1、设全集 UR，集合 Ax|x10，集合 Bx|2x3，则图中阴影部分 表示的集合为（ ） Ax|x3 Bx|3x1 Cx|x2 Dx|2x1 2 （5 分）已知复数 z 在复平面内对应的向量为，O 为坐标原点，则|z|为（ ） A1 B C D2 3 （5 分）已知矩形 ABCD 中，|AB|4，|BC|2，则（ ） A20 B12 C12 D20 4 （5 分）已知，则 sin2 等于（ ） A B C D 5 （5 分）根据中国生态环境部公布的 2017 年、2018 年长江流域水质情况监测数据，得到 如图饼图： 则下列说法错误的是（ ） 第 2 页（共 23 页） A2018 年的水质情
2、况好于 2017 年的水质情况 B2018 年与 2017 年相比较，、类水质的占比明显增加 C2018 年与 2017 年相比较，占比减小幅度最大的是类水质 D2018 年、类水质的占比超过 60% 6 （5 分）已知 F2为双曲线 C：的右焦点，且 F2在 C 的渐近线 上的射影为点 H，O 为坐标原点，若|OH|F2H|，则 C 的渐近线方程为（ ） Axy0 Bxy0 Cxy0 Dx2y0 7 （5 分）如图所示，九连环是中国的一种古老的智力游戏，它环环相扣，趣味无穷它主 要由九个圆环及框架组成，每个圆环都连有一个直杆，各直杆在后一个圆环内穿过，九 个直杆的另一端用平板或者圆环相对固定
3、，圆环在框架上可以解下或者套上九连环游 戏按某种规则将九个环全部从框架上解下或者全部套上将第 n 个圆环解下最少需要移 动的次数记为 f（n） （n9 且 nN*） ，已知 f（1）1，f（2）1，且通过该规则可得 f （n）f（n1）+2f（n2）+1，则解下第 5 个圆环最少需要移动的次数为（ ） A7 B16 C19 D21 8 （5 分）设 f（x）是函数 f（x）的导函数，yf（x）的图象如图所示，则 yf（x）的图 象可能是（ ） A 第 3 页（共 23 页） B C D 9 （5 分）ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 B120，sinC， c2，则
4、ABC 的面积等于（ ） A B2 C D 10 （5 分）已知函数 f（x）exe x，则（ ） Af（e）f（） Bf（e）f（） Cf（）f（e） Df（）f（e） 11 （5 分）某同学在参加通用技术实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺 品可以看成是一个球被一个棱长为 4的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正 方体的中心重合） ，若其中一个截面圆的周长为 4，则该球的半径是（ ） A2 B4 C2 D4 12 （5 分）已知函数 f（x）sin（x） （0）在（0，2）上有且仅有两个零点， 则 的取值范围是（ ） A （， B （， C （ D （ 第 4 页（共 23 页
5、） 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）能说明“若 ab，则 a2b2”为假命题的一组 a，b 的值依次为 14 （5 分）若变量 x，y 满足，则 x2y 的最大值为 15 （5 分）已知椭圆 M：的左顶点为 A，O 为坐标原点，B、C 两点 在 M 上， 若四边形 OABC 为平行四边形， 且OAB45， 则椭圆 M 的离心率为 16 （5 分）依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照中华人民共和国个 人所得税法向国家缴纳个人所得税（简称个税） 2019 年 1 月 1 日起，个税税额根据应 纳税所得额
6、、税率和速算扣除数确定，计算公式为： 个税税额应纳税所得额税率速算扣除数 应纳税所得额的计算公式为： 应纳税所得额综合所得收入额免征额专项扣除专项附加扣除依法确定的其他 扣除 其中免征额为每年 60000 元，税率与速算扣除数见表： 级数 全年应纳税所得额所 在区间 税率（%） 速算扣除数 1 0，36000 3 0 2 （36000，144000 10 2520 3 （144000，300000 20 16920 4 （300000，420000 25 31920 5 （420000，660000 30 52920 6 （660000，960000 35 85920 7 （960000，+）
