1、已知集合，则 AB（ ） A1，2 B0，2 C （，1 D2，+） 2 （5 分） 西游记 三国演义 水浒传 红楼梦我国古典小说四大名著若在这四大名 著中，任取 2 种进行阅读，则取到红楼梦的概率为（ ） A B C D 3 （5 分）使复数 z 为实数的充分而不必要条件为（ ） Az2为实数 Bz+ 为实数 Cz D|z|z 4 （5 分） 已知样本数据 x1， x2， ， xn的平均数是 5， 则新的样本数据 2x1+5， 2x2+5， ， 2xn+5 的平均数为（ ） A5 B7 C10 D15 5 （5 分）已知点 P 是圆 C： （x3cos）2+（ysin）21 上任意一点，则点
2、 P 到直线 x+y1 距离的最大值为（ ） A B2 C+1 D+2 6 （5 分）图中的 4 片叶子由曲线 y2|x|与曲线|y|x2围成，则毎片叶子的面积为（ ） A B C D 7 （5 分）函数 f（x）sin（x+） ， （0，0）在一个周期内的图象如图所示， M、 N 分别是图象的最高点和最低点， 其中 M 点横坐标为， O 为坐标原点， 且， 则 ， 的值分别是（ ） 第 2 页（共 24 页） A， B， C2， D 8 （5 分）某程序框图如图所示，其中，若输出的，则判断框内应填 入的条件为（ ） An2020？ Bn2020？ Cn2020？ Dn2020？ 9 （5 分
3、）已知平面向量、为三个单位向量，且满足 （x，yR） ，则 x+y 的最大值为（ ） A1 B C D2 10 （5 分）若曲线 f（x）（ax1）ex 2 在点（2，f（2） ）处的切线过点（3，3） ，则函数 f（x）的单调递增区间为（ ） A （0，+） B （，0） C （2，+） D （，2） 11 （5 分）如图，四棱锥 PABCD 的底面是边长为 2 的正方形，PA平面 ABCD，且 PA 4，M 是 PB 上的一个动点，过点 M 作平面 平面 PAD，截棱锥所得图形面积为 y， 若平面 与平面 PAD 之间的距离为 x，则函数 yf（x）的图象是（ ） 第 3 页（共 24 页
4、） A B C D 12 （5 分）已知函数，若关于 x 的方程f（x）2+mf（x）+m10 恰有 3 个 不同的实数解，则实数 m 的取值集合是（ ） A （，2）（2，+） B C D 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13（5 分） 若 2 弧度的圆心角所对的弧长为 4cm， 则这个圆心角所夹的扇形的面积是 14 （5 分）已知向量，若向量 与向量 夹角为钝角，则 的 取值集合为 15 （5 分）若函数，则 yf（x）图象上关于原点 O 对称的 点共有 对 16 （5 分）设 a，b，c 分别为ABC 的内角 A，B，C 的对边，已知 c23（a2
5、b2） ，且 tanC 3，则角 B 的余弦值为 三、解答题（共三、解答题（共 70 分分.第第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答题为必考题，每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选题为选 考题，考生根据要求作答） （一）必考题（共考题，考生根据要求作答） （一）必考题（共 60 分）分） 第 4 页（共 24 页） 17 （12 分）在数列an中，已知 （1）求数列an，bn的通项公式； （2）设数列cn满足 cnan+bn，求cn的前 n 项和 Sn 18 （12 分）已知函数 f（x）cosx（asinxcosx）+cos2（） ，且 f（）f（0） （1）求函数 y
6、f（x）的最小正周期； （2）求 f（x）在上的最大值和最小值 19 （12 分）如图，直角梯形 ABCD 与等腰直角三角形 ABE 所在的平面互相垂直ABCD， ABBC，AB2CD2BC，EAEB （）求证：ABDE； （）求直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值； （）线段 EA 上是否存在点 F，使 EC平面 FBD？若存在，求出；若不存在，说 明理由 20 （12 分）已知动点 M 到定点 F（1，0）的距离比 M 到定直线 x2 的距离小 1 （）求点 M 的轨迹 C 的方程； （）过点 F 任意作互相垂直的两条直线 l1，l2，分别交曲线 C 于点 A，B 和 M，N设 线段
