1、2020 年高考数学模拟试卷（理科）（5 月份） 一、选择题（共 12 个小题） 1 的共轭复数为（ ） A B C D 2若集合 Ax| ，Bx| ，则 AB（ ） A1，+） B2，11，+） C2，+） D2，12，+） 3设向量 （1，2）， （2，4），则（ ） A B 与 同向 C 与 反向 D （ ）是单位向量 4已知椭圆 C： （ab0）经过点（1， b），且 C 的离心率为 ，则 C 的 方程是（ ） A B C D 5在四面体 ABCD 中，E，F 分别为棱 AC，BD 的中点 AD6，BC4，EF ，则异面 直线 AD 与 BC 所成角的余弦值为（ ） A B C D 6
2、（a+x2）（1+x）n的展开式中各项系数之和为 192，且常数项为 2，则该展开式中 x4的系 数为（ ） A30 B45 C60 D81 7a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边已知 a（sinA+9sinB）12sinA，sinC ， 则ABC 的面积的最大值为（ ） A1 B C D 8设t表示不大于 t 的最大整数执行如图所示的程序框图，则输出的 x（ ） A2 B3 C4 D5 9 在某公司的两次投标工作中， 每次中标可以获利 14 万元， 没有中标损失成本费 8000 元 若 每次中标的概率为 0.7，每次投标相互独立，设公司这两次投标盈利为 X 万元，则 EX （
3、） A18.12 B18.22 C19.12 D19.22 10若 （0，2），则满足 的所有 的和为（ ） A B2 C D 11设 x，y 满足约束条件 ，且该约束条件表示的平面区域 为三角形 现有下述四个结论： 若 x+y 的最大值为 6，则 m5；若 m3，则曲线 y4x1 与 有公共点； m 的取值范围为（ ，+）；“m3”是“x+y 的最大值大于 3”的充要条件 其中所有正确结论的编号是（ ） A B C D 12 已知函数 f （x+1） 是定义在 R 上的奇函数， 当 x1 时， 函数 f （x） 单调递增， 则 （ ） A B C D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题
4、5 分，共 20 分把答案填在答题卡的相应位置 13若曲线 关于点（2，0）对称则 14若双曲线 （2m2）上一点到 A（2，0），B（2，0）两点的距 离之差的绝对值为 ，则双曲线的虚轴长为 15 如图， 实心铁制几何体AEFCBD由一个直三棱柱与一个三棱锥构成， 已知BCEFcm， AE2cm，BECF4cm，AD7cm，且 AEEF，AD底面 AEF某工厂要将其铸成 一个实心铁球， 假设在铸球过程中原材料将损耗 20%， 则铸得的铁球的半径为 cm 16 已知函数 f （x） x （x516x2+x4） ， 且 f （x） f （x0） 对 xR恒成立， 则曲线 在点 （x0， ）处的切
5、线的斜率为 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤.1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22，23 题为选考题，考生根据要求作 答（一）必考题：共 60 分 17某外卖平台为提高外卖配送效率，针对外卖配送业务提出了两种新的配送方案，为比较 两种配送方案的效率，共选取 50 名外卖骑手，并将他们随机分成两组，每组 25 人，第 一组骑手用甲配送方案，第二组骑手用乙配送方案根据骑手在相同时间内完成配送订 单的数量（单位：单）绘制了如图茎叶图： （1）根据茎叶图，求各组内 25 位骑手完成订单数的中位数，已知用甲配送方案的 25 位 骑
6、手完成订单数的平均数为 52，结合中位数与平均数判断哪种配送方案的效率更高，并 说明理由； （2）设所有 50 名骑手在相同时间内完成订单数的平均数 m，将完成订单数超过 m 记为 “优秀”，不超过 m 记为“一般”，然后将骑手的对应人数填入如表列联表； 优秀 一般 甲配送方案 乙配送方案 （3）根据（2）中的列联表，判断能否有 95%的把握认为两种配送方案的效率有差异 附： ，其中 na+b+c+d P（K2k） 0.05 0.010 0.005 k 3.841 6.635 7.879 18在递增的等比数列an中，a316a2+a468Sn为等差数列bn的前 n 项和，b1a1， S2a2
