1、2020 年高考数学模拟试卷（文科）（年高考数学模拟试卷（文科）（5 月份）月份） 一、选择题（共 12 小题） 1设函数 y 的定义域 A，函数 yln（2x）的定义域为 B，则 AB（ ） A（2，3） B（2，3 C（3，2） D3，2） 2已知复数 z：满足（1 i）z1+i，则|z|等于（ ） A B C D2 3微信运动，是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号用户可以通过关注微信运 动公众号查看自己每天或每月行走的步数，同时也可以和其他用户进行运动量的 PK 或 点赞 加入微信运动后， 为了让自己的步数能领先于朋友， 人们运动的积极性明显增强， 下面是某人 2018 年 1 月
2、至 2018 年 11 月期间每月跑步的平均里程（单位：十公里）的数 据，绘制了下面的折线图 根据折线图，下列结论正确的是（ ） A月跑步平均里程的中位数为 6 月份对应的里程数 B月跑步平均里程逐月增加 C月跑步平均里程高峰期大致在 8、9 月 D1 月至 5 月的月跑步平均里程相对于 6 月至 11 月，波动性更小，变化比较平稳 4 在平行四边形 ABCD 中， AC 与 BD 交于点 O， E 是线段 OD 的中点 若 ， ， 则 （ ） A B C D 5将函数 ysin2x 的图象沿 x 轴向左平移 （0）个单位后，得到关于 y 轴对 称的图象，则 的最小值为（ ） A B C D
3、6函数 yxlnx 的图象大致是（ ） A B C D 7汉朝时，张衡得出圆周率的平方除以 16 等于 ，如图，网格纸上的小正方形的边长为 1， 粗实线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的曲线为圆，利用张衡的结论可得该几何 体的体积为（ ） A32 B40 C D 820 世纪产生了著名的“3x+1”猜想：任给一个正整数 x，如果 x 是偶数，就将它减半； 如果 x 是奇数， 则将它乘 3 加 1， 不断重复这样的运算， 经过有限步后， 一定可以得到 1 如 图是验证“3x+1”猜想的一个程序框图，若输入正整数 m 的值为 40，则输出的 n 的值是 （ ） A11 B10 C9 D8 9在梯
4、形 ABCD 中，ABCD，AB2CD，BC CD，则ADB 的最大值为（ ） A B C D 10上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图 1），充分展示了我国古 代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系图 2 为骨笛测量春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图图 3 是某骨笛的部分测量数据（骨 笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日 正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角 由历法理论知，黄赤交角近 1 万年持续减小，其正切值及对应的年代如表： 黄赤交角 2341 2357 2413 2428 2444 正切值 0.43
5、9 0.444 0.450 0.455 0.461 年代 公元元年 公元前 2000 年 公元前 4000 年 公元前 6000 年 公元前 8000 年 根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是（ ） A公元前 2000 年到公元元年 B公元前 4000 年到公元前 2000 年 C公元前 6000 年到公元前 4000 年 D早于公元前 6000 年 11已知点 F 是双曲线 1（a0，b0）的左焦点，点 E 是该双曲线的右顶点， 过点 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点，若ABE 是钝角三角形，则该双 曲线的离心率的取值范围是（ ） A（1， ） B（
6、，+） C（1，2） D（2，+） 12已知在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 2bcosCccosB，则 的最小值为（ ） A B C D 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13如表为制作某款木制品过程中的产量 x 吨与相应的消耗木材 y 吨的统计数据，经计算得 到 y 关于 x 的线性回归方程 ，由于某些原因 m 处的数据看不清楚了，则 根据运算可得 m x 3 4 5 6 y 2.2 3.5 4.8 m 14在ABC 中，若 cos2Acos2Bcos2CcosAcosB+cosCcos2B，且 AB6，则 SABC的 最大值为 15
