1、湖南省邵阳市湖南省邵阳市 2020 届高三二模数学试卷届高三二模数学试卷（理科）（理科） 考生注意： 1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分考试时间 120 分钟 2请将各题答案填写在答题卡上 3本试卷主要考试内容；高考全部内容 第卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1已知集合 1 |, |ln(1) x Ay yeBx yx ，则AB（ ） A(1,) B(0,) C( 1,) D( 1,0) 2设复数z满足(2)2i zi，则z在复平面内所对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限
2、 C第三象限 D第四象限 3若双曲线 22 : 23 xy C m 的一条渐近线方程为230xy，则m（ ） A 3 2 B 2 3 C 27 8 D 8 27 4某地区城乡居民储蓄存款年底余额（单位：亿元）如图所示，下列判断一定不正确的是（ ） A城乡居民储蓄存款年底余额逐年增长 B农村居民的存款年底余额所占比重逐年上升 C到 2019 年农村居民存款年底总余额已超过了城镇居民存款年底总余额 D城镇居民存款年底余额所占的比重逐年下降 5设, x y满足约束条件 1, , 2 , 2 y x x y x y ，则4zxy的最大值为（ ） A2 B2 C0 D4 6在ABC中，, ,A B C的
3、对边分别是, ,a b c，且3,3 3,30 ,bcBab，则AC边上的高线的长 为（ ） A3 3 B 3 2 C 9 2 D 3 3 2 7如图，在ABC中，D为BC中点，2,AEEC AD与BE相交于G，若,AGxGD BGyGE， 则xy（ ） A4 B 14 3 C 9 2 D 11 2 8如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，,M N P分别是 1111 ,C D BC AD的中点，有下列四个结论： AP与CM是异面直线； 1 ,AP CM DD相交于一点； 1 / /MNBD；/ /MN平面 11 BB D D 其中所有正确结论的编号是（ ） A B C D 9已知(
4、1,0),MN是曲线 x ye上一点，则|MN的最小值为（ ） A1 Be C2 D 4 1e 10 “斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子 而 提 出 ， 故 又 称 该 数 列 为 “ 兔 子 数 列 ” ， 斐 波 那 契 数 列 n a满 足 * 1212 1 ,1 ,3 , nnn aaaaannN 如图是输出斐波那契数列的一个算法流程图，现要输出斐波 那契数列的前 50 项，则图中的空白框应填入（ ） A,AB BC B,BA CB C,CA BC D,AC CB 11已知函数 2 13 ( )3sinsin(0) 222 x f
5、xx ，若( )f x在 3 , 22 上无零点，则的取值范 围是（ ） A 28 0, 99 B 2 8 ,1,) 9 9 C 28 0,1 99 D 22 8 0, 93 9 12点(1,1)P是抛物线 2 :C yx上一点，斜率为k的直线l交抛物线C于点,A B，且PAPB，设直线 ,PA PB的斜率分别为 12 ,k k，则（ ） A 12 kkk B 12 111 kkk C直线l过点( 1,2) D直线l过点(1, 2) 第卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡中的横线上 13已知函数 3 ,2 ( ) (1) ,2 3 x x f x f
6、 x x 则 3 log 2f的值为_ 14设为锐角，若 4 cos 85 ，则cos2_ 15某县城中学安排 5 位教师（含甲）去 3 所不同的村小（含A小学）支教，每位教师只能支教一所村小 学，且每所村小学都有老师支教甲不去A小学，则不同的安排方法数为_ 16一个圆锥恰有三条母线两两夹角为 60，若该圆锥的侧面积为3 3，则该圆锥外接球的表面积为 _ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 （一）必考题：共 60 分 17 （12 分） 在公比大于 0 的等比数列 n a中，已知 354 a aa，且 243 ,3,aa a成等差数列 （1）求
