1、2020 年年 4 月月高考数学二诊试卷（文科）高考数学二诊试卷（文科） 一、选择题（共 12 小题） 1已知集合 Ax|x22x30，Bx|log2x1，则 AB（ ） A（2，+） B（2，3 C1，3 D1，+） 2欧拉公式 eixcosx+isinx（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函 数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论里非常 重要， 被誉为 “数学中的天桥” 根据欧拉公式可知， 表示的复数位于复平面中的 （ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3在停课不停学期间，某学校组织高三年级学生参加网络数学测试，测试成绩
2、的频率分布 直方图如图，测试成绩的分组为10， 30） ，30，50） ，50， 70） ，70，90），90，110）， 110，130），130，150，若低于 70 分的人数是 175 人，则该校高三年级的学生人数是 （ ） A350 B500 C600 D1000 4已知点 ， 在幂函数 f（x）x n 的图象上，设 ，bf（ln）， ， 则 a，b，c 的大小关系为（ ） Abac Babc Cbca Dacb 5已知点 ， 落在角 的终边上，且 （0，2），则 的值为（ ） A B C D 6 已知 p： xk， ： ， 若 p 是 q 的充分不必要条件， 则实数 k 的取值范围是
3、 （ ） A1，+） B（1，+） C（，1 D（，1） 7某街道招募了志愿者 5 人，其中 1 人来自社区 A，2 人来自社区 B，2 人来自社区 C现 从中随机选取 2 个志愿者参加抗击新型冠状病毒活动，则这 2 人来自不同社区的概率为 （ ） A B C D 8已知函数 ，f（x1）2，f（x2）2，且|x1x2|最小值 为 ，若将 yf（x）的图象沿 x 轴向左平移 （0）个单位，所得图象关于原点对称， 则实数 的最小值为（ ） A B C D 9设实数 x、y 满足 ，则 的最大值为（ ） A B2 C D2 10已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点
4、，直线 PF 与抛物线 C 交于 M，N 两点，若 ，则|MN|（ ） A B3 C D9 11已知 ， ， 对任意 x1，x2（，+）且 x1x2，都有 ，那么实数 a 的取值范围是（ ） A（1，+） B（0，1） C ， D ， 12两球 O1和 O2在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1的内部，且互相外切，若球 O1与 过点 A 的正方体的三个面相切，球 O2与过点 C1的正方体的三个面相切，则球 O1和 O2 的表面积之和的最小值为（ ） A B C D 二、填空题： 本大题共 4 小题，每小题 5 分， 共 20 分请把答案填在答题卡相应的位置上 13设非零向量 ， 满足
5、 ，且 ，则向量 与 的夹角为 14 在高台跳水运动中， 某运动员相对于水面的高度 h （单位： m） 与起跳后的时间 t （单位： s） 存在函数关系式 h4.9t2+6.5t+10， 则该运动员在 t2 时的瞬时速度是 （m/s） 15设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 acosBsinC+bcosAsinCc2，则 ABC 外接圆的面积是 16已知双曲线 C： ， 的左、右焦点分别为 F1，F2，一条渐近线为 l，过点 F2且与 l 平行的直线交双曲线 C 于点 M，若|MF1|2|MF2|，则双曲线 C 的离心率 为 三、解答题：共 70 分解答时应写出必要的文
6、字说明、演算步骤或推理过程并答在答题 卡相应的位置上第 17 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22 题第 23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17一奶茶店制作了一款新奶茶，为了进行合理定价先进行试销售，其单价 x（元）与销量 y（杯）的相关数据如表： 单价 x（元） 8.5 9 9.5 10 10.5 销量 y（杯） 120 110 90 70 60 （）已知销量 y 与单价 x 具有线性相关关系，求 y 关于 x 的线性回归方程； （）若该款新奶茶每杯的成本为 7.7 元，试销售结束后，请利用（）所求的线性回归 方程确定单价定为多少元时，销售的利润