7、已知 F 是抛物线 C：y22px（p0）的焦点，P 是抛物线 C 在 x 轴上方一点，以 P 为 圆心，3 为半径的圆过点 F 且被 y 轴截得的弦长为 ，则抛物线 C 的方程为 16 若函数 在区间1， 2上单调递增， 则 a+4b 的最小值是 三、 解答题： 共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：60 分 17为了调查某社区居民每天参加健身的时间，某机构在该社区随机采访男性、女性各 50 名，其中每人每天的健身时间不少于 1 小时称为“健身族”，否则称其为“非健身
8、族”， 调查结果如下： 健身族 非健身族 合计 男性 40 10 50 女性 30 20 50 合计 70 30 100 （1）若居民每人每天的平均健毋时间不低于 70 分钟，则称该社区为“健分社区已知被 随机采汸的男性健身族，男性非健身族，女性健身族，女性非健身族每人每天的平均健 分时间分別是 1.2 小时，0.8 小时，1.5 小时，0.7 小时，试估计该社区可否称为“健身社 区”？ （2）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过 5%的情况下认为“健身族”与“性别 “有关？ 参考公式： ，其中 na+b+c+d 参考数据： P（K2k0） 0.50 0.40 0.25 0.05 0.025
9、 0.010 k0 0.455 0.708 1.321 3.840 5.024 6.635 18 如图， 直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中， 四边形 ABCD 为梯形， ADBC， 且 AD2BC 过 A，C，D 三点的平面记为 ，BB1与 的交点为 Q （）证明：Q 为 BB1的中点； （）求此四棱柱被平面 所分成上下两部分的体积之比 19已知数列an为等比数列，数列bn满足 bnlog2an，且 a4b51设 Sn为数列bn的 前 n 项和 （1）求数列an、bn的通项公式及 Sn； （2）若数列cn 满足 ，求cn的前 n 项和 Tn 20椭圆 ： 的焦距是 ，长轴长是短轴长的 3
10、倍，任作斜率为 的 直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点（如图所示），且点 P ， 在直线 l 的左上方 （1）求椭圆 C 的方程； （2）若 ，求PAB 的面积； （3）证明：PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上 21已知函数 ，若函数 f（x）在（0，+）上存在两个极值点 x1，x2 （）若实数 k 的取值范围； （）证明： （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，动 点 P 在直线 sin 上， 将射线
11、OP 逆时针旋转 得到射线 OP， 射线 OP 上一点 Q， 满足|OP| |OQ|4，Q 点的轨迹为曲线 C （）求曲线 C 的极坐标方程； （）设射线 l1： （0）和射线 l2： （0， 0， ）分别与曲线 C 交于 A，B 两点，求AOB 面积的最大值 选修 4-5：不等式选讲 23设函数 f（x）|2x1|x+4| （）解不等式：f（x）0； （）若 f（x）+3|x+4|a1|对一切实数 x 均成立，求 a 的取值范围 参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 1设函数 y 的定义域 A，函数 yln（2x）的定义域为 B，则 AB（ ） A（2，3）
12、 B（2，3 C（3，2） D3，2） 【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集，进而可 求 解：由题意可知，Ax|9x203，3， Bx|2x0（，2）， 则 AB3，2） 故选：D 【点评】本题考查了求函数定义域的求解及集合的基本运算，解题的关键是列出使函数 解析式有意义的不等式组，是基础题目 2已知复数 z：满足（1 i）z1+i，则|z|等于（ ） A B C D2 【分析】直接利用复数方程两边求模，然后求解即可 解：复数 z：满足（1 i）z1+i， 可得：|（1 i）|z|1+i|， 即 2|z| ，解得|z| 故选：A 【点评】本题考查复数的模的求法，
13、考查计算能力， 3微信运动，是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号用户可以通过关注微信运 动公众号查看自己每天或每月行走的步数，同时也可以和其他用户进行运动量的 PK 或 点赞 加入微信运动后， 为了让自己的步数能领先于朋友， 人们运动的积极性明显增强， 下面是某人 2018 年 1 月至 2018 年 11 月期间每月跑步的平均里程（单位：十公里）的数 据，绘制了下面的折线图 根据折线图，下列结论正确的是（ ） A月跑步平均里程的中位数为 6 月份对应的里程数 B月跑步平均里程逐月增加 C月跑步平均里程高峰期大致在 8、9 月 D1 月至 5 月的月跑步平均里程相对于 6 月至 11 月