7、 45 181920 备注 专项扣除”包括基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金 专项附加扣除”包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡 养老人等支出 第 5 页（共 23 页） 其他扣除”是指除上述免征额、专项扣除、专项附加扣除之外，由国务院决定以扣除方 式减少纳税的优惠政策规定的费用 某人全年综合所得收入额为 160000 元，假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业 保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是 8%，2%，1%，9%，专 项附加扣除是 24000 元，依法确定其他扣除是 0 元，那么他全年应缴纳综合所得个税 元
8、三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，题为必考题， 每每个试题考生都必须作答第个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）近年来，昆明加大了特色农业建设，其中花卉产业是重要组成部分昆明斗南 毗邻滇池东岸，是著名的花都，有“全国 10 支鲜花 7 支产自斗南”之说，享有“金斗南” 的美誉为进一步了解鲜花品种的销售情况，现随机抽取甲、乙两户斗南花农，对其连 续 5 日的玫瑰花日
9、销售情况进行跟踪调查，将日销售量作为样本绘制成茎叶图如图，单 位：扎（20 支/扎） （1）求甲、乙两户花农连续 5 日的日均销售量，并比较两户花农连续 5 日销售量的稳定 性； （2）从两户花农连续 5 日的销售量中各随机抽取一个，求甲的销售量比乙的销售量高的 概率 18 （12 分）在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ADAA1 （1）证明：平面 A1BD面 BC1D1； （2）求三棱锥 B1A1BD 与 D1A1BD 的体积比 第 6 页（共 23 页） 19 （12 分）设等差数列an公差为 d，等比数列bn公比为 q，已知 a1b11，b464，q 2d （1）求数列an，bn的通
10、项公式； （2）记 cna2n1+b2n，求数列cn的前 n 项和 Sn 20 （12 分）已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 C 上的动点 （1）当|PF|4 时，求直线 PF 的方程； （2）过点 P 作 l 的垂线，垂足为 M，O 为坐标原点，直线 OM 与 C 的另一个交点为 Q， 证明：直线 PQ 经过定点，并求出该定点的坐标 21 （12 分）已知函数 f（x）exaxa（aR） （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若 f（x）有两个零点 x1，x2，求实数 a 的取值范围，并证明 x1+x20 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生
11、在第 22.23 题中任选一题作答并用铅笔在答题卡选考题题中任选一题作答并用铅笔在答题卡选考题 区域内把所选的题号涂黑如果多区域内把所选的题号涂黑如果多做，则按所做的第一题计分做，则按所做的第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数：坐标系与参数 方程方程 22 （10 分） 已知极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点， 极轴与 x 轴的非负半轴重合 曲 线 C 的极坐标方程是 1+2sin2，直线 l 的极坐标方程是 cos（） （1）求曲线 C 和直线 l 的直角坐标方程； （2）设点 P（2，0） ，直线 l 与曲线 C 相交于点 M、N，求的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（1
12、0 分）分） 23已知函数 f（x）|x|2x2| （1）求不等式 f（x）3 的解集； （2）若 aR，且 a0，证明：|4a1|+|4f（x） 第 7 页（共 23 页） 2019-2020 学年云南省昆明市三诊一模高三（上）学年云南省昆明市三诊一模高三（上）1 月摸底数学月摸底数学 试卷（文科）试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）设全集 UR，集合 Ax|x1