7、最大？（结果保留到整数） 参考公式：线性回归方程 y 中斜率和截距最小二乘法估计计算公式： ， ，参考数据： 4195， 453.75 18已知数列an的前 n 项和为 Sn，a11，an+12Sn+1 （）求an的通项公式； （）设 bnlog3（an an+1），数列bn的前 n 项和为 Tn，求证： 19如图，平面 ABCD平面 ADEF，其中 ABCD 为矩形，ADEF 为直角梯形，AFDE， AFFE，AF2EF2DE2 （）求证：FD平面 ABCD； （）若三棱锥 BADF 的体积为 ，求点 A 到面 BDF 的距离 20已知函数 f（x）ex+ax（aR），g（x）exlnx（e
8、 为自然对数的底数） （）设曲线 yf（x）在 x1 处的切线为 l，点（1，0）到直线 l 的距离为 ，求 a 的 值； （）若对于任意实数 x0，f（x）0 恒成立，试确定实数 a 的取值范围； （）当 a1 时，函数 M（x）g（x）f（x）在1，e上是否存在极值？若存在， 求出极值；若不存在，请说明理由 21已知圆 C：（x+2）2+y224 与定点 M（2，0），动圆 I 过 M 点且与圆 C 相切， 记动圆圆心 I 的轨迹为曲线 E （）求曲线 E 的方程； （）斜率为 k 的直线 l 过点 M，且与曲线 E 交于 A，B 两点，P 为直线 x3 上的一点， 若ABP 为等边三角形
9、，求直线 l 的方程 （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如多做，则按所做的第一题 计分.选修 4-4：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），以坐标原 点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 C 的极坐标方程为 sin28cos （）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （） 已知点M的直角坐标为 （2， 0） ， 直线l和曲线C交于A、 B两点， 求 的值 选修 4-5：不等式选讲 23已知 f（x）|2x+a2| （）当 a2 时，求不等式 f（x）+|x1|5 的解集
10、； （）若对于任意实数 x，不等式|2x+3|f（x）2a 成立，求实数 a 的取值范围 参考答案参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.请将正确答案的代号填涂在答题卡相应的位置上. 1已知集合 Ax|x22x30，Bx|log2x1，则 AB（ ） A（2，+） B（2，3 C1，3 D1，+） 【分析】求出 A，B 中不等式的解集确定出 A，B，找出 A 与 B 的并集即可 解：由 A 中不等式变形得：（x3）（x+1）0， 解得：1x3，即 A1，3， Bx|log2x12，+）， AB1，+）， 故选
11、：D 【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键 2欧拉公式 eixcosx+isinx（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函 数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论里非常 重要， 被誉为 “数学中的天桥” 根据欧拉公式可知， 表示的复数位于复平面中的 （ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】根据欧拉公式、三角函数值的符号即可得出 解： cos isin cos isin cos 0，sin 0 表示的复数位于复平面中的第三象限 故选：C 【点评】本题考查了欧拉公式、三角函数值的符号，考查了推理能
12、力与计算能力，属于 基础题 3在停课不停学期间，某学校组织高三年级学生参加网络数学测试，测试成绩的频率分布 直方图如图，测试成绩的分组为10， 30） ，30，50） ，50， 70） ，70，90），90，110）， 110，130），130，150，若低于 70 分的人数是 175 人，则该校高三年级的学生人数是 （ ） A350 B500 C600 D1000 【分析】由频率分布直方图求出低于 70 分的频率，再由低于 70 分的人数，能求出该校 高三年级的学生人数 解：由频率分布直方图得： 低于 70 分的频率为：（0.005+0.005+0.0075）200.35， 低于 70 分的
