调查问卷进行分析， 得到学生学习时长的频率分 布直方图 （如右图所示） 。 已知学习时长在9,11 的学生人数为 25，则n的值为_ 16已知椭圆 22 1 98 xy 的左、右焦点分别为 12 FF、，P为椭圆上的动点，若动点Q满足 1 0FPPQR（,）且 2 | |PQ
7、PF，则点Q到双曲线 22 1 43 xy 一条渐近线 距离的最大值为_ 频率/组距 x 0.15 0.05 学习时长(h) 5 13 9 7 11 O 数学试题（文科） 第 4 页，共 6 页 三、解答题：共三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，题为必考题， 每个考生都必须作答。第每个考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共（一）必考题：共60分。分。 17（本小题满分 12 分） 设等差数列 n a的前n项和为 n S， 3456 =
8、927Saaa， （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 2 nn ba，求数列 n b前n项和 n T 参考公式： 222 1 21 12 6 n nn n 18（本小题满分 12 分） 已知几何体ABCDEF中，/ABCD，/FCEA，ADAB，AE 面ABCD， 2ABADEA，4CDCF （1）求证：平面BDF 平面BCF； （2）求点B到平面ECD的距离 19（本小题满分 12 分） 惠州市某学校高三年级模拟考试的数学试题是全国 I卷的题型结构，其中第 22、23 题为 选做题，考生只需从中任选一题作答。已知文科数学和理科数学的选做题题目无任何差异， 该校参加模拟考试学生共 10
9、50 人，其中文科学生 150 人，理科学生 900 人。在测试结束后， 数学老师对该学校全体高三学生选做的 22 题和 23 题得分情况进行了统计，22 题统计结果如 下表 1，23 题统计结果如下表 2。 表 1 表 2 22 题得分 0 3 5 8 10 理科人数 50 70 80 100 500 文科人数 5 20 10 5 70 23 题得分 0 3 5 8 10 理科人数 10 10 15 25 40 文科人数 5 5 25 0 5 A B C D E F 数学试题（文科） 第 5 页，共 6 页 （1） 在答卷中完成如下22列联表， 并判断能否至少有99.9%的把握认为“选做 2
10、2 题或 23 题”与“学生的科类（文理）”有关系； 选做 22题 选做 23题 合计 文科人数 110 理科人数 100 总计 1050 （2）在第 23 题得分为 0的学生中，按分层抽样的方法随机抽取 6 人进行答疑辅导，并在 辅导后从这 6 人中随机抽取 2人进行测试，求被抽中进行测试的 2 名学生均为理科 生的概率 参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中na b cd 2 0 ()P Kk 0.050 0.010 0.001 0 k 3.841 6.635 10.828 20（本小题满分 12 分） 已知函数 2 ( )lnf xa
11、 xxx，aR且0a （1）当1a 时，求函数( )f x的单调区间与极值； （2）当1x 时，( )2f xa x恒成立，求a的取值范围 数学试题（文科） 第 6 页，共 6 页 21（本小题满分 12 分） 已知椭圆C： 2 2 2 1(0,1) x yaa a 的两个焦点分别是 12 FF、， 直线l：( ,)ykxm k mR与椭圆交于A B、两点 （1）若M为椭圆短轴上的一个顶点，且 12 MFF是直角三角形，求a的值； （2）若=2a，且 1 4 OAOB kk，求证：OAB的面积为定值 （二）选考题：共（二）选考题：共10分。分。请考生在第请考生在第22、23题中任选一题作答。题
