重庆市渝中区2020届高三下学期适应性月考理科数学试题(八)含答案

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1、 理科数学参考答案第 1 页(共 10 页) 巴蜀中学 2020 届高考适应性月考卷(八) 理科数学参考答案 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C C B C B A A B D A B A 【解析】 1集合0 3A R ,则()0 1 2 3 R NA, ,所以子集个数为16个,故选C 2设izxy,则 22 (1)(1)1xy,则z在以( 11),为圆心,半径为1的圆上,则| |z的 最大值是21,故选C 3因为 0 2 , 5 336 ,则 2 2 sin 33 ,则 sinsin 33 2

2、 23 sincoscossin 33336 ,故选 B 4根据正态分布的对称性,(0)(4)0.2P XP X,则(04)0.6PX,故选 C 5A 选项等价范围是ab,B 选项是1ab,C,D 不存在包含关系,故0ab的一个 充分不必要条件可以是1ab ,即lnln0ab,故选 B 6新函数的值域不变则换元的范围不能减少,只有 A 满足,故选 A 7如图 1,取BD的中点E,则AE BD,又侧面ABD 底面BCD, 则AE 底面BCD,在直角三角形BCD中,1BC ,2BD , 3CD ,以CD 为x轴,CB 为y轴,过C作EA 的平行线为z 轴建立空间直角坐标系,(0 0 0)C, ,(

3、 3 0 0)D, ,(0 1 0)B, 31 0 22 E , , 31 3 22 A , , 31 3 22 BA ,( 3 0 0)CD , , 所以BA CD 3 2 ,所以AB与直线CD所成角的余弦值为 3 3 2 co | s 4|2 3 BA CD BACD ,故选A 图 1 理科数学参考答案第 2 页(共 10 页) 8右顶点 2 A到直线 1 PA的距离 2ab b c ,即2 c a ,则12e,故选B 9因为 2 ( )1sin()f xtx,在 0 3 ,上不单调,则 2 xk在 0 3 ,上有解,则 62 kk ,则 3 tan 3 t ,故选 D 10如图 2,取

4、11 AD的中点G,连接GF交 11 AC于H,显然 FBDEHBDE VV ,而 1 11 22 HBDEE BDHC BDHCBDH VVVV , 而 132 84 33 HBCD V ; 111 3 4 HBC DABC D VV ,而 11 ABC D V 是 边 长 为4 2的 正 四 面 体 的 体 积 , 则 3 2 12 Va, 11 3 264 (4 2) 123 ABC D V , 111 3 16 4 HBC DABC D VV ,所以 1 111640 8 2233 HBDEHBCDHBC D VVV ,故选A 上面求解的过程中 111 3 4 HBC DABC D V

5、V 可以替换为 111 3 2 HBC DOBC D VV ,其中 1 O是上面的中 心,即 11 AC的中点,求解的方法一样(建系求距离亦可). 11如图3,分别过MN,作准线的垂线,垂足分别为 11 MN, ,记 PFO, 则 1 1cos p MM , 1 1cos p NN ,()PFMF 2 211 22 ()44 coscossincos MMNNp PFNFPMPNp , 故选B 12当0x时, ( )3sin 2 f xx;当0x 时, ( )sin 2 f xx;当xN时,| ( )|0 3f x , ,且 ( )0f x ,所以21()xkkN时,|( )|3f x ;当x

6、 Z时,|( )|0 1f x , ,且( )0f x , 所以21()xkk Z时,|( )|1f x ,当|( )|2f x 时,则xa,且此时x为负数,故不 等式的解集为比a大的负奇数,故此时0a时,无解,0a时,因为只有三个解,所以 (0)a,中有且仅有531,三个整数解,则 75)a ,; 当| ( )|2f x时,则xa,且此 时x为正数,故不等式的解集为比a小的正数,故此时0a时,无解,0a时,因为只 有三个解,所以(0)a,中有且仅有1 3 5, 三个整数解,则(5 7a,. 综上所述,故选A 图 2 图 3 理科数学参考答案第 3 页(共 10 页) 二、填空题(本大题共4小