13、0，集合 Bx|2x3，则图中阴影部分 表示的集合为（ ） Ax|x3 Bx|3x1 Cx|x2 Dx|2x1 【分析】先求出集合 A，集合 B，图中阴影部分表示的集合为 AB，由此能求出结果 【解答】解：全集 UR，集合 Ax|x10x|x1， 集合 Bx|2x3， 图中阴影部分表示的集合为 ABx|2x1 故选：D 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、维恩图性质等基础知识，考查运算求解 能力，是基础题 2 （5 分）已知复数 z 在复平面内对应的向量为，O 为坐标原点，则|z|为（ ） A1 B C D2 【分析】结合已知可先求出复数 z，进而可求复数的模长 【解答】解：由题意可得
14、z（1，1） ， 则|Z| 故选：B 第 8 页（共 23 页） 【点评】本题主要考查了复数的概念及复数模的求解，属于基础试题 3 （5 分）已知矩形 ABCD 中，|AB|4，|BC|2，则（ ） A20 B12 C12 D20 【分析】根据条件知，|AB|4，|AD|2，并可得出，然 后进行数量积的运算即可 【解答】解：如图， |AB|4，|BC|AD|2， 416 12 故选：C 【点评】本题考查了向量加法的平行四边形法则，相等向量和相反向量的定义，向量数 量积的运算，考查了计算能力，属于基础题 4 （5 分）已知，则 sin2 等于（ ） A B C D 【分析】 先利用同角三角函数基
15、本关系式计算 cos 的值， 再利用二倍角的正弦公式 sin2 2sincos 代入求值即可 【解答】解：，cos sin22sincos2 故选：D 第 9 页（共 23 页） 【点评】本题考察了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦公式的应用，解题时注意 角的范围 5 （5 分）根据中国生态环境部公布的 2017 年、2018 年长江流域水质情况监测数据，得到 如图饼图： 则下列说法错误的是（ ） A2018 年的水质情况好于 2017 年的水质情况 B2018 年与 2017 年相比较，、类水质的占比明显增加 C2018 年与 2017 年相比较，占比减小幅度最大的是类水质 D2018 年
16、、类水质的占比超过 60% 【分析】根据图象所给信息逐一进行判断即可 【解答】解：根据图象中的数据可知 2018 年的水质情况好于 2017 年的水质情况， 同时 2018 年与 2017 年相比较，、类水质的占比明显增加，故 A、B 对； 而 2018 年与 2017 年相比较，占比减小幅度最大的是类水质，故 C 错； 2018 年、类水质的占比等于 5.7%+54.7%60%，故 D 对， 故选：C 【点评】本题考查信息读取能力，考查根据所给信息进行判断和推理，属于基础题 6 （5 分）已知 F2为双曲线 C：的右焦点，且 F2在 C 的渐近线 上的射影为点 H，O 为坐标原点，若|OH|
17、F2H|，则 C 的渐近线方程为（ ） Axy0 Bxy0 Cxy0 Dx2y0 【分析】由题意画出图形，可得渐近线的倾斜角，则答案可求 【解答】解：双曲线 C：的渐近线方程为 y， 若|OH|F2H|，可得在直角三角形 OHF2中，HOF245， 第 10 页（共 23 页） 可得 C 的渐近线方程为 xy0 故选：A 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题 7 （5 分）如图所示，九连环是中国的一种古老的智力游戏，它环环相扣，趣味无穷它主 要由九个圆环及框架组成，每个圆环都连有一个直杆，各直杆在后一个圆环内穿过，九 个直杆的另一端用平板或者圆环相对固定，圆环
18、在框架上可以解下或者套上九连环游 戏按某种规则将九个环全部从框架上解下或者全部套上将第 n 个圆环解下最少需要移 动的次数记为 f（n） （n9 且 nN*） ，已知 f（1）1，f（2）1，且通过该规则可得 f （n）f（n1）+2f（n2）+1，则解下第 5 个圆环最少需要移动的次数为（ ） A7 B16 C19 D21 【分析】代入数列的递推式，计算可得所求值 【解答】解：f（3）f（2）+2f（1）+11+2+14；f（4）f（3）+2f（2）+14+2+1 7； f（5）f（4）+2f（3）7+8+116 故选：B 【点评】本题考查数列的递推式的运用，考查运算能力，属于基础题 8 （