12、中任选一题作答。 答题时请答题时请在答卷中在答卷中写清题号并将相应信息点涂黑。写清题号并将相应信息点涂黑。 22（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 2cos sin x y （为参数） 以坐标原 点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为2 （1）求曲线 1 C的普通方程和 2 C的直角坐标方程； （2）设P是曲线 1 C上一点，此时参数 4 ，将射线OP绕坐标原点O逆时针旋转 3 交曲 线 2 C于点Q，记曲线 1 C的上顶点为T，求OTQ的面积。 23（本小题满分 10 分）选修 45：不等式
13、选讲 已知函数( ) |2 |f xxaxa （1）当1a 时，求不等式( )4 |2|f xx 的解集； （2）设0a，0b，( )f x的最小值为t，若33tb，求 12 ab 的最小值。 第 1 页，共 10 页 惠州市惠州市 2020 届高三模拟考试届高三模拟考试 文科数学文科数学标准标准答案与评分细则答案与评分细则 一、选择题：一、选择题： 1.【解析】集合 B= 1x x ，则 AB= 0x x ，故选 A 2.【解析】对于 A，(1)1iii 不是纯虚数；对于 B， 22 (1)22iii是实数； 对于 C， 22 (1)2iii 为纯虚数；对于 D， 234 11 0i iii
14、ii 不是纯虚数故选 C 3.【解析】若 22 loglogab，则0ab，则ab是0ab成立的必要不充分条件，故选 B 4.【解析】新数据 122020 ,yyy，的方差为： 2 ( 2)4=16故选 A 5.【解析】 ,0 ,0 x x x y x 根据指数函数图象，可知选 B 另解：(1)1f，可排除 CD， 1 ( 1)1f ，可排除 A，故选 B 6.【解析】根据“柱脚”的三视图可知，该“柱脚”是由半圆柱和一个三棱柱组合而成，半圆柱的底面半 圆的直径为4，高为2，故半圆柱的体积为 2 1 224 2 ，三棱柱的底面三角形的一边长为 4，该边上的高为2，该三棱柱的高为2，故该三棱柱体积
15、为 1 4 2 28 2 ，所以该“柱脚”的体 积为8 4故选：C 7.【解析】2)coscos ,a cBbC（根据正弦定理得：2sinsin )cossincos ,ACBBC（ 即：2sincossincoscossinABBCBC2sincossin()sin ,ABB CA 又 1 0,sin0,cos 2 AAB， 1 0,| |coscos2 33. 332 BBAB BCABBCBac 故选 D. 8.【解析】易知()是偶函数，不等式等价为) 3 1 (|)12(|fxf，当0x时，xexf x )(在 区间), 0 上单调递增，, 3 1 | 12| x解得： 3 2 3 1
16、 x.故选 A. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C B A B C D A C D A A 第 2 页，共 10 页 9.【解析】点在抛物线xy4 2 上，且3| AFAP，点在抛物线的准线上， 由抛物线的定义可知：lAP，设),(yxA则, 31 2 |x p xAP解得：2x， 2 8y (2, 2 2) ( 1, 2 2),AP 又),0 , 1 (F直线的斜率为2 2 22 FP k.故选 C. 10.【解析】 选项 A 错误，同时和一个平面平行的两条直线不一定平行，可能相交，可能异面；选项 B 错误，两平面平行，两平面内的直线不一定平行，可能异
17、面； 选项 C 错误，一个平面内垂直于两平面交线的直线，只有在两个平面互相垂直时才与另一个平面垂 直；选项 D正确，由,/,nmm得,n又， ,n故选 D. 11.【解析】函数( )f x的最小正周期为，可得2，( )f x向右平移 6 个单位后得到的函数为 2sin 2()2sin(2) 63 yxx ，此函数为奇函数，又 2 ，所以 3 故函数 ( )2sin(2) 3 f xx ， 2 ( )sin()0, 333 fA 正确；( )f x的递增区间为 5 , 1212 kkkZ ，故 B 错；2, 32 xkkZ , 122 k xkZ ， 故 C 错； 2 ( )2sin 63 f
