1、2020 年高考数学二诊试卷（理科） （年高考数学二诊试卷（理科） （5 月份）月份） 一、选择题（共 12 个小题） 1已知集合 Ax|x22x30，Bx|log2x1，则 AB（ ） A（2，+） B（2，3 C1，3 D1，+） 2已知复数 z 在复平面内对应点的坐标是（3，4），i 为虚数单位，则 （ ） A B C D 3某公司生产了一批新产品，这种产品的综合质量指标值 x 服从正态分布 N（100，2） 且 P（x80）0.2现从中随机抽取该产品 1000 件，估计其综合质量指标值在100， 120内的产品件数为（ ） A200 B300 C400 D600 4已知 ，则 cos2
2、（ ） A B C D 5已知 p：2xy2 且2x+y2，q：x2+y22，则 p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 6已知函数 f（x）的定义域为 R 且满足 f（x）f（x），f（x）f（2x），若 f（1） 4，则 f（6）+f（7）（ ） A8 B4 C0 D4 7已知函数 ，f（x1）2，f（x2）2，且|x1x2|最小值 为 ，若将 yf（x）的图象沿 x 轴向左平移 （0）个单位，所得图象关于原点对称， 则实数 的最小值为（ ） A B C D 82020 年 2 月，在新型冠状病毒感染的肺炎疫情防控工作期间，某单位有
3、 4 名党员报名参 加该地四个社区的疫情防控服务工作，假设每名党员均从这四个社区中任意选取一个社 区参加疫情防控服务工作，则恰有一个社区未被这 4 名党员选取的概率为（ ） A B C D 9已知 ， ， 对任意 x1，x2（，+）且 x1x2，都有 ，那么实数 a 的取值范围是（ ） A（1，+） B（0，1） C ， D ， 10在三棱锥 PABC 中，BAC60，PBAPCA90，PBPC ，点 P 到 底面 ABC 的距离为 2，则三棱锥 PABC 的外接球的体积为（ ） A4 B C D36 11已知双曲线 C： ， 的左、右焦点分别为 F1，F2，一条渐近线为 l，过点 F2且与
4、l 平行的直线交双曲线 C 于点 M，若|MF1|2|MF2|，则双曲线 C 的离心率 为（ ） A B C D 12已知函数 f（x）（lnx+1ax）（ex2max），若存在实数 a 使得 f（x）0 恒成立， 则实数 m 的取值范围是（ ） A ， B ， C ， D ， 二、填空题： 本题共 4 个小题，每小题 5 分， 共 20 分把答案填写在答题卡相应的位置上 13设非零向量 ， 满足 ，且 ，则向量 与 的夹角为 14过抛物线 y28x 焦点的直线 PC 与该抛物线相交于 A，B 两点，点 P（4，y0）是 AB 的 中点，则|AB|的值为 15设ABC 的内角 A，B，C 的对
5、边分别为 a，b，c，已知ABC 的外接圆面积为 16， 且 cos2Ccos2Bsin2A+sinAsinC，则 a+c 的最大值为 16如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，ACBDO，E 是 B1C（不含端点）上一动点， 则下列正确结论的序号是 D1O平面 A1C1D； OE平面 A1C1D； 三棱锥 A1BDE 体积为定值； 二面角 B1ACB 的平面角的正弦值为 三、解答题：共 70 分解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程并答在答题 卡相应的位置上第 17 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22 题第 23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共
6、 60 分 17已知数列an的前 n 项和为 Sn，a11，an+12Sn+1 （）求an的通项公式； （）设 bnlog3（an an+1），数列bn的前 n 项和为 Tn，求证： 18 某工厂通过改进生产工艺来提高产品的合格率， 现从改进工艺前和改进工艺后所生产的 产品中用随机抽样的方法各抽取了容量为 100 的样本，得到如表的 22 列联表： 改进工艺前 改进工艺后 合计 合格品 85 95 180 次品 15 5 20 合计 100 100 200 （）是否有 99%的把握认为“提高产品的合格率与改进生产工艺有关”？ （）该工厂有甲、乙两名工人均使用改进工艺后的新技术进行生产，每天各生