7、 AB，MN 的中点分别为 P，Q，求证：直线 PQ 恒过一个定点； （）在（）的条件下，求FPQ 面积的最小值 21 （12 分）已知函数 f（x）e2x2aex2ax，其中 a0 （）当 a1 时，求曲线 yf（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程； （）若函数 f（x）有唯一零点，求 a 的值 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在请考生在 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题如果多做，则按所做的第一题 计分计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在极坐标系中，曲线 C1的极坐标方程为 4cos，
8、曲线 C2的极坐标方程为 第 5 页（共 24 页） 4sin，以极点 O 为坐标原点，极轴为 x 的正半轴建立平面直角坐标系 xOy （）求 C1和 C2的参数方程 （）已知射线 l1：（0） ，将 l1逆时针旋转得到 l2；，且 l1与 C1交于 O，P 两点，l2与 C2交于 O，Q 两点，求|OP|OQ|取得最大值时点 P 的极坐 标 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x+1|+|x4| （1）解不等式 f（x）6； （2）若不等式 f（x）+|x4|a28a 有解，求实数 a 的取值范围 第 6 页（共 24 页） 2019-2020 学年四川省南充
9、高中高三（上）第四次月考数学试卷学年四川省南充高中高三（上）第四次月考数学试卷 （理科）（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单选题（每小题一、单选题（每小题 5 分，总分分，总分 60 分）分） 1 （5 分）已知集合，则 AB（ ） A1，2 B0，2 C （，1 D2，+） 【分析】可以求出集合 A，B，然后进行交集的运算即可 【解答】解：Ay|y1，Bx|x2， AB1，2 故选：A 【点评】本题考查了描述法、区间的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于 基础题 2 （5 分） 西游记 三国演义 水浒传 红楼梦我国古典小说四大名著若在这四大名 著中，任取 2 种进行
10、阅读，则取到红楼梦的概率为（ ） A B C D 【分析】任取两种共有6 个基本事件，而取到红楼梦包含3 个基本事件，代入 公式即可 【解答】解：依题意，任取 2 种名著进行阅读，包含的基本事件个数为6 个， 而取到红楼梦包含3 个基本事件， 所以取到红楼梦的概率为 P， 故选：B 【点评】本题考查了计数原理，组合数的计算，古典概型的概率计算，属于基础题 3 （5 分）使复数 z 为实数的充分而不必要条件为（ ） Az2为实数 Bz+ 为实数 Cz D|z|z 【分析】 一个复数为实数的充分必要条件是它的虚部为 0， 根据这个充要条件对各个先项 加以判别，发现 A、B 都没有充分性，而 C 是
11、充分必要条件，由此不难得出正确的选项 第 7 页（共 24 页） 【解答】解：设复数 za+bi（i 是虚数单位） ，则 复数 z 为实数的充分必要条件为 b0 由此可看出：对于 A，z2为实数，可能 zi 是纯虚数，没有充分性，故不符合题意； 对于 B，同样若 z 是纯虚数，则 z+ 0 为实数，没有充分性，故不符合题意； 对于 C，若 za+bi， abi，z 等价于 b0，故是充分必要条件，故不符合题意； 对于 D，若|z|z0，说明 z 是实数，反之若 z 是负实数，则|z|z 不成立，符合题意 故选：D 【点评】本题考查了复数的分类，共轭复数和充分必要条件的判断，属于基础题熟练 掌握
12、书本中的复数有关概念，是解决本题的关键 4 （5 分） 已知样本数据 x1， x2， ， xn的平均数是 5， 则新的样本数据 2x1+5， 2x2+5， ， 2xn+5 的平均数为（ ） A5 B7 C10 D15 【分析】利用平均数公式，求出即可 【解答】解：x1+x2+xn5n， 2x1+5+2x2+5+2xn+52 （5n）+5n15n， 所以新的样本数据 2x1+5，2x2+5，2xn+5 的平均数为 15， 故选：D 【点评】本题考查平均数的求法，是基础题，解题时要注意计算公式的合理运用 5 （5 分）已知点 P 是圆 C： （x3cos）2+（ysin）21 上任意一点，则点 P