18、，当, 12 xkkZ 时( )f x有最大值，故 D 错。故选 A. 12.【解析】当01x时，( ) ln x f x ex ， 2 1 ln ln x fx ex ， f x在0,1上单调递增；当 1x 时，( ) ln x f x ex ， 2 ln1 ln x fx ex ， f x在1,e上单调递减，在, e 上单调 递增，当xe时， f x取得极小值 1 1 e f e e ；作出函数 f x的图象如图所示，设 2 10fxmf x 的两根为 12 ,fxfx ，由 2 10fxmf x 恰好有四个不相等的实数根，则方程 的一根在区间0,1上，另一根在区间 1,上，不妨设 1 0
19、1fx， 2 1fx ，根据二次函数零点分布可得 0 110m ，即 2 40 2 m m ，解得：2m，故实数 第 3 页，共 10 页 m 的取值范围是2,.故选 A. 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 题，每小题题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.） 13、1 14、7 15、50 16、 21 +6 7 13.【解析】 x ye， 1 x e ，得0x，所以切点为0,1，代入直线方程可得1m。 14.【解析】( 1,2)a b ，()(1) ( 1) 3 20a b ax ，解得7x 故答案为 7 15.【解析】由频率分布直方图的性质，可得2 0.05 0.150.0
20、51x ，解得0.25x， 所以学习时长在9,11的频率 25 20.5x n ，解得50n. 16.【解析】椭圆的 1 3,( 1,0)aF，若动点 Q 满足 1 (R,0)FPPQ且 2 |=|PQPF， 可得 1, , F P Q三点共线，且同向，由 1121 | | | 26QFPQPFPFPFa，可得 Q的轨 迹为以 1 F为圆心，6为半径的圆，双曲线 22 1 43 xy 的一条渐近线方程设为320xy，由圆 心到渐近线的距离为 321 = 7 3+4 ，所以点Q到双曲线 22 1 43 xy 一条渐近线距离的最大值为 21 +6 7 。 三、解答题：共三、解答题：共70分，解答应
21、写出文字说明，证明过程或演算步骤。第分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个考生题为必考题，每个考生 都必须作答。第都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。 17 （本小题满分 12 分） 【解析】（1）解法一：解法一：设等差数列 n a的公差为d， 由 132 =2aaa知 32 39Sa，得 2 3a ，2 分 又由 4565 +=327aaaa，得 5 9a ， 3 分 由上可得等差数列 n a的公差 52 2 52 aa d ，4 分 第 4 页，共 10 页 2 (2)21 n aandn 21 n an 6
22、分 解法二：解法二：设等差数列 n a的公差为d， 由 132 =2aaa知 32 39Sa，得 2 3a ，2 分 由 4563 +18aaaS，得918d ，可得2d ，4 分 2 (2)21; n aandn 21 n an 6 分 （2）由题意得， 22 (21)441 n bnnn 7 分 所以 222 4(12)4(1 2) n Tnnn 9 分 (1)(21)(1) 44 62 n nnn n n 11 分【两个求和公式各两个求和公式各 1 分分】 2 3 (1)(21)142 4412221 6233 4 3 nnn nnnnn nn 所以 n T 3 4 3 nn 12 分
23、18.（本小题满分 12 分） 【解析】（1）证明：由已知可得 2 2BDBC BCBDCDBCBD, 222 -1 分 /FCEA，且AE 面 ABCD， FCABCD面，-2 分 BCABCD面，BDFC，-3 分 FCBCC，BCBCF面，FCBCF面-4 分 【步骤不全， 本得分点不给分】步骤不全， 本得分点不给分】 BDBCF面-5 分 BDBDF且面，所以BDFBCF面面-6 分 A B C D E F 第 5 页，共 10 页 （2）解法解法一一：EAAD EACD， ADCDABADCDAB,/ 又EA平面EAD，AD 平面EAD，EAADA EADCD平面 7 分 又ED 平
