1、2020 年高考数学模拟试卷（文科）（年高考数学模拟试卷（文科）（5 月份）月份） 一、选择题（共 12 个小题） 1若集合 Mx|2x3，Nx|2x+11，则 MN（ ） A（3，+） B（1，3） C1，3） D（2，1 2若复数 ，则 z 的虚部是（ ） A1 B1 Ci Di 3高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四大发明”，近日对全国 100 个城市的 共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析，其中共享单车使用的人数分别为 x1， x2，x3，x100，它们的平均数为 ，方差为 s2；其中扫码支付使用的人数分别为 2x1+3， 2x2+3，2x3+3，2x100+3，它们的平
2、均数为 ，方差为 s2，则 ，s2分别为（ ） A2 3，2s2+3 B2 ，2s2 C2 3，4s2+3 D2 3，4s2 4明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的孙子口 诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知已知正 整数 n 被 3 除余 2，被 5 除余 3，被 7 除余 4，求 n 的最小值按此口诀的算法如图，则 输出 n 的结果为（ ） A53 B54 C158 D263 5已知| |1，| |6， （ ）2，则向量 与向量 的夹角是（ ） A B C D 6已知等差数列an中，a11，前 10 项的和等于前 5 的和，若 a
3、m+a70，则 m（ ） A10 B9 C8 D2 7函数 ysinx+ln|x|在区间3，3的图象大致为（ ） A B C D 8设 mlog0.30.6，nlog20.6，则（ ） Amnmmm+n Bmnmnm+n Cmnm+nmn Dm+nmnmn 9将函数 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 4 倍（纵坐标不变），再 将所得到的图象向右平移 m（m0）个单位长度，得到函数 g（x）的图象若 g（x）为 偶函数，则 m 的最小值为（ ） A B C D 10对于 R 上可导的任意函数 f（x），若满足（x1）f（x）0，则必有（ ） Af（0）+f（2）2f（1） Bf（0）+f（2）2
4、f（1） Cf（0）+f（2）2f（1） Df（0）+f（2）2f（1） 11已知双曲线 C： 0）的右焦点为 F，O 为坐标原点以 F 为圆心， OF 为半径作圆 F，圆 F 与 C 的渐近线交于异于 O 的 A，B 两点若|AB| |OF|，则 C 的离心率为（ ） A B C D2 12已知函数 ， ， ，若函数 g（x）f（x）ax+2a 存在零 点，则实数 a 的取值范围为（ ） A ， B ， ， C ， D ， ， 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13若曲线 ymx2在点（1，m）处的切线与直线 x4y+50 垂直，则 m 14在区间（1，1）内随机
5、取两个数 m，n，则关于 x 的一元二次方程 有 实数根的概率为 15 在ABC中， 内角A、 B、 C所对的边分别是a、 b、 c， 若 ， 则 C 的大小为 16如图所示，某几何体由底面半径和高均为 3 的圆柱与半径为 3 的半球对接而成，在该封 闭几何体内部放入一个正四棱柱，且正四棱柱的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则 正四棱柱体积的最大值为 三、 解答题： 共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选做题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17等差数列an中，公差 d0，a514，a32a1
6、a11 （1）求an的通项公式； （2）若 bn ，求数列bn的前 n 项和 Sn 18在某市“创全国文明城市”（简称“创文”）活动中，市教育局对本市 A，B，C，D 四所高中学校按各校人数分层抽样，随机抽查了 200 人，将调查情况进行整理后制成如 表： 学校 A B C D 抽查人数 10 15 100 75 “创文”活动中参与的人数 9 10 80 49 假设每名高中学生是否参与“创文”活动是相互独立的 （1）若本市共 8000 名高中学生，估计 C 学校参与“创文”活动的人数； （2）在上表中从 A，B 两校没有参与“创文”活动的同学中随机抽取 2 人，求恰好 A，B 两校各有 1 人
7、没有参与“创文”活动的概率； （3）在随机抽查的 200 名高中学生中，进行文明素养综合素质测评（满分为 100 分）， 得到如上的频率分布直方图，其中 a4b求 a，b 的值，并估计参与测评的学生得分的 中位数（计算结果保留两位小数） 19 如图， 在三棱锥PABC中， PAC为正三角形， M为棱PA的中点， ABAC， AC BC， 平 面 PAB平面 PAC （1）求证：AB平面 PAC； （2）若 AC2，求三棱锥 PBMC 的体积 20已知函数 f（x）（axsinx1） ex（aR），f（x）是其导函数 （）当 a1 时，求 f（x）在 x0 处的切线方程； （）若 a1，证明：f
