1、上海市黄浦区上海市黄浦区 2020 届高届高考考数学二模试卷数学二模试卷 一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有 12 题，满分题，满分 54 分分.其中第其中第 16 题每题题每题 4 满分满分 54 分，第分，第 7-12 题每题每 题题 5 满分满分 54 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1若集合 A1，2，3，4，5，Bx|x2x60，则 AB 来源:学#科#网 2函数 y2cos2x+2 的最小正周期为 3某社区利用分层抽样的方法从 140 户高收入家庭、280 户中等收入家庭、80 户低收入家 庭中选出 100
2、户调查社会购买力的某项指标，则中等收入家庭应选 户 4若直线 l1：ax+3y50 与 l2：x+2y10 互相垂直，则实数 a 的值为 5如果 sin= 22 3 ， 为第三象限角，则 sin（3 2 +） 6若一圆锥的主视图是边长为 6 的正三角形，则此圆锥的体积为 7已知双曲线 2 2 2 2 = 1(0，0)的一条渐近线平行于直线：l：y2x+10，双曲线 的一个焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为 8 已知函数 f （x） ax+b （a0， a1） 的定义域和值域都是2， 0， 则 f （1） 9当 x，y 满足 + 2 7 0， 1 0， 1， 时，|2xy|a 恒成立，则实数
3、a 的取值范围是 10某班共有 4 个小组，每个小组有 2 人报名参加志愿者活动，现从这 8 人中随机选出 4 人作为正式志愿者，则选出的 4 人中至少有 2 人来自同一小组的概率为 11已知 aR，函数 f（x）= + 2 (0) 2+ 1( 0) ，若存在不相等的实数 x1，x2，x3，使得 (1) 1 = (2) 2 = (3) 3 = 2，则 a 的取值范围是 12点 A 是曲线 = 2+ 2( 2)上的任意一点，P（0，2） ，Q（0，2） ，射线 QA 交曲 线 = 1 8 2于 B 点，BC 垂直于直线 y3，垂足为点 C，则下列结论： （1）|AP|AQ|为定值22； （2）|
4、QB|+|BC|为定值 5； （3）|PA|+|AB|+|BC|为定值5 + 2 其中正确结论的序号是 二、选择题（本大题共有二、选择题（本大题共有 4 题，满分题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸 的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分）分，否则一律得零分） 13 “函数 f（x） （xR）存在反函数”是“函数 f（x）在 R 上为增函数”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 14设 z1，z2是复数
5、，则下列命题中的假命题是（ ） A若|z1z2|0，则1= 2 B若 z1= 2，则1=z2 C若|z1|z2|，则 z11=z22 D若|z1|z2|，则 z12z22 15已知 ， 是互相垂直的单位向量，向量 满足： = ， = 2 + 1，是向 量 与 夹角的正切值，则数列bn是（ ） A单调递增数列且 bn= 1 2 B单调递减数列且 bn= 1 2 C单调递增数列且 bn2 D单调递减数列且 bn2 16如图，直线 l平面 ，垂足为 O，正四面体 ABCD 的棱长为 2，A，D 分别是直线 l 和 平面 上的动点，且 BCl，则下列判断： 点 O 到棱 BC 中点 E 的距离的最大值
6、为2 + 1； 正四面体 ABCD 在平面 上的射影面积的最大值为3 其中正确的说法是（ ） A都正确 B都错误 C正确，错误 D错误，正确 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 5 题，满分题，满分 76 分分.）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区 域内写出必要的步骤域内写出必要的步骤. 17如图，在三棱椎 PABC 中，PA平面 ABC，BAC90，D、E、F 分别是棱 AB、 BC、CP 的中点，ABBC1，PA2 （1）求异面直线 PB 与 DF 所成的角； （2）求点 P 到平面 DEF 的距离 18设 A（x1，y1） （x2