19、5 分）设 f（x）是函数 f（x）的导函数，yf（x）的图象如图所示，则 yf（x）的图 象可能是（ ） 第 11 页（共 23 页） A B C D 【分析】利用导函数的图象得到函数 f（x）的单调性，观察选项即可得到答案 【解答】解：由 yf（x）的图象可知，函数 f（x）的增区间为（3，1） ， （0，1） ； 减区间为（1，0） ， （1，3） ； 观察选项可知，只有 D 选项符合题意； 故选：D 【点评】本题主要考查原函数与导函数之间的关系，考查数形结合思想，属于基础题 9 （5 分）ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 B120，sinC， c2，则AB
20、C 的面积等于（ ） A B2 C D 第 12 页（共 23 页） 【分析】由已知利用正弦定理可求 b 的值，由余弦定理进而可求 a2+2a30，解方程可 得 a 的值，根据三角形的面积公式即可求解 【解答】解：B120，sinC，c2， 由正弦定理，可得 b， 由余弦定理 b2a2+c22accosB，可得 7a2+42a2（） ，可得 a2+2a3 0，解得 a1，或3（舍去） ， SABCabsinC 故选：A 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合 应用，考查了计算能力和方程思想，属于基础题 10 （5 分）已知函数 f（x）exe x，则（ ）
21、 Af（e）f（） Bf（e）f（） Cf（）f（e） Df（）f（e） 【分析】根据题意，求出函数的导数，分析可得 f（x）在 R 上为增函数，据此分析可得 答案 【解答】解：根据题意，函数 f（x）exe x，其定义域为 R， 有 f（x）ex+e x0，即函数 f（x）在 R 上为增函数， 又由e，则有 f（）f（）f（e） ； 故选：D 【点评】本题考查函数的单调性的判断和应用，注意分析函数单调性，属于基础题 11 （5 分）某同学在参加通用技术实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺 品可以看成是一个球被一个棱长为 4的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正 方体的中心重合）
22、，若其中一个截面圆的周长为 4，则该球的半径是（ ） A2 B4 C2 D4 【分析】由题意画出图形，由圆的周长公式求得圆的半径，再由勾股定理求球的半径 第 13 页（共 23 页） 【解答】解：作出截面图如图， 则 OA， 由截面圆的周长为 4，得 2AB4，则 AB2 球的半径是 故选：B 【点评】本题考查多面体与球的关系，考查空间想象能力与思维能力，是基础题 12 （5 分）已知函数 f（x）sin（x） （0）在（0，2）上有且仅有两个零点， 则 的取值范围是（ ） A （， B （， C （ D （ 【分析】直接利用正弦型函数的性质的应用，建立不等量关系，进一步求出结果 【解答】解：
23、数 f（x）sin（x） （0） ， 由于 x（0，2） ， 所以 x） ， 由于在该区间上有且仅有两个零点， 所以，解得 故选：C 【点评】本题考查的知识要点：正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转 换能力及思维能力，属于基础题型 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）能说明“若 ab，则 a2b2”为假命题的一组 a，b 的值依次为 1，1 【分析】由题意可取 a1，b1，即有 a2b2 【解答】解： “若 ab，则 a2b2” ，能说明该命题为假命题， 第 14 页（共 23 页） 此题答案不唯一，可取
24、 a1，b1，即有 a2b2， 故答案为：1，1 【点评】本题考查命题的真假判断，考查不等式的性质，运算能力和推理能力，属于基 础题 14 （5 分）若变量 x，y 满足，则 x2y 的最大值为 4 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，zx2y 表示直线在 y 轴上的截距，只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最值即可 【解答】解：变量 x，y 满足的可行域如图， 目标函数 zx2y， 画出图形：由，解得 点 A（4，0） ，z 在点 A 处有最大值：z4204， 故答案为：4 【点评】本题主要考查了简单的线性规划，将可行域各角点的值一一代入，最后比较， 即可得到目标函数的最
