1、已知集合 AxN|x21，集合 BxZ|1x3，则图中阴影部分表示的 集合为（ ） A1，3 B （1，3 C1，2，3 D1，0，2，3 2 （5 分）在复平面内，复数 z1+i 的共轭复数对应的向量为为（ ） A B C D 3 （5 分）已知 （） ，sin，则 cos（）（ ） A B C D 4 （5 分）根据中国生态环境部公布的 2017 年、2018 年长江流域水质情况监测数据，得到 如图饼图： 第 2 页（共 25 页） 则下列说法错误的是（ ） A2018 年的水质情况好于 2017 年的水质情况 B2018 年与 2017 年相比较，、类水质的占比明显增加 C2018 年与
2、 2017 年相比较，占比减小幅度最大的是类水质 D2018 年、类水质的占比超过 60% 5 （5 分）以双曲线 C：1（a0，b0）的右焦点 F 为圆心，|OF|为半径的圆 （O 为坐标原点）与 C 的渐近线相切，则 C 的渐近线方程为（ ） Axy0 Bxy0 Cxy0 Dxy0 6 （5 分）如图所示，九连环是中国的一种古老的智力游戏，它环环相扣，趣味无穷它主 要由九个圆环及框架组成，每个圆环都连有一个直杆，各直杆在后一个圆环内穿过，九 个直杆的另一端用平板或者圆环相对固定，圆环在框架上可以解下或者套上九连环游 戏按某种规则将九个环全部从框架上解下或者全部套上将第 n 个圆环解下最少需
3、要移 动的次数记为 f（n） （n9 且 nN*） ，已知 f（1）1，f（2）1，且通过该规则可得 f （n）f（n1）+2f（n2）+1，则解下第 5 个圆环最少需要移动的次数为（ ） A7 B16 C19 D21 7 （5 分）设 f（x）是函数 f（x）的导函数，yf（x）的图象如图所示，则 yf（x）的图 象可能是（ ） A 第 3 页（共 25 页） B C D 8 （5 分）ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 B120，sinC， c2，则ABC 的面积等于（ ） A B2 C D 9 （5 分）已知函数 f（x）ex+e x，则（ ） Af（e）f（
4、） Bf（e）f（） Cf（）f（e） Df（）f（e） 10 （5 分）某同学在参加通用技术实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺 品可以看成是一个球被一个棱长为 4的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正 方体的中心重合） ，若其中一个截面圆的周长为 4，则该球的半径是（ ） A2 B4 C2 D4 11 （5 分）已知函数 f（x）sin（x） （0） ，x0，的值域是，1，则 的取值范围是（ ） A （0， B C3， D 第 4 页（共 25 页） 12 （5 分）已知 P 是函数 f（x）x2图象上的一点，过点 P 作圆 x2+y24y+30 的两条切 线，切点分别为 A，
5、B，则的最小值为（ ） A B23 C0 D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13（5 分） 已知点 A （1， 0） ， B （2，） ， 则与向量垂直的一个非零向量的坐标是 （只 要填写一个满足条件的向量即可） 14 （5 分） （1+x）6（2y+1）5的展开式中 x4y2的系数是 15 （5 分）已知椭圆 M：的左顶点为 A，O 为坐标原点，B、C 两点 在 M 上， 若四边形 OABC 为平行四边形， 且OAB45， 则椭圆 M 的离心率为 16 （5 分）依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照中华人民共和
6、国个 人所得税法向国家缴纳个人所得税（简称个税） 2019 年 1 月 1 日起，个税税额根据应 纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为： 个税税额应纳税所得额税率速算扣除数 应纳税所得额的计算公式为： 应纳税所得额综合所得收入额免征额专项扣除专项附加扣除依法确定的其他 扣除 其中免征额为每年 60000 元，税率与速算扣除数见表： 级数 全年应纳税所得额所 在区间 税率（%） 速算扣除数 1 0，36000 3 0 2 （36000，144000 10 2520 3 （144000，300000 20 16920 4 （300000，420000 25 31920 5 （420000，