14、，波动性更小，变化比较平稳 【分析】由对折线图数据的分析处理逐一检验选项即可得解 解：由折线图可知： 月跑步平均里程的中位数为 5 月份对应的里程数，故选项 A 错误， 月跑步平均里程逐月不是递增，故选项 B 错误， 月跑步平均里程高峰期大致在 9、10 月，故选项 C 错误， 1 月至 5 月的月跑步平均里程相对 6 月至 11 月，波动性更小、变化比较平稳，故选项 D 正确， 故选：D 【点评】本题考查了对折线图数据的分析处理能力，属简单题 4 在平行四边形 ABCD 中， AC 与 BD 交于点 O， E 是线段 OD 的中点 若 ， ， 则 （ ） A B C D 【分析】先画出图象，
15、求出 ，和 ，从而求出 解：如图示： ， ， ， ， ， 故选：C 【点评】 本题考查了平面向量的基本定理及其意义， 考查数形结合思想， 是一道基础题 5将函数 ysin2x 的图象沿 x 轴向左平移 （0）个单位后，得到关于 y 轴对 称的图象，则 的最小值为（ ） A B C D 【分析】直接利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果 解：函数 ysin2x ， 2sin（2x ）， 函数的图象沿 x 轴向左平移 （0）个单位后， 得到：g（x） ， 由于 g（x）的图象关于 y 轴对称 故： （k Z）， 解得： （k Z）， 当 k0 时， 的最小值为 故选：A 【点评】
16、本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主 要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型 6函数 yxlnx 的图象大致是（ ） A B C D 【分析】比较四个选项的图象可知，分别将 x0+和 x+代入函数，估算函数值的正 负性，采用排除法即可得解 解：当 x0+时，lnx，xlnx0，排除 A、B 选项， 当 x+时，xlnx+，排除 C 选项， 故选：D 【点评】本题考查函数图象的识别，解题的关键点是代入 x 的特殊值估算函数值，考查 学生的运算能力，属于基础题 7汉朝时，张衡得出圆周率的平方除以 16 等于 ，如图，网格纸上的小正方形的边长为 1， 粗实线画出
17、的是某几何体的三视图，俯视图中的曲线为圆，利用张衡的结论可得该几何 体的体积为（ ） A32 B40 C D 【分析】 首先把几何体的三视图转换为几何体， 进一步利用几何体的体积公式求出结果 解：根据几何体的三视图： 转换为几何体，它有半个圆锥和半个圆柱组成 故： ， 由于 ， 所以： 故： 故选：C 【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积公式的应用，主 要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型 820 世纪产生了著名的“3x+1”猜想：任给一个正整数 x，如果 x 是偶数，就将它减半； 如果 x 是奇数， 则将它乘 3 加 1， 不断重复这样的运算， 经过有限步后
18、， 一定可以得到 1 如 图是验证“3x+1”猜想的一个程序框图，若输入正整数 m 的值为 40，则输出的 n 的值是 （ ） A11 B10 C9 D8 【分析】这是一个循环结构的问题，根据循环体的运算功能一步步往下算就行，直到算 出 m1，要注意 m 与 n 的值对应好 解：根据框图可知：n2，m40 ， ， ， n6，m35+116 ， ， ， n10，m ， 故选：B 【点评】本题考查的知识点是程序框图的应用，推理与证明，考查新定义，考查学生分 析解决问题的能力，属于中档题 9在梯形 ABCD 中，ABCD，AB2CD，BC CD，则ADB 的最大值为（ ） A B C D 【分析】取
19、 AB 的中点 M，延长 AB 到 N 点，使 BNa，连接 CM，CN，设 CDa，AD m，BDn，则 AB2a，BC ，MCm，NCn，然后依次在MBC 和NBC 中利用余弦定理，借助MBC 和NBC 互补，可以得出 m2+n28a2，再在ABD 中， 利用余弦定理，表示出 cosADB，并结合基本不等式的性质即可求得其最大值 解：设 CDa，则 AB2a，BC 取 AB 的中点 M，延长 AB 到 N 点，使 BNa，连接 CM，CN， 由平面几何知识，易知 ADMC，BDNC 设 ADMCm，BDNCn 在MBC 中， ， 在NBC 中， ， m2+n28a2， 在ABD 中， ，