7、（1）求an，bn的通项公式； （2）求数列 的前 n 项和 Tn 19如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，ADBC，ADCD，且 ADCD， ABC45 （1）证明：ACPB （2） 若AD PA， 试在棱PB上确定一点M， 使DM与平面PAB所成角的正弦值为 20已知 F（0，1）为抛物线 C：ymx2的焦点 （1）设 ， ，动点 P 在 C 上运动，证明：|PA|+|PF|6 （2）如图，直线 l：y x+t 与 C 交于 M，N 两点（M 在第一象限，N 在第二象限），分 别过 M，N 作 l 的垂线，这两条垂线与 y 轴的交点分别为 D，E，求|DE|的取值范围 21
8、已知函数 f（x）x2+（m2）xmlnx （1）讨论 f（x）的极值点的个数； （2）设函数 ，P，Q 为曲线 yf（x）g（x）上任意两个不同的点， 设直线 PQ 的斜率为 k，若 km 恒成立，求 m 的取值范围 （二）选考题：共 10 分.请考生从第 22，23 两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第 一个题目计分.选修 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 直线 l 的极坐标方程为 （1）求曲线 C 和直线 l 的直角坐标方程； （2）直线 l 与 y 轴的交点为 P
9、，经过点 P 的动直线 l与曲线 C 交于 M，N 两点，求|PM| |PN|的最大值 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x4|+|x1|kx1 （1）若 k2，求不等式 f（x）0 的解集； （2）若方程 f（x）0 有实数根，求 k 的取值范围 参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1 的共轭复数为（ ） A B C D 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案 解： ， 的共轭复数为 故选：B 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题
10、 2若集合 Ax| ，Bx| ，则 AB（ ） A1，+） B2，11，+） C2，+） D2，12，+） 【分析】求出集合 A，B，由此能求出 AB 解：集合 Ax| x|x2， Bx| x|x1 或 x1， 则 AB2，11，+） 故选：B 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 3设向量 （1，2）， （2，4），则（ ） A B 与 同向 C 与 反向 D （ ）是单位向量 【分析】根据向量 ， 的坐标即可得出 ，从而得出 ， 反向，并可得出 ，从而得出正确的选项 解： ， ， ， ， ， 与 反向， ， ， ，即 不是单位向量 故选：C 【点
11、评】本题考查了共线向量基本定理，向量数乘的几何意义，单位向量的定义，考查 了计算能力，属于基础题 4已知椭圆 C： （ab0）经过点（1， b），且 C 的离心率为 ，则 C 的 方程是（ ） A B C D 【分析】把点的坐标代入椭圆方程，同时利用离心率 ，可建 立关于 a 和 b 的方程组，解之即可 解：由题可知， ，解得 ， 椭圆的方程为 故选：A 【点评】本题考查椭圆的标准方程与性质，考查学生的运算能力，属于基础题 5在四面体 ABCD 中，E，F 分别为棱 AC，BD 的中点 AD6，BC4，EF ，则异面 直线 AD 与 BC 所成角的余弦值为（ ） A B C D 【分析】 如图
12、所示， 取 CD 的中点， 连接 EG， FG， 利用三角形中位线定理可得 FGBC， EGAD可得EGF 为异面直线 AD 与 BC 所成角或补角，再利用余弦定理即可得出 解：如图所示，取 CD 的中点，连接 EG，FG，则 FGBC，EGAD 则EGF 为异面直线 AD 与 BC 所成角或补角， FG BC2，EG AD3， cosEGF 异面直线 AD 与 BC 所成角的余弦值为 故选：D 【点评】本题考查了三角形中位线定理、异面直线所成的角、余弦定理，考查了推理能 力与计算能力，属于基础题 6（a+x2）（1+x）n的展开式中各项系数之和为 192，且常数项为 2，则该展开式中 x4的