8、（x）在区间（0，）内至多有 1 个零点 21已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 F1，F2，长轴长为 4，且过点 ， （1）求椭圆 C 的方程； （2）过 F2的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，过 A 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于一点 Q（Q 不 与 A，B 重合）设ABQ 的外心为 G，求证 为定值 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第 一题计分.选修 4-4：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数）以坐标 原点O为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 直线l的极坐标方程为0，（
9、R） （1）求曲线 C 的极坐标方程； （2）设直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 P1，P2，指出 0的范围，并求 的 取值范围 选修 4-5：不等式选讲 23已知 a，b，c 为正数，且满足 a+b+c3 （1）证明： （2）证明：9ab+bc+4ac12abc 参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1若集合 Mx|2x3，Nx|2x+11，则 MN（ ） A（3，+） B（1，3） C1，3） D（2，1 【分析】化简集合 M、N，再利用两个集合的交集的定义，求出 MN 解：集合 Nx|2x+11x
10、|2x+120x|x+10x|x1， 集合 Mx|2x3， MNx|2x3x|x1x|1x3， 故选：C 【点评】 本题主要考查指数函数和特殊点， 两个集合的交集的定义和求法， 属于中档题 2若复数 ，则 z 的虚部是（ ） A1 B1 Ci Di 【分析】先求分子中复数的模，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 解： ， z 的虚部是1 故选：A 【点评】 本题考查复数代数形式的乘除运算， 考查复数的基本概念， 考查复数模的求法， 是基础题 3高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四大发明”，近日对全国 100 个城市的 共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析，其中共享单车使用的人数
11、分别为 x1， x2，x3，x100，它们的平均数为 ，方差为 s2；其中扫码支付使用的人数分别为 2x1+3， 2x2+3，2x3+3，2x100+3，它们的平均数为 ，方差为 s2，则 ，s2分别为（ ） A2 3，2s2+3 B2 ，2s2 C2 3，4s2+3 D2 3，4s2 【分析】利用平均数、方差的性质直接求解 解：共享单车使用的人数分别为 x1，x2，x3，x100，它们的平均数为 ，方差为 s2， 扫码支付使用的人数分别为 2x1+3，2x2+3，2x3+3，2x100+3， 它们的平均数为 ，方差为 s2， 则 ，s24s2 故选：D 【点评】本题考查平均数、方差的求法，考
12、查平均数、方差的性质性质等基础知识，考 查运算求解能力，是基础题 4明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的孙子口 诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知已知正 整数 n 被 3 除余 2，被 5 除余 3，被 7 除余 4，求 n 的最小值按此口诀的算法如图，则 输出 n 的结果为（ ） A53 B54 C158 D263 【分析】 【法一】根据正整数 n 被 3 除余 2，被 5 除余 3，被 7 除余 4，求出 n 的最小值 【法二】按此歌诀得算法的程序框图，按程序框图知 n 的初值，代入循环结构求得 n 的 值 解：【法一】正整数
13、 n 被 3 除余 2，得 n3k+2，kN； 被 5 除余 3，得 n5l+3，lN； 被 7 除余 4，得 n7m+4，mN； 求得 n 的最小值是 53 【法二】按此歌诀得算法如图， 则输出 n 的结果为 按程序框图知 n 的初值为 263，代入循环结构得 n26310510553， 即输出 n 值为 53 故选：A 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，也考查了古代数学的应用问题，是基础题 5已知| |1，| |6， （ ）2，则向量 与向量 的夹角是（ ） A B C D 【分析】利用向量的运算法则及向量模的平方即是向量的平方求出 ，再利用向量的 数量积公式求出向量的夹角余弦，求出向