13、 到直线 x+y1 距离的最大值为（ ） A B2 C+1 D+2 【分析】求出圆的圆心坐标，利用点到直线的距离以及三角函数的性质可得结果 【解答】解：圆 C： （x3cos）2+（ysin）21 的圆心（3+cos，sin） ，半径为 1， 点 P 是圆 C： （x3cos）2+（ysin）21 上任意一点， 则圆心到直线 x+y1 距离为： ，当且仅当 sin（）1 时点 P 到直线 x+y1 距离的最大值为：+2 故选：D 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离的求法，三角函数的 第 8 页（共 24 页） 最值的求法，属基础题 6 （5 分）图中的 4 片叶子由曲线
14、 y2|x|与曲线|y|x2围成，则毎片叶子的面积为（ ） A B C D 【分析】由题意利用定积分求出第一象限内的图形面积即可 【解答】解：由题意，解得或； 所以根据图形的对称性，可得每片叶子的面积为： S（x2）dx（x3） 故选：C 【点评】本题考查了定积分的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题 7 （5 分）函数 f（x）sin（x+） ， （0，0）在一个周期内的图象如图所示， M、 N 分别是图象的最高点和最低点， 其中 M 点横坐标为， O 为坐标原点， 且， 则 ， 的值分别是（ ） A， B， C2， D 【分析】根据条件即可得出，并设 N（x，1） ，然后根据即可得出
15、x2，这样结合图象即可得出，从而解出 ， 即可 第 9 页（共 24 页） 【解答】解：根据题意知，设 N（x，1） ，且， ，解得 x2， 根据图象得，解得 故选：A 【点评】本题考查了向量数量积的坐标运算，根据点的坐标求向量的坐标的方法，五点 法画 f（x）sin（x+）的图象的方法，考查了计算能力，属于基础题 8 （5 分）某程序框图如图所示，其中，若输出的，则判断框内应填 入的条件为（ ） An2020？ Bn2020？ Cn2020？ Dn2020？ 【分析】根据已知可得，则 Sg（1）+g（2）+g（3） +g（n），所以 n2019，再由判断框可得 n 条件 【解答】解：由题得，
16、则 Sg（1）+g（2）+g（3）+ g（n）， 因为 S，故 n2019，由于判断框为否时输出，故 n2020， 故选：A 第 10 页（共 24 页） 【点评】本题考查程序框图，属于基础题 9 （5 分）已知平面向量、为三个单位向量，且满足 （x，yR） ，则 x+y 的最大值为（ ） A1 B C D2 【分析】由已知，将（x，yR）两边平方后整理得 x2+y21，进而根据基 本不等式可得 x+y 的最大值 【解答】解：、为三个单位向量，且， 将（x，yR）两边平方， 得 2+2+2xy ， 所以 x2+y21， （x+y）2x2+y2+2xy2（x2+y2）2， x+y， 所以 x+y
17、 最大值为 故选：B 【点评】本题考查的知识点是平面向量的基本定理，基本不等式，其中根据已知分析出 x2+y21 是解答的关键 10 （5 分）若曲线 f（x）（ax1）ex 2 在点（2，f（2） ）处的切线过点（3，3） ，则函数 f（x）的单调递增区间为（ ） A （0，+） B （，0） C （2，+） D （，2） 【分析】求得 f（2）的值，以及 x2 处 f（x）的切线斜率，根据求过两点的直线斜率的 计算公式，求得 a 的值，从而判断 f（x）的单调性 【解答】解：f（2）（2a1）e2 22a1； f（x）aex 2+（ax1）ex2ex2（ax+a1） ； 则点（2，2a1）
18、处的切线斜率为 f（2）3a1； 切线过点（3，3） ； ，解得 a1； f（x）xex 2； 令 f（x）0，解得 x0； 第 11 页（共 24 页） 当 x（，0）时，f（x）0，f（x）单调递减； 当 x（0，+）时，f（x）0，f（x）单调递增； f（x）的单调增区间为（0，+） ； 故选：A 【点评】本题考查了利用导数求函数某点的切线斜率，判断函数的增减区间，属中档题 11 （5 分）如图，四棱锥 PABCD 的底面是边长为 2 的正方形，PA平面 ABCD，且 PA 4，M 是 PB 上的一个动点，过点 M 作平面 平面 PAD，截棱锥所得图形面积为 y， 若平面 与平面 PAD
19、 之间的距离为 x，则函数 yf（x）的图象是（ ） A B C D 【分析】过 M 作 MN平面 ABCD，交 AB 于 N，过 N 作 NQAD，交 CD 于 Q，过 Q 作 QHPD，交 PC 于 H，连结 MH，则平面 MNQH 是所求的平面 ，由此能求出结果 【解答】解：过 M 作 MN平面 ABCD，交 AB 于 N，过 N 作 NQAD，交 CD 于 Q， 过 Q 作 QHPD，交 PC 于 H，连结 MH， 则平面 MNQH 是所求的平面 ， 过点 M 作平面 平面 PAD， 截棱锥所得图形面积为 y，平面 与平面 PAD 之间的距离为 x， ，解得 MN42x， 第 12 页