13、系 数为（ ） A30 B45 C60 D81 【分析】由题意先求出 a 和 n 的值，再把（1+x）n按照二项式定理展开，可得（a+x2） （1+x）n的展开式中 x4的系数 解：令 x1，可得（a+x2）（1+x）n的展开式中各项系数之和为（a+1） 2n192，且 常数项为 a2， 3 2n192，n6 （a+x2）（1+x）n（2+x2）（1+x）6（2+x2）（1+6x+15x2+20x3+15x4+6x5+x6）， 则该展开式中 x4的系数为 215+1545， 故选：B 【点评】 本题主要考查二项式定理的应用， 二项展开式的通项公式， 二项式系数的性质， 属于基础题 7a，b，c
14、 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边已知 a（sinA+9sinB）12sinA，sinC ， 则ABC 的面积的最大值为（ ） A1 B C D 【分析】由已知利用正弦定理可得（a+9b）12，进而根据基本不等式可求 ab4，从 而根据三角形的面积公式即可求解 解：a（sinA+9sinB）12sinA， a（a+9b）12a， 又 a0， a+9b122 ，则可得 ab4， ABC 的面积的最大值为 故选：D 【点评】本题主要考查了正弦定理的应用与基本不等式的应用，考查推理论证能力，属 于基础题 8设t表示不大于 t 的最大整数执行如图所示的程序框图，则输出的 x（ ） A2 B3 C
15、4 D5 【分析】模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的 x 值 解：模拟程序的运行过程，如下； x1，t100，t100； x2，t50，t50； x3，t ，t16； x4，t ，t4； 所以输出的 x4 故选：C 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题 9 在某公司的两次投标工作中， 每次中标可以获利 14 万元， 没有中标损失成本费 8000 元 若 每次中标的概率为 0.7，每次投标相互独立，设公司这两次投标盈利为 X 万元，则 EX （ ） A18.12 B18.22 C19.12 D19.22 【分析】由题意得 X 的可能取值为 28，13.2
16、，1.6，分别求出相应的概率，由此能求出 E（X） 解：由题意得 X 的可能取值为 28，13.2，1.6， P（X28）0.720.49， P（X13.2）20.70.30.42， P（X1.6）0.320.09， E（X）280.49+13.20.421.60.0919.32 故选：C 【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式 等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 10若 （0，2），则满足 的所有 的和为（ ） A B2 C D 【分析】由题意化简等式求出 的值，再求和即可 解：由 ， 所以 4（sincos） ， sincos0 或 4sincos
17、1， 即 tan1，或 sin2 ； 因为 （0，2）， 所以 ，或 ， ， ， ， ； 所以满足条件的所有 的和为 故选：D 【点评】本题考查了三角函数的化简与求值问题，也考查了运算求解能力，是基础题 11设 x，y 满足约束条件 ，且该约束条件表示的平面区域 为三角形 现有下述四个结论： 若 x+y 的最大值为 6，则 m5；若 m3，则曲线 y4x1 与 有公共点； m 的取值范围为（ ，+）；“m3”是“x+y 的最大值大于 3”的充要条件 其中所有正确结论的编号是（ ） A B C D 【分析】 画出可行域， 求出 m 的范围， 利用线性规划的知识， 判断公共选项的正误即可 解：作出