7、产 50 件 产品，如果每生产 1 件合格品可获利 30 元，生产 1 件次品损失 50 元甲、乙两名工人 30 天中每天出现次品的件数和对应的天数统计如表： 甲一天生产的次品数（件） 0 1 2 3 4 对应的天数（天） 2 8 10 7 3 乙一天生产的次品数（件） 0 1 2 3 4 对应的天数（天） 3 6 9 10 2 将统计的 30 天中产生不同次品数的天数的频率作为概率，记 X 表示甲、乙两名工人一天 中各自日利润不少于 1340 元的人数之和，求随机变量 X 的分布列和数学期望 附： P（K2k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
8、k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ，na+b+c+d 19如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，点 M，N 分别是 AB，CC1的中点，D 为 AB1与 A1B 的交点 （）求证：CM平面 AB1N； （）已知 AB2，AA14，求 A1B1与平面 AB1N 所成角的正弦值 20已知圆 C：（x+2）2+y224 与定点 M（2，0），动圆 I 过 M 点且与圆 C 相切， 记动圆圆心 I 的轨迹为曲线 E （）求曲线 E 的方程； （）斜率为 k 的直线 l 过点 M，且与曲线 E 交于 A，B 两点，P 为直线 x3 上的一点，
9、若ABP 为等边三角形，求直线 l 的方程 21设函数 f（x） ，g（x）lnx （）若直线 xm（m0）与曲线 f（x）和 g（x）分别交于点 P 和 Q，求|PQ|的最小值； （）设函数 F（x）xf（x）a+g（x），当 a（0，ln2）时，证明：F（x）存在极小 值点 x0，且 （a+lnx0）0 （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如多做，则按所做的第一题 计分.选修 4-4：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），以坐标原 点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 C 的极坐标
10、方程为 sin28cos （）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （） 已知点M的直角坐标为 （2， 0） ， 直线l和曲线C交于A、 B两点， 求 的值 选修 4-5：不等式选讲 23已知 f（x）|2x+a2| （）当 a2 时，求不等式 f（x）+|x1|5 的解集； （）若对于任意实数 x，不等式|2x+3|f（x）2a 成立，求实数 a 的取值范围 参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.请将正确答案的代号填涂在答题卡上. 1已知集合 Ax|x22x30，Bx|log2x1，则 AB
11、（ ） A（2，+） B（2，3 C1，3 D1，+） 【分析】求出 A，B 中不等式的解集确定出 A，B，找出 A 与 B 的并集即可 解：由 A 中不等式变形得：（x3）（x+1）0， 解得：1x3，即 A1，3， Bx|log2x12，+）， AB1，+）， 故选：D 【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键 2已知复数 z 在复平面内对应点的坐标是（3，4），i 为虚数单位，则 （ ） A B C D 【分析】复数 z 在复平面内对应点的坐标是（3，4），可得 z3+4i，代入再利用复 数运算法则即可得出 解：复数 z 在复平面内对应点的坐标是（3，4），z3+
12、4i， 则 i， 故选：C 【点评】本题考查了复数运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础 题 3某公司生产了一批新产品，这种产品的综合质量指标值 x 服从正态分布 N（100，2） 且 P（x80）0.2现从中随机抽取该产品 1000 件，估计其综合质量指标值在100， 120内的产品件数为（ ） A200 B300 C400 D600 【分析】先根据正态曲线的对称性性质，算出 P（100x120），然后用该值乘以 1000 即可 解：因为综合质量指标值 x 服从正态分布 N（100，2）且 P（x80）0.2 P（x80）P（x120）0.2，P（x100）P（x100）0.