7、660000 30 52920 6 （660000，960000 35 85920 7 （960000，+） 45 181920 第 5 页（共 25 页） 备注 专项扣除”包括基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金 专项附加扣除”包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡 养老人等支出 其他扣除”是指除上述免征额、专项扣除、专项附加扣除之外，由国务院决定以扣除方 式减少纳税的优惠政策规定的费用 某人全年综合所得收入额为 160000 元，假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业 保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是 8%，2%，
8、1%，9%，专 项附加扣除是 24000 元，依法确定其他扣除是 0 元，那么他全年应缴纳综合所得个税 元 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ADAA1 （1）证明：平面 A1BD面 BC1D1； （2）若 AB2AD，求二面角 A1BDD1的余弦值
9、 18 （12 分）设等差数列an公差为 d，等比数列bn公比为 q，已知 a1b1，a3b1+b25， q2d （1）求数列an，bn的通项公式； （2）记 cnanbn，求数列cn的前 n 项和 Sn 19 （12 分）已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 C 上的动点 （1）当|PF|4 时，求直线 PF 的方程； （2）过点 P 作 l 的垂线，垂足为 M，O 为坐标原点，直线 OM 与 C 的另一个交点为 Q， 证明：直线 PQ 经过定点，并求出该定点的坐标 20 （12 分）近年来，昆明加大了特色农业建设，其中花卉产业是重要组成部分昆明斗南 第 6 页（共 2
10、5 页） 毗邻滇池东岸，是著名的花都，有“全国 10 支鲜花 7 支产自斗南”之说，享有“金斗南” 的美誉对斗南花卉交易市场某个品种的玫瑰花日销售情况进行调研，得到这种玫瑰花 的定价 x（单位：元/扎，20 支/扎）和销售率 y（销售率是销售量与供应量的比值）的统 计数据如下： x 10 20 30 40 50 60 y 0.9 0.65 0.45 0.3 0.2 0.175 （1）设 zlnx，根据所给参考数据判断，回归模型 x与 z哪个更合适， 并根据你的判断结果求回归方程（ ， 的结果保留一位小数） ； （2）某家花卉公司每天向斗南花卉交易市场提供该品种玫瑰花 1200 扎，根据（1）中
11、的 回归方程，估计定价 x（单位：元/扎）为多少时，这家公司该品种玫瑰花的日销售额 W （单位：元）最大，并求 W 的最大值 参考数据： y 与 x 的相关系数 r10.96， y 与 z 的相关系数 r20.99， 35， 0.45， xi29100， 3.40， 6 269.32， yizi8.16，zi271.52， e320.1， e3.430.0， e3.533.1，e454.6 参考公式： ， ，r 21 （12 分）已知函数 f（x）exax22ax（aR） （1）讨论 f（x）的导数 f（x）的单调性； （2）若 f（x）有两个极值点 x1，x2，求实数 a 的取值范围，并证明
12、（x1+1） （x2+1）1 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22.23 题中任选一题作答并用铅笔在答题卡选考题题中任选一题作答并用铅笔在答题卡选考题 区域内把所选的题号涂黑如果多做，则按所做的第一题计分区域内把所选的题号涂黑如果多做，则按所做的第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数：坐标系与参数 方程方程 22 （10 分） 已知极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点， 极轴与 x 轴的非负半轴重合 曲 线 C 的极坐标方程是 1+2sin2，直线 l 的极坐标方程是 cos（） （1）求曲线 C 和直线 l 的直角坐标方程； 第 7 页（共 25 页） （
13、2）设点 P（2，0） ，直线 l 与曲线 C 相交于点 M、N，求的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知函数 f（x）|x|2x2| （1）求不等式 f（x）3 的解集； （2）若 aR，且 a0，证明：|4a1|+|4f（x） 第 8 页（共 25 页） 2019-2020 学年云南省昆明市三诊一模高三（上）学年云南省昆明市三诊一模高三（上）1 月摸底数学月摸底数学 试卷（理科）试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分