20、又 2mnm2+n28a2， ， ADB 的最大值为 故选：B 【点评】本题主要考查解三角形中的余弦定理，还涉及利用基本不等式求最值的问题， 作出辅助线并利用互补的两个角的余弦值之和为 0 属于本题的难点，考查学生的分析能 力和逻辑推理能力，属于中档题 10上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图 1），充分展示了我国古 代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系图 2 为骨笛测量春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图图 3 是某骨笛的部分测量数据（骨 笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日 正午太阳光线）的夹角等于
21、黄赤交角 由历法理论知，黄赤交角近 1 万年持续减小，其正切值及对应的年代如表： 黄赤交角 2341 2357 2413 2428 2444 正切值 0.439 0.444 0.450 0.455 0.461 年代 公元元年 公元前 2000 年 公元前 4000 年 公元前 6000 年 公元前 8000 年 根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是（ ） A公元前 2000 年到公元元年 B公元前 4000 年到公元前 2000 年 C公元前 6000 年到公元前 4000 年 D早于公元前 6000 年 【分析】本题先理解题意，然后根据题意建立平面几何图形，在利用三角函数
22、的知识计 算出冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，即可得到正确选项 解：由题意，可设冬至日光与垂直线夹角为 ，春秋分日光与垂直线夹角为 ， 则 即为冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角， 将图 3 近似画出如下平面几何图形： 则 tan 1.6，tan 0.66， tan（） 0.457 0.4550.4570.461， 估计该骨笛的大致年代早于公元前 6000 年 故选：D 【点评】本题主要考查应用数学知识解决实际问题的能力，考查了转化思想，数学建模 思想，以及数学运算能力，本题属中档题 11已知点 F 是双曲线 1（a0，b0）的左焦点，点 E 是该双曲线的右顶点， 过点 F 且垂直
23、于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点，若ABE 是钝角三角形，则该双 曲线的离心率的取值范围是（ ） A（1， ） B（ ，+） C（1，2） D（2，+） 【分析】利用双曲线的对称性可得AEB 是钝角，得到 AFEF，求出 AF，CF 得到关 于 a，b，c 的不等式，求出离心率的范围 解：双曲线关于 x 轴对称，且直线 AB 垂直 x 轴， AEFBEF， ABE 是钝角三角形， AEB 是钝角， 即有 AFEF， F 为左焦点，过 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A、B 两点， AF ， EFa+c a+c，即 c 2ac2a20， 由 e ，可得 e 2e20， 解得 e
24、2 或 e1，（舍去）， 则双曲线的离心率的范围是（2，+） 故选：D 【点评】本题考查双曲线的对称性、双曲线的三参数关系：c2a2+b2，双曲线的离心率 问题就是研究三参数 a，b，c 的关系 12已知在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 2bcosCccosB，则 的最小值为（ ） A B C D 【分析】 因为 2bcosCccosB， 由正弦定理得 2tanBtanC， 又因为 A+B+C， 所以 tanA tan（B+C）tan（B+C） ，所以 ，化简得 由基本不等式即可得出答 案 解：因为 2bcosCccosB， 所以 2sinBcosCsinccos
25、B， 即 2tanBtanC， 又因为 A+B+C， 所以 tanAtan（B+C）tan（B+C） ， 所以 ， ， 2 （当且仅当 ， 即 tanB ， 取“”） 故选：A 【点评】本题考查正弦定理，基本不等式，属于中档题 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13如表为制作某款木制品过程中的产量 x 吨与相应的消耗木材 y 吨的统计数据，经计算得 到 y 关于 x 的线性回归方程 ，由于某些原因 m 处的数据看不清楚了，则 根据运算可得 m 5.5 x 3 4 5 6 y 2.2 3.5 4.8 m 【分析】求出样本中心，代入回归直线方程，然后求解 m 即可 解：由
