1、 理科数学参考答案第 1 页（共 10 页） 巴蜀中学 2020 届高考适应性月考卷（八） 理科数学参考答案 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C C B C B A A B D A B A 【解析】 1集合0 3A R ，则()0 1 2 3 R NA， ，所以子集个数为16个，故选C 2设izxy，则 22 (1)(1)1xy，则z在以( 11)，为圆心，半径为1的圆上，则| |z的 最大值是21，故选C 3因为 0 2 ， 5 336 ，则 2 2 sin 33 ，则 sinsin 33 2
2、 23 sincoscossin 33336 ，故选 B 4根据正态分布的对称性，(0)(4)0.2P XP X，则(04)0.6PX，故选 C 5A 选项等价范围是ab，B 选项是1ab，C，D 不存在包含关系，故0ab的一个 充分不必要条件可以是1ab ，即lnln0ab，故选 B 6新函数的值域不变则换元的范围不能减少，只有 A 满足，故选 A 7如图 1，取BD的中点E，则AE BD，又侧面ABD 底面BCD， 则AE 底面BCD，在直角三角形BCD中，1BC ，2BD ， 3CD ，以CD 为x轴，CB 为y轴，过C作EA 的平行线为z 轴建立空间直角坐标系，(0 0 0)C， ，(
3、 3 0 0)D， ，(0 1 0)B， 31 0 22 E ， ， 31 3 22 A ， ， 31 3 22 BA ，( 3 0 0)CD ， ， 所以BA CD 3 2 ，所以AB与直线CD所成角的余弦值为 3 3 2 co | s 4|2 3 BA CD BACD ，故选A 图 1 理科数学参考答案第 2 页（共 10 页） 8右顶点 2 A到直线 1 PA的距离 2ab b c ，即2 c a ，则12e，故选B 9因为 2 ( )1sin()f xtx，在 0 3 ，上不单调，则 2 xk在 0 3 ，上有解，则 62 kk ，则 3 tan 3 t ，故选 D 10如图 2，取
4、11 AD的中点G，连接GF交 11 AC于H，显然 FBDEHBDE VV ，而 1 11 22 HBDEE BDHC BDHCBDH VVVV ， 而 132 84 33 HBCD V ； 111 3 4 HBC DABC D VV ，而 11 ABC D V 是 边 长 为4 2的 正 四 面 体 的 体 积 ， 则 3 2 12 Va， 11 3 264 (4 2) 123 ABC D V ， 111 3 16 4 HBC DABC D VV ，所以 1 111640 8 2233 HBDEHBCDHBC D VVV ，故选A 上面求解的过程中 111 3 4 HBC DABC D V
5、V 可以替换为 111 3 2 HBC DOBC D VV ，其中 1 O是上面的中 心，即 11 AC的中点，求解的方法一样（建系求距离亦可）. 11如图3，分别过MN，作准线的垂线，垂足分别为 11 MN， ，记 PFO， 则 1 1cos p MM ， 1 1cos p NN ，()PFMF 2 211 22 ()44 coscossincos MMNNp PFNFPMPNp ， 故选B 12当0x时， ( )3sin 2 f xx；当0x 时， ( )sin 2 f xx；当xN时，| ( )|0 3f x ， ，且 ( )0f x ，所以21()xkkN时，|( )|3f x ；当x
6、 Z时，|( )|0 1f x ， ，且( )0f x ， 所以21()xkk Z时，|( )|1f x ，当|( )|2f x 时，则xa，且此时x为负数，故不 等式的解集为比a大的负奇数，故此时0a时，无解，0a时，因为只有三个解，所以 (0)a，中有且仅有531，三个整数解，则 75)a ，； 当| ( )|2f x时，则xa，且此 时x为正数，故不等式的解集为比a小的正数，故此时0a时，无解，0a时，因为只 有三个解，所以(0)a，中有且仅有1 3 5， 三个整数解，则(5 7a，. 综上所述，故选A 图 2 图 3 理科数学参考答案第 3 页（共 10 页） 二、填空题（本大题共4小