13、5 P（100x120）P（x100）P（x120）0.3 故综合质量指标值在100，120内的产品件数为 10000.3300 故选：B 【点评】本题考查正态分布密度函数的性质及应用，要注意利用正态曲线的对称性求解 概率，同时考查学生利用转化思想解决问题的能力，属于中档题 4已知 ，则 cos2（ ） A B C D 【分析】由已知利用二倍角的余弦函数公式可求 cos（ ），利用诱导公式可求 sin， 再根据二倍角的余弦函数公式即可计算得解 解： ， cos（ ）12sin 2（ ）12（ ）2 ，即 sin ， cos212sin212（ ） 2 故选：A 【点评】本题主要考查了二倍角的余
14、弦函数公式，诱导公式在三角函数化简求值中的应 用，考查了转化思想，属于基础题 5已知 p：2xy2 且2x+y2，q：x2+y22，则 p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】p：2xy2 且2x+y2，可得：2x2，2y2q：x2+y22， 可得： x ， y 即可判断出关系 解：p：2xy2 且2x+y2，可得：2x2，2y2 q：x2+y22，可得： x ， y 由 qp，由 p 无法得出 q p 是 q 的必要不充分条件 故选：B 【点评】 本题考查了不等式的应用、 简易逻辑的判定方法， 考查了推理能力与计算能力， 属于
15、基础题 6已知函数 f（x）的定义域为 R 且满足 f（x）f（x），f（x）f（2x），若 f（1） 4，则 f（6）+f（7）（ ） A8 B4 C0 D4 【分析】推导出 f（x+4）f（2x4）f（x+2）f（2x2）f（x），f（0） 0，由此根据 f（1）4，能求出 f（6）+f（7）的值 解：函数 f（x）的定义域为 R 且满足 f（x）f（x），f（x）f（2x）， f（x+4）f（2x4）f（x+2）f（2x2）f（x），f（0）0， f（1）4， f（6）f（2）f（0）0， f（7）f（3）f（1）f（1）4， 则 f（6）+f（7）044 故选：B 【点评】本题考查函数
16、值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基 础题 7已知函数 ，f（x1）2，f（x2）2，且|x1x2|最小值 为 ，若将 yf（x）的图象沿 x 轴向左平移 （0）个单位，所得图象关于原点对称， 则实数 的最小值为（ ） A B C D 【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换把函数的关系式变形成正弦型函数，进一 步利用函数的性质的应用求出结果 解：函数 2sin（x ），由于函数满足 f（x1）2， f（x2）2，且|x1x2|最小值为 ， 所以 T，解得 2 故 f（x）2sin（2x ） 将yf （x） 的图象沿x轴向左平移 （0） 个单位， 所得函数g （x） 2si
17、n （2x+2 ） 图象， 由于函数 g（x）关于原点对称， 所以 2 k（kZ），解得 （kZ）， 当 k0 时， ， 即实数 的最小值为 故选：A 【点评】 本题考查的知识要点： 三角函数关系式的恒等变换， 正弦型函数的性质的应用， 函数的图象的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于 基础题型 82020 年 2 月，在新型冠状病毒感染的肺炎疫情防控工作期间，某单位有 4 名党员报名参 加该地四个社区的疫情防控服务工作，假设每名党员均从这四个社区中任意选取一个社 区参加疫情防控服务工作，则恰有一个社区未被这 4 名党员选取的概率为（ ） A B C D 【分析】基
18、本事件总数 n44，恰有一个社区未被这 4 名党员选取包含的基本事件个数 m ，由此能求出恰有一个社区未被这 4 名党员选取的概率 解：某单位有 4 名党员报名参加该地四个社区的疫情防控服务工作， 假设每名党员均从这四个社区中任意选取一个社区参加疫情防控服务工作， 基本事件总数 n44， 恰有一个社区未被这 4 名党员选取包含的基本事件个数 m ， 则恰有一个社区未被这 4 名党员选取的概率为 P 故选：D 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能 力，是基础题 9已知 ， ， 对任意 x1，x2（，+）且 x1x2，都有 ，那么实数 a 的取值范围是（ ）
19、 A（1，+） B（0，1） C ， D ， 【分析】根据题意，由函数单调性的定义分析可得函数 f（x）在 R 上是增函数，结合函 数的解析式可得 ，解可得 a 的取值范围，即可得答案 解：根据题意，f（x）满足对任意 x1，x2（，+）且 x1x2，都有 ， 则函数 f（x）在 R 上是增函数， 又由 ， ， ，则有 ， 解可得： a4，即 a 的取值范围为（ ，4） 故选：D 【点评】本题考查分段函数的单调性，注意函数单调性的定义，属于基础题 10在三棱锥 PABC 中，BAC60，PBAPCA90，PBPC ，点 P 到 底面 ABC 的距离为 2，则三棱锥 PABC 的外接球的体积为（