7、，y2）是函数，y= 1 2 + 2 1的图象上任意两点，点 M（x0，y0） 满足 = 1 2（ + ） （1）若 x0= 1 2，求证：y0 为定值； （2）若 x22x1，且 y01，求 x1的取值范围，并比较 y1与 y2的大小 19某公园计划在矩形空地上建造一个扇形花园如图所示，矩形 ABCD 的 AB 边与 BC 边的长分别为 48 米与 40 米，扇形的圆心 O 为 AB 中点，扇形的圆弧端点 E，F 分别在 AD 与 BC 上，圆弧的中点 G 在 CD 上 （1）求扇形花园的面积（精确到 1 平方米） ； （2）若在扇形花园内开辟出一个矩形区域 A1B1C1D1为花卉展览区，如
8、图所示，矩形 A1B1C1D1的四条边与矩形 ABCD 的对应边平行，点 A1，B1分别在 OE，OF 上，点 C1， D1在扇形的弧上， 某同学猜想， 当矩形 A1B1C1D1面积最大时， 两矩形 A1B1C1D1与 ABCD 的形状恰好相同（即长与宽之比相同） ，试求花卉展区 A1B1C1D1面积的最大值，并判断 上述猜想是否正确（请说明理由） 20已知点 A，B 分别是椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1(0)的右顶点与上顶点，坐标原点 O 到 直线 AB 的距离为 6 3 ，且点 A 是圆 r：( 2)2+ 2= 2(0)的圆心，动直线 l：y kx 与椭圆交于 PQ 两点 （1）求
9、椭圆 C 的方程； （2）若点 S 在线段 AB 上， = ( +)，且当 取最小值时直线 l 与圆相切，求 r 的值； （3）若直线 l 与圆分别交于 G，H 两点，点 G 在线段 PQ 上，且|QG|PH|，求 r 的取值 范围 21 （18 分）若数列an与函数 f（x）满足：an的任意两项均不相等，且 f（x）的定义 域为 R；数列an的前 n 项的和 Snfan，对任意的 nN*都成立，则称an与 f（x） 具有“共生关系” （1） 若= 2( )试写出一个与数列an具有 “共生关系” 的函数 f （x） 的解析式； （2）若 f（x）ax+b 与数列an具有“共生关系” ，求实数对
10、（a，b）所构成的集合， 并写出 an关于 a，b，n 的表达式： （3）若 f（x）x2+cx+h，求证： “存在每项都是正数的无穷等差数列an，使得an与 f （x）具有共生关系 ”的充要条件是“点（c，h）在射线 = 1 2 ( 1 16)上” 参考答案参考答案 一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有 12 题，满分题，满分 54 分分.其中第其中第 16 题每题题每题 4 满分满分 54 分，第分，第 7-12 题每题每 题题 5 满分满分 54 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1若集合 A1，2，3，4，5，Bx|
11、x2x60，则 AB 1，2 由题直接求出集合 B，再利用交集的定义求得结果 由题知集合 B（2，3） ，再由交集定义可得 AB1，2， 故答案为：1，2 本题主要考查的是交集的运算，注意端点和点集，是道基础题 2函数 y2cos2x+2 的最小正周期为 先将函数降幂化简，然后套公式求周期 由已知得 = 2 1+2 2 + 2 = 2 + 3， 所以 T= 2 2 = 故答案为： 本题考查三角函数式的化简以及最小正周期的求法属于基础题 3某社区利用分层抽样的方法从 140 户高收入家庭、280 户中等收入家庭、80 户低收入家 庭中选出 100 户调查社会购买力的某项指标，则中等收入家庭应选
12、56 户 由分层抽样的定义直接利用比的关系得出结果 由题知共有 140+280+80500 户家庭，设应选中等收入家庭为 x 户，由分层抽样的定义 知 100 = 280 500，解得 x56 故答案为：56 本题主要考查的是分层抽样，是道基础题 4若直线 l1：ax+3y50 与 l2：x+2y10 互相垂直，则实数 a 的值为 6 由直线互相垂直，可得 a+60，解得 a 直线 l1：ax+3y50 与 l2：x+2y10 互相垂直， a+60，解得 a6 故答案为：6 本题考查了直线互相垂直与斜率之间的关系， 考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 5如果 sin= 22 3 ， 为第三