7、题,每小题5分,共20分) 题号 13 14 15 16 答案 6 3 3 1 2 a 【解析】 13因为 12 ()2 33 D Xn,则9n,则 2 ()96 3 E X. 14因 为|2ba , 所 以 22 24ba ba , 所 以| |2b , 则 1 cos 2| | | | a b a b ab , 所以向量a 与b 的夹角为 3 . 15设直线与( )f x相切于点 1 1 (e2) x P x,与( )g x相切于点 2+2 2 (e) x Q x ,又( )exfx, 2 ( )exg x ,则 1 1 ()exkfx,且 2 2 2 ()exkg x ,则 12 2 e

8、e xx ,即 12 2xx,又因为 12 2 12 1212 ()()e2e2 1 2 xx PQ f xg x k xxxx , 即 12 2 ee1 xx , 则 12 20xx, 所 以 (0 3)P,代入直线得3b. 16令 22 ( )44(1)g xxaxa , 2 (1)44(1)0gaa ,所以(1)0f,则( )g x在(0 1), 上没有零点,则(0 1)x, 时, 2 ( )(2)210g xxaa ,若 1 2 a时,( )g x在(0 1), 上 没有零点, 满足要求; 若 1 2 a时, 1 0 4 f , 不满足, 若 1 1 2 a时,0 2 a f , 则(

9、 )g x 在(0 1), 上有两个零点不满足,综上所述,实数a的取值范围是 1 2 a. 三、解答题(共70分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17 (本小题满分12分) (1)证明:如图4,连接 1 BC交 1 BC于点E, 因为 1 2BCBB,则 11 BCBC. (1分) 图 4 理科数学参考答案第 4 页(共 10 页) 又因为平面 1 BCD平面 11 BBC C,且平面 1 BCD平面 11 BBC C 1 BC, 所以 1 BC平面 1 BCD. 又因为CD平面 1 BCD,所以 1 BCCD,(3分) 又因为侧棱 1 BB与底面ABCD垂直,所以 1 BBCD,且

10、11 BBBCB, 则CD平面 11 BBC C,又因为BC平面 11 BBC C,所以BCCD. (5分) (2)解:因为2CD, 1 2BCBB, 如图,以CD 为x轴,CB 为y轴, 1 CC 为z轴建立空间直角坐标系Cxyz,(6分) 则(0 0 0)C, ,(2 0 0)D, ,(0 2 0)B, , 1(0 2 2) B, ,(2 2 0)A, ,. 设平面 1 CDB的一个法向量为 1111 ()nxyz , ,则 1 0n CD , 21 0nCB , 因为(2 0 0)CD , , 1 (0 2 2)CB , , 则 1 11 20 220 x yz , ,令 1 1y,则

11、11 10zx , 则 1 (0 11).n , (8分) 设平面 1 AB D的一个法向量为 2222 ()nxyz , ,则 2 0nAD , 21 0nAB , 因为(02 0)AD , 1 ( 2 0 2)AB , ,则 2 22 20 220 y xz , , 令 2 1x,则 22 10zy,则 2 (1 0 1)n , , ,(10分) 则 1 n 与 2 n 夹角的余弦值为 12 12 11 cos 2| |22 nn n n ,(11分) 所以二面角 1 AB DC的正弦值 3 sin 2 .(12分) 18 (本小题满分12分) (1)证明:因为当1n 时, 21 560

12、nnn aaa , 则 2111 2363(2) nnnnnn aaaaaa ,(1分) 则 1 2 nn aa 是以 21 23aa为首项,3为公比的等比数列;(3分) 理科数学参考答案第 5 页(共 10 页) 又因为 2111 3262(3) nnnnnn aaaaaa ,(4分) 则 1 3 nn aa 是以 21 32aa为首项,2为公比的等比数列. (6分) (2) 解: 因为 1 2 nn aa 是以 21 23aa为首项,3为公比的等比数列, 则 1 23n nn aa , (8分) 因为 1 3 nn aa 是以 21 32aa为首项,2为公比的等比数列, 则 1 32n n