13、人数是 175 人， 该校高三年级的学生人数为： 500 故选：B 【点评】本题考查样本单元数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运 算求解能力，是基础题 4已知点 ， 在幂函数 f（x）x n 的图象上，设 ，bf（ln）， ， 则 a，b，c 的大小关系为（ ） Abac Babc Cbca Dacb 【分析】把点坐标代入幂函数解析式，求出 n 的值，再利用幂函数的单调性即可解题 解：点 ， 在幂函数 f（x）x n 的图象上， ，n3， 幂函数 f（x）x3 ，在（0，+）上单调递减， 又 ， ，即 acb， 故选：C 【点评】本题主要考查了幂函数的定义和幂函数的单调性，是基
14、础题 5已知点 ， 落在角 的终边上，且 （0，2），则 的值为（ ） A B C D 【分析】利用任意角的三角函数的定义求出 sin 和 cos 的值，再结合 的范围，即可 得到 的值 解：点 ， 落在角 的终边上， sin cos ，cos sin ， 又（0，2）， ， 故选：D 【点评】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，是基础题 6 已知 p： xk， ： ， 若 p 是 q 的充分不必要条件， 则实数 k 的取值范围是 （ ） A1，+） B（1，+） C（，1 D（，1） 【分析】 ： ，化为：（x+1）（x1）0，解得 x 范围根据 p 是 q 的充分不 必要条件，可得实数
15、k 的取值范围 解： ： ，化为： 0，即（x+1）（x1）0，解得 x1，或 x1 p 是 q 的充分不必要条件，k1 则实数 k 的取值范围是（1，+） 故选：B 【点评】 本题考查了不等式的解法、 简易逻辑的判定方法， 考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 7某街道招募了志愿者 5 人，其中 1 人来自社区 A，2 人来自社区 B，2 人来自社区 C现 从中随机选取 2 个志愿者参加抗击新型冠状病毒活动，则这 2 人来自不同社区的概率为 （ ） A B C D 【分析】基本事件总数 n ，这 2 人来自不同社区包含的基本事件个数 m 8，由此能求出这 2 人来自不同社区的概率 解： 某
16、街道招募了志愿者 5 人， 其中 1 人来自社区 A， 2 人来自社区 B， 2 人来自社区 C 现从中随机选取 2 个志愿者参加抗击新型冠状病毒活动， 基本事件总数 n ， 这 2 人来自不同社区包含的基本事件个数 m 8， 则这 2 人来自不同社区的概率为 p 故选：D 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能 力，是基础题 8已知函数 ，f（x1）2，f（x2）2，且|x1x2|最小值 为 ，若将 yf（x）的图象沿 x 轴向左平移 （0）个单位，所得图象关于原点对称， 则实数 的最小值为（ ） A B C D 【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换
17、把函数的关系式变形成正弦型函数，进一 步利用函数的性质的应用求出结果 解：函数 2sin（x ），由于函数满足 f（x1）2， f（x2）2，且|x1x2|最小值为 ， 所以 T，解得 2 故 f（x）2sin（2x ） 将yf （x） 的图象沿x轴向左平移 （0） 个单位， 所得函数g （x） 2sin （2x+2 ） 图象， 由于函数 g（x）关于原点对称， 所以 2 k（kZ），解得 （kZ）， 当 k0 时， ， 即实数 的最小值为 故选：A 【点评】 本题考查的知识要点： 三角函数关系式的恒等变换， 正弦型函数的性质的应用， 函数的图象的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能
18、力及思维能力，属于 基础题型 9设实数 x、y 满足 ，则 的最大值为（ ） A B2 C D2 【分析】先根据条件求得（x，y）以（1，0）为圆心， 为半径的圆的下半圆；再根 据圆心到直线的距离即可求得结论 解：实数 x、y 满足 ， （x+1）2+y25；表示以（1，0）为圆心， 为半径的圆的下半圆； 令 kkxy4k50； 因为圆与直线有公共点； d 2k ； 故 的最大值为 （此时切于下半圆上） 故选：A 【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，以及数形结合思想，属于基础题目 10已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，直线 PF 与抛物线 C 交于 M