14、量夹角 解： 2 又 ， 3 即 cosa，b316cosa，b， 得 cosa，b ， a 与 b 的夹角为 ， 故选：C 【点评】 本题考查向量的运算律； 向量模的性质； 利用向量的数量积公式求向量的夹角 6已知等差数列an中，a11，前 10 项的和等于前 5 的和，若 am+a70，则 m（ ） A10 B9 C8 D2 【分析】设等差数列an的公差为 d，a11，前 10 项的和等于前 5 的和，am+a70，利 用通项公式与求和公式即可得出 解：设等差数列an的公差为 d，a11，前 10 项的和等于前 5 的和，am+a70， 则 10+45d5+10d，2+（m+5）d0， 解
15、得 m9 故选：B 【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属 于基础题 7函数 ysinx+ln|x|在区间3，3的图象大致为（ ） A B C D 【分析】判断 f（x）的奇偶性，在（0，1）上的单调性，计算 f（1），结合选项即可得 出答案 解：设 f（x）sinx+ln|x|， 当 x0 时，f（x）sinx+lnx，f（x）cosx ， 当 x（0，1）时，f（x）0，即 f（x）在（0，1）上单调递增，排除 B； 又当 x1 时，f（1）sin10，排除 D； f（x）sin（x）+ln|x|sinx+ln|x|f（x）， f（x）既不是奇函数，也
16、不是偶函数，排除 C； 故选：A 【点评】本题考查了函数图象判断，一般从奇偶性，单调性，特殊点等方面进行判断， 属于中档题 8设 mlog0.30.6，nlog20.6，则（ ） Amnmmm+n Bmnmnm+n Cmnm+nmn Dm+nmnmn 【分析】先判断 m0，n0，mn0，再求出 ， 的取值或范围，即可得到 所求大小关系 解：mlog0.30.6（0，1），nlog20.6（1，0），可得 mn0， log0.60.3+log0.62log0.60.61， log0.62log0.60.3log0.6 0， 可得 1， 即为 mnm+nmn， 故选：C 【点评】 本题考查对数的换
17、底公式的运用， 考查化简变形能力和运算能力， 属于基础题 9将函数 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 4 倍（纵坐标不变），再 将所得到的图象向右平移 m（m0）个单位长度，得到函数 g（x）的图象若 g（x）为 偶函数，则 m 的最小值为（ ） A B C D 【分析】由题意利用函数 yAsin（x+）的图象变换规律得到 g（x）的解析式，再根 据三角函数的图象的奇偶性，求得 m 的最小值 解： 将函数 的图象上各点的横坐标伸长到原米的 4 倍 （纵坐标不变） ， 可得 ysin（ ）的图象； 再将所得到的图象向右平移 m （m0） 个单位长度， 得到函数 g （x） sin （ ） 的图
18、象 若 g（x）为偶函数，则 k ，kZ， 令 k1，可得 m 的最小值为 ， 故选：D 【点评】本题主要考查函数 yAsin（x+）的图象变换规律，三角函数的图象的奇偶 性，属于基础题 10对于 R 上可导的任意函数 f（x），若满足（x1）f（x）0，则必有（ ） Af（0）+f（2）2f（1） Bf（0）+f（2）2f（1） Cf（0）+f（2）2f（1） Df（0）+f（2）2f（1） 【分析】对 x 分段讨论，解不等式求出 f（x）的符号，判断出 f（x）的单调性，利用 函数的单调性比较出函数值 f（0），f（2）与 f（1）的大小关系，利用不等式的性质得 到选项 解：（x1）f（x
19、）0， x1 时，f（x）0；x1 时，f（x）0， f（x）在（1，+）为减函数；在（，1）上为增函数， f（0）f（1） f（2）f（1） f（0）+f（2）2f（1）， 故选：B 【点评】利用导函数的符号能判断函数的单调性，当导函数大于 0 则函数递增；当导函 数小于 0 则函数单调递减 11已知双曲线 C： 0）的右焦点为 F，O 为坐标原点以 F 为圆心， OF 为半径作圆 F，圆 F 与 C 的渐近线交于异于 O 的 A，B 两点若|AB| |OF|，则 C 的离心率为（ ） A B C D2 【分析】连接 NF，设 AB 交 x 轴于点 M，根据双曲线渐近线方程结合图形的对称性，
20、求 出 A 的坐标，再由|AF|c 在 RtAMF 中利用勾股定理建立关于 a、b、c 的关系式，化 简整理可得该双曲线的离心率 解：连接 AF，设 AB 交 x 轴于点 M， F 中，A、B 关于 OF 对称， AMF90且|AM| |AB| ， 设 A（m， ），可得 m，得 m ， RtAMF 中，|MF|cm ， 由|MF|2+|MA|2|AF|2，得（ ）2+（ ）2c2 化简整理，得 b a，可得 c24a2， 故双曲线 C 的离心率 e 2 故选：D 【点评】本题给出以双曲线右焦点 F 为圆心的圆过坐标原点，在已知圆 F 被两条渐近线 截得弦长的情况下求双曲线的离心率，着重考查了