20、 ） A4 B C D36 【分析】先由题设条件找到球心的位置，再利用BAC60，PBAPCA90， PBPC ABC 为等边三角形，进一步找出球的半径，计算出体积 解：如图，记 PA 的中点为 O，连 OB，OCPBAPCA90， OAOPOBOC，因此 O 为三棱锥 PABC 的外接球的球心 又PBPC ，PABPAC，ABAC又BAC60， ABC 为等边三角形记点 O 在底面 ABC 内的射影为 O1， 则 O1为ABC 的中心连接 OO1，O1A，点 P 到底面 ABC 的距离为 2， OO11设 ABa，则 O1A 在直角三角形 PBA 中，PA 在直角三角形 OO1A 中，OA2
21、1+（ ）21 ，解得：a ， 三棱锥 PABC 的外接球的半径 ROA 所以三棱锥 PABC 的外接球的体积 V （ ） 34 故选：C 【点评】本题主要考查多面体的外接球问题，属于基础题 11已知双曲线 C： ， 的左、右焦点分别为 F1，F2，一条渐近线为 l，过点 F2且与 l 平行的直线交双曲线 C 于点 M，若|MF1|2|MF2|，则双曲线 C 的离心率 为（ ） A B C D 【分析】利用已知条件，结合双曲线定义，通过余弦定理以及渐近线的斜率，列出关系 式求解双曲线的离心率即可 解：由题意可知|MF1|MF2|2a， 所以|MF2|2a，|MF1|4a，所以 16a24a2+
22、4c222a2ccosMF2F1， tanMF2F1 ，所以 cosMF2F1 ， 所以：16a24a2+4c222a2c ，可得 5a 24c2 所以双曲线的离心率为：e 故选：C 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题 12已知函数 f（x）（lnx+1ax）（ex2max），若存在实数 a 使得 f（x）0 恒成立， 则实数 m 的取值范围是（ ） A ， B ， C ， D ， 【分析】分析题意可知，存在实数 a，使得直线 yax 始终在函数 g（x）lnx+1 与函数 h（x）ex2m之间，作出函数 g（x）与函数 h（x）的图象，只需分析出极限情
23、况即可得 解 解：依题意，存在实数 a，使得直线 yax 始终在函数 g（x）lnx+1 与函数 h（x）ex 2m 之间， 考虑直线 yax 与函数 g（x），函数 h（x）均相切于同一点的情况，设切点为（x0，y0）， 由 ， 可知， ，解得 ， 作出图象如下， 由图象观察可知，当 时，函数 h（x）越偏离函数 g（x），符合题意，即实数 m 的 取值范围为 ， 故选：B 【点评】本题考查利用导数研究不等式的恒成立问题，涉及了导数的几何意义的运用， 考查等价转化思想，推理能力与计算能力，理解题意是关键，属于较难难题 二、填空题： 本题共 4 个小题，每小题 5 分， 共 20 分把答案填写
24、在答题卡相应的位置上 13设非零向量 ， 满足 ，且 ，则向量 与 的夹角为 【分析】根据题意，设向量 与 的夹角为 ，设| |t，则| |2t，由向量垂直与数量积 的关系可得 （ ） 2 t 22t2cos0，变形可得 cos 的值，结合 的范 围分析可得答案 解：根据题意，设向量 与 的夹角为 ， 又由 ，设| |t0，则| |2t， 又由 ，则 （ ） 2 t 22t2cos0， 变形可得：cos ； 又由 0，则 ； 故答案为： 【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量垂直的性质以及应用，属于基础题 14过抛物线 y28x 焦点的直线 PC 与该抛物线相交于 A，B 两点，点 P（4
25、，y0）是 AB 的 中点，则|AB|的值为 12 【分析】通过抛物线的方程可知 p4，利用中点坐标公式可知 xA+xB248，最后结 合抛物线的定义即可求得焦点弦|AB|的长度 解：抛物线 y28x，p4， 又点 P（4，y0）是 AB 的中点，xA+xB248， 由抛物线的定义可知，|AB|xA+xB+pxA+xB+48+412 故答案为：12 【点评】本题考查抛物线的定义及其焦点弦的应用，考查学生的分析能力和运算能力， 属于基础题 15设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知ABC 的外接圆面积为 16， 且 cos2Ccos2Bsin2A+sinAsinC，则 a+