14、在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 AxN|x21，集合 BxZ|1x3，则图中阴影部分表示的 集合为（ ） A1，3 B （1，3 C1，2，3 D1，0，2，3 【分析】可以求出集合 A，B，然后进行补集的运算即可求出阴影部分表示的集合为BA 【解答】解：A0，1，B1，0，1，2，3， 阴影部分表示的集合为BA1，2，3 故选：C 【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，补集的定义及运算，考查了计算能力，属 于基础题 2 （5 分）在复平面内，复数 z1+i 的共轭复数对应的向量为为（ ） A B C D 【分析】由已知求得
15、的坐标得答案 【解答】解：由 z1+i，得， 第 9 页（共 25 页） 则 在复平面内对应点的坐标为（1，1） ， 为 C 故选：C 【点评】本题考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题 3 （5 分）已知 （） ，sin，则 cos（）（ ） A B C D 【分析】由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可求值得解 【解答】解：（） ，sin， cos， cos（）cos 故选：A 【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的 应用，考查了转化思想，属于基础题 4 （5 分）根据中国生态环境部公布的 2017 年、2018 年长江
16、流域水质情况监测数据，得到 如图饼图： 则下列说法错误的是（ ） A2018 年的水质情况好于 2017 年的水质情况 B2018 年与 2017 年相比较，、类水质的占比明显增加 C2018 年与 2017 年相比较，占比减小幅度最大的是类水质 D2018 年、类水质的占比超过 60% 【分析】根据图象所给信息逐一进行判断即可 【解答】解：根据图象中的数据可知 2018 年的水质情况好于 2017 年的水质情况， 第 10 页（共 25 页） 同时 2018 年与 2017 年相比较，、类水质的占比明显增加，故 A、B 对； 而 2018 年与 2017 年相比较，占比减小幅度最大的是类水质
17、，故 C 错； 2018 年、类水质的占比等于 5.7%+54.7%60%，故 D 对， 故选：C 【点评】本题考查信息读取能力，考查根据所给信息进行判断和推理，属于基础题 5 （5 分）以双曲线 C：1（a0，b0）的右焦点 F 为圆心，|OF|为半径的圆 （O 为坐标原点）与 C 的渐近线相切，则 C 的渐近线方程为（ ） Axy0 Bxy0 Cxy0 Dxy0 【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用渐近线与圆相切，转化求解即可 【解答】解：双曲线 C：1（a0，b0）的右焦点 F 为圆心， |OF|为半径的圆（O 为坐标原点）与 C 的渐近线相切， 可得：，可得 c2b，所以 c24b2a
18、2+b2， 所以 a， 则 C 的渐近线方程为：xy0 故选：B 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题 6 （5 分）如图所示，九连环是中国的一种古老的智力游戏，它环环相扣，趣味无穷它主 要由九个圆环及框架组成，每个圆环都连有一个直杆，各直杆在后一个圆环内穿过，九 个直杆的另一端用平板或者圆环相对固定，圆环在框架上可以解下或者套上九连环游 戏按某种规则将九个环全部从框架上解下或者全部套上将第 n 个圆环解下最少需要移 动的次数记为 f（n） （n9 且 nN*） ，已知 f（1）1，f（2）1，且通过该规则可得 f （n）f（n1）+2f（n2）+1，则解下第 5
19、个圆环最少需要移动的次数为（ ） A7 B16 C19 D21 【分析】代入数列的递推式，计算可得所求值 第 11 页（共 25 页） 【解答】解：f（3）f（2）+2f（1）+11+2+14；f（4）f（3）+2f（2）+14+2+1 7； f（5）f（4）+2f（3）7+8+116 故选：B 【点评】本题考查数列的递推式的运用，考查运算能力，属于基础题 7 （5 分）设 f（x）是函数 f（x）的导函数，yf（x）的图象如图所示，则 yf（x）的图 象可能是（ ） A B C D 【分析】利用导函数的图象得到函数 f（x）的单调性，观察选项即可得到答案 【解答】解：由 yf（x）的图象可知