21、双曲线的标准方程与简单几何性质、 直线与圆的位置关系等知识，属于基础题 12已知函数 ， ， ，若函数 g（x）f（x）ax+2a 存在零 点，则实数 a 的取值范围为（ ） A ， B ， ， C ， D ， ， 【分析】函数 g（x）f（x）ax+2a 存在零点，即方程 f（x）ax2a 存在实数根， 即函数 yf（x）与 ya（x2）的图象有交点，画出函数图象，利用数形结合法结合导 数的几何意义，即可得到结果 解：函数 g（x）f（x）ax+2a 存在零点，即方程 f（x）ax2a 存在实数根，即函 数 yf（x）与 ya（x2）的图象有交点， 如图所示： 直线 ya（x2）恒过定点（2
22、，0）， 过点（2，1）和点（2，0）的直线的斜率 k ， 设直线 ya（x2）与 yex相切于点（x0，e ）， 则切点处的导数值为 ， 则过切点的直线方程为：ye e （xx0）， 又切线过点（2，0），则e e （2x0），x03， 此时切线的斜率为：e3， 由图可知， 要使函数g （x） f （x） ax+2a存在零点， 则实数a的取值范围为： a 或ae 3 ， 故选：B 【点评】本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，以及导数的几何意义，是中档 题 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13若曲线 ymx2在点（1，m）处的切线与直线 x4y+50 垂直，
23、则 m 2 【分析】求得 ymx2的导数，代入 x1 可得切线的斜率，再由两直线垂直的条件，可 得 m 的方程，解方程可得 m 的值 解：ymx2的导数为 y2mx， 可得曲线 ymx2在点（1，m）处的切线斜率为 k2m， 而切线与直线 x4y+50 垂直，可得 2m 1，解得 m2 故答案为：2 【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，同时考查两直线垂直的条件，考查方程 思想和运算能力，属于基础题 14在区间（1，1）内随机取两个数 m，n，则关于 x 的一元二次方程 有 实数根的概率为 【分析】由关于 x 的方程 x2 x+m0 有实数根，可得 n4m，试验的全部结果所构成 的区域为（
24、m，n）| ，然后利用面积比得答案 解：如下图所示：试验的全部结果所构成的区域为（m，n）| （图中矩形所 示），其面积为 4 构成事件 “关于 x 的一元二次方程 x2 x+m0 有实根” 的区域为 （m， n） | （如图阴影所示） 其中点 F（ ，1），E（ ，1）； SAEFD （ ）（1）+（1 ）22 所求的概率为 P ， 故答案为： 【点评】本题主要考查几何概型的求解，几何概型的概率估算公式中的“几何度量”， 可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状 和位置无关解决的步骤均为： 求出满足条件 A 的基本事件对应的 “几何度量”N（A）， 再求出
25、总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据 P 求解，是中档题 15 在ABC中， 内角A、 B、 C所对的边分别是a、 b、 c， 若 ， 则 C 的大小为 【分析】由已知及正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式可得 tanC ，结合 范围 C（0，），可求 C 的值 解： ， 由正弦定理可得： 2 sinC， 由余弦定理可得：cosC ，可得：cosC sinC， tanC ， C（0，）， C 故答案为： 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，特殊角的三 角函数值在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题 16如图所示，某几何体由底面半径和高均为 3
26、的圆柱与半径为 3 的半球对接而成，在该封 闭几何体内部放入一个正四棱柱，且正四棱柱的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则 正四棱柱体积的最大值为 64 【分析】设正四棱柱底面对角线长的一半为 3cos，则高为 3+3sin，（0， ）写出 正四棱柱的体积，换元后再由导数求最值 解：如图，设正四棱柱底面对角线长的一半为 3cos，则高为 3+3sin，（0， ） 则底面边长为 cos 正四棱柱的体积 V18cos2（3+3sin）， 设 sint，t（0，1），则 V54（t3t2+t+1）， V54（3t+1）（t+1）， 当 t 时函数求得极大值，也是最大值 当 t 时，正方体体积取最大值为
27、 故答案为：64 【点评】本题考查多面体体积的最大值的求法，考查空间想象能力，训练了利用导数求 最值，是中档题 三、 解答题： 共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选做题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17等差数列an中，公差 d0，a514，a32a1a11 （1）求an的通项公式； （2）若 bn ，求数列bn的前 n 项和 Sn 【分析】（1）利用已知条件求出数列的首项与公差，然后求解等差数列的通项公式 （2）化简数列的通项公式，利用裂项消项法求解数列的和即可 解：（1）an是等差数列