20、（共 24 页） ，即，MHx，NQ2， 函数 yf（x）x2+4， （0x2） 函数 yf（x）的图象如下图 故选：D 【点评】本题考查函数图象的求法，考查棱锥、三角形相似等基础知识，考查运算求解 能力，考查函数与方程思想，是中档题 12 （5 分）已知函数，若关于 x 的方程f（x）2+mf（x）+m10 恰有 3 个 不同的实数解，则实数 m 的取值集合是（ ） A （，2）（2，+） B C D 【分析】本题先利用导数法对函数 f（x）的单调性进行分析并画出 f（x）大致图象，然 后运用赋值法排除错误选项，最终得到正确选项 【解答】解：由题意 f（x）令 f（x）0，解得 x1； 且
21、x1 时，f（x）0，x1 时，f（x）0，所以 f（x）在（，1）上单调递增， 在（1，+）上单调递减， 在 x1 处取极大值 f（x）大致图象如下： 第 13 页（共 24 页） 令 tf（x） ，则f（x）2+mf（x）+m10 可化为 t2+mt+m10 假设 m2，则 t2+2t+10解得 t1，即 f（x）1 根据 f（x）图象，很明显此时只有一个解， 故 m2 不符合题意，由此排除 B 选项； 假设 m3，则 t2+3t+20，解得 t12，t21 即 f（x）2，或 f（x）1 根据 f（x）图象，很明显此时方程只有两个解， 故 m3 不符合题意，由此排除 A 选项 假设 m2
22、时，则 t2+（2）t+10，解得 t1，t21 即 f（x）1 或 f（x）， 根据 f（x）的图象，很明显此时方程只有两个根， 故 m2不符合题意，由此排除 D 故选：C 【点评】本题主要考查利用导数法对函数 f（x）的单调性进行分析，并在选择题中运用 赋值法本题属较难题 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）若 2 弧度的圆心角所对的弧长为 4cm，则这个圆心角所夹的扇形的面积是 4cm2 【分析】先求出扇形的弧长，利用周长求半径，代入面积公式 sr2进行计算 【解答】解：弧度是 2 的圆心角所对的弧长为 4，所以圆的半径为：2， 第 1
23、4 页（共 24 页） 所以扇形的面积为：4cm2； 故答案为 4cm2 【点评】本题是基础题，考查扇形面积的求法，注意题意的正确理解，考查计算能力 14 （5 分）已知向量，若向量 与向量 夹角为钝角，则 的 取值集合为 （，）（，+） 【分析】由题意可得230，且 与 不共线，由此求得 的取值集合 【解答】解：向量，若向量 与向量 夹角为钝角， 230，且 与 不共线， 即 且，即 且 ， 故答案为： （，）（，+） 【点评】本题主要考查两个向量的夹角，两个向量共线的性质，属于基础题 15 （5 分）若函数，则 yf（x）图象上关于原点 O 对称的 点共有 4 对 【分析】yf（x）图象上
24、关于原点 O 对称的点的个数可这样确定：作出 f（x）sinx（x 0）关于原点对称的函数的图象（仍然是 ysinx） ，观察 f（x）|lg（x1）|（x1） 的图象与 ysinx（x0）的交点个数即可 【解答】解：yf（x）图象上关于原点 O 对称的点的个数， 只需观察 f（x）|lg（x1）|（x1）的图象与 f（x）sinx 关于原点对称的函数的图象 交点个数即可， 第 15 页（共 24 页） 上图可知： 两个图象交点个数为 4 个， 故答案为：4 【点评】本题考查了作图能力，重点考查了数形结合的思想 16 （5 分）设 a，b，c 分别为ABC 的内角 A，B，C 的对边，已知 c
25、23（a2b2） ，且 tanC 3，则角 B 的余弦值为 【分析】根据题意得 a2b2，且 ba；利用余弦和正弦定理得 cosB，利 用三角形内角和定理得 tanA2tanB，代入 tanC3 求出 tanB 和 cosB 的值 【解答】解：ABC 中，c23（a2b2） ，得 a2b2，且 ba， 所以 B 为锐角； 因为 cosB， 即 3sinAcosB2sinC2sin（A+B） ， 整理得 sinAcosB2cosAsinB， 则有 tanA2tanB； 又 tanC3， 所以 tan（A+B）tan（A+B）3， 化简得 2tan2BtanB10，解得 tanB1 或 tanB（
26、不合题意，舍去） ； 又 B 为锐角， 第 16 页（共 24 页） 所以角 B， 可得角 B 的余弦值为 故答案为： 【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角恒等变换应用问题，是 中档题 三、解答题（共三、解答题（共 70 分分.第第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答题为必考题，每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选题为选 考题，考生根据要求作答） （一）必考题（共考题，考生根据要求作答） （一）必考题（共 60 分）分） 17 （12 分）在数列an中，已知 （1）求数列an，bn的通项公式； （2）设数列cn满足 cnan+bn，求cn的前 n 项和