18、 x，y 满足约束条件 ，且该约束条件表示的平面区域 为三角 形， 联立 ， 解得 ， 因为 为三角形区域， 所以 ， 可 得 m ，所以正确； 当直线 zx+y 经过可行域的 A（m2，m1）时，zx+y 取得最大值，并且最大值为 2m3，所以错误；正确； 当 m3 时，A（1，2）当 x1 时，函数 y4x1 的值为 32，则曲线 y4x1 与 有 公共点，所以正确； 故选：B 【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合思想以及逻辑推理的核心素养 12 已知函数 f （x+1） 是定义在 R 上的奇函数， 当 x1 时， 函数 f （x） 单调递增， 则 （ ） A B C D 【分
19、析】易知，f（x）关于（1，0）对称，且 f（1）0，因为当 x1 时，函数 f（x）单 调递增，则 f（x）在1，+）递增，且 f（x）0，所以 x1 时，f（x）与 f2（x）同号， 大小一致然后将 x1 时的函数值，根据对称性转化为 x1 时的函数值，利用单调性 比较即可 解：根据题意，函数 f（x+1）是定义在 R 上的奇函数，则函数 f（x）的图象关于点（1， 0）对称，且 f（1）0， 当 x1 时，函数 f（x）单调递增，则 f（x）在1，+）上单调递增，且 f（x）f（1） 0， 所以 x1 时， f2（x） 与 f （x） 同号， 且 f2（x） f2（2x） ， ， 所以只
20、 需比较 x1 时，f（x）的大小关系即可 因为：|2log43|2log43log4 ， ； ， 又 ， 故 ， 则有 故选：A 【点评】本题考查函数的对称性与单调性的综合应用，注意分析函数在1，+）上的单 调性以及 f（x）与 f2（x）大小关系的一致性，属于中档题 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡的相应位置 13若曲线 关于点（2，0）对称则 【分析】直接利用正弦型函数性质的应用求出结果 解：函数 关于（2，0）对称， 所以 （kZ），解得 （kZ）， 由于 ， 所以 故答案为： 【点评】 本题考查的知识要点： 三角函数关系式的恒等变换， 正弦
21、型函数的性质的应用， 主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 14若双曲线 （2m2）上一点到 A（2，0），B（2，0）两点的距 离之差的绝对值为 ，则双曲线的虚轴长为 2 【分析】 由题意可得双曲线的 c， 再由题意求出 a， 再由 a， b， c 之间的关系求出 b 的值， 进而求出虚轴长 解：由双曲线的定义可得 c2m+2+2m4，所以可得 A，B 两点为双曲线的焦点， 由双曲线的定义可得 2a2 ，解得 a ，所以 b2c2a2431，所以 b1， 所以虚轴长为 2， 故答案为：2 【点评】本题考查双曲线的定义与性质，考查推理论证能力及运算求解能力，属于基础 题 1
22、5 如图， 实心铁制几何体AEFCBD由一个直三棱柱与一个三棱锥构成， 已知BCEFcm， AE2cm，BECF4cm，AD7cm，且 AEEF，AD底面 AEF某工厂要将其铸成 一个实心铁球， 假设在铸球过程中原材料将损耗 20%， 则铸得的铁球的半径为 cm 【分析】设出球的半径，利用几何体的体积与球的体积相等，转化求解球的半径即可 解：设铸得的铁球的半径为 rcm， 由题意可得几何体的体积为： 5 可得：5（120%） ， 解得：r 故答案为： 【点评】本题考查简单几何体的体积，考查运算求解能力与应用意识 16 已知函数 f （x） x （x516x2+x4） ， 且 f （x） f （
23、x0） 对 xR恒成立， 则曲线 在点 （x0， ）处的切线的斜率为 17 【分析】由已知结合导数可求 x0，然后结合导数的几何意义即可求解 解：因为 f（x）x（x516x2+x4）x616x3+x24x（x38）2（x2）268， 当 x2 时，函数取得最小值即 x02， （ ）5x432x+1， 则曲线 在点（x0， ）处的切线的斜率 k524322+117 故答案为：17 【点评】本题主要考查了导数的几何意义及最值的求解，考查了推理与论证的能力 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤.1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 2
