1、广西广西 20202020 年年 5 5 月高三教学质量诊断性联合考试数学月高三教学质量诊断性联合考试数学试卷试卷（文科）（文科） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1已知集合| 36MxNx ， 2,0,2,4,6N ，则MN（ ） A0,2,4 B 2,0,2,4 C0,2,4,6 D2,4 2已知复数 10 2 3 zi i （i是虚数单位） ，则z的共轭复数是（ ） A3 3i B33i C 1513 44 i D 1513 44 i 3若 3 sin 5 ，且, 2 ，则tan 4 （ ） A 3 4 B
2、 3 4 C7 D 1 7 4若某 10 人一次比赛得分数据如茎叶图所示，则这组数据的中位数是（ ） A82.5 B83 C93 D72 5已知命题:p若1a ，则 0.2 log 0.21 a a ；命题:q若函数 22 ( )1f xmxm x在(1,)上单调递 增，则实数m的取值范围为(,0)(0,2下列说法正确的是（ ） Apq为真命题 Bq为真命题 Cp为假命题 D()pq为假命题 6设实数, x y满足不等式组 1, 2, 3, xy xy x 则2zxy的最小值为（ ） A2 B2 C1 D7 7曲线 3 sinyxx在点(0,0)处的切线方程为（ ） A10xy B0xy C1
3、0xy D0xy 8.若双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点( ,0)c到渐近线的距离为 2 3 8 a c ，则双曲线C的离心率为 （ ） A3 B 10 3 C 3 2 4 D 4 2 3 9已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A2212 B2412 C2612 D2012 10在ABC中， 4 ACB ，点D在线段BC上，212ABBD，10AD ，则AC （ ） A 10 2 3 B 20 2 3 C 8 7 9 D 16 7 3 11已知函数( )sin2cos(0)f xmxx图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为 6 ，且 (0)
4、6 9 ff ，则函数( )f x在下列区间单调递减的是（ ） A0, 4 B, 24 C, 3 2 D 52 , 63 12已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F，过y轴上的一点E作直线EF与抛物线C交于,A B两 点若EAAF，且| 12BF ，则点A的横坐标为（ ） A1 B3 C2 D4 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知向量(3, 2),(1, )mn，若mn，则|n _ 14已知函数 2 2 3,3, ( ) 818,3, x x f x xxx 则函数( )( )2g xf x的零点个数为_ 15如图，在边长为 2 的正六边形内随机地
5、撒一把豆子，落在正六边形ABCDEF内的豆子粒数为 626，落 在阴影区域内的豆子粒数为 313，据此估计阴影的面积为_ 16在四棱锥SABCD中，底面四边形ABCD为矩形，SA平面ABCD，,P Q别是线段,BS AD的 中点，点R在线段SD上若4,2,ASADARPQ，则AR _ 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说眀、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生 都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分 17 （本小题满分 12 分） 某学校高中三个年级共有 4000 人，为了了解各年级学生周末在家的学习情况，现通过分层抽样的方法
6、获得 20 位学生周末学习时间如下（单位：小时） ，其中高一学生周末的平均学习时间记为x 高一：14 15 15.5 16.5 17 17 18 19 高二：15 16 16 16 17 17 18.5 高三：16 17 18 21.5 24 （1）求每个年级的学生人数； （2）从高三被抽查的同学中随机抽取 2 人，求 2 人学习时间均超过x的概率 18 （本小题满分 12 分） 已知数列 n a的前n项和为 n S，且 2 23 n Snn （1）求数列 n a的通项公式； （2）设数列 1 1 2 nn aa 的前n项和为 n T，求证 1 15 n T 19 （本小题满分 12 分） 如