7、题，每小题5分，共20分） 题号 13 14 15 16 答案 6 3 3 1 2 a 【解析】 13因为 12 ()2 33 D Xn，则9n，则 2 ()96 3 E X. 14因 为|2ba ， 所 以 22 24ba ba ， 所 以| |2b ， 则 1 cos 2| | | | a b a b ab ， 所以向量a 与b 的夹角为 3 . 15设直线与( )f x相切于点 1 1 (e2) x P x，与( )g x相切于点 2+2 2 (e) x Q x ，又( )exfx， 2 ( )exg x ，则 1 1 ()exkfx，且 2 2 2 ()exkg x ，则 12 2 e
8、e xx ，即 12 2xx，又因为 12 2 12 1212 ()()e2e2 1 2 xx PQ f xg x k xxxx ， 即 12 2 ee1 xx ， 则 12 20xx， 所 以 (0 3)P，代入直线得3b. 16令 22 ( )44(1)g xxaxa ， 2 (1)44(1)0gaa ，所以(1)0f，则( )g x在(0 1)， 上没有零点，则(0 1)x， 时， 2 ( )(2)210g xxaa ，若 1 2 a时，( )g x在(0 1)， 上 没有零点， 满足要求； 若 1 2 a时， 1 0 4 f ， 不满足， 若 1 1 2 a时，0 2 a f ， 则(
9、 )g x 在(0 1)， 上有两个零点不满足，综上所述，实数a的取值范围是 1 2 a. 三、解答题（共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分12分） （1）证明：如图4，连接 1 BC交 1 BC于点E， 因为 1 2BCBB，则 11 BCBC. （1分） 图 4 理科数学参考答案第 4 页（共 10 页） 又因为平面 1 BCD平面 11 BBC C，且平面 1 BCD平面 11 BBC C 1 BC， 所以 1 BC平面 1 BCD. 又因为CD平面 1 BCD，所以 1 BCCD，（3分） 又因为侧棱 1 BB与底面ABCD垂直，所以 1 BBCD，且
10、11 BBBCB， 则CD平面 11 BBC C，又因为BC平面 11 BBC C，所以BCCD. （5分） （2）解：因为2CD， 1 2BCBB， 如图，以CD 为x轴，CB 为y轴， 1 CC 为z轴建立空间直角坐标系Cxyz，（6分） 则(0 0 0)C， ，(2 0 0)D， ，(0 2 0)B， ， 1(0 2 2) B， ，(2 2 0)A， ，. 设平面 1 CDB的一个法向量为 1111 ()nxyz ， ，则 1 0n CD ， 21 0nCB ， 因为(2 0 0)CD ， ， 1 (0 2 2)CB ， ， 则 1 11 20 220 x yz ， ，令 1 1y，则
11、11 10zx ， 则 1 (0 11).n ， （8分） 设平面 1 AB D的一个法向量为 2222 ()nxyz ， ，则 2 0nAD ， 21 0nAB ， 因为(02 0)AD ， 1 ( 2 0 2)AB ， ，则 2 22 20 220 y xz ， ， 令 2 1x，则 22 10zy，则 2 (1 0 1)n ， ， ，（10分） 则 1 n 与 2 n 夹角的余弦值为 12 12 11 cos 2| |22 nn n n ，（11分） 所以二面角 1 AB DC的正弦值 3 sin 2 .（12分） 18 （本小题满分12分） （1）证明：因为当1n 时， 21 560
12、nnn aaa ， 则 2111 2363(2) nnnnnn aaaaaa ，（1分） 则 1 2 nn aa 是以 21 23aa为首项，3为公比的等比数列；（3分） 理科数学参考答案第 5 页（共 10 页） 又因为 2111 3262(3) nnnnnn aaaaaa ，（4分） 则 1 3 nn aa 是以 21 32aa为首项，2为公比的等比数列. （6分） （2） 解： 因为 1 2 nn aa 是以 21 23aa为首项，3为公比的等比数列， 则 1 23n nn aa ， （8分） 因为 1 3 nn aa 是以 21 32aa为首项，2为公比的等比数列， 则 1 32n n