24、2，23 题为选考题，考生根据要求作 答（一）必考题：共 60 分 17某外卖平台为提高外卖配送效率，针对外卖配送业务提出了两种新的配送方案，为比较 两种配送方案的效率，共选取 50 名外卖骑手，并将他们随机分成两组，每组 25 人，第 一组骑手用甲配送方案，第二组骑手用乙配送方案根据骑手在相同时间内完成配送订 单的数量（单位：单）绘制了如图茎叶图： （1）根据茎叶图，求各组内 25 位骑手完成订单数的中位数，已知用甲配送方案的 25 位 骑手完成订单数的平均数为 52，结合中位数与平均数判断哪种配送方案的效率更高，并 说明理由； （2）设所有 50 名骑手在相同时间内完成订单数的平均数 m，
25、将完成订单数超过 m 记为 “优秀”，不超过 m 记为“一般”，然后将骑手的对应人数填入如表列联表； 优秀 一般 甲配送方案 乙配送方案 （3）根据（2）中的列联表，判断能否有 95%的把握认为两种配送方案的效率有差异 附： ，其中 na+b+c+d P（K2k） 0.05 0.010 0.005 k 3.841 6.635 7.879 【分析】（1）利用茎叶图即可求出各组内 25 位骑手完成订单数的中位数，用乙配送方 案的骑手完成外卖订单数的平均数为 49，且 4952，所以甲配送方案的效率更高； （2）先利用茎叶图求出 m 的值，再根据题目所给的数据填写 22 列联表即可； （2）计算 K
26、 的观测值 K2，对照题目中的表格，得出统计结论 解： （1）用甲配送方案的骑手完成外卖订单数的中位数为 53，用乙配送方案的骑手完成 外卖订单数的中位数为 49， 因为用乙配送方案的骑手完成外卖订单数的平均数为 49，且 4952， 所以，甲配送方案的效率更高； （2）由茎叶图知 m 50.5， 列联表如下： 优秀 一般 总计 甲配送方案 17 8 25 乙配送方案 9 16 25 总计 26 24 50 （3）因为 K2 5.133.841， 所以有 95%的把握认为两种配送方案的效率有差异 【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，考查了平均值和中位数的求法，也考查了 计算能力的应用问题，
27、是基础题目 18在递增的等比数列an中，a316a2+a468Sn为等差数列bn的前 n 项和，b1a1， S2a2 （1）求an，bn的通项公式； （2）求数列 的前 n 项和 Tn 【分析】本题第（1）题先设等比数列an的公比为 q，然后根据 a316a2+a468 列出 算式进行转化计算并解出 q 的值，主要排除不符合题意的 q 的值，即可得到数列an的 通项公式，然后代入 b1a1，S2a2，分别计算出 b1，b2的值，得到公差，即可计算出数 列bn的通项公式； 第（2）题先根据第（1）题的结果计算出 Sn的表达式和数列 的通项公式，然后 运用错位相减法可计算出前 n 项和 Tn 解：
28、（1）由题意，设等比数列an的公比为 q，则 ， 两式相比，可得 ， 化简整理，得 4q217q+40， 解得 q ，或 q4 当 q 时，a1 2560， 此时数列an是递减的等比数列，不符合题意， q ，从而 q4， ana3 qn316 4n34n1，nN* b1a14111， S2b1+b21+b2a24，解得 b23， 设等差数列bn的公差为 d，则 db2b1312， bn1+2（n1）2n1，nN* （2）由（1）知，Snn 2n2， n 2n， Tn121+2 22+3 23+（n1） 2n1+n 2n， 2Tn122+2 23+（n1） 2n+n 2n+1， 两式相减，可得
29、Tn21+22+23+2nn 2 n+1 n 2 n+1 （n1） 2n+12， Tn（n1） 2 n+1+2 【点评】本题主要考查等差数列和等比数列的基本量的计算，以及运用错位相减法计算 前 n 项和问题考查了转化与化归思想，方程思想，定义法，以及逻辑推理能力和数学 运算能力本题属中档题 19如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，ADBC，ADCD，且 ADCD， ABC45 （1）证明：ACPB （2） 若AD PA， 试在棱PB上确定一点M， 使DM与平面PAB所成角的正弦值为 【分析】（1）由 ACAB，PAAC 可证得 AC平面 PAB，再由线面垂直的性质定理可 得 A