13、n aa , (10分) 两式作差得32 nn n a , 则 1 1 3(13 )2(12 )31 2 131222 nnn n n S . (12分) 19 (本小题满分12分) 解: (1) 2 2 2000(700350650300)20005000050000 5.6985.024 1350650 1000 10001350650 1000 1000 K , (4分) 所以有97.5%的把握认为选考物理还是历史与性别有关.(5分) (2)高考选考学科的所有的组合数为 12 24 CC12n ,记A“选考物理”,B“选考 化学”, 12 14 C C1 ( ) 2 P A n , 11

14、1 113 C C C1 () 4 P AB n , (10分) 则 ()1 (|) ( )2 P AB P B A P A ,所以已知甲同学在选考物理情况下,选考化学的概率为 1 2 . (12分) 20 (本小题满分12分) 解: (1)因为2a,设 00 ()P xy,则 00 12 00 22 yy kk xx ,则 2 0 12 2 0 1 22 y k k x , 又因为 22 00 22 1 xy ab ,且 2 2a代入得 2 1b, 所以椭圆C的标准方程为 2 2 1 2 x y. (5分) 理科数学参考答案第 6 页(共 10 页) (2)设AB的直线方程为1(0)xmym

15、, 112200 ()()()A xyB xyQ xy, 直线与椭圆联立得 2 2 1 2 1 x y xmy , , 消去x得 22 (1)220myy, 整理得 22 (2)210mymy , 则 1212 22 21 22 m yyy y mm ,则 0 2 2 m y m , 所以 2 0 22 2 1. 22 m x mm (7分) 即 22 2 22 m Q mm ,因为ABMN,则 MN km , 则MN的直线方程为 22 2 22 m ym x mm ,整理得 2 0 2 m mxy m , 则 2 1 0 2 M m , 2 0 2 m N m , 2 2 1 2 m MN

16、m ,(10分) 原点O到直线AB的距离 2 1 1 d m , 2 2 12(1) | 22 m AB m , 2 2 21 2 OAB m S m , (11分) 则实数的值为2. (12分) 21 (本小题满分12分) 解: (1)因为 1 ( )ln(1) (0) 2 f xaxax ax R, 则 21 ( )(1) 2 a fxa x . (1分) 当 1 2 a ,(0)x ,时,( )0fx,所以( )f x在(0),上单调递减; (2分) 当 1 1 2 a ,(0)x ,时,( )0fx,所以( )f x在(0),上单调递减; (3分) 当1a , 21 0 22 a x

17、a ,时,( )0fx, 21 22 a x a ,时,( )0fx, 理科数学参考答案第 7 页(共 10 页) 即( )f x在 21 0 22 a a ,上单调递减,在 21 22 a a ,上单调递增; (4分) 当 1 2 a , 21 0 22 a x a ,时,( )0fx, 21 22 a x a ,时,( )0fx, 即( )f x在 21 0 22 a a ,上单调递增,在 21 22 a a ,上单调递减. (5分) (2)因为( )( )( )h xg xf x,所以( )( )( )h xg xfx, 因为 2 2 1 ( )(1) (ln) 24 x g xxxa,

18、则 2 (1) ( )(1)(ln) 22 xx g xxxa x , 又因为 21 (1) 2 ( ) a fa x x , 则( )h x(1)(ln)(1) ln aa xxaaxxa xx , 令( )ln a F xxa x , 22 1 ( ). axa F x xxx (6分) ()若0a,(0)x ,时,( )0F x,则( )F x在(0),上单调递增. 又因为(1)0F,则(0 1)x, 时,( )0F x,则(1)x,时,( )0F x, 又因为(0 1)x, 时,10x ,(1)x,时,10x , 则(0 1)x, 时,(1) ( )0xF x,即( )0h x, (1

19、)x,时,(1) ( )0xF x,即( )0h x, 则( )h x在(0),上没有极值点,不满足要求; (7分) ()当01a,(0)xa,时,( )0F x,()xa,时,( )0F x, 则( )F x在(0)a,上单调递减,在()a,上单调递增,又因为(1)0F, 则 444 2 44 (e)ee1 aaa Faaa aa ,因为e1 x x, 则 2 42 2 2 244 e(e )11 aa aaa ,则 4 (e)0 a F , 理科数学参考答案第 8 页(共 10 页) 存在 4 0 (e) a xa ,使得 0 ()0F x,且 0 (0)xx,时,( )0F x, 0 (