7、n a的通项公式； （2）已知 12nn Sa aa，试问当n为何值时， n S取得最大值，并求 n S的最大值 18 （12 分） 厂家在产品出厂前，需对产品做检验，第一次检测厂家的每件产品合格的概率为 0.5，如果合格，则可以出 厂；如果不合格，则进行技术处理，处理后进行第二次检测每件产品的合格率为 0.8，如果合格，则可以 出厂，不合格则当废品回收 （1）求某件产品能出厂的概率； （2）若该产品的生产成本为 800 元/件，出厂价格为 1500 元/件，每次检测费为 100 元/件，技术处理每次 100 元/件，回收获利 100 元/件假如每件产品是否合格相互独立，记为任意一件产品所获得
8、的利润，求 随机变量的分布列与数学期望 19 （12 分） 在三棱锥DABC中，2 2,4ABBCDADCAC，平面ADC 平面ABC，点M在棱BC 上 （1）若M为BC的中点，证明：BCDM （2）若DC与平面DAM所成角的正弦值为 3 4 ，求AM 20 （12 分） 已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 上的点P到左、右焦点 12 ,F F的距离之和为2 2，且离心率为 2 2 （1）求椭圆的标准方程； （2）过 2 F的直线l交椭圆于,A B两点，点C与点B关于x轴对称，求 2 AFC面积的最大值 21 （12 分） 已知函数( )(1)ln x ea f xaxxa x
9、（1）讨论( )f x的导函数( )fx 零点的个数； （2）若( )f x的最小值为1e，求a的取值范围 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答如果多做则按所做的第一题计分 22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 在极坐标系中，极点为O，一条封闭的曲线C由四段曲线组成： 7 4cos0,2 44 ， 3 4sin, 44 ， 35 4cos, 44 ， 57 4sin, 44 （1）求该封闭曲线所围成的图形面积； （2）若直线:sin 4 lk 与曲线C恰有 3 个公共点，求k的值 23选修 4-5：不等式选讲（10 分） 已知函数( ) |21|f x
10、xx （1）求不等式( )3f x 的解集； （2）若存在(0, )，使得关于x的方程( )sinf xm恰有一个实数根，求m的取值范围 高三数学试卷参考答案（理科）高三数学试卷参考答案（理科） 1B 【解析】本题考查集合的交集运算，考查运算求解能力 因为(0,),( 1,)AB ，所以(0,)AB 2A 【解析】本题考查复数的四则运算，考查运算求解能力 2(2)(2)3434 2(2)(2)555 iiii zi iii ，则z在复平面内所对应的点位于第一象限 3D 【解析】本题考查双曲线的渐近线，考查运算求解能力 由题意知双曲线的渐近线方程为 3 (0) 230 2 m yx mxy 可化
11、为 2 3 yx ，则 32 23 m ，解得 8 27 m 4C 【解析】本题考查统计图表的应用，考查数据分析能力以及运算求解能力 到 20l9 年在城乡居民储蓄存款年底总余额中，农村居民储蓄存款所占的比例仍然小于城镇居民储蓄存款所 占的比例，因此农村居民的存款年底总余额仍然少于城镇居民的存款总额，选项 C 说农村居民的存款年底 总余额已经超过了城镇居民的存款总额显然是错误的 5B 【解析】本题考查线性规划问题，考查数形结合的思想以及运算求解能力 由题可知，再画出可行域知（图略） ，当:40l xy平移到过点( 2, 1)时，z取得最大值，最大值为 2 6A 【解析】本题考查余弦定理以及三角