30、CPB； （2）建立空间直角坐标系，设 ， ， ，求出平面 PAB 的法向量 ， ， 及直线 DM 的方向向量，进而根据题设条件建立方程， 解出即可 【解答】（1）证明：ADCD，且 ADCD， ACDDAC45， BCA45， 又ABC45， BAC90，即 ACAB， PA平面 ABCD，AC 在平面 ABCD 内， PAAC， 又 PAABA， AC平面 PAB， PB 在平面 PAB 内， ACPB； （2）解：取 BC 的中点 E，以 A 为坐标原点，AE，AD，AP 所在直线分别为 x 轴，y 轴， z 轴建立空间直角坐标系 Axyz，如图所示， 设PA1，则 ， ， ， ， ，
31、， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设 ， ， ， 则 ， ， ， 由（1）可知，AC平面 PAB， ， ， 为平面 PAB 的一个法向量， 设DM与平面PAB所成的角为，则 ， ， 整理得 202+890，解得 （负值舍去）， 点 M 为棱 PB 的中点 【点评】本题考查线面垂直的判定定理及性质定理的运用，考查利用空间向量解决线面 角问题，考查方程思想，数形结合思想以及运算求解能力，属于中档题 20已知 F（0，1）为抛物线 C：ymx2的焦点 （1）设 ， ，动点 P 在 C 上运动，证明：|PA|+|PF|6 （2）如图，直线 l：y x+t 与
32、C 交于 M，N 两点（M 在第一象限，N 在第二象限），分 别过 M，N 作 l 的垂线，这两条垂线与 y 轴的交点分别为 D，E，求|DE|的取值范围 【分析】（1）由抛物线的方程可得焦点的坐标，再由椭圆可得 m 的值，求出抛物线的方 程及准线方程，进而可得 A 的坐标，当 PA 垂直于准线时取等号，可证得结论； （2）将直线 l 的方程与抛物线的方程联立求出两根之和及两根之积，进而可得两根之差 的范围，由题意求出直线 DM，NE 的方程，令 x0 求出 M，N 的纵坐标，进而可得|DE| 的表达式，再由前面两根之差的范围求出|DE|的取值范围 解： （1） 由抛物线的方程可得焦点 F 的
33、坐标 （0， ） ， 由题意可得 1， 所以 m ， 即抛物线的方程为：x24y，所以可得 A（4，5），且可得抛物线的准线方程为：y1， 设 P 到准线的距离为 d，由抛物线的性质可得|PF|d， 因为 A 到准线的距离为 5+16， 所以|PA|+|PF|PA|+d6过 A 作准线的垂线交抛物线于 P，此时取等号 即证：|PA|+|PF|6 （2）由 整理可得 x 22x4t0，设 M（x 1，y1），N（x2，y2），（x10， x20）， 则 x1+x22，x1x24t0，所以 t0，x1x2 2， 直线 DM 的方程为：yy12（xx1），令 x0 可得 yD2x1+y1， 同理可得
34、 yE2x2+y2， 所以|DE|yDyE2 （x1x2） + （y1y2） 2 （x1x2 ） （x1x2 ） （x1x2） 25， 所以|DE|5， 所以|DE|的取值范围（5，+） 【点评】本题考查求抛物线的方程及直线与抛物线的综合，及求两点间的距离的取值范 围，属于中档题 21已知函数 f（x）x2+（m2）xmlnx （1）讨论 f（x）的极值点的个数； （2）设函数 ，P，Q 为曲线 yf（x）g（x）上任意两个不同的点， 设直线 PQ 的斜率为 k，若 km 恒成立，求 m 的取值范围 【分析】（1）求出原函数的导函数，求解导函数的零点，然后对 m 分类判断函数的单调 性，求解极
35、值，从而判断函数零点的个数； （2）令 h（x）f（x）g（x），则 h（x） ，设 P（x1，y1）， Q（x2，y2），x1，x2（0，+），求 PQ 的斜率，求得 k 不妨设 x1x2， 则由 k m 恒成立，可得 h（x1）mx1h（x2）mx2恒成立，构造函数 t （x）h（x）mx，由 t（x）在（0，+）上单调递增，转化为 t（x）0 在（0，+ ）上恒成立，分离参数 m，再由配方法求最值，可得 m 的取值范围 解：（1）函数的定义域为（0，+） f（x）2x+m2 令 f（x）0，得 x 或 x1 当 1，即 m2 时，在（0，1）和（ ，+）上，f（x）0， 在（1， ）上，
