1、广西广西 20202020 年年 5 5 月高三教学质量诊断性联合考试数学月高三教学质量诊断性联合考试数学试卷试卷（理科）（理科） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1设集合 |432 x Mx， |1Ny yx，则MN（ ） A 5 1, 2 B1,5) C D 5 0, 2 2已知复数 10 2 3 zi i （i是虚数单位） ，则z的共轭复数是（ ） A3 3i B33i C 1513 44 i D 1513 44 i 3若 3 sin 5 ，且, 2 ，则tan 4 （ ） A 3 4 B 3 4 C7 D
2、 1 7 4若某 10 人一次比赛得分数据如茎叶图所示，则这组数据的中位数是（ ） A82.5 B83 C93 D72 5设实数, x y满足不等式组 4, 2, 4, xy yx x 则 1 1 y z x 的最小值为（ ） A 1 3 B 1 5 C 1 3 D 1 2 6已知点(2,0)为函数( )2cos| 32 f xx 图象的一个对称中心，则实数（ ） A 3 B 6 C 3 D 6 7若双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点( ,0)c到渐近线的距离为 2 3 8 a c ，则双曲线C的离心率为 （ ） A3 B 10 3 C 3 2 4 D 4 2 3
3、 8若函数 ( )sinlg 21 x f xxmx 的图象关于原点对称，则实数m 的值为（ ） Alg2 Blg2 C4 D2 9已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A2212 B2412 C2612 D2012 10 已 知 在ABC中 ， 角, ,A B C的 对 边 分 别 为, ,a b c， 若1 ,3bc， 且 2sin()cos12cossinBCCAC ，则ABC的面积是（ ） A. 3 4 B 1 2 C 3 4 或 3 2 D 3 4 或 1 2 11已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F，过y轴上的一点E作直线EF与抛物线C交于,A B
4、两 点若EAAF，且| 12BF ，则点A的横坐标为（ ） A1 B3 C2 D4 12若 * 0 xN，使得 0 0 91 m x x 1，则实数m的取值范围为（ ） A 4ln3 , ln2 B4,) C(0,) D6,) 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知向量(2,5),(1, )mn，若n在m方向上的投影为 4，则实数的值为_ 14若 7234567 01234567 ( 32 )xaa xa xa xa xa xa xa x，则 22 02461357 aaaaaaaa_ 15如图，在边长为 2 的正六边形内随机地撒一把豆子，落在正六边形ABCDEF
5、内的豆子粒数为 626， 落在阴影区域内的豆子粒数为 313，据此估计阴影的面积为_ 16如图，在三棱柱 111 ABCABC中，ABC是等边三角形， 1 A A平面ABC，四边形 11 ACC A为正方 形，点E在线段 1 BC上，且 1 2BEC E，点F为线段AB的中点，则直线 1 AE与直线CF所成角的余弦值 为_ 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说眀、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生 都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分 17 （本小题满分 12 分） 已知数列 n a的前n项和为 n S，且 2 23 n
6、Snn （1）求数列 n a的通项公式； （2）设数列 1 1 2 nn aa 的前n项和为 n T，求证 1 15 n T 18 （本小题满分 12 分） 有关部门在某公交站点随机抽取了 100 名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间， 乘车等待时间不超过 40 分钟） ， 将数据按5,10)，10,15)，15,20)，20,25) 25,30)，30,35)，35,40 分组，绘制成如图所示的频率分布直方图 假设乘客乘车等待时间相互独立 （1）求抽取的 100 名乘客乘车等待时间的中位数（保留一位小数） ； （2）现从该车站等车的乘客中随机抽取 4 人，记等车时间在20