27、 Sn 【分析】 （1）直接利用定义和数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式 （2）利用（1）的结论，利用分组法求出数列的和 【解答】解： （1）， 所以数列an是首项为，公比为的等比数列， 则 因为2， 所以 bn3n2 （2）由（1）知，bn3n2， 所以 所以， ， 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组法在数列求和中应 第 17 页（共 24 页） 用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 18 （12 分）已知函数 f（x）cosx（asinxcosx）+cos2（） ，且 f（）f（0） （1）求函数 yf（x）的最小正周期； （2）求
28、f（x）在上的最大值和最小值 【分析】 （1）利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，可得函数的周期； （2）由 x 的范围，得到相位的范围，进一步求得 f（x）在上的最大值和最 小值 【解答】解： （1）f（x）cosx（asinxcosx）+cos2（） asinxcosx f（）f（0） ，a2 则 f（x） 则 T； （2）x，2x， 则 sin（2x），f（x）1，2 则当 x时，f（x）min1，当 x时，f（x）max2 【点评】本题考查三角函数的恒等变换应用，考查 yAsin（x+）型函数的图象和性 质，是中档题 19 （12 分）如图，直角梯形 ABCD 与等腰直角三角形 AB
29、E 所在的平面互相垂直ABCD， ABBC，AB2CD2BC，EAEB （）求证：ABDE； （）求直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值； （）线段 EA 上是否存在点 F，使 EC平面 FBD？若存在，求出；若不存在，说 明理由 第 18 页（共 24 页） 【分析】 （）取 AB 中点 O，连接 EO，DO利用等腰三角形的性质，可得 EOAB， 证明边形 OBCD 为正方形，可得 ABOD，利用线面垂直的判定可得 AB平面 EOD， 从而可得 ABED； （）由平面 ABE平面 ABCD，且 EOAB，可得 EO平面 ABCD，从而可得 EO OD建立空间直角坐标系，确定平面 ABE
30、 的一个法向量为， ，利用向量的夹角公式，可求直线 EC 与平面 ABE 所成的角； （）存在点 F，且时，有 EC平面 FBD确定平面 FBD 的法向量，证明 0 即可 【解答】 （）证明：取 AB 中点 O，连接 EO，DO 因为 EBEA，所以 EOAB （1 分） 因为四边形 ABCD 为直角梯形，AB2CD2BC，ABBC， 所以四边形 OBCD 为正方形，所以 ABOD （2 分） 因为 EOODO 所以 AB平面 EOD （3 分） 因为 ED平面 EOD 所以 ABED （4 分） （）解：因为平面 ABE平面 ABCD，且 EOAB，平面 ABE平面 ABCDAB 所以 EO
31、平面 ABCD， 因为 OD平面 ABCD，所以 EOOD 由 OB，OD，OE 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz （5 分） 因为EAB 为等腰直角三角形，所以 OAOBODOE，设 OB1，所以 O（0，0，0） ， A（1，0，0） ，B（1，0，0） ，C（1，1，0） ，D（0，1，0） ，E（0，0，1） 所以，平面 ABE 的一个法向量为 （7 分） 设直线 EC 与平面 ABE 所成的角为 ， 第 19 页（共 24 页） 所以 ， 即直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值为 （9 分） （）解：存在点 F，且时，有 EC平面 FBD （10 分） 证明如下