25、优解，是常用的一种方法 15 （5 分）已知椭圆 M：的左顶点为 A，O 为坐标原点，B、C 两点 在 M 上， 若四边形 OABC 为平行四边形， 且OAB45， 则椭圆 M 的离心率为 第 15 页（共 23 页） 【分析】根据题意，利用 B，C 关于椭圆的对称轴对称，B，C 的横坐标互为相反数，又 BCa，故 C 的横坐标为 x，代入椭圆方程 M 得，y，故 B（，） ， 由 BCa，再结合椭圆的性质，求出 e 即可 【解答】解：AO 是与 x 轴重合的，且四边形 OABC 为平行四边形， BCOA， 则 B、C 两点的纵坐标相等，根据椭圆的对称性，B、C 的横坐标互为相反数， B、C
26、两点是关于 y 轴对称的 由题知：OAa 四边形 OABC 为平行四边形，则 BCOAa， 故 C 的横坐标为 x，代入椭圆方程 M 得，y，故 B（，） ， 由 BCa， 所以 c， 故， 故答案为： 【点评】考查椭圆的对称轴，椭圆求离心率，中档题 16 （5 分）依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照中华人民共和国个 人所得税法向国家缴纳个人所得税（简称个税） 2019 年 1 月 1 日起，个税税额根据应 纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为： 个税税额应纳税所得额税率速算扣除数 应纳税所得额的计算公式为： 应纳税所得额综合所得收入额免征额专项扣除专项附加扣除依法确定
27、的其他 扣除 其中免征额为每年 60000 元，税率与速算扣除数见表： 级数 全年应纳税所得额所税率（%） 速算扣除数 第 16 页（共 23 页） 在区间 1 0，36000 3 0 2 （36000，144000 10 2520 3 （144000，300000 20 16920 4 （300000，420000 25 31920 5 （420000，660000 30 52920 6 （660000，960000 35 85920 7 （960000，+） 45 181920 备注 专项扣除”包括基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金 专项附加扣除”包括子女教育、继
28、续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡 养老人等支出 其他扣除”是指除上述免征额、专项扣除、专项附加扣除之外，由国务院决定以扣除方 式减少纳税的优惠政策规定的费用 某人全年综合所得收入额为 160000 元，假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业 保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是 8%，2%，1%，9%，专 项附加扣除是 24000 元，依法确定其他扣除是 0 元，那么他全年应缴纳综合所得个税 1880 元 【分析】先求出这个人有应纳税所得额，由此能求出他全年应缴纳综合所得个税 【解答】解：由题意知这个人全年应缴纳综合所得个税为： 360003%+16000
29、024000160000（8%+2%+1%+9%）600003600010% 1880（元） 故答案为：1880 【点评】本题考查他全年应缴纳综合所得个税的求法，考查函数性质在生产生活中的实 际运用等基础知识，考查运用求解能力和应用意识，是中档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分分 第 17 页（共 23
30、页） 17 （12 分）近年来，昆明加大了特色农业建设，其中花卉产业是重要组成部分昆明斗南 毗邻滇池东岸，是著名的花都，有“全国 10 支鲜花 7 支产自斗南”之说，享有“金斗南” 的美誉为进一步了解鲜花品种的销售情况，现随机抽取甲、乙两户斗南花农，对其连 续 5 日的玫瑰花日销售情况进行跟踪调查，将日销售量作为样本绘制成茎叶图如图，单 位：扎（20 支/扎） （1）求甲、乙两户花农连续 5 日的日均销售量，并比较两户花农连续 5 日销售量的稳定 性； （2）从两户花农连续 5 日的销售量中各随机抽取一个，求甲的销售量比乙的销售量高的 概率 【分析】 （1）由茎叶图能求出甲、乙连续 5 日的日
31、平均销售量，由茎叶图可知乙的数据 比较集中，说明乙的销售量比较稳定 （2）从两户花农连续 5 日的销售量中各随机抽取一个，利用列举法能求出甲的销售量比 乙的销售量高的概率 【解答】解： （1）记甲、乙连续 5 日的日平均销售量分别是， 则（18+25+27+30+40）28， （25+28+30+31+36）30， 由茎叶图可知乙的数据比较集中，说明乙的销售量比较稳定 （2）从两户花农连续 5 日的销售量中各随机抽取一个，总的基本事件为 25 个，分别为： 18，25，18，28，18，30，18，31，18，36， 25，25，25，28，25，30，25，31，25，36， 27，25，2