19、，N 两点，若 ，则|MN|（ ） A B3 C D9 【分析】由 可知 ，再结合抛物线的定义、锐角三角函数可得直线 MN 的斜率，从而得到直线 MN 的方程，将其与抛物线的方程联立，解出 x 的值，也就是 M、N 两点的横坐标，最后利用抛物线的定义可得焦点弦|MN|的长度 解：由题可知，点 F 的坐标为（1，0）， ， ， 如图所示，过点 M 作 MQ直线 l 于点 Q，则|MF|MQ|， 在 RtPQM 中，cosPMQ ，tanPMQ ， 直线 MN 的方程为 ， 联立 ，得 2x25x+20，解得 或 ， 由抛物线的定义可知，|MN| 故选：C 【点评】本题考查抛物线的定义、直线与抛物
20、线的位置关系、平面向量的线性运算，熟 练运用抛物线的定义是解题的关键，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题 11已知 ， ， 对任意 x1，x2（，+）且 x1x2，都有 ，那么实数 a 的取值范围是（ ） A（1，+） B（0，1） C ， D ， 【分析】根据题意，由函数单调性的定义分析可得函数 f（x）在 R 上是增函数，结合函 数的解析式可得 ，解可得 a 的取值范围，即可得答案 解：根据题意，f（x）满足对任意 x1，x2（，+）且 x1x2，都有 ， 则函数 f（x）在 R 上是增函数， 又由 ， ， ，则有 ， 解可得： a4，即 a 的取值范围为（ ，4） 故选：D 【点评
21、】本题考查分段函数的单调性，注意函数单调性的定义，属于基础题 12两球 O1和 O2在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1的内部，且互相外切，若球 O1与 过点 A 的正方体的三个面相切，球 O2与过点 C1的正方体的三个面相切，则球 O1和 O2 的表面积之和的最小值为（ ） A B C D 【分析】设出球 O1与球 O2的半径，求出面积之和，利用相切关系得到半径与正方体的 对角线的关系，通过基本不等式，从而得出面积的最小值 解：截面如图所示： 设球 O1与球 O2的半径分别为 r1，r2，r1+r2 （r1+r2）2 r 1+r2 3 ， r1+r22 ，球 O1与球 O2的面积
22、之和为： S4（r12+r22）4（r1+r2）28r1r24（r1+r2）22（r1+r2）22（3 ）2 2412 12（2 ）， 当且仅当 r1r2时取等号，其面积最小值为 12（2 ）， 故选：D 【点评】本题是中档题，考查球与正方体相切关系的应用，考查基本不等式求解最值问 题，考查计算能力，空间想象能力 二、填空题： 本大题共 4 小题，每小题 5 分， 共 20 分请把答案填在答题卡相应的位置上 13设非零向量 ， 满足 ，且 ，则向量 与 的夹角为 【分析】根据题意，设向量 与 的夹角为 ，设| |t，则| |2t，由向量垂直与数量积 的关系可得 （ ） 2 t 22t2cos0
23、，变形可得 cos 的值，结合 的范 围分析可得答案 解：根据题意，设向量 与 的夹角为 ， 又由 ，设| |t0，则| |2t， 又由 ，则 （ ） 2 t 22t2cos0， 变形可得：cos ； 又由 0，则 ； 故答案为： 【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量垂直的性质以及应用，属于基础题 14 在高台跳水运动中， 某运动员相对于水面的高度 h （单位： m） 与起跳后的时间 t （单位： s）存在函数关系式 h4.9t2+6.5t+10，则该运动员在 t2 时的瞬时速度是 13.1 （m/s） 【分析】根据导数的物理意义，运动员在 t2 时的瞬时速度即为在此处的导数值 解：h（
24、t）9.8t+6.5， 所以 h（2）13.1（m/s） 故答案为：13.1 【点评】本题考查导数的物理意义和导数的运算，属于基础题 15设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 acosBsinC+bcosAsinCc2，则 ABC 外接圆的面积是 【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式化简已知 等式，结合 sinC0，可得 sinCc，设ABC 外接圆的半径为 R，则由正弦定理可求 R 的值，进而可求ABC 外接圆的面积 解：acosBsinC+bcosAsinCc2， 由正弦定理可得：sinAcosBsinC+sinBcosAsinCcsi