28、，公差 d0，a514， ， 可得 a1+4d14，（a1+2d）2a1（a1+10d），解得 a12，d3， 所以an的通项公式；ana1+（n1）d3n1； （2）bn （ ）， 数列bn的前 n 项和 Sn 【点评】本题考查数列求和，数列的应用，（1）问考查等差数列的定义和通项公式；第 （2）问考查裂项求和，题目整体难度不大 18在某市“创全国文明城市”（简称“创文”）活动中，市教育局对本市 A，B，C，D 四所高中学校按各校人数分层抽样，随机抽查了 200 人，将调查情况进行整理后制成如 表： 学校 A B C D 抽查人数 10 15 100 75 “创文”活动中参与的人数 9 10
29、 80 49 假设每名高中学生是否参与“创文”活动是相互独立的 （1）若本市共 8000 名高中学生，估计 C 学校参与“创文”活动的人数； （2）在上表中从 A，B 两校没有参与“创文”活动的同学中随机抽取 2 人，求恰好 A，B 两校各有 1 人没有参与“创文”活动的概率； （3）在随机抽查的 200 名高中学生中，进行文明素养综合素质测评（满分为 100 分）， 得到如上的频率分布直方图，其中 a4b求 a，b 的值，并估计参与测评的学生得分的 中位数（计算结果保留两位小数） 【分析】（1）由分层抽样的性质求出 C 学校高中生的总人数和 C 学校参与“创文”活 动的人数 （2）A 校没有
30、参与“创城”活动的这 1 人记为 A1，B 校没有参与“创文”活动的这 5 人 分别记为 B1，B2，B3，B4，B5，任取 2 人，利用列举法能求出恰好 A，B 两校各有 1 人没 有参与“创文”活动的概率 （3）利用频率分布直方图的性质能求出中位数 解：（1）C 学校高中生的总人数为 ， C 学校参与“创文”活动的人数为 （2）A 校没有参与“创城”活动的这 1 人记为 A1， B 校没有参与“创文”活动的这 5 人分别记为 B1，B2，B3，B4，B5， 任取 2 人共 15 种情况，如下： A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A1B5，B1B2，B1B3，B1B4， B1B5，B2
31、B3，B2B4，B2B5，B3B4，B3B5，B4B5，这 15 种情况发生的可能性是相等的 设事件 N 为抽取 2 人中 A，B 两校各有 1 人没有参与“创文”活动， 有 A1B1，A1B2，A1B3A1，A1B4，A1B5，共 5 种情况 则 故恰好 A，B 两校各有 1 人没有参与“创文”活动的概率为 （3）依题意，（a+0.008+0.035+0.027+b）101，所以 a+b0.03 又 a4b，所以 a0.024，b0.006， 因为 0.08+0.240.5，0.08+0.24+0.350.5，所以中位数在第三组， 所以中位数为 【点评】本题考查频数、概率、中位数的求法，考查
32、频率分布直方图、分层抽样、古典 概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 19 如图， 在三棱锥PABC中， PAC为正三角形， M为棱PA的中点， ABAC， AC BC， 平 面 PAB平面 PAC （1）求证：AB平面 PAC； （2）若 AC2，求三棱锥 PBMC 的体积 【分析】（1）由已知证明 CMAB，结合 ABAC，利用线面垂直的判定可得 AB平面 PAC； （2）由已知求得 AB，再由等积法求三棱锥 PBMC 的体积 【解答】（1）证明：在正三角形 PAC 中，M 为棱 PA 的中点，CMPA， 平面 PAB平面 PAC，平面 PAB平面 PACPA，CM平面 PAC， C
33、M平面 PAB，得 CMAB， 又 ABAC，ACCMC，AB平面 PAC； （2）解：在 RtBAC 中，AC2，AC BC， BC4，则 AB ， 【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用 等积法求多面体的体积，是中档题 20已知函数 f（x）（axsinx1） ex（a一、选择题），f（x）是其导函数 （）当 a1 时，求 f（x）在 x0 处的切线方程； （）若 a1，证明：f（x）在区间（0，）内至多有 1 个零点 【分析】（I）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线 方程； （II）先求出 f（x），然后结合导数判断函数
34、的单调性，结合零点判定定理即可求解 解：（I）当 a1 时，f（x）（xsinxcosx）ex，则 f（0）1， 又 f（0）1， 则 f（x）在 x0 处的切线方程为：y+1x 即 x+y+10 （）f（x）（axsinxcosx+a1）ex， 设 g（x）axsinxcosx+a1， g（x）acosx+sinx ， 因 x（0，），故 ， ， 又 a1，故 g（x）0 对 x（0，）恒成立，即 g（x）在区间（0，）单调递增； 又 g（0）a2，g（）a（+1）0； 故当 1a2 时，g（0）a20，此时 f（x）在区间（0，）内恰好有 1 个零点 当 a2 时，g（0）a20，此时 f