7、图，在三棱柱 111 ABCABC中， 1 AA 平面ABC，, ,D E F分别是 111 ,BC AB AA的中点，点G在线段 BC上，ABCACE （1）求证：/ /EF平面 1 ABC； （2）若平面/EFG平面 1 ABD， 1 90 ,4BACABAA ，求点 1 B到平面FEG的距离 20 （本小题满分 12 分） 已知函数( )ln(1)f xxm x （1）若3m，求函数( )f x的极值； （2）当1,)x时，( ) x eef xe，求实数m的取值范围 21 （本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 1 22 :1(0) xy Cab ab 的左、 右焦点分别为 12 ,
8、F F， 点P在椭圆 1 C上， 1121 ,1PFFF PF， 且 1 C的离心率为 2 2 抛物线 2 2: 4 x Cy ，点, M N在 2 C上 （1）求椭圆 1 C的方程； （2）过点,M N作 2 C的切线 12 ,l l，若 12 ll，直线MN与 1 C交于,P Q两点，求POQ面积的最大值 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分 22 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 3 , 33 xt yt （t为参数） ，以坐标原点为极点，x轴的非 负半轴为极
9、轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C极坐标方程为 222 3sin12 （1）求直线l的极坐标方程和曲线C的参数方程； （2）若(1,0)P，直线l与曲线C交于,M N两点，求|PMPN的值 23 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数( ) |2|22|f xxmx （1）若3m，求不等式( )8f x 的解集； （2）若 12 ,(0,)xRx，使得 2 122 32f xxx，求实数m的取值范围 参考答案参考答案 1A 依题意，| 360,1,2,3,4,5MxNx ，故0,2,4MN故选 A 2B 1010(3)10(3) 2223233 3(3)(3)10 i
10、i ziiiiii iii ，3 3zi 故选 B 3 D 若 3 sin 5 ， 且, 2 ， 则 2 2 34 cos1sin1 55 ， 所 以 3 s i n3 5 t a n 4 c o s4 5 ，所以 3 tantan1 1 44 tan 347 1tantan11 44 故选 D 4 A 将这组数据从小到大排列为 72， 74， 76， 81， 82， 83， 86， 93， 93， 99， 则这组数据的中位数是 8283 2 ， 即 82.5故选 A 5 D 若1a ， 则 函 数l o g a yx与 函 数 x ya在(0,)上 单 调 递 增 ， 所 以 0.20 lo
11、g 0.2log 10,1 aa aa， 0.2 log 0.21 a a ，命题p是真命题；函数 22 ( )1f xmxm x在 (1,)上单调递增，则 2 0, 1, 2 m m m 解得02m，命题q是假命题故选 D 6 B 作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示， 观察可知， 当直线2zxy过点(3,4)A时， z有最小值 2故选 B 7D 2 3c osyxx ，则0x 时，1y ，切线方程为0(0)yx ，即0xy故选 D 8C 由题意，得双曲线C的右焦点( ,0)c到渐近线0bxay的距离为 22 bc b ab ，故 2 3 8 a b c ，则 22 833bccb
12、，即 22 3830cbcb，解得3cb，则 2222 8acbb，所以双曲线C的离心率为 2 2 3 2 1 4 b a 故选 C 9 A 由 三 视 图 可 知 ， 该 几 何 体 为 圆 柱 进 行 切 割 所 得 的 组 合 体 ， 所 以 所 求 表 面 积 为 2 223 425222212 故选 A 10D 如图，在ABD中，由余弦定理和推论，得 222 14436 1005 cos 22 1269 ABBDAD B AB BD ， 故 2 14 sin 9 B ；在ABC中，由正弦定理，得 sinsin ABAC CB ，解得 16 7 3 AC 故选 D 11 B 依 题 意