24、面EAD，CDDE 即三角形ECD为直角三角形8 分 设点B到平面ECD的距离为h, BCDECDEB VV ，9 分 即 BCDCDE SAESh 3 1 3 1 10 分 1 2 4 2 2 1 4 2 2 BCD CDE AECD AD AE S h S CD DE ，11 分 点B到平面ECD的距离为2. 12 分 解法解法二二：/ABCD，AB面ECD，CD面ECD，所以/AB面ECD 则点B到平面ECD的距离等于点A到平面ECD的距离，7 分 过A作DEAM ，垂足为M， EA面ABCD， AD 面ABCD，CD面ABCD CDEAADEA， ADCDABADCDAB,/ 又EA面
25、EAD，AD 面EAD，EAADA CD 面EAD 8 分 又AM 面EAD ，CDAM 又DEAM ，ED 平面ECD，CD平面ECD，EDCDD ECDAM平面， 则AM为点A到平面ECD的距离9 分【上述证明过程可适当简化上述证明过程可适当简化】 2ADAE ，EA AD 2AM ，即A到平面ECD的距离为2， 11 分 点B到平面ECD的距离为2. 12 分 第 6 页，共 10 页 【解法二的给分要点为：写出距离的平行转移得解法二的给分要点为：写出距离的平行转移得 1 分，作出并证明分，作出并证明 AM 为点面距离得为点面距离得 2 分，分， 计算出计算出 AM 得得 2 分，回答所
26、求结果分，回答所求结果 1 分分】 19.（本小题满分 12 分） 【解析】（1）根据题意填写 22 列联表如下， 选做 22题 选做 23题 合计 文科人数 110 40 150 理科人数 800 100 900 总计 910 140 1050 2 分 由表中数据，计算 2 2 1050 (110 100 800 40) 910 140 150 900 K ，3 分 350 26.923 13 4 分 26.923 10.8285 分 所以有 00 99.9的把握认为“选做题的选择”与“文、理科的科类”有关；6 分 （2）由分层抽样的方法可知在被选取的 6 名学生中理科生有 4 名，文科生有
27、 2 名，7 分 记 4名理科生为 a、b、c、d，2名文科生为 E、F， 从这 6 名学生中随机抽取 2 名，全部可能的基本事件共 15种8 分 分别是：ab、ac、ad、aE、aF、bc、bd、bE、bF、cd、cE、cF、dE、dF、EF9 分 【本【本步骤没有列举或列举不全，本得分点不给分】步骤没有列举或列举不全，本得分点不给分】 被抽中的 2 名学生均为理科生的基本事件是：ab、ac、ad、bc、bd、cd，有 6种，10 分 故所求的概率为 62. 155 P 11 分 所以被抽中进行测试的 2名学生均为理科生的概率为 2 5 12 分 20.（本小题满分 12 分） 【解析】 （
28、1）当1a时，函数 2 ( )ln,(0,),f xxxx x 2 121(21)(1) ( )21, xxxx fxx xxx 1 分 第 7 页，共 10 页 当( )0f x 时， 1 0 2 x，当( )0fx 时， 1 2 x ，.2 分 所以函数( )f x的单调增区间为 1 (0, ) 2 ，单调减区间为 1 ( ,) 2 .3 分 x 1 (0, ) 2 1 2 1 ( ,) 2 ( )fx 0 ( )f x 单调增 极大值 单调减 .4 分 【注意：无列表，本得分点不给注意：无列表，本得分点不给分】分】 当 1 2 x 时，函数( )f x取极大值 13 ( )ln2 24
29、f，无极小值. 5 分 （2）令 2 ( )( )2ln(1 2 )g xf xaxaxxa x ， 根据题意，当(1,)x时，( )0g x 恒成立 1(21)(1) ( )2(21) axx g xaxa xx .6 分 当 1 0 2 a， 1 (,) 2 x a 时，( )0g x 恒成立， 所以( )g x在 1 (,) 2a 上是增函数，且 1 ( )( (),) 2 g xg a ，所以不符合题意；.8 分 当 1 2 a ，(1,)x时，( )0g x 恒成立， 所以( )g x在(1,)上是增函数，且( )( (1),)g xg，所以不符合题意； .10 分 当0a时，(1,