26、c 的最大值为 8 【分析】设ABC 的外接圆的半径为 R根据ABC 的外接圆面积为 16，利用正弦定 理可得 R 由 cos2Ccos2Bsin2A+sinAsinC， 化为： 1sin2C （1sin2B） sin2A+sinAsinC， 利用正弦定理及其余弦定理可得 B，进而得出 b利用基本不等式的性质即可得出 解：设ABC 的外接圆的半径为 R ABC 的外接圆面积为 16，16R2，解得 R4 cos2Ccos2Bsin2A+sinAsinC，1sin2C（1sin2B）sin2A+sinAsinC， b2c2a2+ac，即 c2+a2b2ac， cosB ， B（0，），解得 B
27、b2RsinB8 4 （c+a）2ac 48， c+a8当且仅当 ac4 时取等号 故答案为：8 【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能 力，属于中档题 16如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，ACBDO，E 是 B1C（不含端点）上一动点， 则下列正确结论的序号是 D1O平面 A1C1D； OE平面 A1C1D； 三棱锥 A1BDE 体积为定值； 二面角 B1ACB 的平面角的正弦值为 【分析】根据正方体的几何特征，即可判断各命题的真假 解： 如图所示，取 AD 中点 F，连接 OF，D1F，因为 OF平面 ADD1A1，所以 D1F 为 OD1
28、在平面 ADD1A1的射影， 显然，D1F 不垂直于 A1D，故 OD1不垂直于 A1D，D1O 不垂直于平面 A1C1D，错误； 因为 ACA1C1，B1CA1D，所以平面 ACB1平面 A1C1D，而 OE平面 ACB1， 根据线面平行的定义可知，OE平面 A1C1D，所以正确； 因为 B1CA1D， 所以 B1C平面 A1BD， 故点 E 到平面 A1BD 等于点 C 到平面 A1BD 的距 离，所以三棱锥 A1BDE 体积为定值， 正确； 因为 B1B平面 ABC，ACBD，所以B1OB 为二面角 B1ACB 的平面角的平面角， 在B1BO 中，tanB1OB ， sinB1 OB ，
29、错误 故答案为： 【点评】本题主要考查利用面面平行的判定定理，线面平行的定义，线面垂直的判定定 理判断命题真假，以及三棱锥体积的求法，二面角的求法的应用， 考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于中档题 三、解答题：共 70 分解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程并答在答题 卡相应的位置上第 17 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22 题第 23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17已知数列an的前 n 项和为 Sn，a11，an+12Sn+1 （）求an的通项公式； （）设 bnlog3（an an+1），数列bn的前 n 项和为 Tn，
30、求证： 【分析】本题第（）题根据题干 an+12Sn+1，可得当 n2 时有 an2Sn1+1 成立，两 式相减后再运用公式 anSnSn1（n2），进一步转化计算可判断出数列an是以 1 为 首项，以 3 为公比的等比数列，即可得到数列an的通项公式； 第（）题先由第（）题的结果计算出数列bn的通项公式并判别出数列bn是以 1 为 首项，2 为公差的等差数列，再通过等差数列的求和公式可计算出 Tn的表达式，再代入 进行计算时运用 （n2） 进行放缩即可证明不等式成立 【解答】（）解：依题意，由 an+12Sn+1，可得当 n2 时，an2Sn1+1， 两式相减，得 an+1an2Sn+12S
31、n113an（n2）， 又a11，a22S1+121+13， a23a1符合上式， 数列an是以 1 为首项，以 3 为公比的等比数列， 故 ，nN* （）证明：由（）知，bnlog3（an an+1）log3（3n1 3n）log332n12n1， 则 bn2n11+（n1） 2， 故数列bn是以 1 为首项，2 为公差的等差数列， ， 1 1+1 2 2， 不等式 2 成立 【点评】本题主要考查数列求通项公式，数列求和与不等式的综合问题考查了转化与 化归思想，放缩法，定义法，指、对数的运算，以及逻辑思维能力和数学运算能力本 题属中档题 18 某工厂通过改进生产工艺来提高产品的合格率， 现从