13、 ， 得 46 T ， 则 2 3 T ， 所 以 2 3 T 因 为( 0 )6 9 ff ， 则 3 ()216 2 fxm，解得2 3m ，所以( )2 3sin32cos34sin 3 6 f xxxx ，则函数 ( )f x在0, 4 上先增后减，在, 24 上单调递减，在, 3 2 上先减后增，在 52 , 63 上单调 递增故选 B 12 C 设 直 线: 2 p E Fykx ， 与 2 2yp x联 立 可 得 22 222 20 4 p k k xp kx， 则 1122 ,A xyB xy，则 2 12 4 p x x 又,0 , 2 p FEAAF ，故 1 4 p x
14、 由|12|BF ，得 2 12 2 p x ， 则 2 12 12 424 ppp x x ，解得8p （0p 舍去） ，所以 1 2x 故选 C 13 13 2 依题意，0m n，即3 20，解得 3 2 ，故 2 2 313 |1 22 n 142 在同一直角坐标系中分别作出( ),2yf xy的图象如右图所示，由图可知( )yf x与2y 的 图象有 2 个交点，即函数( )g x恰有 2 个零点 153 3 边长为 2 的正六边形的面积 13 6226 3 22 S 据题设分析知阴影区域面积 0 313 6 33 3 626 S 16 4 5 5 取 4 5 5 的中点E， 连接,P
15、E QE 因为SA平面ABCD，AB 平面ABCD， 所以SAAB， 而,ABAD ADSAA，所以AB 平面SAD，故PE 平面SAD，又AR 平面SAD，所以 PEAR 因为PEPQP， 所以AR 平面PEQ， 因为EQ 平面PEQ所以AREQ 因为,E Q 分别为,SA AD的中点，所以/ /EQSD，ARSD，在直角三角形ASD中，4,2ASAD，可求得 4 5 5 AR 17解： （1）由于三个年级被抽查的人数分别是 8，7，5， 故高一年级的学生人数为 8 40001600 875 ； 2 分 高二年级的学生人数为 7 40001400 875 ； 4 分 高三年级的学生人数为 5
16、 40001000 875 6 分 （2）依题意， 1 (1415 15.5 16.5 17171819)16.5 8 x ， 7 分 在高三被抽查的同学中随机抽取 2 人， 所以可能的情况为(16,17)，(16,18)，(16,21.5)，(16,24)，(17,18)， (17,21.5)，(17,24)，(18,21.5)，(18,24)，(21.5,24)，共 10 种， 9 分 其中满足条件的为(17,18)，(17,21.5)，(17,24)，(18,21.5)，(18,24)，(21.5,24)，共 6 种， 11 分 故所求概率 63 105 P 12 分 18解： （1）当
17、1n 时， 11 224Sa，解得 1 2a ； 2 分 当2n时， 22 1 23,23(1)(1) nn SnnSnn ， 3 分 两式相减，得262 n an，解得31 n an 4 分 又1n 时， 1 3 1 12a ， 故 * 31 n annN 6 分 证明： （2）依题意，得 12 11111 (32)(35)3 3235 nn aannnn ， 8 分 则 1 111111 3 588113235 n T nn 1 11 3 535n 111 153(35)15n ， 10 分 即 1 15 n T 12 分 19证明： （1）因为在 1 A AB中，, E F分别是 1 ,
18、AB AA的中点， 所以 1 / /EFAB， 2 分 又 1 AB 平面 1 ABC，EF 平面 1 ABC， 3 分 所以/ /EF平面 1 ABC 4 分 解： （2）设点 1 B到平面EFG的距离为 2 h，点G到平面 1 B EF的距离为 1 h， 取BC中点H，连接AH，易证 1 / /ADAH 因为平面/EFG平面 1 ABD， 1 AD 平面 1 ABD， 所以 1 / /AD平面EFG，所以/ /AH平面EFG 5 分 又AH 平面ABC，平面ABC平面EFGEG， 所以/AHEG 6 分 又E为AB中点，所以G为BH中点，即 1 2 4 BGBC， 7 分 则 11 1 1
19、1 1 62 33 G B EFB EF Vh S ，2 2EF ， 2 4222 22 2 EG ， 2 16224210 2 AG ，41014FG ， 9 分 在EFG中，由余弦定理的推论，得 222 8 1425 7 cos 21422 214 EFFGEG EFG EF FG ， 故 2 21 sin1cos 14 EFGEFG， 11 分 故 1 22 11121 2 2142 33214 BGEFGEF VhSh ， 解得 2 2 3h ，即点 1 B到平面FEG的距离为2 3 12 分 20解： （1）当3m时，( )ln3(1)f xxx，则 113 ( )3 x fx xx