7、,30)的人数为X，用频率估计概率，求随 机变量X的分布列与数学期望 19 （本小题满分 12 分） 如图 1，,60 ,2ACBCABCAB ，点M为线段AB的中点，点N为线段AC上靠近C的三等分 点现沿MN进行翻折，得到四棱锥ABCNM，如图 2，且2ABBC在图 2 中： （1）求证：AM 平面BCNM； （2）求直线AB与平面ACN所成角的正弦值 20 （本小题满分 12 分） 已知函数( )ln(1)f xxm x （1）若3m，求函数( )f x的极值； （2）当1,)x时，( ) x eef xe，求实数m的取值范围 21 （本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 :1 63 x
8、y C （1）直线l过点(1,1)D与椭圆C交于,P Q两点，若PDDQ，求直线l的方程； （2）在圆 22 :2O xy上取一点M，过点M作圆O的切线l与椭圆C交于,A B两点，求| |MAMB 的值 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分 22 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 3 , 33 xt yt （t为参数） ，以坐标原点为极点，x轴的非 负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C极坐标方程为 222 3sin12 （1）求直线l的极坐标方程和曲线
9、C的参数方程； （2）若(1,0)P，直线l与曲线C交于,M N两点，求|PMPN的值 23 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数( ) |2|22|f xxmx （1）若3m，求不等式( )8f x 的解集； （2）若 12 ,(0,)xRx，使得 2 122 32f xxx，求实数m的取值范围 参考答案参考答案 1 A 由 25 5 |432|22| 2 xx Mxxx x ， 1 |1 y Nyxy y， 则 5 1, 2 MN 故选 A 2B 1 01 0( 3)1 0( 3) 2223233 3( 3) ( 3)1 0 ii ziiiiii iii ，3 3zi
10、 故选 B 3 D 若 3 sin 5 ， 且, 2 ， 则 2 2 34 cos1sin1 55 ， 所 以 3 sin3 5 tan 4 cos4 5 ，所以 3 tantan1 1 44 tan 347 1tantan11 44 故选 D 4 A 将这组数据从小到大排列为 72， 74， 76， 81， 82， 83， 86， 93， 93， 99， 则这组数据的中位数是 8283 2 ， 即 82.5故选 A 5B 作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示， 1 1 y x 表示平面区域内的点( ,)x y与 ( 1, 1)D 连线的斜率，则 1 1 y z x 的最小值为 1
11、5 CD k故选 B 6D 据题意，得 2 2cos20,() 332 kkZ ， () 6 kkZ ，又|, 26 故选 D 7C 由题意，得双曲线C的右焦点( ,0)c到渐近线0bxay的距离为 22 bc b ab ，则 2 3 8 a b c ，即 22 833bccb，亦即 22 3830cbcb，解得3cb，则 2222 8acbb，所以双曲线C的离心率 为 2 2 3 2 1 4 b a 故选 C 8 B 因为sinyx为奇函数， 则lg 21 x ymx为偶函数， 故 lg 21lg 21 xx mxmx ， 即2lg 21lg 21 xx mx ， 则 2 2121 2l g
12、l gl g 2l g 2 2122 xx x xxx mxx 因为0x 恒 成立，则2lg2m ，解得lg2m 故选 B 9 A 由 三 视 图 可 知 ， 该 几 何 体 为 圆 柱 进 行 切 割 所 得 的 组 合 体 ， 所 以 所 求 表 面 积 为 2 223 425222212 故选 A 10 C 因 为2 s i n () c o s12 c o ss i nBCCAC， 所 以2 s i nc o s12 c o ss i nACAC ， 所 以 2sincos2sin()1ACAC，所以2sin()1AC，所以2sin1B ，所以 1 sin 2 B 因为bc， 所以BC
13、，所以角B为锐角，所以 2 3 cos1sin 2 BB， 222 3 1( 3)23 2 aa，解 得1a 或2a 当1a 时，ABC的面积 1113 sin13 2224 SacB ；当2a 时，ABC 的面积 1113 sin23 2222 SacB 故选 C 11 C 设 直 线: 2 p E Fykx ， 1122 ,A x yB x y， 与 2 2yp x联 立 可 得 22 222 20 4 p k k xp kx，则 2 12 4 p x x 又,0 , 2 p FEAAF ，则 1 4 p x 由|12|BF ，得 2 12 2 p x ，则 2 12 12 424 ppp