12、形面积公式，考查运算求解能力 因 为b3,3 3,30bcb， 所 以 由 余 弦 定 理 222 2cosbacacB， 可 得 2 3 92723 3 2 aa， 整 理 可 得 2 9180aa， 又ab， 所 以6a ， 19 3 sin 22 ABC SacB，所以AC边上的高线的长为 2 3 3 ABC S b 7D 【解析】本题考查平面向量基本定理，考查逻辑推理的能力 由 3 12(1)2(1)2(1)4(1) xxxxx AGADABACABAE xxxxx 因为,B G E三点共线，所以 3 1 2(1)4(1) xx xx ，解得4x ， 同理可得 3 2 y ，所以 11
13、 2 xy 8B 【解析】本题考查了空间中点、线、面的位置关系，考查空间想象能力 因 为/ /,MPAC MPAC， 所 以AP与CM是 相 交 直 线 ， 又 11111 AADDCCDDDD， 所 以 1 ,AP CM DD相交于一点，则不正确正确 令ACBDO，因为,M N分别是 11 C D，BC的中点， 所以 11 1 / / /, 2 OND MCD OND MCD，则 1 MNOD为平行四边形， 所以 1 / /MNOD，因为MN 平面 11 ,BD D OD 平面 1 BD D， 所以/ /MN平面 1 BD D，则不正确，正确 综上所述，正确，故选 B 9C 【解析】本题考查
14、导数几何意义的应用，考查化归与转化思想、数形结合思想 x ye的导数为 x ye ，设 m N m e，可得过N的切线的斜率为 m e，当MN垂直于切线时|MN取 得最小值，可得 1 1 m m e me ，则 2 1 m em，因为 2 ( ) x f xex单调递增，且(0)1f，所以0m， 所以|MN的最小值为 22 112 10A 【解析】本题考查数学文化在算法中的应用，考查逻辑推理能力 执行第 1 次，1,1,2,4ABCi，循环，因为第二次应该计算1 2C ，15ii ，循环，执行 第 3 次，因为第三次应该计算23C ，由此可得图中的空白框应填入,AB BC 11D 【解析】本题
15、考查三角函数的图象及其性质，考查数形结合的思想及逻辑推理能力 31313 ( )(1cos)sinsincossin 222223 f xxxxxx ， 若 3 22 x ，则 3 23323 x ， 3 23232 T ，则 2 1，又0，解得01 又 , 23 3 (1), 23 k k 解得 341 2323 k 剟， 当0k 时， 28 39 剟；当1k 时，01 ，可得 2 0 9 22 8 0, 93 9 12C 【解析】本题考查直线与抛物线的综合应用，考查数形结合的思想及运算求解能力 设 22 1122 ,A x xB x x， 则 2222 1212 112212 1212 1
16、1 1,1, 11 xxxx kxkxkxx xxxx ， 所 以 12 2kkk， 直线l的方程为 2 1121 yxxxxx， 因为PAPB， 所以 12 111xx ， 即 1212 2xxx x ，代入方程得 12 2(1)yxxx，则直线l过点( 1,2) 132 【解析】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力 因为 3 log 21，所以 3 log 2 2 333 11329 log 2log 21log 222 3999 fff 14 31 2 50 【解析】本题主要考查二倍角公式，两角和与差的正弦公式，考查运算求解能力 因为为锐角，所以 3 sin 8
17、5 ，则 2 47 cos 221 4525 ， 24 sin 2 425 ，所以 272431 2 cos2cos 2 442252550 15100 【解析】本题考查排列组合的综合应用，考查分类讨论的思想与逻辑推理能力 A小学若安排 3 人，则有 32 42 8C A 种，A小学若安排 2 人，则有 222 432 36C C A 种，A小学安排 1 人，则 有 22 132 2 442 2 2 4 56 C C CCA A 种，故共有 100 种 l6 27 2 【解析】本题考查圆锥以及球的结构特征，考查空间想象能力及运算求解能力如图，设 60ASBBSCCSA，则SASBSCABACB