26、题意可得： 4.5， ， 因为回归直线结果样本中心，所以 0.74.5+0.85， 解得 m5.5 故答案为：5.5 【点评】本题考查回归直线方程的应用，是基本知识的考查 14在ABC 中，若 cos2Acos2Bcos2CcosAcosB+cosCcos2B，且 AB6，则 SABC的 最大值为 3 【分析】 由三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sinAsinB+sin2B+sin2Asin2C0， 由正弦定理，余弦定理解得 cosC，可求 sinC，由余弦定理，基本不等式可求 ab12，根 据三角形的面积公式即可求解 解：设三角形内角 A，B，C 对应的三边为 a，b，c， cos2A
27、cos2Bcos2CcosAcosB+cosCcos2B， （1sin2A）（1sin2B）（1sin2C）cosAcosBcos（A+B）（12sin2B）， 可得：sinAsinB+sin2B+sin2Asin2C0， 由正弦定理可得： ab+b2+a2c20， 由余弦定理可得： ab+2abcosC0， 解得cosC ， 可得：sinC ， ABc6， 由余弦定理 c2a2+b22abcosC，可得 36a2+b2+ab， 362ab+ab3ab，即 ab12，当且仅当 ab 时取等号 SABC absinC 12 3 ，即 S ABC的最大值为 3 故答案为：3 【点评】本题主要考查了
28、三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理，基本不等式， 三角形的面积公式在解三角形中的综合应用， 考查了计算能力和转化思想， 属于中档题 15已知 F 是抛物线 C：y22px（p0）的焦点，P 是抛物线 C 在 x 轴上方一点，以 P 为 圆心， 3 为半径的圆过点 F 且被 y 轴截得的弦长为 ， 则抛物线 C 的方程为 y24x 【分析】 设P （x0， y0） ， 由已知结合抛物线的定义可得点P到y轴的距离为 0， 再 由垂径定理列式求得 p，则抛物线方程可求 解：设 P（x0，y0）， 由抛物线的定义知，|PF| ， 则点 P 到 y 轴的距离为 0， 由垂径定理知， ，解得 p2
29、 抛物线方程为 y24x 故答案为：y24x 【点评】本题考查圆与抛物线的综合，考查数形结合的解题思想方法，是中档题 16 若函数 在区间1， 2上单调递增， 则 a+4b 的最小值是 4 【分析】对函数进行求导，导函数的分子为二次函数，按照轴动区间定的方法列出关于 a 与 b 的不等式，联合线性规划知识点分析可得答案 解：函数 在1，2上单调递增， 在1，2上恒成立， 即 x2+2bx+a0 在1，2上恒成立， 令 h（x）x2+2bx+a，其对称轴为 xb， 当b1 即 b1 时，x2+2bx+a0 在1，2上恒成立等价于 ， 由线性规划可知，此时（a+4b）min3， 当b2 即 b2
30、时，x2+2bx+a0 在1，2上恒成立， 等价于 ，即（a+4b）min4； 当 1b2 即2b1 时，x2+2bx+a0 在1，2上恒成立， 等价于 ，此时（a+4b） min4， 综上可知，（a+4b）min4 故答案为：4 【点评】本题利用导数研究函数的单调性，结合线性规划，难度较大 三、 解答题： 共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：60 分 17为了调查某社区居民每天参加健身的时间，某机构在该社区随机采访男性、女性各 50 名，其中每人每天的健身时间不少于
31、 1 小时称为“健身族”，否则称其为“非健身族”， 调查结果如下： 健身族 非健身族 合计 男性 40 10 50 女性 30 20 50 合计 70 30 100 （1）若居民每人每天的平均健毋时间不低于 70 分钟，则称该社区为“健分社区已知被 随机采汸的男性健身族，男性非健身族，女性健身族，女性非健身族每人每天的平均健 分时间分別是 1.2 小时，0.8 小时，1.5 小时，0.7 小时，试估计该社区可否称为“健身社 区”？ （2）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过 5%的情况下认为“健身族”与“性别 “有关？ 参考公式： ，其中 na+b+c+d 参考数据： P（K2k0） 0.5
32、0 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010 k0 0.455 0.708 1.321 3.840 5.024 6.635 【分析】（1）由已知求出随机抽样的 100 名居民每人每天的平均健身时间得结论； （2）直接求得 K2的值，结合临界值表得结论 解：（1）随机抽样的 100 名居民每人每天的平均健身时间为： 1.15（小时） 由此估计该小区居民每人每天的平均健身时间为 1.15 小时 1.15 小时70 分钟，该社区不可称为“健身社区”； （2）由列联表可得： 4.7623.840 能在犯错误的概率不超过 5%的情况下认为“健身族”与“性别“有关 【点评】本题考查独立性检验，