30、)x，恒有( )0g x ，故( )g x在(1,)上是减函数， 于是( )0g x 对任意(1,)x都成立”的充要条件是(1)0g， 即(21)0aa，解得1a，.11 分 故10a .12 分 21.（本小题满分 12 分） 【解析】 （1）M为椭圆短轴上的一个顶点，且 12 MFF是直角三角形， 第 8 页，共 10 页 所以 12 MFF为等腰直角三角形， 1 OFOM .1 分 当1a 时， 2 11a ，解得 2a ， .2 分 当01a时， 2 1 aa ，解得 2 2 a ；3 分 所以 2a 或 2 2 .4 分 （2）证明：当2a时， 22 44xy，设 1122 ( ,)
31、 , (,) A x yB x y 1 212 4x xy y 1 4 OAOB kk， 12 12 1 4 yy xx 5 分 由 22 44xy ykxm ，整理得 222 (1 4)8440kxkmxm6 分 22 6416160km ， 2 121 2 22 844 , 1 41 4 kmm xxx x kk ，7 分 22 12121 212 ()()()y ykxm kxmk x xkm xxm 2222222 2 222 4484 1 41 41 4 m kkk mmk m kkk 222 22 22 444 4 241 1 41 4 mmk mk kk .8 分 2 2222
32、121 2 22 844 1()41()4 1 41 4 kmm ABkxxx xk kk 9 分 22 2 2 41 4 1 1 4 km k k 22 2 4 1 1 4 km k 10 分 O到直线ykxm的距离为 2 22 1 41 4 mm d kk ，11 分 2222 22 2 11 4 12 1 221 41 4 1 OAB kmmm SAB d kk k 第 9 页，共 10 页 所以OAB的面积为定值 1. .12 分 22 （本小题满分 10 分） 【解析】 （1）由 22 cossin1，-1 分 所以 1 C的普通方程为 2 2 1 2 x y，-2 分 由 222
33、xy-3 分 可得 22 2 :2Cxy的直角坐标方程为-4 分 （2）设点Q的横坐标为 Q x，则由已知可得 1 | | 2 OTQQ SOTx ， 且直角坐标 1 (1,) 2 P，极坐标 6 (, ) 2 P，-6 分 其中 12 sin,cos 33 ，极坐标( 2,) 3 Q ，-8 分 11 2cos() 332 Q x ，-9 分 所以 11123 1. 24632 OTQ S -10 分 【注【注意意：点点 P 的极角不是的极角不是 4 ，点点 Q 的极角不是的极角不是 43 】 23 （本小题满分 10 分） 【解析】 （1）当1a 时，( ) |2|1|f xxx， 则不等
34、式( )4 |2|f xx ，可化为：2|2|1| 4xx .-1 分 当2x时，2|2|1|334xxx ，解得： 7 3 x，即 7 3 x；-2 分 当21x 时，2|2|1|54xxx ，解得：1x，即11x ；-3 分 当1x时，2|2|1| 334xxx ，解得： 1 3 x ，即1x.-4 分 所以不等式( )4 |2|f xx 的解集为 7 ,1, 3 -5 分 第 10 页，共 10 页 【注【注 1：若计：若计算结果错误，分段讨论区间正确可得算结果错误，分段讨论区间正确可得 1 分】分】 【注【注 2：若：若结果不是区间或集合的形式，至少扣结果不是区间或集合的形式，至少扣 1 分】分】 （2）( ) |2 | |(2 ) ()| 3f xxax axax aa-6 分 ( )f x的最小值为t，3ta ，333ab即1ab，-7 分 且0,0ab 121222 ()()3232 23 baba ab abababab -8 分 当且仅当 2ba ab ， 即2 1a，22b 时取等号-9 分【没有没有此步骤，本得分点不给分】此步骤，本得分点不给分】 故 min 12 ()2 23. ab -10 分