18、C设ABx，则底面圆的直径为 2 2 sin603 xx r ，该圆锥的侧面积为 12 3 3 23 x x，解得3x ，高 22 3( 3)6OS ，设 圆锥外接球的半径为R，所以 222 ( 6)RrR，解得 3 6 4 R ，则外接球的表面积为 2 27 4 2 R 17解： （1）设 n a的公比为q，由 534 a aa，得 4 1a ， 1 分 因为 243 3aaa成等差数列，所以 234 6aaa，则 2 610qq ， 3 分 解得 1 2 q ， 1 8a 5 分 所以 1 4 1 82 2 n n n a 6 分 （2） (7) 3 2 1(4) 2 12 22 n n
19、n nn Sa aa ， 9 分 当3n 或 4 时， n S取得最大值，max64 n S 12 分 评分细则： （1）第一问中若利用等比数列的通项公式列出关系式得 3 分，解出 1, a q各得 1 分，求出通项公式得 1 分 （2）第二问未说明当3n 或 4 时， n S取得最大值，扣 2 分 18 解：（1） 设事件A为 “某件产品第一次检验合格” ， 事件B为 “某件产品第二次检验合格” ， 则( )0.5P A ， ( )0.5 0.80.4P B ， 2 分 所以某件产品能够出厂的概率0.5 0.40.9P， 4 分 （2）由已知，若该产品不合格，则(8001002100)100
20、1000 ， 5 分 该产品经过第二次检验才合格，则1500(8001002100)400， 6 分 该产品第一次检验合格，则1500(800100)600， 7 分 所以的所有可能取值为1000，400，600， (1000)(10.5)(10.8)0.1P ， 8 分 (400)(10.5)0.80.4P， 9 分 (600)0.5P 10 分 的分布列为 1000 400 600 P 0.1 0.4 0.5 10000.14000.46000.5360E 元 12 分 评分细则： （1）第一问求出事件,A B的概率分别得 1 分 （2）第一问没有取事件名，计算0.5 0.5 0.80.9
21、P得 4 分，算错不得分 （3）第二问中未列出分布列扣 2 分 19 （1）证明：取AC的中点O，连接OB，OD，因为DADC，所以ODAC， 1 分 又因为平面ADC 平面ABC，且相交于AC，所以OD 平面ABC， 2 分 所以ODOB， 因为 222 ABBCAC，所以ABBC， 3 分 所以OBOC所以OBDOCD， 4 分 所以DBDC，且M为BC的中点，所以BCDM 5 分 （2）解：如图，以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，由已知得 0),(0,2,0(0, 2,)CA， 6 分 (0,0,2 3),(0,2,2 3),(0,2, 2 3)DADD
22、C 设( ,2,0)(02)M aaa剟 则( ,4,0)AMaa， 7 分 设平面DAM的法向量为( , , )nx y z， 由0,0AD nAM n，得 22 30, (4)0, yz axa y 可取( 3(4), 3 ,)naaa， 9 分 所以 222 |2 32 3 |3 sin|cos,| 4 4 3(4)3 aa DC n aaa ， 10 分 解得4a （舍去） ， 4 3 a ， 11 分 所以 22 484 5 333 AM 12 分 评分细则： （1）第一问也可以先建立空间直角坐标系用向量方法证明，证出得满分 （2）第二问中，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标得 1
23、 分，计算出平面DAM的法向量得 2 分 （3）若用传统做法，作出二面角得 2 分，简单证明得 2 分，整个试题完全正确得满分 20解： （1） 12 22 2PFPFa，所以2a ， 2 分 2 2 c e a ，所以 2 21 2 c ，所以 222 211bac ， 4 分 椭圆的标准方程为 2 2 1 2 x y 5 分 （2）由题可知直线l的斜率必存在，又 2(1,0) F，设直线l的方程为(1)(0)yk xk， 11 ,A x y， 22 ,B xy， 22 ,C xy， 6 分 联立直线与椭圆的方程 2 2 (1), 1, 2 yk x x y 化简得 2222 124220k