13、象限角，则 sin（3 2 +） 1 3 由 sin 的值及 为第三象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出 cos 的值，原式 利用诱导公式化简，将 cos 的值代入计算即可求出值 sin= 22 3 ， 为第三象限角， cos= 1 2 = 1 3， 则 sin（3 2 +）cos= 1 3 来源:学科网 故答案为：1 3 此题考查了运用诱导公式化简求值，以及同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握诱导 公式是解本题的关键 6若一圆锥的主视图是边长为 6 的正三角形，则此圆锥的体积为 93 根据三视图的性质，求出圆锥底面半径长和高的大小，由此结合圆锥的体积公式，则不 难得到本题的答案 一圆锥的
14、主视图是边长为 6 的正三角形，即圆锥的轴截面是正三角形 ABC，边长等于 6，如图： 圆锥的高 AO= 3 2 6 =33， 底面半径 r= 1 2 63， 因此， 该圆锥的体积 V= 1 3r 2AO= 1 33 23 3 =93 故答案为：93 本题给出圆锥轴截面的形状，求圆锥的体积，着重考查了等边三角形的性质和圆锥的轴 截面等知识，属于基础题 7已知双曲线 2 2 2 2 = 1(0，0)的一条渐近线平行于直线：l：y2x+10，双曲线 的一个焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为 2 5 2 20 = 1 根据渐近线的方程和焦点坐标，利用 a、b、c 的关系和条件列出方程求出 a2、b
15、2，代入 双曲线的方程即可 由题意得， = 2 2 + 10 = 0 2= 2+ 2 ， 解得 a25，b220， 双曲线的方程是 2 5 2 20 = 1， 故答案为： 2 5 2 20 = 1 本题考查双曲线的标准方程，以及简单几何性质的应用，属于基础题 8 已知函数 f （x） ax+b （a0， a1） 的定义域和值域都是2， 0， 则 f （1） 3 3 由题分别讨论 0a1， a1 两种情况， 得出关系式， 解方程组即可得出 a， 再代入 f （ 1）即可 当 0a1 时，由题得 2 + = 0 0+ = 2，解得 a= 3 3 ，b3，则 f（1）= 3 3； 当 a1 时，由题
16、意得 2 + = 2 0+ = 0 ，无解； 故答案为：3 3 本题主要考查的是函数的定义域与值域，及分类讨论，是道综合题 9当 x，y 满足 + 2 7 0， 1 0， 1， 时，|2xy|a 恒成立，则实数 a 的取值范围是 4，+ ） 画出约束条件的可行域，求解|2xy|的最大值，即可得到 a 的范围 x，y 满足 + 2 7 0， 1 0， 1， 的可行域如图：由 + 2 7 = 0 1 = 0 解得 A（3，2） ， z2xy，经过可行域的 A 时，取得最大值，最大值为：4， 此时|2xy|取得最大值， 所以，|2xy|a 恒成立，则实数 a 的取值范围是4，+） 故答案为：4，+）
17、 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，通过数形结合是解决本题的 关键 10某班共有 4 个小组，每个小组有 2 人报名参加志愿者活动，现从这 8 人中随机选出 4 人作为正式志愿者，则选出的 4 人中至少有 2 人来自同一小组的概率为 27 35 现从这 8 人中随机选出 4 人作为正式志愿者，基本事件总数 n= 8 4 =70，选出的 4 人中 至少有 2 人来自同一小组包含的基本事件个数 m= 8 4 2 1212121 =54， 由此能求出选出 的 4 人中至少有 2 人来自同一小组的概率 某班共有 4 个小组，每个小组有 2 人报名参加志愿者活动， 现从这 8 人中随机