20、，函数 f（x）的增区间为（3，1） ， （0，1） ； 减区间为（1，0） ， （1，3） ； 第 12 页（共 25 页） 观察选项可知，只有 D 选项符合题意； 故选：D 【点评】本题主要考查原函数与导函数之间的关系，考查数形结合思想，属于基础题 8 （5 分）ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 B120，sinC， c2，则ABC 的面积等于（ ） A B2 C D 【分析】由已知利用正弦定理可求 b 的值，由余弦定理进而可求 a2+2a30，解方程可 得 a 的值，根据三角形的面积公式即可求解 【解答】解：B120，sinC，c2， 由正弦定理，可得 b，
21、 由余弦定理 b2a2+c22accosB，可得 7a2+42a2（） ，可得 a2+2a3 0，解得 a1，或3（舍去） ， SABCabsinC 故选：A 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合 应用，考查了计算能力和方程思想，属于基础题 9 （5 分）已知函数 f（x）ex+e x，则（ ） Af（e）f（） Bf（e）f（） Cf（）f（e） Df（）f（e） 【分析】根据题意，分析可得 f（x）为偶函数且在（0，+）上为增函数，据此分析可 得答案 【解答】解：根据题意，f（x）ex+e x，其定义域为 R， 且 f（x）e x+exex+exf（
22、x） ，即函数为偶函数，则有 f（ ）f（） ； 又由 f（x）exe x，在区间（0，+）上，f（x）0，即函数 f（x）在（0，+） 上为增函数， 又由e，则 f（）f（）f（）f（e） ； 故选：D 【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析 f（x）的单调性，属于 第 13 页（共 25 页） 基础题 10 （5 分）某同学在参加通用技术实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺 品可以看成是一个球被一个棱长为 4的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正 方体的中心重合） ，若其中一个截面圆的周长为 4，则该球的半径是（ ） A2 B4 C2 D4 【分析】由题意画出
23、图形，由圆的周长公式求得圆的半径，再由勾股定理求球的半径 【解答】解：作出截面图如图， 则 OA， 由截面圆的周长为 4，得 2AB4，则 AB2 球的半径是 故选：B 【点评】本题考查多面体与球的关系，考查空间想象能力与思维能力，是基础题 11 （5 分）已知函数 f（x）sin（x） （0） ，x0，的值域是，1，则 的取值范围是（ ） A （0， B C3， D 【分析】首先根据函数的定义域求出整体的自变量的范围，进一步利用函数的值域求出 结果 【解答】解：函数 f（x）sin（x） （0） ，x0， 则：x，； 函数函数 f（x）sin（x）的值域为，1， 第 14 页（共 25 页）
24、 所以：， 解得：，3， 故选：B 【点评】本题考查的知识要点：正弦型函的性质的应用，利用函数的值域确定函数的定 义域，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型 12 （5 分）已知 P 是函数 f（x）x2图象上的一点，过点 P 作圆 x2+y24y+30 的两条切 线，切点分别为 A，B，则的最小值为（ ） A B23 C0 D 【分析】可画出图形，可得出，从而要使得最小，只 需让最小，APB 最大即可可设圆心为 C，并得出 C（0，2） ，设 P（x，x2） ， 从而可得出|PC|的最小值为，进而得出的最小值为，然后得出对应的 ，从而可得出的最小值 【解答】解：如图， ， 要使最小
25、，只需最小，APB 最大， 设圆心 C（0，2） ，P（x，x2） ，则， |PC|的最小值为，且圆半径为 1， 第 15 页（共 25 页） 的最小值为，此时 cosAPB2cos2APC1， 的最小值为 故选：A 【点评】本题考查了圆的标准方程，两点间的距离公式，配方求二次函数最值的方法， 数形结合解题的方法，向量数量积的计算公式，二倍角的余弦公式，考查了计算能力， 属于中档题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知点 A（1，0） ，B（2，） ，则与向量垂直的一个非零向量的坐标是 （） （只要填写一个满足条