20、 ， 1 分 当 1 0, 3 x 时，( )0fx ，函数( )f x在 1 0, 3 上单调递增：当 1 , 3 x 时，( )0fx ，函数( )f x 在 1 , 3 上单调递减， 3 分 所以当 1 3 x 时，函数( )f x有极大值极大值为 111 ln312ln3 333 f ，无极小值 4 分 （2）依题意，得ln(1) x eexm xe，即 1 ln(1) 1 x exm x ， 令 1 ( )ln(1) x g xexm x ，则( )(1)g xg， 1 1 ( ) x g xem x ，令 1 1 ( ) x F xem x ，则 1 2 1 ( ) x F xe
21、x 6 分 令 1 2 1 ( )( )(0) x xF xex x ，所以 1 3 2 ( )0 x xe x ， 所以( )F x 在1,)上单调递增，(1)0F，当1,)x时，( ) 0F x ， 所以( )F x在1,)x上单调递增，且(1)2(1)Fmg 8 分 当2m时，1,)x，( ) 0, ( )g xg x 在1,)上单调递增，( )(1)1g xg，满足条件； 9 分 当2m时，(1)20gm 又因为 ln 11 (ln1)0 ln1ln1 m gmem mm ，所以 0 (1,ln1)xm，使得 0 0gx ， 当 0 1,( )0xxg x ；当 0,ln 1 ,( )
22、0xxmg x ， 所以( )g x在 0 1,x上单调递减，当 0 1,xx时，都有( )(1)1g xg，不符合题意 11 分 综上所述，实数m的取值范围为(,2 12 分 21解： （1）依题意，得 222 2 2 , 2 1 , , c a abc b a 2 分 解得2,2ab， 3 分 故椭圆 1 C的方程为 22 1 42 xy 4 分 （2）设直线:MNykxm， 11 ,M x y， 22 ,N xy， 33 ,P x y， 44 ,Q x y， 由 2 , 4 , ykxm xy 得 2 440xkxm，则 1212 4 ,4xxk x xm ， 6 分 由 2 4 x y
23、 ，得 12 1212 ,1 2224 ll xxxx x ykk ，又 12 4x xm ，所以1m ， 所以直线:1MNykx； 7 分 联立 22 1, 1, 42 ykx xy 得 22 12420kxkx， 所以 3434 22 42 , 1212 k xxx x kk ， 8 分 2 22 34 2 8 14 |11 12 k PQkxxk k ， 而原点到直线PQ的距离 2 1 1 d k ， 9 分 故 22 2 22 2 8 142 14 111 |1 221212 1 OPQ kk SdPQk kk k ， 10 分 设 2 12(1)tkt ， 则 2 1 2 t k 与
24、代入上式可得 2 2211 2112 OPQ t S tt ， 当1t ， 即0k 时，OPQ的面积最大，最大值为2 12 分 22解： （1）依题意，得直线:330lxy，即3 cossin30， 所以直线l的极坐标方程为2 cos3 6 2 分 因为 222 3sin12，则 22 3412xy，即 22 1 43 xy ， 4 分 所以曲线C的参数方程为 2cos , 3sin x y （为参数） 5 分 （2）设,M N点对应的参数为 12 , t t，将直线l的参数方程 3 , 33 xt yt （t为参数） ，代入 22 1 43 xy ， 得 2 5 380tt， 7 分 则 1
25、21 2 8 3 ,0 15 ttt t， 8 分 不妨设 1 0t ，则 2 8 3 15 t ， 所以 12 8 316 | 2312312231 155 PMPNtt 10 分 23解： （1）当3m时，|23|22| 8xx 若1x，则3 2228xx ，得 7 4 x ，所以 7 1 4 x ； 1 分 若 3 1 2 x ，则3 22258xx ，所以 3 1 2 x 剟； 2 分 若 3 2 x ，则23 228xx ，得 9 4 x ，所以 39 24 x 3 分 综上所述，不等式的解集为 7 9 , 4 4 5 分 （2） 111 32223 |2| 3f xxmxm ， 6 分 而当 2 (0,)x 时， 2 2 222 2111xxx， 所以 2 122 32f xxx等价于|2| 31m， 8 分 解得0m或4m ，即实数m的取值范围为(, 40,) 10 分