18、选出 4 人作为正式志愿者， 基本事件总数 n= 8 4 =70， 选出的 4 人中至少有 2 人来自同一小组包含的基本事件个数 m= 8 4 2 1212121 =54， 选出的 4 人中至少有 2 人来自同一小组的概率为 p= = 54 70 = 27 35 故答案为：27 35 本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查推理论证能力与运算 求解能力，属于基础题 11已知 aR，函数 f（x）= + 2 (0) 2+ 1( 0) ，若存在不相等的实数 x1，x2，x3，使得 (1) 1 = (2) 2 = (3) 3 = 2，则 a 的取值范围是 （，4） 令 2+1 =
19、2（x0） ，解得 x1，所以问题转化为 +2 = 2在（0，+）上有两个 不等根即可， 分离参数得 = 2( + 1 )在 （0， +） 上有两个不等实根， 只需研究 g （x） = 2( + 1 )在（0，+）上的单调性，极值，端点值，结合图象即可解决问题 当 x0 时，令 2+1 = 2（x0） ，解得 x1； 所以只需方程 +2 = 2在（0，+）上有两个不等根即可， 整理得 = 2( + 1 )，x（0，+）有两个根 只需 ya 与 y= 2( + 1 )在（0，+）上有两个不同交点即可 令 g（x）= 2( + 1 )，x0，() = 2(1 1 2) = 2(+1)(1) 2 ，
20、 当 x（0，1）时，g（x）0，g（x）递增；x（1，+）时，g（x）0，g（x） 递减；所以 g（x）maxg（1）4， 且 x0，或 x+时，都有 g（x） 所以，要使 x0 时，结论成立，只需 a4 即可 故答案为： （，4） 本题考查利用数形结合思想研究函数零点的问题，要注意函数的零点、方程的根、两个 函数图象交点的横坐标之间的相互转化，互为工具的关系同时考查学生的逻辑推理能 力等属于中档题 12点 A 是曲线 = 2+ 2( 2)上的任意一点，P（0，2） ，Q（0，2） ，射线 QA 交曲 线 = 1 8 2于 B 点，BC 垂直于直线 y3，垂足为点 C，则下列结论： （1）|
21、AP|AQ|为定值22； （2）|QB|+|BC|为定值 5； （3）|PA|+|AB|+|BC|为定值5 + 2 其中正确结论的序号是 （1） ， （2） 曲线 = 2+ 2( 2)表示双曲线 2 2 2 2 = 1的上支，曲线 = 1 8 2表示的是抛物线 x28y，P，Q 点为双曲线的两个焦点，且 Q 点也是抛物线的焦点，然后结合抛物线、双 曲线的定义，逐个判断即可；其中第（3）问中，要注意将|PA|转化为| + 22后，再 进一步分析 由题意知： 曲线 = 2+ 2( 2)表示双曲线 2 2 2 2 = 1的上半支， = = 2， = 2；并且 P（0，2）是双曲线的下焦点，Q（0，2
22、）为上焦点； 曲线 = 1 8 2表示的是抛物线 x28y，其焦点为 Q（0，2） ，准线为 y2 来源:Z_xx_k.Com 做出图象如图：较长的曲线为抛物线，较短的曲线为双曲线上支 因为 A 在双曲线的上支上，所以|AP|AQ|2a= 22，为定值，故（1）正确； 因为 B 在抛物线上，设 BH直线 y2 于 H，|BQ|BH|，|QB|+|BC|BH|+|BC| |HC|5，定值，故（2）正确； 因为| = | + 2 = | + 22，|PA|+|AB|+|BC| |AQ|+|AB|+|BC|+22 =|QB|+|BC|+22 =5+22 5 + 2，故（3）错误 故正确的序号为： （
23、1） （2） 故答案为： （1） ， （2） 本题考查了圆锥曲线的定义及性质，以及学生利用转化思想解决问题的能力，同时考查 了学生的逻辑推理、数学运算等核心素养属于中档题 二、选择题（本大题共有二、选择题（本大题共有 4 题，满分题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸 的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分）分，否则一律得零分） 13 “函数 f（x） （xR）存在反函数”是“函数 f（x）在 R 上为增函数”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条