26、件的向量即可） 【分析】可求出，而与垂直的向量，数量积为零，即得出与向量垂直的一个非零向 量的坐标 【解答】解：点 A（1，0） ，B（2，） ，向量（1，） ； 设与向量垂直的一个非零向量的坐标是（x，y） ，则 x+y0， x，y 可以是 x，y1 故答案为： （，1） 【点评】本题考查了非零向量垂直的条件，向量坐标的数乘运算，属于基础题 14 （5 分） （1+x）6（2y+1）5的展开式中 x4y2的系数是 600 【分析】先利用二项展开式的通项公式，求得（1+x）6的展开式中 x4的系数、 （2y+1）5 的展开式中 y2的系数，可得（1+x）6（2y+1）5的展开式中 x4y2的系
27、数 【解答】解： （1+x）6（2y+1）5的展开式中 x4y2的系数， 等于（1+x）6的展开式中 x4的系数乘以（2y+1）5的展开式中 y2的系数 而（1+x）6的展开式中 x4的系数为15， （2y+1）5的展开式中 y2的系数为2240， 故（1+x）6（2y+1）5的展开式中 x4y2的系数是 1540600， 故答案为：600 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质， 属于基础题 第 16 页（共 25 页） 15 （5 分）已知椭圆 M：的左顶点为 A，O 为坐标原点，B、C 两点 在 M 上， 若四边形 OABC 为平行四边形， 且OAB
28、45， 则椭圆 M 的离心率为 【分析】根据题意，利用 B，C 关于椭圆的对称轴对称，B，C 的横坐标互为相反数，又 BCa，故 C 的横坐标为 x，代入椭圆方程 M 得，y，故 B（，） ， 由 BCa，再结合椭圆的性质，求出 e 即可 【解答】解：AO 是与 x 轴重合的，且四边形 OABC 为平行四边形， BCOA， 则 B、C 两点的纵坐标相等，根据椭圆的对称性，B、C 的横坐标互为相反数， B、C 两点是关于 y 轴对称的 由题知：OAa 四边形 OABC 为平行四边形，则 BCOAa， 故 C 的横坐标为 x，代入椭圆方程 M 得，y，故 B（，） ， 由 BCa， 所以 c， 故
29、， 故答案为： 【点评】考查椭圆的对称轴，椭圆求离心率，中档题 16 （5 分）依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照中华人民共和国个 人所得税法向国家缴纳个人所得税（简称个税） 2019 年 1 月 1 日起，个税税额根据应 纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为： 个税税额应纳税所得额税率速算扣除数 应纳税所得额的计算公式为： 应纳税所得额综合所得收入额免征额专项扣除专项附加扣除依法确定的其他 第 17 页（共 25 页） 扣除 其中免征额为每年 60000 元，税率与速算扣除数见表： 级数 全年应纳税所得额所 在区间 税率（%） 速算扣除数 1 0，36000 3 0
30、2 （36000，144000 10 2520 3 （144000，300000 20 16920 4 （300000，420000 25 31920 5 （420000，660000 30 52920 6 （660000，960000 35 85920 7 （960000，+） 45 181920 备注 专项扣除”包括基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金 专项附加扣除”包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡 养老人等支出 其他扣除”是指除上述免征额、专项扣除、专项附加扣除之外，由国务院决定以扣除方 式减少纳税的优惠政策规定的费用 某人全年综合所
31、得收入额为 160000 元，假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业 保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是 8%，2%，1%，9%，专 项附加扣除是 24000 元，依法确定其他扣除是 0 元，那么他全年应缴纳综合所得个税 1880 元 【分析】先求出这个人有应纳税所得额，由此能求出他全年应缴纳综合所得个税 【解答】解：由题意知这个人全年应缴纳综合所得个税为： 360003%+16000024000160000（8%+2%+1%+9%）600003600010% 1880（元） 故答案为：1880 【点评】本题考查他全年应缴纳综合所得个税的求法，考查函数性质在生产生活中
32、的实 际运用等基础知识，考查运用求解能力和应用意识，是中档题 第 18 页（共 25 页） 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ADAA1 （1）证明：平面 A1BD面 BC1D1； （2）若 AB2AD，求二面角 A1BDD1的余弦值 【分析】 （1