25、nC， sinC0， sinAcosB+sinBcosAc，即 sin（A+B）sinCc， 设ABC 外接圆的半径为 R，则 2R 1，可得 R ， ABC 外接圆的面积 SR2 故答案为： 【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导 公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题 16已知双曲线 C： ， 的左、右焦点分别为 F1，F2，一条渐近线为 l，过点 F2且与 l 平行的直线交双曲线 C 于点 M，若|MF1|2|MF2|，则双曲线 C 的离心率 为 【分析】利用已知条件，结合双曲线定义，通过余弦定理以及渐近线的斜率，列出关系 式求解双曲
26、线的离心率即可 解：由题意可知|MF1|MF2|2a， 所以|MF2|2a，|MF1|4a，所以 16a24a2+4c222a2ccosMF2F1， tanMF2F1 ，所以 cosMF2F1 ， 所以：16a24a2+4c222a2c ，可得 5a 24c2 所以双曲线的离心率为：e 故选：C 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题 三、解答题：共 70 分解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程并答在答题 卡相应的位置上第 17 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22 题第 23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60
27、分 17一奶茶店制作了一款新奶茶，为了进行合理定价先进行试销售，其单价 x（元）与销量 y（杯）的相关数据如表： 单价 x（元） 8.5 9 9.5 10 10.5 销量 y（杯） 120 110 90 70 60 （）已知销量 y 与单价 x 具有线性相关关系，求 y 关于 x 的线性回归方程； （）若该款新奶茶每杯的成本为 7.7 元，试销售结束后，请利用（）所求的线性回归 方程确定单价定为多少元时，销售的利润最大？（结果保留到整数） 参考公式：线性回归方程 y 中斜率和截距最小二乘法估计计算公式： ， ，参考数据： 4195， 453.75 【分析】（）求出样本中心的坐标，求出回归直线方
28、程的斜率，然后求 y 关于 x 的线 性回归方程； （）设定价为 x 元，则利润函数为 y（32x+394）（x7.7），其中 x7.7，利用 回归直线方程转化求解即可 解：（）由表中数据，计算 （8.5+9+9.5+10+10.5）9.5， ， 则 ， ， 所以 y 关于 x 的线性相关方程为 （）设定价为 x 元，则利润函数为 y（32x+394）（x7.7），其中 x7.7， 则 y32x2+640.4x3033.8，所以 （元）， 为使得销售的利润最大，确定单价应该定为 10 元 【点评】本题考查线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心 点，这是线性回归方程中最常考
29、的知识点属于基础题 18已知数列an的前 n 项和为 Sn，a11，an+12Sn+1 （）求an的通项公式； （）设 bnlog3（an an+1），数列bn的前 n 项和为 Tn，求证： 【分析】本题第（）题根据题干 an+12Sn+1，可得当 n2 时有 an2Sn1+1 成立，两 式相减后再运用公式 anSnSn1（n2），进一步转化计算可判断出数列an是以 1 为 首项，以 3 为公比的等比数列，即可得到数列an的通项公式； 第（）题先由第（）题的结果计算出数列bn的通项公式并判别出数列bn是以 1 为 首项，2 为公差的等差数列，再通过等差数列的求和公式可计算出 Tn的表达式，再代
30、入 进行计算时运用 （n2） 进行放缩即可证明不等式成立 【解答】（）解：依题意，由 an+12Sn+1，可得当 n2 时，an2Sn1+1， 两式相减，得 an+1an2Sn+12Sn113an（n2）， 又a11，a22S1+121+13， a23a1符合上式， 数列an是以 1 为首项，以 3 为公比的等比数列， 故 ，nN* （）证明：由（）知，bnlog3（an an+1）log3（3n1 3n）log332n12n1， 则 bn2n11+（n1） 2， 故数列bn是以 1 为首项，2 为公差的等差数列， ， 1 1+1 2 2， 不等式 2 成立 【点评】本题主要考查数列求通项公式