32、改进工艺前和改进工艺后所生产的 产品中用随机抽样的方法各抽取了容量为 100 的样本，得到如表的 22 列联表： 改进工艺前 改进工艺后 合计 合格品 85 95 180 次品 15 5 20 合计 100 100 200 （）是否有 99%的把握认为“提高产品的合格率与改进生产工艺有关”？ （）该工厂有甲、乙两名工人均使用改进工艺后的新技术进行生产，每天各生产 50 件 产品，如果每生产 1 件合格品可获利 30 元，生产 1 件次品损失 50 元甲、乙两名工人 30 天中每天出现次品的件数和对应的天数统计如表： 甲一天生产的次品数（件） 0 1 2 3 4 对应的天数（天） 2 8 10
33、7 3 乙一天生产的次品数（件） 0 1 2 3 4 对应的天数（天） 3 6 9 10 2 将统计的 30 天中产生不同次品数的天数的频率作为概率，记 X 表示甲、乙两名工人一天 中各自日利润不少于 1340 元的人数之和，求随机变量 X 的分布列和数学期望 附： P（K2k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ，na+b+c+d 【分析】（）求出 K2，即可判断是否有 99%的把握认为“提高产品的合格率与改进生 产工艺有关” （）每天生产的次品数为 x，
34、X 的可能值为 0，1，2，求出概率，得到分布列，然后求 解期望即可 解：（）K2 5.5566.635 没有 99%的把握认为“提高产品的合格率与改进生产工艺有关” （）每天生产的次品数为 x， 日利润 y30（50x）50x150080x，其中 0x4，xN 由 150080x1340 得 0x2 X 是甲、乙 1 天中生产的次品数不超过 2 件的人数之和， X 的可能值为 0，1，2， 又甲 1 天中生产的次品数不超过 2 件的概率为 ， 乙 1 天中生产的次品数不超过 2 件的概率为 ， ， ， ， 随机变量 X 的分布列为： X 0 1 2 P 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列
35、以及期望的求法，考查转化思想以及计算能 力，是中档题 19如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，点 M，N 分别是 AB，CC1的中点，D 为 AB1与 A1B 的交点 （）求证：CM平面 AB1N； （）已知 AB2，AA14，求 A1B1与平面 AB1N 所成角的正弦值 【分析】（）连接 DM，DN由已知可得 BB1CC1，BB1CC1，且四边形 AA1B1B 是 矩形，结合 D 为 AB1 的中点即可证明四边形 CMDN 是平行四边形，得 CMDN，再 由直线与平面平行的判定可得 CM平面 AB1N； （）取 BC 的中点为 O，B1C1 的中点为 E，连接 AO，OE，证得 AO平面
36、 BB1C1C以 OB，OE，OA 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，求出 的坐标与平面 AB1N 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得 A1B1与平面 AB1N 所成角的正弦值 【解答】（）证明：连接 DM，DN 在正三棱柱 ABCA1B1C1中，BB1CC1，BB1CC1，且四边形 AA1B1B 是矩形， D 为 AB1 的中点 又M 为 AB 的中点，DMBB1，且 DM BB1 N 为 CC1 的中点，CN CC1， DMCN，且 DMCN， 四边形 CMDN 是平行四边形，得 CMDN， 又 DN平面 AB1N，CM平面 AB1N， CM平面 AB1N； （）解：取
37、 BC 的中点为 O，B1C1 的中点为 E，连接 AO，OE， ABC 为正三角形，AOBC， 又平面 BB1C1C平面 ABC，AO平面 BB1C1C 以 OB，OE，OA 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示 则 A（0，0， ），A 1（0，4， ），B 1（1，4，0），N（1，2，0）， ， ， ， ， ， ， ， ， 设平面 AB1N 的法向量为 ， ， ， 则 ，令 x1，得 ， ， 设 A1B1与平面 AB1N 所成角为 ， 则 sin|cos ， | | A1B1与平面 AB1N 所成角的正弦值为 【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思
38、维能力，训练了利用 空间向量求解空间角，是中档题 20已知圆 C：（x+2）2+y224 与定点 M（2，0），动圆 I 过 M 点且与圆 C 相切， 记动圆圆心 I 的轨迹为曲线 E （）求曲线 E 的方程； （）斜率为 k 的直线 l 过点 M，且与曲线 E 交于 A，B 两点，P 为直线 x3 上的一点， 若ABP 为等边三角形，求直线 l 的方程 【分析】（）设圆 I 的半径为 r，由题意可得|IC|+|IM|2 4 为定值，由椭圆的定义 可得 E 的轨迹为椭圆，且可知 a，c 的值，再由 a，b，c 之间的关系求出椭圆的方程； （） 设直线 l 的方程， 与椭圆联立求出两根之和及两根