35、（x）在在区间（0，）内没有零点； 综上结论得证 【点评】本题主要考查了导数的几何意义及利用导数判断函数的零点个数，体现了分类 讨论思想的应用 21已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 F1，F2，长轴长为 4，且过点 ， （1）求椭圆 C 的方程； （2）过 F2的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，过 A 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于一点 Q（Q 不 与 A，B 重合）设ABQ 的外心为 G，求证 为定值 【分析】（1）根据 a2，利用待定系数法求得 b 的值，求得椭圆方程； （2）设直线 AB 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求得|AB|，求得 AB 的 垂直平分线的方程，
36、求得 G 点坐标，求得|GF2|，即可求得 为定值 解：（1）由题意知 a2， 将 P 点坐标代入椭圆 ： ，得 ，解得 ， 所以椭圆方程为 ； （2）证明：由题意知，直线 AB 的斜率存在，且不为 0，设直线 AB 为 xmy+1， 代入椭圆方程得（3m2+4）y2+6my90， 设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 y1+y2 ，y1y2 ， 所以 AB 的中点坐标为 ， ， 所以 因为 G 是ABQ 的外心，所以 G 是线段 AB 的垂直平分线与线段 AQ 的垂直平分线的交 点， AB 的垂直平分线方程为 ， 令 y0，得 ，即 ， ， 所以 ， 所以 ，所以 为定值，定值为 4
37、【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式 的应用，考查转化思想，计算能力，属于中档题 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第 一题计分.选修 4-4：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数）以坐标 原点O为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 直线l的极坐标方程为0，（R） （1）求曲线 C 的极坐标方程； （2）设直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 P1，P2，指出 0的范围，并求 的 取值范围 【分析】 （1） 直接利用转换关系， 把参数方程极坐标方
38、程和直角坐标方程之间进行转换 （2） 直接利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦 型函数的性质的应用求出结果 解：（1）将曲线 C 的参数方程为 （ 为参数），消去参数 ， 得 将 xcos 及 ysin 代入上式，得 （2）依题意由知 ， 将 0代入曲线 的极坐标方程，得 设 P1（1，0），P2（2，0）， 则 ， 123 所以 因为 ， ， 所以 ， ， 则 ， ， 所以 的取值范围为 ， 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元 二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应 用，主要考查学
39、生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 选修 4-5：不等式选讲 23已知 a，b，c 为正数，且满足 a+b+c3 （1）证明： （2）证明：9ab+bc+4ac12abc 【分析】（1）根据基本不等式，借助综合法即可证明， （2）方法一：利用分析法，根据基本不等式即可证明， 方法一：利用分析法，根据柯西不等式即可证明 【解答】证明：（1）a，b，c 为正数， a+b2 ，a+c2 ，b+c2 ， 2（a+b+c）2 2 2 ， 当且仅当 abc1 时取等号， （2）方法一：要证 9ab+bc+4ac12abc， 只需证 12， 即证（ ）（a+b+c）36， 即证 1+4+9 36， 即证 22， 因为 2 4， 2 6， 2 12， 22， 当且仅当 a ，b1，c 取等号， 从而 9ab+bc+4ac12abc 方法二：要证 9ab+bc+4ac12abc， 只需证 12， 即证（ ）（a+b+c）36， 根据柯西不等式可得（ ）（a+b+c）（ ）2 （1+2+3）236， 当且仅当 a ，b1，c 取等号 从而 9ab+bc+4ac12abc 【点评】本题考查了不等式的证明，考查了转化思想，属于中档题