32、7，28，27，30，27，31，27，36， 30，25，30，28，30，30，30，31，30，36， 40，25，40，28，40，30，40，31，40，36， 其中甲高于乙的有 8 个基本事件，分别为： 第 18 页（共 23 页） 27，25，30，25，30，28，40，25，40，28，40，30，40，31，40，36， 甲的销售量比乙的销售量高的概率 p 【点评】本题考查平均数、概率的求法，考查茎叶图、列举法等基础知识，考查运算求 解能力，是基础题 18 （12 分）在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ADAA1 （1）证明：平面 A1BD面 BC1D1； （2）求三棱
33、锥 B1A1BD 与 D1A1BD 的体积比 【分析】 （1）要证明面面垂直，只需要证明先与另一个面内的相交直线垂直即可， （2）由题意知两个三棱锥的底面积相同，又证明 B1D1面 A1BD，所以两个三棱锥的高 也相同，所以体积之比为 1：1 【解答】证明： （1）连接 AD1，因为 ADAA1，所以 A1DAD1， 因为 AD1BC1，所以 A1DBC1， 又 A1DC1D1，BC1C1D1C1， A1D平面 BC1D1， 又 A1D 真包含于面 A1BD 所以平面 A1BD平面 BC1D1 （2）连接 B1D1，因为 B1D1BD 所以 B1D1平面 A1BD， 所以 B1，D1 到面 A
34、1BD 的距离相等， 胡三棱锥 B1A1BD 与 D1A1BD 体积之比为 1：1 【点评】考查线面垂直的证明，及三棱锥的体积的算法属于中档题 第 19 页（共 23 页） 19 （12 分）设等差数列an公差为 d，等比数列bn公比为 q，已知 a1b11，b464，q 2d （1）求数列an，bn的通项公式； （2）记 cna2n1+b2n，求数列cn的前 n 项和 Sn 【分析】本题第（1）题根据等差数列和等比数列的通项公式代入即可求出公差 d 和公比 q，即可得到数列an，bn的通项公式；第（2）题先根据第（1）题的结论求出数列cn 的通项公式，在求数列cn的前 n 项和 Sn时采用分
35、组求和法利用等差数列和等比数列求 和公式分别求和再相加即可得到结果 【解答】解： （1）由题意，b4b1q3q364，解得 q4 q2d，d2 数列an的通项公式为 an1+（n1）22n1， 数列bn的通项公式为 bnb1qn 14n1 （2）由（1） ，知 cna2n1+b2n2（2n1）1+42n 14n3+42n1 故 Snc1+c2+cn （1+41）+（5+43）+（4n3+42n 1） （1+5+4n3）+（41+43+42n 1） + 2n2n+ 【点评】本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，考查了方程思想和 分组求和法的应用本题属中档题 20 （12 分）已知抛
36、物线 C：y24x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 C 上的动点 （1）当|PF|4 时，求直线 PF 的方程； （2）过点 P 作 l 的垂线，垂足为 M，O 为坐标原点，直线 OM 与 C 的另一个交点为 Q， 证明：直线 PQ 经过定点，并求出该定点的坐标 【分析】 （1）设点 P（x0，y0） ，由|PF|4 可解得 P 的坐标，进而求得 PF 的方程； （2）表示出直线 OM 方程并与抛物线方程联立得到 Q 点坐标，进而可求出直线 PQ 的方 程，得到恒过的点坐标 【解答】解： （1）设点 P（x0，y0） ，由|PF|4 得 1+x04，解得 x03， 第 20 页（共 23 页
37、） 所以 y02，所以 kPF， 所以直线 PF 的方程为：yx或 yx+； （2）证明：设 P（，y0） （y00） ，则 M（1，y0） ，直线 OM 的方程为：yy0x， 联立，整理得 y02x24x0，解得 Q（，） ， 当 y02 时，直线 PQ 的方程为 x1； 当 y02 时，直线 PQ 的方程为 yy0（x） ， 化简得：y（x1） ， 综上，直线 PQ 恒过点（1，0） 【点评】本题考查直线与抛物线方程的综合应用，考查直线恒过点问题，属于中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）exaxa（aR） （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若 f（x）有两个零点 x1，x2，求