33、）推导出 A1DAD1，A1DBC1，A1DC1D1，从而 A1D平面 BC1D1，由 此能证明平面 A1BD面 BC1D1 （2）设 AB2AD2，以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直 角坐标系，利用向量法能求出二面角 A1BDD1的余弦值 【解答】解： （1）证明：ADAA1，四边形 AA1D1D 是正方形，A1DAD1， 四边形 ABC1D1是平行四边形，AD1BC1，A1DBC1， 长方体 ABCDA1B1C1D1中，C1D1平面 AA1D1D，A1DC1D1， BC1C1D1C1，A1D平面 BC1D1， A1D平面 A1BD，平面 A1B
34、D面 BC1D1 （2）解：设 AB2AD2，以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空 间直角坐标系， 则 A1（1，0，1） ，B（1，2，0） ，D（0，0，0） ，D1（0，0，1） ， 设平面 BDD1的一个法向量 （x，y，z） ， （0，0，1） ，（1，2，0） ， 则，取 y1，得 （2，1，0） ， 设平面 A1BD 的一个法向量 （x，y，z） ，（1，0，1） ，（1，2，0） ， 第 19 页（共 25 页） 则，取 x2，得 （2，1，2） ， cos， 由图得二面角 A1BDD1的平面角为锐角， 二面角 A1BDD1的余弦值为 【
35、点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 18 （12 分）设等差数列an公差为 d，等比数列bn公比为 q，已知 a1b1，a3b1+b25， q2d （1）求数列an，bn的通项公式； （2）记 cnanbn，求数列cn的前 n 项和 Sn 【分析】 （1）根据题意，联立解方程组，求出首项和公差，公比，代入即可； （2）求出 cnanbn，利用错位相消法，求出数列cn的前 n 项和 Sn 【解答】解： （1）等差数列an公差为 d，等比数列bn公比为 q， 由 a1b1，a3b1+b25，q2d，
36、 b2a3a12dqa1q，所以 a1b11， b1+b21+q5，q42d，故 d2， 所以 an2n1，bn4n 1； （2）cnanbn（2n1）4n 1； 数列cn的前 n 项和 Sn140+341+（2n1） 4n 1， 4， 两式作差得3 1+ 第 20 页（共 25 页） ， 故 【点评】考查等差数列等比数列的性质和通项公式的求法，错位相消法求出数列前 n 项 和，中档题 19 （12 分）已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 C 上的动点 （1）当|PF|4 时，求直线 PF 的方程； （2）过点 P 作 l 的垂线，垂足为 M，O 为坐标原点，直线 OM
37、 与 C 的另一个交点为 Q， 证明：直线 PQ 经过定点，并求出该定点的坐标 【分析】 （1）设点 P（x0，y0） ，由|PF|4 可解得 P 的坐标，进而求得 PF 的方程； （2）表示出直线 OM 方程并与抛物线方程联立得到 Q 点坐标，进而可求出直线 PQ 的方 程，得到恒过的点坐标 【解答】解： （1）设点 P（x0，y0） ，由|PF|4 得 1+x04，解得 x03， 所以 y02，所以 kPF， 所以直线 PF 的方程为：yx或 yx+； （2）证明：设 P（，y0） （y00） ，则 M（1，y0） ，直线 OM 的方程为：yy0x， 联立，整理得 y02x24x0，解得
38、Q（，） ， 当 y02 时，直线 PQ 的方程为 x1； 当 y02 时，直线 PQ 的方程为 yy0（x） ， 化简得：y（x1） ， 综上，直线 PQ 恒过点（1，0） 【点评】本题考查直线与抛物线方程的综合应用，考查直线恒过点问题，属于中档题 20 （12 分）近年来，昆明加大了特色农业建设，其中花卉产业是重要组成部分昆明斗南 毗邻滇池东岸，是著名的花都，有“全国 10 支鲜花 7 支产自斗南”之说，享有“金斗南” 的美誉对斗南花卉交易市场某个品种的玫瑰花日销售情况进行调研，得到这种玫瑰花 的定价 x（单位：元/扎，20 支/扎）和销售率 y（销售率是销售量与供应量的比值）的统 第 2
39、1 页（共 25 页） 计数据如下： x 10 20 30 40 50 60 y 0.9 0.65 0.45 0.3 0.2 0.175 （1）设 zlnx，根据所给参考数据判断，回归模型 x与 z哪个更合适， 并根据你的判断结果求回归方程（ ， 的结果保留一位小数） ； （2）某家花卉公司每天向斗南花卉交易市场提供该品种玫瑰花 1200 扎，根据（1）中的 回归方程，估计定价 x（单位：元/扎）为多少时，这家公司该品种玫瑰花的日销售额 W （单位：元）最大，并求 W 的最大值 参考数据： y 与 x 的相关系数 r10.96， y 与 z 的相关系数 r20.99， 35， 0.45， xi