13、n aa ， （10分） 两式作差得32 nn n a ， 则 1 1 3(13 )2(12 )31 2 131222 nnn n n S . （12分） 19 （本小题满分12分） 解： （1） 2 2 2000(700350650300)20005000050000 5.6985.024 1350650 1000 10001350650 1000 1000 K ， （4分） 所以有97.5%的把握认为选考物理还是历史与性别有关.（5分） （2）高考选考学科的所有的组合数为 12 24 CC12n ，记A“选考物理”，B“选考 化学”， 12 14 C C1 ( ) 2 P A n ， 11
14、1 113 C C C1 () 4 P AB n ， （10分） 则 ()1 (|) ( )2 P AB P B A P A ，所以已知甲同学在选考物理情况下，选考化学的概率为 1 2 . （12分） 20 （本小题满分12分） 解： （1）因为2a，设 00 ()P xy，则 00 12 00 22 yy kk xx ，则 2 0 12 2 0 1 22 y k k x ， 又因为 22 00 22 1 xy ab ，且 2 2a代入得 2 1b， 所以椭圆C的标准方程为 2 2 1 2 x y. （5分） 理科数学参考答案第 6 页（共 10 页） （2）设AB的直线方程为1(0)xmym
15、， 112200 ()()()A xyB xyQ xy， 直线与椭圆联立得 2 2 1 2 1 x y xmy ， ， 消去x得 22 (1)220myy， 整理得 22 (2)210mymy ， 则 1212 22 21 22 m yyy y mm ，则 0 2 2 m y m ， 所以 2 0 22 2 1. 22 m x mm （7分） 即 22 2 22 m Q mm ，因为ABMN，则 MN km ， 则MN的直线方程为 22 2 22 m ym x mm ，整理得 2 0 2 m mxy m ， 则 2 1 0 2 M m ， 2 0 2 m N m ， 2 2 1 2 m MN
16、m ，（10分） 原点O到直线AB的距离 2 1 1 d m ， 2 2 12(1) | 22 m AB m ， 2 2 21 2 OAB m S m ， （11分） 则实数的值为2. （12分） 21 （本小题满分12分） 解： （1）因为 1 ( )ln(1) (0) 2 f xaxax ax R， 则 21 ( )(1) 2 a fxa x . （1分） 当 1 2 a ，(0)x ，时，( )0fx，所以( )f x在(0)，上单调递减； （2分） 当 1 1 2 a ，(0)x ，时，( )0fx，所以( )f x在(0)，上单调递减； （3分） 当1a ， 21 0 22 a x
17、a ，时，( )0fx， 21 22 a x a ，时，( )0fx， 理科数学参考答案第 7 页（共 10 页） 即( )f x在 21 0 22 a a ，上单调递减，在 21 22 a a ，上单调递增； （4分） 当 1 2 a ， 21 0 22 a x a ，时，( )0fx， 21 22 a x a ，时，( )0fx， 即( )f x在 21 0 22 a a ，上单调递增，在 21 22 a a ，上单调递减. （5分） （2）因为( )( )( )h xg xf x，所以( )( )( )h xg xfx， 因为 2 2 1 ( )(1) (ln) 24 x g xxxa，
18、则 2 (1) ( )(1)(ln) 22 xx g xxxa x ， 又因为 21 (1) 2 ( ) a fa x x ， 则( )h x(1)(ln)(1) ln aa xxaaxxa xx ， 令( )ln a F xxa x ， 22 1 ( ). axa F x xxx （6分） （）若0a，(0)x ，时，( )0F x，则( )F x在(0)，上单调递增. 又因为(1)0F，则(0 1)x， 时，( )0F x，则(1)x，时，( )0F x， 又因为(0 1)x， 时，10x ，(1)x，时，10x ， 则(0 1)x， 时，(1) ( )0xF x，即( )0h x， (1
19、)x，时，(1) ( )0xF x，即( )0h x， 则( )h x在(0)，上没有极值点，不满足要求； （7分） （）当01a，(0)xa，时，( )0F x，()xa，时，( )0F x， 则( )F x在(0)a，上单调递减，在()a，上单调递增，又因为(1)0F， 则 444 2 44 (e)ee1 aaa Faaa aa ，因为e1 x x， 则 2 42 2 2 244 e(e )11 aa aaa ，则 4 (e)0 a F ， 理科数学参考答案第 8 页（共 10 页） 存在 4 0 (e) a xa ，使得 0 ()0F x，且 0 (0)xx，时，( )0F x， 0 (