38、实数 a 的取值范围，并证明 x1+x20 【分析】 （1）求导后，分 a0 及 a0 讨论即可； （2）先求得 a1，设，通过变形可得只需证，再构造 函数证明即可 【解答】解： （1）由题意，得 f（x）exa， 当 a0 时，f（x）0，函数 f（x）在 R 上单调递增； 当 a0 时，由 f（x）0，得 xlna， 当 xlna 时，f（x）0，f（x）在（，lna）上单调递减；当 xlna 时，f（x） 0，f（x）在（lna，+）上单调递增 （2）证明：由于 f（x）有两个零点 x1，x2，不妨设 x1x2， 由（1）可知，当 a0 时，f（x）在 R 上单调递增，不符合题意； 当
39、a0 时，f（x）minf（lna）aa（lna+1）alna0，即 lna0，解得 a1； 此时有，故存在 x1（1，0） ，使得 f（x1）0， 第 21 页（共 23 页） 由于 yexxlnx1（x1） ，所以在（1，+）上单调递增， 当 x1 时，ye20，故函数 yexxlnx1（x1）单调递增， 当 x1 时，yexxlnx1e20， f（a+lna）ea+lnaa（a+lna+1）a（eaalna1）0， 存在 x2（lna，a+lna） ，使得 f（x2）0， 综上，当 a1 时，f（x）有两个零点 x1，x2， 证明： 由于， 且1x10lnax2， 则0x1+1x2+1，
40、 x1lna+ln（x1+1） ，x2lna+ln（x2+1） ， ， 设，则，则， 要证 x1+x20，只需证，即证， 设，则， h（t）在（1，+）上单调递增， 当 t1 时，h（t）0，即，故 x1+x20 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性及函数的零点问题，考查转化思想，构造 函数思想以及推理论证，运算求解能力，有一定的难度 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22.23 题中任选一题作答并用铅笔在答题卡选考题题中任选一题作答并用铅笔在答题卡选考题 区域内把所选的题号涂黑如果多做，则按所做的第一题计分区域内把所选的题号涂黑如果多做，则按所做的第一题计
41、分选修选修 4-4：坐标系与参数：坐标系与参数 方程方程 22 （10 分） 已知极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点， 极轴与 x 轴的非负半轴重合 曲 线 C 的极坐标方程是 1+2sin2，直线 l 的极坐标方程是 cos（） （1）求曲线 C 和直线 l 的直角坐标方程； （2）设点 P（2，0） ，直线 l 与曲线 C 相交于点 M、N，求的值 【分析】 （1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 第 22 页（共 23 页） （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果 【解答】解： （1）线 C 的极坐标方程是 1+2sin2，整理得：2+2（s
42、in）26， 转换为直角坐标方程为： 直线 l 的极坐标方程是 cos（）转换为直角坐标方程为：x+y20 （2）由于点 P（2，0）在直线 l 上，所以可设直线的参数方程为（t 为参数） ， 即（t 为参数） ， 代入曲线 C 的直角坐标方程为，化简得： 所以，t1t21， 故： 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元 二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属 于基础题型 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知函数 f（x）|x|2x2| （1）求不等式 f（x）3 的解集； （2）若 aR，且 a0，证明：|4a1|+|4f（x） 【分析】 （1）运用零点分段讨论法求解； （2）易知函数 f（x）的最大值为 1，再利用绝对值不等式的性质即可得证 【解答】解： （1）不等式 f（x）3 等价于或或 ， 解得1x0 或 0x1 或 1x5， 第 23 页（共 23 页） 所以不等式的解集为x|1x5； （2）证明：由（1）知函数 f（x）的最大值是 f（1）1，即 f（x）1 恒成立， 因为，当且仅当时 等号成立， |4a1|+|4f（x） ，即得证 【点评】本题考查绝对值不等式的解法及性质的运用，考查推理论证能力及运算求解能 力，属于基础题