32、： 由 ， 所以 设平面 FBD 的法向量为 （a，b，c） ，则有 所以取 a1，得 （1，1，2） （12 分） 因为（1，1，1） （1，1，2）0，且 EC平面 FBD，所以 EC平面 FBD 即点 F 满足时，有 EC平面 FBD （14 分） 【点评】本题考查线面垂直，考查线面平行，考查线面角，考查利用向量解决线面角问 题，确定平面的法向量是关键 20 （12 分）已知动点 M 到定点 F（1，0）的距离比 M 到定直线 x2 的距离小 1 （）求点 M 的轨迹 C 的方程； （）过点 F 任意作互相垂直的两条直线 l1，l2，分别交曲线 C 于点 A，B 和 M，N设 线段 AB
33、，MN 的中点分别为 P，Q，求证：直线 PQ 恒过一个定点； （）在（）的条件下，求FPQ 面积的最小值 【分析】 （）由题意可知：动点 M 到定点 F（1，0）的距离等于 M 到定直线 x1 的 距离，由此利用抛物线的定义能求出点 M 的轨迹 C 的方程 （） 设 A， B 两点坐标分别为 （x1， y1） ，（x2， y2） ， 则点 P 的坐标为 （，） 由 第 20 页（共 24 页） 题意可设直线 l1的方程为 yk（x1） ， （k0） ，由，得 k2x2（2k2+4）x+k2 0由此利用根的判别式、韦达定理、直线的斜率、直线方程，结合已知条件能证明直 线 PQ 恒过定点 E（3
34、，0） （）求出|EF|2，利用基本不等式能求出三角形面积的最小值 【解答】解： （）由题意可知：动点 M 到定点 F（1，0）的距离等于 M 到定直线 x 1 的距离， 根据抛物线的定义可知，点 M 的轨迹 C 是抛物线 （2 分） p2，点 M 的轨迹 C 的方程：y24x（3 分） 证明： （）设 A，B 两点坐标分别为（x1，y1） ， （x2，y2） ， 则点 P 的坐标为（，） 由题意可设直线 l1的方程为 yk（x1） ， （k0） ， 由，得 k2x2（2k2+4）x+k20 （2k2+4）24k416k2+160（5 分） 直线 l1与曲线 C 于 A，B 两点， ， 点 P
35、 的坐标为（1+，） （6 分） 由题知，直线 l2的斜率为，同理可得点 Q 的坐标为（1+2k2，2k） （7 分） 当 k1 时，有 1+1+2k2， 此时直线 PQ 的斜率 kPQ（8 分） 直线 PQ 的方程为 y+2k（x12k2） ， 整理得 yk2+（x3）ky0 于是，直线 PQ 恒过定点 E（3，0） ， 当 k1 时，直线 PQ 的方程为 x3，也过点 E（3，0） 第 21 页（共 24 页） 综上所述，直线 PQ 恒过定点 E（3，0） （10 分） 解： （）由题意得|EF|2， FPQ 的面积 S+4 当且仅当 k1 时， “”成立， FPQ 面积的最小值为 4（1
36、2 分） 【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线恒过定点的证明，考查三角形面积的 最小值的求法，考查抛物线、根的判别式、韦达定理、直线的斜率、直线方程等基础知 识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中 档题 21 （12 分）已知函数 f（x）e2x2aex2ax，其中 a0 （）当 a1 时，求曲线 yf（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程； （）若函数 f（x）有唯一零点，求 a 的值 【分析】 （I）求得 a1 时 f（x）的解析式和导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方 程可得所求切线方程； （）法一、求得 f（x）的导数，令 tex（0，
37、+） ，则 f（x）g（t）2（t2at a） ，考虑 g（t）的零点，讨论 f（x）的单调性，可得 f（x）的极值，解方程，通过构造 函数，可得所求值； 法二、问题等价于关于 x 的方程 e2x2aex2ax0（a0）有唯一解时，求 a 的值令 ext（t0） ，则 xlnt问题等价于关于 t 的方程有唯一的解 时，求 a 的值令，求得导数和单调性，求得极值，结合图 象可得所求值 【解答】解： （I）当 a1 时，f（x）e2x2ex2x，f（x）2e2x2ex2 f（0）2e02e022， 又 f（0）e02e001， 曲线 yf（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程为 y（1）2x，即
38、 2x+y+10； （）法一：f（x）2e2x2aex2a2（e2xaexa） ， 令 tex（0，+） ，则 f（x）g（t）2（t2ata） ， a0，函数 yg（t）在（0，+）仅有一个零点， 第 22 页（共 24 页） 存在 t0（0，+） ，使得 g（t0）0即存在 x0满足时，f（x0）0， 当 t（0，t0） ，即 x（，x0）时，f（x）0f（x）在（，x0）上单调递 减； 当 t（t0，+） ，即 x（x0，+）时，f（x）0f（x）在（x0，+）上单调递增， 又当 x时，e2x2aex0，2ax+，f（x）+； 当 x0 时，exx，f（x）e2x2aex2axe2x2a