14、 x x ，解得8p （0p 舍去） ，所以 1 2x 故选 C 12D 依题意，设 1 (0) 9 m x xx ，lnln9 m x x ，则lnln9(*)mxx，显然1x 不是(*)的解， 当1x 时，2ln3 ln x m x ， 令( ) 2 l n 3 ln x f x x ， 则 2 ln1 ( )2ln3 (ln ) x fx x ， 当(1, )xe时，( )0fx ； 当( ,)xe时，( )0fx 因为 4ln3 (2)(3)6 ln2 ff，所以当1x 且 * xN时， min ( )6f x， 故6m，即实数m的取值范围为6,)故选 D 132 5 依题意，得n在m
15、方向上的投影为 25 4 3| m n m ，解得2 5 14 1 令1x ， 得 7 01234567 (32 )aaaaaaaa， 令1x ， 得 7 02461357 (32 )aaaaaaaa， 两式相乘可得 2 02461357 aaaaaaaa 77 ( 32)( 32)1 153 3 边长为 2 的正六边形的面积 13 6226 3 22 S 据题设分析知阴影区域面积 0 313 6 33 3 626 S 16 6 4 过点 1 A作 11/ / AFCF且 11 AFCF，连接 1 EF，则 11 EAF为直线 1 AE与直线CF所成的角过 E点作 11 EGBC，垂足为G点，
16、取 11 BC的中点H，连接 11 ,AH AG， 111 ,GF FC，不妨设2AB ，则 11 3AF ， 22 11 4284 2 993 AEEGAG， 22 11 19423 993 FEFGGE， 故 222 1111 11 111 3223 3 6 99 cos 244 2 23 3 AFAEEF EAF AF AE 17解： （1）当1n 时， 11 224Sa，解得 1 2a ； 2 分 当2n时， 22 1 23,23(1)(1) nn SnnSnn ， 3 分 两式相减，得262 n an，解得31 n an 4 分 又1n 时， 1 3 1 12a ， 故 * 31 n
17、 annN 6 分 证明： （2）依题意，得 12 11111 (32)(35)3 3235 nn aannnn ， 8 分 则 1 111111 3 588113235 n T nn 1 11 3 535n 111 153(35)15n ， 10 分 即 1 15 n T 12 分 18解： （1）第一块小矩形的面积 1 0.08S ， 第二块小矩形的面积 2 0.14S ， 第三块小矩形的面积 3 0.18S ， 第四块小矩形的面积 4 0.26S ， 故中位数为 0.1 2021.9 0.052 4 分 （2）任取 1 人等车时间在20,30)的概率为 1 (0.0520.048)5 2
18、 ， 5 分 故X的可能取值为 0，1，3，4 且 1 4, 2 XB ， 6 分 则 4 0 4 11 (0) 216 P XC ， 4 1 4 11 (1) 24 P XC ， 4 2 4 13 (2) 28 P XC ， 4 3 4 11 (3) 24 P XC ， 4 11 (4) 216 P X 9 分 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 1 16 1 4 3 8 1 4 1 16 10 分 故 1 ()42 2 E X 12 分 19 （1）证明：因为,60 ,2ACBCABCAB ，所以3AC 由题意，得2ANNC，所以 2 3 3 AN 1 分 在AMN中 ， 由
19、余 弦 定 理 ， 得 2 2222 2 3 2cos1 3 MNAMANAM ANA 2 331 2 1 323 ， 2 分 则 3 3 MN ，所以在图 2 中， 222 AMMNAN，所以AMMN 3 分 又1AMBM，且2AB ，即在图 2 中， 222 ABAMBM，所以AMBM， 又MN，BM 平面,BCNM MNBMN，所以AM 平面BCNM 5 分 （2）解：在图 1 中， 222 32 3 ,1, 33 MNAMANAMMNAN，所以MNAM，即 MNBM 6 分 以M为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由（1）可知，(1,0,0)B， 3 0,0 3 N ，(0,0,1)
20、A， 13 ,0 22 C ，则 3 0, 1 3 AN ， 3 0, 1 3 AN 7 分 设平面ACN的法向量为( , , )nx y z， 则 0, 0, n AN n NC 即 3 0, 3 13 0, 26 yz xy 解得 3 , 3 3 , 3 zy xy 令3y ，则( 1, 3,1)n 设直线AB与平面ACN所成角为，又(1,0, 1)AB ， 则 |210 sin|cos,| 5| |25 AB n AB n ABn 12 分 20解： （1）当3m时，( )ln3(1)f xxx，则 113 ( )3 x fx xx ， 1 分 当 1 0, 3 x 时，( )0fx ，