36、f（x）0， 当 x1 时，f（x）取得极大值，当 x 时，f（x）取得极小值，故 f（x）有两个极 值点； 当 0 1，即2m0 时，在（0， ）和（1，+）上，f（x）0， 在（ ，1）上，f（x）0， 当 x 时，f（x）取得极大值，当 x1 时，f（x）取得极小值，故 f（x）有两个极 值点； 当 ，即 m2 时，f（x） ， f（x）在（0，+）上单调递增，无极值点； 当 ，即 m0 时， 在（0，1）上，f（x）0，在（1，+）上，f（x）0， 故 x1 时，函数求得极小值，无极大值，f（x）只有一个极值点 综上，当 m2 时，f（x）极值点的个数为 0；当 m0 时，f（x）的极
37、值点的个数为 1； 当 m2 或2m0 时，f（x）的极值点的个数为 2； （2）令 h（x）f（x）g（x），则 h（x） ， 设 P（x1，y1），Q（x2，y2），x1，x2（0，+）， 则 k 不妨设 x1x2，则由 k m 恒成立，可得 h（x1）mx1h（x2）mx2恒 成立， 令 t（x）h（x）mx，则 t（x）在（0，+）上单调递增， t（x）0 在（0，+）上恒成立，即 h（x）m0 恒成立， 则 x+m2 0 恒成立，即 恒成立 又 x（0，+），x22x2m0 恒成立，则 2m（x22x）min x22x（x1）211，2m1，即 m 即 m 的取值范围为（， 【点评】
38、本题考查利用导数求函数的极值，考查函数零点的判定，考查数学转化思想方 法，训练了利用分离参数法求字母的取值范围，属难题 （二）选考题：共 10 分.请考生从第 22，23 两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第 一个题目计分.选修 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 直线 l 的极坐标方程为 （1）求曲线 C 和直线 l 的直角坐标方程； （2）直线 l 与 y 轴的交点为 P，经过点 P 的动直线 l与曲线 C 交于 M，N 两点，求|PM| |PN|的最大值 【分析】 （
39、1） 直接利用转换关系， 把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （2） 利用一元二次方程根和系数的关系式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型 函数的性质的应用求出结果 解：（1）曲线 C 的参数方程为 （ 为参数），转化为直角坐标方程为（x 2）2+y236， 直线 l 的极坐标方程为 整理得 ，由 整理得 （2）直线 与 y 轴的交点坐标为（0，4），直线 l的参数方程为 （t 为参数） 代入（x2）2+y236 得到：t2（8sin+4cos）t160， 所以 t2+t18sin+4cos，t1t2160 故|PM|PN| 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角
40、坐标方程之间的转换，一元 二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属 于基础题型 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x4|+|x1|kx1 （1）若 k2，求不等式 f（x）0 的解集； （2）若方程 f（x）0 有实数根，求 k 的取值范围 【分析】（1）将 k2 代入，并把函数化为分段函数的形式，由此即可求得解集； （2）依题意，|x4|+|x1|1kx，令 g（x）|x4|+|x1|1，作出函数 g（x）的图 象，由图象观察可知，当 k2 或 时，f（x）0 有实数根，由此得解 解：（1）当 k2 时， ， ， ， ， 由 f（x）0 得 x1， 故 f（x）0 的解集为（，1）； （2）由 f（x）0，得|x4|+|x1|1kx， 令 g（x）|x4|+|x1|1，则 ， ， ， ， 作出 g（x）的图象，如图所示， 直线 ykx 过原点，当此直线经过点 B（4，2）时， ； 当此直线与直线 AC 平行时，k2， 由图可知，当 k2 或 时，g（x）的图象与直线 ykx 有公共点，从而 f（x）0 有实数根， 故实数 k 的取值范围为 ， ， 【点评】本题考查绝对值不等式的解法以及函数零点与方程根的关系，考查数形结合思 想的运用，属于基础题