39、ex2aexex（ex4a） 当 x+时，ex（ex4a）+，当 x+时，f（x）+ 由题意，函数 f（x）有唯一零点时，必有， 又， 由消去 a，得 令 h（x）ex+2x1h（x）ex+20，h（x）单调递增， 又 h（0）0，方程有唯一解 x00 将 x00 代入，解得当函数 f（x）有唯一零点时，a 的值为 法二：问题等价于关于 x 的方程 e2x2aex2ax0（a0）有唯一解时，求 a 的值 令 ext（t0） ，则 xlnt 问题等价于关于 t 的方程有唯一的解时，求 a 的值 令，则 令 h（t）1t2lnt（t0） ，则 h（t）在（0，+）单调递减，而 h（1）0， 当 t
40、（0，1）时，h（t）0，当 t（1，+）时，h（t）0 当 t（0，1）时，g（t）0，当 t（1，+）时，g（t）0 从而 g（t）在（0，1）单调递增，在（1，+）单调递减 注意到：g（1）1，当 t1 时，g（t）0，当 t0 时，g（t）， g（t）的唯一极大值为 g（1）1 结合 g（t）的图象知，或时，关于 t 的方程有唯 一的解， 第 23 页（共 24 页） 而 a0，所以 【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值，考查构造函数法，以及换 元法和参数分离，考查方程思想和化简运算能力，属于难题 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在请考生在 22、2
41、3 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题如果多做，则按所做的第一题 计分计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在极坐标系中，曲线 C1的极坐标方程为 4cos，曲线 C2的极坐标方程为 4sin，以极点 O 为坐标原点，极轴为 x 的正半轴建立平面直角坐标系 xOy （）求 C1和 C2的参数方程 （）已知射线 l1：（0） ，将 l1逆时针旋转得到 l2；，且 l1与 C1交于 O，P 两点，l2与 C2交于 O，Q 两点，求|OP|OQ|取得最大值时点 P 的极坐 标 【分析】 （）根据坐标方程之间的转化，分别求出 C1和 C
42、2的参数方程即可； （）设出 P，Q 的极坐标，表示出|OP|OQ|的表达式，结合三角函数的性质求出 P 的 极坐标即可 【解答】解： （）在直角坐标系中，曲线 C1的直角坐标方程为（x2）2+y24 所以 C1参数方程为为参数） （3 分） 曲线 C2的直角坐标方程为 x2+（y2）24 所以 C2参数方程为为参数） （6 分） （）设点 P 极坐标为（1，） ，即 14cos， 点 Q 极坐标为，即（8 分） 则 （10 分） ， 当时|OP|OQ|取最大值， 此时 P 点的极坐标为（12 分） 【点评】本题考查了坐标方程之间的转化，考查三角函数的性质，是一道中档题 第 24 页（共 24
43、 页） 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x+1|+|x4| （1）解不等式 f（x）6； （2）若不等式 f（x）+|x4|a28a 有解，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）利用分段讨论法去掉绝对值，求出不等式 f（x）6 的解集； （2）利用绝对值不等式求出 f（x）+|x4|的最小值，问题化为关于 a 的不等式，求解集 即可 【解答】解： （1）由已知得当时，不等式 f（x）6 化为3x+36， 解得 x1，所以取； 当时，不等式 f（x）6 化为 x+56， 解得 x1，所以取； 当 x4 时，不等式 f（x）6 化为 3x36， 解得 x3，不合题意，舍去； 综上知，不等式 f（x）6 的解集为1，1 （2）由题意知，f（x）+|x4|2x+1|+|2x8|（2x+1）（2x8）|9， 当且仅当x4 时取等号； 由不等式 f（x）+|x4|a28a 有解，则 a28a9， 即（a9） （a+1）0，解得 a1 或 a9； 所以 a 的取值范围是（，1）（9，+） 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了不等式有解的问题，是 中档题