20、1)xx， 时，( )0F x，(1)x，时，( )0F x， 所以 0 (0)xx，时，(1) ( )0xF x，即( )0h x， 0 (1)xx， 时，(1) ( )0xF x，即( )0h x， (1)x，时，(1) ( )0xF x，即( )0h x， 所以( )h x在(0)，上有且只有一个极值点 0 x，所以01a时满足要求； （9分） （）当1a，(0 1)x， 时，( )0F x，(1)x，时，( )0F x， 则( )F x在(0 1)， 上单调递减，在(1)，上单调递增，又因为(1)0F， 则(0)x ，时，( )0F x， 则(0 1)x， 时，(1) ( )0xF x
21、，即( )0h x， (1)x，时，(1) ( )0xF x，即( )0h x， 所以( )h x在(0)，上有且只有一个极值点 0 x，所以1a时满足要求； （10分） （）当1a，(0)xa，时，( )0F x，()xa，时，( )0F x， 则( )F x在(0)a，上单调递减，在()a，上单调递增，又因为(1)0F， 则( )0F a，因为1a时，eaa，则(e )0 ee a aa aa Faa， 存在 1 (e ) a xa，使得 1 ()0F x，且 1 ()xa x，时，( )0F x， 1 ()xx，时，( )0F x，又(0 1)x， 时，( )0F x， 1 (1)xx，
22、时，( )0F x， 所以(0 1)x， 时，(1) ( )0xF x，即( )0h x， 1 (1)xx，时，(1) ( )0xF x， 即( )0h x， 1 ()xx，时，(1) ( )0xF x， 即( )0h x， 所以( )h x在(0)，上有且只有一个极值点 1 x，所以1a时满足要求. 综上所述：实数a的取值范围是0a.（本题也可讨论：( )lnF xxxaxa也是等价的） （12分） 理科数学参考答案第 9 页（共 10 页） 但若讨论( )ln a G xxa x 存在正零点，分离变量及 ln (01) 1 xx axx x ，有解问题时， 不易说清楚， ln 1 xx x
23、 的函数图象如图5所示，请酌情扣分即可. 22 （本小题满分10分） 【选修44：坐标系与参数方程】 解： （1）极坐标中的点(1 )M，在直角坐标系中对应的点为( 1 0)M， （1分） 曲线T的直角坐标方程为 222 (1)(1)xyr，经过点( 1 0)M，得到 2 r 5， 则曲线T： 22 (1)(1)5xy， （3分） 即 22 2230xyxy，极坐标方程为 2 2 cos2 sin30. （5分） （2）令，则 2 2(cossin)30 ， 则 2 12 | |4(cossin)12164sin2AC2 4sin2， （7分） 用 2 替换知，则| 2 4sin(2)2 4s
24、in2BD. （9分） 则 1 | | 2 ABCD SACBD2 (4sin2 )(4sin2 ) 2 2 16sin 22 15， 综上所述，当 4 时，四边形 ABCD的面积的最小值为2 15 . （10 分） 图 5 理科数学参考答案第 10 页（共 10 页） 23 （本小题满分 10 分） 【选修 45：不等式选讲】 解： （1）零点分段讨论法： 当3x 时，2237xx ，得到 8 3 x，解为3x ； （1 分） 当31x 时，2237xx ，解得2x，解为32x ； （2 分） 当1x 时，2237xx ，解得2x，解为2x，（3 分） 综上所述，不等式的解为(22) ，.（5 分） （2）( )2|1|3| |1|3| |13| 4f xxxxxxx ， 当且仅当1x时， min ( )4f x ，即4m，即 22 24ab. （7 分） 法一（参数方程） ：令2cosa， 2sinb ， 则2 4cos2sin3 2sin()ab，即 max (2)3 2.ab （10 分） 法二（柯西不等式） ： 2 2222 29 (2)2( 2 ) 418 22 abab ， 当且仅当 4 2 3 a ， 2 3 b 时，2ab的最大值为3 2. （10 分）