24、件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 函数 f（x） （xR）存在反函数，至少还有可能函数 f（x）在 R 上为减函数，充分条件不 成立；而必要条件显然成立 “函数 f（x）在 R 上为增函数”“函数 f（x） （xR）存在反函数” ； 反之取 f（x）x（xR） ，则函数 f（x） （xR）存在反函数，但是 f（x）在 R 上为减 函数 故选：B 本题考查充要条件的判断及函数存在反函数的条件，属基本题 14设 z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是（ ） A若|z1z2|0，则1= 2 B若 z1= 2，则1=z2 C若|z1|z2|，则 z11=z22 D若|z1|z2|，则 z1
25、2z22 题目给出的是两个复数及其模的关系，两个复数与它们共轭复数的关系，要判断每一个 命题的真假，只要依据课本基本概念逐一核对即可得到正确答案 对（A） ，若|z1z2|0，则 z1z20，z1z2，所以1= 2为真； 对（B）若1= 2，则 z1和 z2互为共轭复数，所以1= 2为真； 对（C）设 z1a1+b1i，z2a2+b2i，若|z1|z2|，则12+ 12=22+ 22， 1 1= 12+ 12，2 2= 22+ 22，所以1 1= 2 2为真； 对（D）若 z11，z2i，则|z1|z2|为真，而12= 1，22= 1，所以12= 22为假 故选：D 本题考查了复数的模，考查了
26、复数及其共轭复数的关系，解答的关键是熟悉课本基本概 念，是基本的概念题 15已知 ， 是互相垂直的单位向量，向量 满足： = ， = 2 + 1，是向 量 与 夹角的正切值，则数列bn是（ ） A单调递增数列且 bn= 1 2 B单调递减数列且 bn= 1 2 C单调递增数列且 bn2 D单调递减数列且 bn2 分别以 和 所在的直线为x轴， y轴建立坐标系， 则 = （1， 0） ， = （0， 1） ， 设 = （xn， yn） ，进而可求出 tann，结合函数的单调性即可判断 分别以 和 所在的直线为 x 轴，y 轴建立坐标系，则 =（1，0） ， =（0，1） ， 设 =（xn，yn）
27、 ， =n， =2n+1，nN*， xnn，yn2n+1，nN*， =（n，2n+1） ，nN*， n为向量 与 夹角，cosn= 2+1 2+(2+1)2 = 2+1 52+4+1， 来源:学#科#网 Z#X#X#K sinn=1 (2+1)2 52+4+1 = 52+4+1 tann= 2+1 =2+ 1 ， bntann为减函数， n随着 n 的增大而减小 bn2 故选：D 本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，解题的关键是根据已知条件把所求问题坐标 化考查转化思想以及计算能力，是中档题 16如图，直线 l平面 ，垂足为 O，正四面体 ABCD 的棱长为 2，A，D 分别是直线 l 和
28、平面 上的动点，且 BCl，则下列判断： 点 O 到棱 BC 中点 E 的距离的最大值为2 + 1； 正四面体 ABCD 在平面 上的射影面积的最大值为3 其中正确的说法是（ ） A都正确 B都错误 C正确，错误 D错误，正确 直线 AD 与动点 O 的位置关系是：点 O 是以 AD 为直径的球面上的点，因此 O 到 BC 的 距离为四面体上以 AD 为直径的球面上的点到 SC 的距离，故最大距离为 BC 到球心的距 离，求解判断；求出特殊点 A 与 O 重合时，射影面的面积判断即可 由题意，直线 AD 与动点 O 的位置关系是：点 O 是以 AD 为直径的球面上的点， O 到 BC 的距离为
29、四面体上以 AD 为直径的球面上的点到 DC 的距离， 因此：最大距离为 BC 到球心的距离（即 BC 与 AD 的公垂线）+半径， 如图：ME= 2 2= 2 2 2= 4 1 1 = 2， 点 O 到棱 BC 中点 E 的距离的最大值为：2 +1；所以正确； 当 A 与 O 重合时，正四面体 ABCD 在平面 上的射影为：对角线长为 2 的正方形，射影 面的面积为 2，所以不正确； 故选：C 本题考查空间几何体的点、线、面的距离，射影面的面积的求法，命题的真假的判断， 考查空间想象能力以及计算能力，是中档题 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 5 题，满分题，满分 76 分分.）