24、xk xk， 所以 22 1212 22 422 , 1212 kk xxx x kk ， 7 分 22 212221 1 211 2 BCAF CABCF SSSyxxxyx， 9 分 121212 2 11,1 12 k k xxk x xxx k ， 10 分 12 1 4 2k k ，当且仅当 2 2 k 时，取得最大值， 11 分 所以 2 AFC面积的最大值为 2 4 ， 12 分 评分细则： （1）第一问得出2,1ab各得 2 分，写出椭圆的标准方程得 1 分 （2）第二问未说明直线l的斜率存在扣 1 分 （3）若采用其他方法解题，按步骤相应给分 21解： （1）( )f x的定
25、义域为(0,)， 2 2 (1)(1) ( ) x xexaxa fx x 22 (1) (1)(1)() x x xexa xexxa xx ， 1 分 令( )0fx ，解得1x 或 x exa ， 2 分 令( )(0) x g xex x，则( )10 x g xe ，故( )g x在(0,)上单调递增 3 分 当1a或1ac 时，( )fx 只有一个零点； 4 分 当11ea 或1ae 时，( )fx 有两个零点 5 分 （2） 当1a时，0exa ， 所以( )f x在(0,1)上单调递减， 在(1,)上单调递增， 则( )f x在1x 处取得最小值且最小值为(1)11feaae
26、，符合题意 7 分 当1a时，则 x yex在(0,)上单调递增，则必存在正数 0 x使得 0 0 0 x xae 8 分 若1ae ，则 0 1x ，( )f x在(0,1)和 0, x 上单调递增，在 0 1,x上单调递减， 又 0 (1)1fef x ，故不符合题意 9 分 若1ae ，则 0 1x ，所以( ) 0fx ，( )f x在(0,)上单调递增，又(1)1fe，故不符合题 意 10 分 若11ea ，则 0 01x，( )f x在 0 0,x和(1,)上单调递增，在 0 1 ,x上单调递减， 当0x ，( )f x 时，与( )f x的最小值为1e矛盾 11 分 综上，a的取
27、值范围为 1,) 12 分 评分细则： （1）第一问求导正确得 1 分未考虑1ae 只有一个零点，扣 1 分 （2）若采用其他方法解题，按步骤相应给分 22解： （1）以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，则曲线C的直角坐标方程为 22 (2)4(24)xyx剟， 22 (2)4(24)xyy剟， 2 分 2222 (2)4( 42),(2)4( 42)xyxxyy剟剟 4 分 曲线C由弧ABC，弧CDE，弧EFG，弧GHA四段圆弧组成，每段圆弧均在半径为 2 的圆上，则该封 闭曲线所围成的图形面积4(222 )816S 6 分 （2）直线l的直角坐标方程为 22 22 xyk
28、，即20xyk 7 分 当直线l经过点, ,H A B时，2 2k ， 8 分 当直线l经过点, ,E F D时，2 2k ， 9 分 故k的值为2 2 10 分 评分细则： （1）第一问求出曲线C的直角坐标方程共得 4 分，每一段曲线分别得 1 分，求出封闭曲线所围成的图形面 积得 2 分 （2）第一问分情况讨论，每种情况得 2 分 （3）若采用其他方法解题，按步骤相应给分 23解： （1）当0x时，得(12 )3xx ，解得 2 3 x ，所以 2 0 3 x ； 2 分 当 1 0 2 x时，得(12 )3xx，解得2x ，所以 1 0 2 x； 3 分 当 1 2 x时，得(12 )3xx，解得 4 3 x ，所以 14 23 x 4 分 综上不等式的解集为 2 4 , 3 3 ， 5 分 （2） 31,0, 1 ( )1.0, 2 1 31, 2 xx f xxx xx 6 分 若关于x的方程( )sinf xm恰有一个实数根，则 1 sin 2 m有解， 8 分 又 1 (0, ), 2sin m ，所以 1 , 2 m 10 分 评分细则： （1）第一问中，分类讨论不分先后顺序，每答对一个得 1 分，最终答案未写成解集形式，不扣分 （2）第二问求出( )f x的解析式得 1 分，说明( )f x的值域可得 1 分，得出关系 1 sin 2 m有解得 1 分