21、函数( )f x在 1 0, 3 上单调递增：当 1 , 3 x 时，( )0fx ，函数( )f x 在 1 , 3 上单调递减， 3 分 所以当 1 3 x 时，函数( )f x有极大值,极大值为 111 ln312ln3 333 f ，无极小值 4 分 （2）依题意，得ln(1) x eexm xe，即 1 ln(1) 1 x exm x ， 令 1 ( )ln(1) x g xexm x ，则( )(1)g xg， 1 1 ( ) x g xem x ，令 1 1 ( ) x F xem x ，则 1 2 1 ( ) x F xe x 6 分 令 1 2 1 ( )( )(0) x x
22、F xex x ，所以 1 3 2 ( )0 x xe x ， 所以( )F x 在1,)上单调递增，(1)0F，当1,)x时，( ) 0F x ， 所以( )F x在1,)x上单调递增，且(1)2(1)Fmg 8 分 当2m时，1,)x，( ) 0, ( )g xg x 在1,)上单调递增，( )(1)1g xg，满足条件； 9 分 当2m时，(1)20gm 又因为 ln 11 (ln1)0 ln1ln1 m gmem mm ，所以 0 (1,ln1)xm，使得 0 0gx ， 当 0 1,( )0xxg x ；当 0,ln 1 ,( )0xxmg x ， 所以( )g x在 0 1,x上单
23、调递减，当 0 1,xx时，都有( )(1)1g xg，不符合题意 11 分 综上所述，实数m的取值范围为(,2 12 分 21 解：（1） 设 1122 ,P x yQ x y，PDDQ， 1122 1,11,1xyxy， 即 12 12 11, 11, xx yy 解得 1212 2,2xxyy 1 分 ,P Q两点在椭圆C上， 2222 1122 1,1 6363 xyxy ， 两式相减，得 12121212 0 63 xxxxyyyy ，则 12 12 1 2 yy xx ， 3 分 故直线l的方程为 1 1(1) 2 yx ，即 13 22 yx 4 分 （2）当切线l斜率不存在时，
24、不妨设l的方程为2x ， 由椭圆C的方程可知，( 2, 2), ( 2,2)AB， 则( 2, 2),( 2,2)OAOB，0OA OB，即OAOB 6 分 当切线l斜率存在时，可设l的方程为 3344 ,ykxm A x yB xy， 2 | 2 1 m k ，即 22 21mk， 7 分 联立l和椭圆的方程，得 222 124260kxkmxm则 222 34 2 2 34 2 (4)4 12260, 4 , 21 26 . 21 kmkm km xx k m x x k 8 分 3344 ,OAx yOBxy， 34433434 OA OBx xy yx xkxmkxm， 22 3434
25、 1kx xkm xxm 9 分 2 22 22 264 1 2121 mkm kkmm kk 22222222 22 222 1264213 2266 366 0 212121 kmk mmkkk mk kkk ， OAOB 综上所述，圆O上任意一点M处的切线交椭圆C于点,A B，都有OAOB 10 分 在Rt OAB中，由OAM与BOM相似，得 2 | | |2MAMBOM 12 分 22解： （1）依题意，得直线:330lxy，即3 cossin30， 所以直线l的极坐标方程为2 cos3 6 2 分 因为 222 3sin12，则 22 3412xy，即 22 1 43 xy ， 4
26、分 所以曲线C的参数方程为 2cos , 3sin x y （为参数） 5 分 （2）设,M N点对应的参数为 12 ,t t，将直线l的参数方程 3 , 33 xt yt （t为参数） ，代入 22 1 43 xy ， 得 2 5 380tt， 7 分 则 121 2 8 3 ,0 15 ttt t， 8 分 不妨设 1 0t ，则 2 8 3 15 t ， 所以 12 8 316 | 2312312231 155 PMPNtt 10 分 23解： （1）当3m时，|23|22| 8xx 若1x，则3 2228xx ，得 7 4 x ，所以 7 1 4 x ； 1 分 若 3 1 2 x ，则3 22258xx ，所以 3 1 2 x 剟； 2 分 若 3 2 x ，则23 228xx ，得 9 4 x ，所以 39 24 x 3 分 综上所述，不等式的解集为 7 9 , 4 4 5 分 （2） 111 32223 |2| 3f xxmxm ， 6 分 而当 2 (0,)x 时， 2 2 222 2111xxx， 所以 2 122 32f xxx等价于|2| 31m， 8 分 解得0m或4m，即实数m的取值范围为(, 40,) 10 分