30、解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区 域内写出必要的步骤域内写出必要的步骤. 17如图，在三棱椎 PABC 中，PA平面 ABC，BAC90，D、E、F 分别是棱 AB、 BC、CP 的中点，ABBC1，PA2 （1）求异面直线 PB 与 DF 所成的角； （2）求点 P 到平面 DEF 的距离 （1）分别以 AB、AC、AP 为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系，求出 与 所成角的余 弦值，可得异面直线 PB 与 DF 所成的角的大小； （2）求出平面 DEF 的一个法向量，再求出 的坐标，由点到平面的距离公式可得点 P 到平面 DEF 的距离
31、（1）如图，分别以 AB、AC、AP 为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系， 则 A（0，0，0） ，B（1，0，0） ，C（0，1，0） ，P（0，0，2） ， D（1 2，0，0） ，F（0， 1 2，1） 故 = (1，0，2)， = ( 1 2， 1 2 ，1) cos ， = | | | = 5 2 53 2 = 30 6 可得 ， =arccos 30 6 故异面直线 PB 与 DF 所成的角为 arccos 30 6 ； （2） = (0， 1 2 ，0)， = ( 1 2 ， 1 2 ，1) 设 = (，1)是平面 DEF 的一个法向量， 则 = 1 2 = 0 = 1 2 +
32、 1 2 + = 0 ，取 z1，得 = (2，0，1) 又 = (0， 1 2 ， 1) 点 P 到平面 DEF 的距离 d= | | | | = 1 5 = 5 5 本题考查异面直线所成角的求法， 训练了利用空间向量求解点到平面的距离， 是中档题 18设 A（x1，y1） （x2，y2）是函数，y= 1 2 + 2 1的图象上任意两点，点 M（x0，y0） 满足 = 1 2（ + ） （1）若 x0= 1 2，求证：y0 为定值； （2）若 x22x1，且 y01，求 x1的取值范围，并比较 y1与 y2的大小 （1）依题意，0= 1 2 (1+ 2) = 1 2，即 x1+x21，再利用
33、中点坐标公式可求得 0= 1 2 (1 + 2 12 12) = 1 2，即得证； （ 2 ） 根 据 题 意 ， 可 得 2 1 11 + 2 21 121 1 ， 再 由 对 数 函 数 的 性 质 可 得 21 121 0 1 11 21 121 2 ，由此求得 x1的取值范围，利用作差法可知0 1 11 21 121，进而 得出 y1与 y2的大小关系 （1）证明：由 = 1 2 ( + )可知，0= 1 2 (1+ 2) = 1 2，即 x1+x21， 0= 1 2 (1+ 2) = 1 2( 1 2 + 2 1 11 + 1 2 + 2 2 12) = 1 2 (1 + 2 12
34、(11)(12)， 故0= 1 2 (1 + 2 12 12) = 1 2为定值，即得证； （2）由 x22x1，y01，可得2 1 11 + 2 21 121 1， 则 21 121 0 1 11 21 121 2 ，即01 1 2 12 31+ 10 ，解得35 2 1 1 2， 此时由 1 11 21 121 = 1 (11)(121) 0，可得0 1 11 21 121， 故1 2 + 2 1 11 1 2 + 2 21 121，即 y1y2 本题考查平面向量的综合运用以及对数函数的图象及性质， 涉及了中点坐标公式的运用， 作差法的运用，考查运算求解能力，属于中档题 19某公园计划在矩
35、形空地上建造一个扇形花园如图所示，矩形 ABCD 的 AB 边与 BC 边的长分别为 48 米与 40 米，扇形的圆心 O 为 AB 中点，扇形的圆弧端点 E，F 分别在 AD 与 BC 上，圆弧的中点 G 在 CD 上 （1）求扇形花园的面积（精确到 1 平方米） ； （2）若在扇形花园内开辟出一个矩形区域 A1B1C1D1为花卉展览区，如图所示，矩形 A1B1C1D1的四条边与矩形 ABCD 的对应边平行，点 A1，B1分别在 OE，OF 上，点 C1， D1在扇形的弧上， 某同学猜想， 当矩形 A1B1C1D1面积最大时， 两矩形 A1B1C1D1与 ABCD 的形状恰好相同（即长与宽之