31、，数列求和与不等式的综合问题考查了转化与 化归思想，放缩法，定义法，指、对数的运算，以及逻辑思维能力和数学运算能力本 题属中档题 19如图，平面 ABCD平面 ADEF，其中 ABCD 为矩形，ADEF 为直角梯形，AFDE， AFFE，AF2EF2DE2 （）求证：FD平面 ABCD； （）若三棱锥 BADF 的体积为 ，求点 A 到面 BDF 的距离 【分析】（）作 DHAF 于 H，由已知可得 HFDH1，得HDF45，ADH 45，即ADF90，则 DFAD，再由面面垂直的可得 FD面 ABCD； （）由平面 ABCD平面 ADEF，ABAD，得 AB平面 ADEF，设点 A 到面 B
32、DF 的 距离为 h，由 VBADFVABDF，即可求得点 A 到面 BDF 的距离 【解答】（）证明：作 DHAF 于 H， AFFE，AF2EF2DE2， HFDH1，得HDF45， AF2，AH1，则ADH45， ADF90，即 DFAD， 平面 ABCD平面 ADEF，平面 ABCD平面 ADEFAD，FD面 ABCD； （）解：平面 ABCD平面 ADEF，ABAD，AB平面 ADEF， 由 ，得|AB|1， 又 ，BD ，则 ， 设点 A 到面 BDF 的距离为 h，由 VBADFVABDF， 得 ，即 点 A 到面 BDF 的距离为 【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间
33、想象能力与思维能力，训练了利用 等体积法求空间中点到平面的距离，是中档题 20已知函数 f（x）ex+ax（a一、选择题），g（x）exlnx（e 为自然对数的底数） （）设曲线 yf（x）在 x1 处的切线为 l，点（1，0）到直线 l 的距离为 ，求 a 的 值； （）若对于任意实数 x0，f（x）0 恒成立，试确定实数 a 的取值范围； （）当 a1 时，函数 M（x）g（x）f（x）在1，e上是否存在极值？若存在， 求出极值；若不存在，请说明理由 【分析】（）由导函数求出曲线 yf（x）在 x1 处的切线 l 的方程，再由点（1，0） 到直线 l 的距离为 列式求解 a 的值； （）当
34、 x0 时，对任意实数 a，f（x）ex0 恒成立；当 x0 时，由 f（x）0 恒成 立，分离参数 a，然后 构造辅助函数 ，由导数求其最大值，则 a 的范围可求； （）把 f（x）和 g（x）的解析式代入 M（x）g（x）f（x），整理后求其导函数， 由其导函数恒大于 0 得到 M（x）是定义域内的增函数，从而说明函数 M（x）g（x） f（x）在1，e上不存在极值 解：（）f（x）ex+ax， f（x）ex+a，f（1）e+a， yf（x）在 x1 处的切线斜率为 f（1）e+a， 切线 l 的方程为 y（e+a）（e+a）（x1），即（e+a）xy0 又切线 l 与点（1，0）距离为
35、， ， 解之得，ae+1，或 ae1； （）对于任意实数 x0，f（x）0 恒成立， 若 x0，则 a 为任意实数时，f（x）ex0 恒成立； 若 x0，f（x）ex+ax0 恒成立，即 在 x0 上恒成立， 设 ，则 ， 当 x（0，1）时，Q（x）0，则 Q（x）在（0，1）上单调递增 当 x（1，+）时，Q（x）0，则 Q（x）在（1，+）上单调递减 当 x1 时，Q（x）取得最大值，Q（x）maxQ（1）e， a 的取值范围为（e，+） 综上，对于任意实数 x0，f（x）0 恒成立的实数 a 的取值范围为（e，+）； （）依题意，M（x）exlnxex+x， ， 设 ，则 ，当 x1，
36、e，h（x）0， 故 h（x）在1，e上单调增函数，因此 h（x）在1，e上的最小值为 h（1）0， 即 ， 又 ex0， 在1，e上， ， 即 M（x）g（x）f（x）在1，e上不存在极值 【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查了函数恒成立问题，训 练了利用构造函数法求解字母的范围，解答的关键是熟练掌握基本初等函数的导函数， 属高考试卷中的压轴题 21已知圆 C：（x+2）2+y224 与定点 M（2，0），动圆 I 过 M 点且与圆 C 相切， 记动圆圆心 I 的轨迹为曲线 E （）求曲线 E 的方程； （）斜率为 k 的直线 l 过点 M，且与曲线 E 交于 A，B 两