33、考查计算能力，是中档题 18 如图， 直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中， 四边形 ABCD 为梯形， ADBC， 且 AD2BC 过 A，C，D 三点的平面记为 ，BB1与 的交点为 Q （）证明：Q 为 BB1的中点； （）求此四棱柱被平面 所分成上下两部分的体积之比 【分析】（）延长 A1Q，DC 交于 P，推导出 ，由此能证 明 Q 为 BB1的中点 （）连接 QA，QD设 AA1h，梯形 ABCD 的高为 d，四棱柱被平面 所分成上下两 部分的体积分别为 V上和 V下，BCa，则 AD2a三棱椎 ，四棱椎 ，从而 V 下三棱锥 四棱锥 V上 四棱柱 下 ，由此能 求出四棱柱被平面
34、所分成上下两部分的体积之比 解：（）证明：延长 A1Q，DC 交于 P，则 P 平面 A1ABQ， 又 P 平面 ABCD，平面 A1ABQ平面 ABCDAB， 所以 P AB 因为 BQAA1，ADBC， 所以 ，即 Q 为 BB1 的中点 （）解：如图所示，连接 QA，QD设 AA1h，梯形 ABCD 的高为 d， 四棱柱被平面 所分成上下两部分的体积分别为 V上和 V下，BCa，则 AD2a 三棱椎 ， 四棱椎 ， 所以 V下三棱锥 四棱锥 又四棱柱 ， 所以 V上四棱柱 下 ， 故 上 下 【点评】本题考查线段中点的证明，考查四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比的 求法，考查线线垂直
35、的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识， 考查运算求解能力，是中档题 19已知数列an为等比数列，数列bn满足 bnlog2an，且 a4b51设 Sn为数列bn的 前 n 项和 （1）求数列an、bn的通项公式及 Sn； （2）若数列cn 满足 ，求cn的前 n 项和 Tn 【分析】（1）数列an为公比为 q 的等比数列，运用等比数列的通项公式和对数的运算 性质，可得所求； （2）讨论 n7，n8，结合错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，化简可得所求 和 解：（1）数列an为公比为 q 的等比数列， 数列bn满足 bnlog2an，且 a4b51 可得 a52，q 2，
36、 ana4qn42n4； bnlog2anlog22n4n4； （2）Sn n（3+n4） n（n7）， |n7| 2n 5， n7 时，Tn （7n） 2n5， 2Tn （7n） 2n4， 相减可得Tn 2n5（7n） 2n4 （7n） 2 n4， 化简可得 Tn（8n） 2n4 ； n8，前 n 项和 Tn 2+0+1 23+2 24+（n7） 2n 5 1 23+2 24+（n7） 2n 5， 2Tn15+1 24+2 25+（n7） 2n4， 相减可得Tn 2 4+2n5（n7） 2n4 （n7） 2 n4， 化简可得 Tn （n8） 2n4， 则 Tn ， ， 【点评】本题考查等差数
37、列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位 相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题 20椭圆 ： 的焦距是 ，长轴长是短轴长的 3 倍，任作斜率为 的 直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点（如图所示），且点 P ， 在直线 l 的左上方 （1）求椭圆 C 的方程； （2）若 ，求PAB 的面积； （3）证明：PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上 【分析】（1）根据题目已知条件求出 a，b，得出椭圆方程； （2）设直线 l 方程 y x+t，根据弦长公式得出 t 的值，再计算 P 到直线 l 的距离，得出 三角形 PAB 的面积； （3）设直线 l：y x+m，A（x1，
38、y1），B（x2，y2）将 y x+m 代入椭圆方程中，化 简整理得 2x2+6mx+9m2360利用韦达定理转化求解斜率，推出 kPA+kPB0说明 APB 的角平分线是平行于 y 轴的直线，推出PAB 的内切圆的圆心在直线 x3 上 解：（1）由题意可得：2c8 ，即 c4 ，又 a3b，a2b2c232， a6，b2， 椭圆 C 的方程为： 1 （2）设直线 l 的方程为：y x+t，代入椭圆方程可得：2x 2+6tx+9t2360， 设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1+x23t，x1x2 ， |AB| 2 ，解得 t2 或2 由题意可知 t0，故 AB 方程为 y x2，