36、比相同） ，试求花卉展区 A1B1C1D1面积的最大值，并判断 上述猜想是否正确（请说明理由） （1） 设EOF2， 利用直角三角形的边角关系求出 BO、 OF， 再计算扇形的面积即可； （2）在图中连接 OC1，设FOC1，OC1r，利用正弦定理求出 B1C1，计算矩形 A1B1C1D1的面积，求出面积取最大值时时对应的边长比，从而判断两矩形的长和宽之比 相等，得出该同学的猜想是正确的 （1）设EOF2，则BFO， 在 RtOBF 中，BO= 1 2AB24，OFBC40，sin= = 3 5，arcsin 3 5； 可得扇形的面积为 S1= 1 240 22arcsin3 5 =1600a
37、rcsin3 5 1030（平方米） ， 即扇形花园的面积约为 1030 平方米； （2）在图中，连接 OC1，设FOC1（0） ，OC1r， 则在OB1C1中， 由11 = 1 ，可得 B1C1= ； 又 C1D12rsin（） ，sin= 3 5，cos= 4 5， 所以矩形 A1B1C1D1的面积为 S2B1C1C1D1= 2rsin（） = 102 3 （sincoscossin） = 2 3 （6sincos8sin2） = 2 3 （3sin2+4cos24） = 1600 3 5sin（2+arcsin4 5）4， 当且仅当 2+arcsin4 5 = 2，即 = 1 2（ 2
38、arcsin4 5）= 2 时，S2取得最大值， 所以 S2的最大值为1600 3 ； 所以花卉展览区 A1B1C1D1面积的最大值为1600 3 平方米 当矩形 A1B1C1D1的面积最大时，= 2， 此时11 11 = 2() =2sin= 6 5， = 48 40 = 6 5， 所以两矩形的长和宽之比相等，即两矩形的形状相同，该同学的猜想是正确的来源:学科网 ZXXK 本题考查了解三角形的应用问题，也考查了数学建模与运算求解能力，是难题 20已知点 A，B 分别是椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1(0)的右顶点与上顶点，坐标原点 O 到 直线 AB 的距离为 6 3 ，且点 A 是圆
39、 r：( 2)2+ 2= 2(0)的圆心，动直线 l：y kx 与椭圆交于 PQ 两点 （1）求椭圆 C 的方程； （2）若点 S 在线段 AB 上， = ( +)，且当 取最小值时直线 l 与圆相切，求 r 的值； （3）若直线 l 与圆分别交于 G，H 两点，点 G 在线段 PQ 上，且|QG|PH|，求 r 的取 值范围 （1）由椭圆的方程可得 A，B 的坐标及直线 AB 的方程，由题意可得 a 的值，及 O 到直 线的距离距离，可得，a，b 的值，进而求出椭圆的方程； （2）设 P 的坐标，由向量的关系求出 S 的坐标，将 S 的坐标代入直线 AB 的方程可得 的表达式，由三角函数的取
40、值范围求出 最小时 r 的值； （3）设直线 GH 的方程与圆联立，求出 P，Q 的坐标，求出弦长 GH，求出 A 到直线的 距离，及弦长 GH 与 A 到直线 GH 的距离和半径之间的关系，求出弦长 GH，两式联立求 出 r 的表达式，换元可得 r22 1 1+2可得 r 的范围 （1）由题意可知，a= 2，A（a，0） ，B（0，b） ， 所以直线 AB 的方程为：bx+ayab0， 所以原点到直线的距离 d= 2+2 = 6 3 ， 所以可得 b21， 所以椭圆的方程为： 2 2 +y21； （2）由（1）设 P（2cos，sin） （0， 2） ，由题意可得 S（2cos，sin） ， 将 S 坐标代入直线 AB 的方程 2 +y1 中，可得 （cos+sin）1， 所以 = 1 + = 1 2(+ 4) ， 所以当 = 4时 取最小值 2 2 ， 所以 P（1， 2 2 ） ，且直线 l 的方程为 x2 =0， 所以 r= 2 3 = 6 3 ； （3）由|QG|PH|，可得|PQ|GH|， 将 ykx 代入椭圆 C 的方程可得： （1+2k2）x22，即 x 2 1+22， 故|PQ|= 1 + 2 2 2 1+22， 又 A 到直线 l 的距离= |2| 1+2，故|GH|2 2 22 1+2， 所以1 + 2 2 2 1+22 =22 22 1+