37、点，P 为直线 x3 上的一点， 若ABP 为等边三角形，求直线 l 的方程 【分析】（）设圆 I 的半径为 r，由题意可得|IC|+|IM|2 4 为定值，由椭圆的定义 可得 E 的轨迹为椭圆，且可知 a，c 的值，再由 a，b，c 之间的关系求出椭圆的方程； （） 设直线 l 的方程， 与椭圆联立求出两根之和及两根之积， 求出 AB 的中点 D 的坐标， 进而求出弦长|AB|，可得直线 PQ 的斜率，再由 P 在直线 x3 上，可得|PQ|的长，由 ABP 为等边三角形时，|PQ| |AB|，进而求出 k 的值 解：（）设圆 I 的半径为 r，题意可知，点 I 满足： |IC|2 r，|I
38、M|r， 所以，|IC|+|IM|2 ， 由椭圆定义知点 I 的轨迹是以 C，M 为焦点的椭圆， 所以 a ，c2，b ， 故轨迹 E 方程为： 1； （）直线 l 的方程为 yk（x2）， 联 消去 y 得（1+3k2）x212k2x+12k260 直线 yk（x2）恒过定点（2，0），在椭圆内部，所以0 恒成立，设 A（x1，y1）， B（x2，y2）， 则有 x1+x2 ，x1x2 ， 所以|AB| |x1x2| ， 设 AB 的中点为 Q（x0，y0），则 x0 ，y0 ， 直线 PQ 的斜率为 （由题意知 k0），又 P 为直线 x3 上的一点，所以 xP3， |PQ| |x 0xP
39、| ， 当ABP 为等边三角形时，|PQ| |AB|， 即 ， 解得 k1，即直线 l 的方程为 xy20，或 x+y20 【点评】 本题考查求轨迹方程和直线与椭圆的综合， 及等边三角形的性质， 属于中档题 （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如多做，则按所做的第一题 计分.选修 4-4：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），以坐标原 点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 C 的极坐标方程为 sin28cos （）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （） 已知点M的直角
40、坐标为 （2， 0） ， 直线l和曲线C交于A、 B两点， 求 的值 【分析】（）直接将直线的参数方程中的参数 t 消去，可得直线的普通方程，利用极 坐标方程与直角坐标方程的互化公式可得曲线 C 的直角坐标方程； （）将直线的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程，化为关于 t 的一元二次方程，由 根与系数的关系结合此时 t 的几何意义求解 解：（）将 中参数 t 消去得 xy20， 将 代入 sin 28cos，得 y28x， 直线 l 和曲线 C 的直角坐标方程分别为 xy20 和 y28x； （）将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程，得 ， 设 A、B 两点对应的参数为 t1，t
41、2，则|MA|t1|，|MB|t2 |，且 ，t1t232， 16， 【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是直线参数 方程中此时 t 的几何意义的应用，是中档题 选修 4-5：不等式选讲 23已知 f（x）|2x+a2| （）当 a2 时，求不等式 f（x）+|x1|5 的解集； （）若对于任意实数 x，不等式|2x+3|f（x）2a 成立，求实数 a 的取值范围 【分析】（）由题意可得|2x+4|+|x1|5，由零点分区间法，绝对值的定义，去绝对 值，解不等式，求并集，即可得到所求解集； （）由题意可得|2x+3|2x+a2|2a 恒成立，运用绝对值不等式的性质
42、可得该不等式左 边的最大值，再由绝对值的解法和二次不等式的解法可得所求范围 解：（）当 a2 时，f（x）+|x1|2x+4|+|x1|5， 则 或 或 ， 解得 x 或 0x1 或 x1， 所以原不等式的解集为（， 0，+）； （）对于任意实数 x，不等式|2x+3|f（x）2a 成立， 即|2x+3|2x+a2|2a 恒成立， 又因为|2x+3|2x+a2|2x+32xa2|a23|， 要使原不等式恒成立，则只需|a23|2a， 由2aa232a， 即 ，即为 或 ， 可得 1a3， 所以实数 a 的取值范围是（1，3） 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立问 题解法，注意运用绝对值不等式的性质，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题