20、1)xx, 时,( )0F x,(1)x,时,( )0F x, 所以 0 (0)xx,时,(1) ( )0xF x,即( )0h x, 0 (1)xx, 时,(1) ( )0xF x,即( )0h x, (1)x,时,(1) ( )0xF x,即( )0h x, 所以( )h x在(0),上有且只有一个极值点 0 x,所以01a时满足要求; (9分) ()当1a,(0 1)x, 时,( )0F x,(1)x,时,( )0F x, 则( )F x在(0 1), 上单调递减,在(1),上单调递增,又因为(1)0F, 则(0)x ,时,( )0F x, 则(0 1)x, 时,(1) ( )0xF x

21、,即( )0h x, (1)x,时,(1) ( )0xF x,即( )0h x, 所以( )h x在(0),上有且只有一个极值点 0 x,所以1a时满足要求; (10分) ()当1a,(0)xa,时,( )0F x,()xa,时,( )0F x, 则( )F x在(0)a,上单调递减,在()a,上单调递增,又因为(1)0F, 则( )0F a,因为1a时,eaa,则(e )0 ee a aa aa Faa, 存在 1 (e ) a xa,使得 1 ()0F x,且 1 ()xa x,时,( )0F x, 1 ()xx,时,( )0F x,又(0 1)x, 时,( )0F x, 1 (1)xx,

22、时,( )0F x, 所以(0 1)x, 时,(1) ( )0xF x,即( )0h x, 1 (1)xx,时,(1) ( )0xF x, 即( )0h x, 1 ()xx,时,(1) ( )0xF x, 即( )0h x, 所以( )h x在(0),上有且只有一个极值点 1 x,所以1a时满足要求. 综上所述:实数a的取值范围是0a.(本题也可讨论:( )lnF xxxaxa也是等价的) (12分) 理科数学参考答案第 9 页(共 10 页) 但若讨论( )ln a G xxa x 存在正零点,分离变量及 ln (01) 1 xx axx x ,有解问题时, 不易说清楚, ln 1 xx x

23、 的函数图象如图5所示,请酌情扣分即可. 22 (本小题满分10分) 【选修44:坐标系与参数方程】 解: (1)极坐标中的点(1 )M,在直角坐标系中对应的点为( 1 0)M, (1分) 曲线T的直角坐标方程为 222 (1)(1)xyr,经过点( 1 0)M,得到 2 r 5, 则曲线T: 22 (1)(1)5xy, (3分) 即 22 2230xyxy,极坐标方程为 2 2 cos2 sin30. (5分) (2)令,则 2 2(cossin)30 , 则 2 12 | |4(cossin)12164sin2AC2 4sin2, (7分) 用 2 替换知,则| 2 4sin(2)2 4s

24、in2BD. (9分) 则 1 | | 2 ABCD SACBD2 (4sin2 )(4sin2 ) 2 2 16sin 22 15, 综上所述,当 4 时,四边形 ABCD的面积的最小值为2 15 . (10 分) 图 5 理科数学参考答案第 10 页(共 10 页) 23 (本小题满分 10 分) 【选修 45:不等式选讲】 解: (1)零点分段讨论法: 当3x 时,2237xx ,得到 8 3 x,解为3x ; (1 分) 当31x 时,2237xx ,解得2x,解为32x ; (2 分) 当1x 时,2237xx ,解得2x,解为2x,(3 分) 综上所述,不等式的解为(22) ,.(5 分) (2)( )2|1|3| |1|3| |13| 4f xxxxxxx , 当且仅当1x时, min ( )4f x ,即4m,即 22 24ab. (7 分) 法一(参数方程) :令2cosa, 2sinb , 则2 4cos2sin3 2sin()ab,即 max (2)3 2.ab (10 分) 法二(柯西不等式) : 2 2222 29 (2)2( 2 ) 418 22 abab , 当且仅当 4 2 3 a , 2 3 b 时,2ab的最大值为3 2. (10 分)

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