39、即 x3y60， P（3 ， ）到直线 AB 的距离 d PAB 的面积为 S |AB| d 6 （3）设直线 l 的方程为 y x+m，代入椭圆方程可得：2x 2+6mx+9m2360， 设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1+x23m，x1x2 ， kPA+kPB ， （y1 ） （x23 ） + （y2 ） （x13 ） （ x 1+m ） （x23 ） + （ x 2+m ） （x13 ） x1x2+（m2 ）（x 1+x2）6 m+12 （m2 ） 3m6 m+12 0， kPA+kPB0， APB 的角平分线平行 y 轴， PAB 的内切圆圆心在定直线 x3 上 【点评】
40、本题考查了椭圆的简单性质，直线与椭圆的位置关系，考查设而不求法解题方 法和运算能力，属于中档题 21已知函数 ，若函数 f（x）在（0，+）上存在两个极值点 x1，x2 （）若实数 k 的取值范围； （）证明： 【分析】（）求出 f（x），分析 f（x）的符号，f（x）0 的根的个数满足的条 件； （）不妨设 x1x2；tx1x2（t1）将目标不等式的参数减少，用分析的方法最后证 明： ，构造函数证明即可 解：（） ，设 g（x）f（x）； 则 （x0） 若 k0，g（x）0，f（x）单调递增；则 f（x）在（0，+）上至多有一个零点； 所以 f（x）在（0，+）上至多有一个极值点（不满足条件
41、）； 若 k0 时，令 g（x）0，得 （负值舍去）； 所以 f（x）单在 ， 上调递减，在 ， 上调递增； 则 ； 函数 f（x）在（0，+）上存在两个极值点； 则 ，得 0k ； 2k 1，g（1）k0， g（2k）ln2k ； 设 h（k）ln2k ； 0 （k ）； 则 h（k）在 0k 上单调递减； g（2k）h（k）h（ ）ln 0； 所以实数 k 的取值范围 0k ； （）证明：若函数 f（x）在（0，+）上存在两个极值点 x1，x2 x1，x2是方程 f（x）0 的两个实数根；不妨设 x 1x2；tx1x2（t1）； 由 ，有 ； 即 ，即 ，（0k ，t1） 要证明： ，需证
42、明： ； 即证明：t 2k 即证明： ； k0，只需证明：t 2lnt （t1）； 设 ，则 ， 所以，m（t）在上单调递减； 所以设 m（1）0（结论成立） 故不等式 成立； 【点评】本题的证明问题中设出两个参数的关系，以减少参数的个数，从而构造函数来 解决问题 一、选择题 22在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，动 点 P 在直线 sin 上， 将射线 OP 逆时针旋转 得到射线 OP， 射线 OP 上一点 Q， 满足|OP| |OQ|4，Q 点的轨迹为曲线 C （）求曲线 C 的极坐标方程； （）设射线 l1： （0）和射线 l2： （0
43、， 0， ）分别与曲线 C 交于 A，B 两点，求AOB 面积的最大值 【分析】（）直接利用定义和关系式的应用求出结果 （）直接利用三角形的面积公式的应用和关系式的变换的应用求出结果 解：（）设 Q（，），则 ， ， 所以 ，整理得： （）由于 A2， 所以 ， sin2cos2+11 当 时，SAOB的最大值 1 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角 形面积公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查 学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 选修 4-5：不等式选讲 23设函数 f（x）|2x1|x+4| （）解不等
44、式：f（x）0； （）若 f（x）+3|x+4|a1|对一切实数 x 均成立，求 a 的取值范围 【分析】（）通过对自变量 x 取值范围的分类讨论，去掉原函数式中的绝对值符号， 再解相应的不等式即可； （） 利用绝对值不等式 f （x） +3|x+4|2x1|+2|x+4|12x|+|2x+8| （12x） + （2x+8） |9 可得|a1|9，解之即可 【解答】选修 45：不等式选讲 解：（I） ， ， ， 当 x4 时，由 f（x）0 得x+50，解得 x4， 当 时，由 f（x）0 得3x3，解得4x1， 当 时，由 f（x）0 得 x50，解得 x5， 综上，得 f（x）0 的解集为x|x1，或 x5 （ II）f（x）+3|x+4|2x1|+2|x+4|12x|+|2x+8|（12