39、之积， 求出 AB 的中点 D 的坐标， 进而求出弦长|AB|，可得直线 PQ 的斜率，再由 P 在直线 x3 上，可得|PQ|的长，由 ABP 为等边三角形时，|PQ| |AB|，进而求出 k 的值 解：（）设圆 I 的半径为 r，题意可知，点 I 满足： |IC|2 r，|IM|r， 所以，|IC|+|IM|2 ， 由椭圆定义知点 I 的轨迹是以 C，M 为焦点的椭圆， 所以 a ，c2，b ， 故轨迹 E 方程为： 1； （）直线 l 的方程为 yk（x2）， 联 消去 y 得（1+3k2）x212k2x+12k260 直线 yk（x2）恒过定点（2，0），在椭圆内部，所以0 恒成立，设
40、 A（x1，y1）， B（x2，y2）， 则有 x1+x2 ，x1x2 ， 所以|AB| |x1x2| ， 设 AB 的中点为 Q（x0，y0），则 x0 ，y0 ， 直线 PQ 的斜率为 （由题意知 k0），又 P 为直线 x3 上的一点，所以 xP3， |PQ| |x 0xP| ， 当ABP 为等边三角形时，|PQ| |AB|， 即 ， 解得 k1，即直线 l 的方程为 xy20，或 x+y20 【点评】 本题考查求轨迹方程和直线与椭圆的综合， 及等边三角形的性质， 属于中档题 21设函数 f（x） ，g（x）lnx （）若直线 xm（m0）与曲线 f（x）和 g（x）分别交于点 P 和
41、Q，求|PQ|的最小值； （）设函数 F（x）xf（x）a+g（x），当 a（0，ln2）时，证明：F（x）存在极小 值点 x0，且 （a+lnx0）0 【分析】（）设函数 ，利用导数求出函数 h （x）在定义域上的最小值，即为|PQ|的最小值； （）对函数 求导得 ，分析可知当 ， ，F（x）单调递减；当 x（x0，1），F（x）单调递增，进而得证 x0 是 F（x） 的极小值点， 且 ， ， ， 由此可证 （a+lnx0） 0 解： （） 设函数 ， 则 ， 当 x（0，+）时，ex10， 故当 x（0，1）时，h（x）0，h（x）单调递减， 当 x（1，+）时，h（x）0，h（x）单调递
42、增， h（x）在（0，+）上有最小值 h（1）e1， 当 m1 时，|PQ|的最小值为 e1； （）证明： ，则 ， 因为 ex0，所以 F（x）与 同号 设 ，则 ， 故 t（x）在（0，+）单调递增， 因 a（0，ln2），t（1）a+10， ， 所以存在 ， ，使得 t（x0）0， 当 ， ，F（x）0，F（x）单调递减； 当 x（x0，1），F（x）0，F（x）单调递增； 所以若 a（0，ln2），存在 ， ，使得 x0 是 F（x）的极小值点， 由 t（x0）0 得 ，即 ， 所以 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查转化思想及推理 论证能力，属于中档题 一
43、、选择题 22在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），以坐标原 点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 C 的极坐标方程为 sin28cos （）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （） 已知点M的直角坐标为 （2， 0） ， 直线l和曲线C交于A、 B两点， 求 的值 【分析】（）直接将直线的参数方程中的参数 t 消去，可得直线的普通方程，利用极 坐标方程与直角坐标方程的互化公式可得曲线 C 的直角坐标方程； （）将直线的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程，化为关于 t 的一元二次方程，由 根与系数的关系结合此时 t 的几何
44、意义求解 解：（）将 中参数 t 消去得 xy20， 将 代入 sin 28cos，得 y28x， 直线 l 和曲线 C 的直角坐标方程分别为 xy20 和 y28x； （）将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程，得 ， 设 A、B 两点对应的参数为 t1，t2，则|MA|t1|，|MB|t2 |，且 ，t1t232， 16， 【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是直线参数 方程中此时 t 的几何意义的应用，是中档题 选修 4-5：不等式选讲 23已知 f（x）|2x+a2| （）当 a2 时，求不等式 f（x）+|x1|5 的解集； （）若对于任意实数 x，不等式|2x+3|f（x）