40、29100， 3.40， 6 269.32， yizi8.16，zi271.52， e320.1， e3.430.0， e3.533.1，e454.6 参考公式： ， ，r 【分析】 （1）根据相关系数确定 z更合适，根据线性回归方程公式，求出线性回 归方程即可； （2）求出 W 的解析式，利用求导法，判断出 W 的最大值，求出即可 【解答】解： （1）因为 r10.96，y 与 z 的相关系数 r20.99，0.960.991， 由线性相关系数的定义可知， z更合适， 由， ， 所以线性回归方程为：y0.5lnx+2.0； （2）由题意，W1200（0.5lnx+2.0）x， W1200（1
41、.50.5lnx，令 w0，德 lnx3，即 xe320.1， 第 22 页（共 25 页） 当 x（0，20.1）时，W 递增；当 x（20，1，+）时，W 递减； 故销售价约为 20.1 时，日销售额 W 最大， e31200（0.53+2.0）20.112060（元） ， 故最大日销售额为 12060 元 【点评】考查线性回归方程，导数法求最值，中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）exax22ax（aR） （1）讨论 f（x）的导数 f（x）的单调性； （2）若 f（x）有两个极值点 x1，x2，求实数 a 的取值范围，并证明（x1+1） （x2+1）1 【分析】 （1）求导，分
42、 a0 及 a0 讨论得解； （2）首先可分析得，再利用分析法求证 【解答】解： （1）由题意，得 f（x）ex2ax2aex2a（x+1） （xR） 设 g（x）f（x） （xR） ，则 g（x）ex2a 当 a0 时，g（x）ex2a0，所以 f（x）在 R 上单调递增 当 a0 时，由 g（x）ex2a0，得 xln（2a） 当 xln（2a）时，g（x）0，f（x）在（，ln（2a） ）单调递减： 当 xln（2a）时，g（x）0，f（x）在（ln（2a，+） ）单调递增 （2）由于 f（x）有两个极值点 x1，x2，即 f（x）0 在 xR 上有两解 x1，x2， f（x）0 即 e
43、x2a（x+1）0，显然 x1，故等价于2a 有两解 x1，x2， 设 h（x），则 h（x）， 当 x1 时，h（x）0，所以 h（x）在（，1）上单调递减且 h（x）0，x 时，h（x）0，x1 时，h（x）+； 当1x0 时，h（x）0，所以 h（x）在（1，0）单调递减，且 x1 时，h（x） +； 当 x0 时，h（x）0，所以 h（x）在（0，+）单调递增，且 x+时，h（x） +， h（0）1 是 h（x）的极小值，有两解 x1，x2，等价于 2a1，得； 不妨设 x1x2，则1x10x2， 第 23 页（共 25 页） 据（1）f（x）在（，ln（2a） ）单调递减，在（ln（
44、2a，+） ）单调递增， 故 x10ln（2a）x2， 由于，且1x10ln（2a）x2，则 0x1+1 x2+1， x1ln （2a） +ln （x1+1） ， x2ln （2a） +ln （x2+1） ， 即 ln （x1+1） x1ln （2a） ， ln （x2+1） x2ln（2a） ， 欲证明（x1+1） （x2+1）1，等价于证明 ln（x1+1）+ln（x2+1）0， 即证明 x1+x22ln（2a）0，只需证明 x12ln（2a）x2， 由 f（x）在（，ln（2a） ）单调递减，x1，2ln（2a）x2（，ln（2a） ） ， 只需证明 f（x1）f（2ln（2a）x2）
45、，即证明 f（x2）f（2ln（2a）x2） 0， 设 H（x）f（x）f（2ln（2a）x） ，据（1）H（x）g（x）g（2ln（2a）x） ， 则 H（x）g（x）+g（2ln（2a）x）ex2a+e2ln （2a） x 2a ， H（x）在 R 上递增， H（x2）H（ln（2a） ）f（ln（2a） ）f（2ln（2a）ln（2a） ）0，即 f（x2） f（2ln（2a）x2）0， 故（x1+1） （x2+1）1 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的证明，考查 分析法，构造法以及逻辑推理能力，运算求解能力，属于难题 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第
