1、2020 年海南省普通高中高考调研测试数学试题年海南省普通高中高考调研测试数学试题 审题单位：海南华侨中学 考生注意： 1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分考试时间 120 分钟 2请将各题答案填写在答题卡上 3本试卷主要考试内容：高考全部内容 第卷 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1设集合 |214Axx ， 2 |412 0Bx xx，则 R AB（ ） A( 2, 1) B( 3,6) C( 3,6 D( 6,2) 2已知复数1zi ，z为z的共轭复数，则 1z z （ ） A
2、 3 2 i B 1 2 i C 13 2 i D 13 2 i 3已知向量(0,2)a ，(2 3, )bx，且a与b的夹角为 3 ，则x （ ） A2 B2 C1 D1 4 “l nl nmnn”是“ 22 mn”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5若双曲线 22 1(0)mxnym的离心率为5，则 m n （ ） A 1 4 B 1 4 C4 D4 6张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五已知 三棱锥ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AB 底面BCD，BCCD，且3ABCD， 2BC ，利用张
3、衡的结论可得球O的表面积为（ ） A30 B10 10 C33 D12 10 7已知 1 ( ) x x e f x ea 是定义在R上的奇函数，则不等式 2 (3)9f xfx的解集为（ ） A( 2,6) B( 6,2) C( 4,3) D( 3,4) 8已知等差数列 n a， n b的前n项和分别为 n S和 n T，且 5 21 n n Sn Tn ，则 7 6 a b （ ） A 6 7 B 12 11 C 18 25 D 16 21 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求的全部选对的得 5 分，部分选对的得 3
4、分，有选错的得 0 分 9为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了 20 名肥胖者，健身之前他们的体重（单位：kg）情况 如柱形图 1 所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如柱形图 2 所示 对比健身前后，关于这 20 名肥胖者，下面结论正确的是（ ） A他们健身后，体重在区间90,100)内的人数增加了 2 个 B他们健身后，体重在区间100,110)内的人数没有改变 C因为体重在100,110)内所占比例没有发生变化，所以说明健身对体重没有任何影响 D他们健身后，原来体重在区间110,120)内的肥胖者体重都有减少 10将函数( )sin33cos31f xxx的图象向左平移 6 个
5、单位长度，得到函数( )g x的图象，给出下列 关于( )g x的结论：它的图象关于直线 5 9 x 对称；它的最小正周期为 2 3 ；它的图象关于点 11 ,1 18 对称；它在 519 , 39 上单调递增其中正确的结论的编号是（ ） A B C D 11若104,1025 ab ，则（ ） A2ab B1ba C 2 8lg 2ab Dlg6ba 12已知函数( )sincosf xxxxx的定义域为 2 ,2 )，则（ ） A( )f x为奇函数 B( )f x在0, )上单调递增 C( )f x恰有 4 个极大值点 D( )f x有且仅有 4 个极值点 第卷 三、填空题：本题共 4
6、小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知函数 2 1 2 ,0, ( ) 3 4log,0, x x x f x x x 则( (8)ff_ 14某工厂质检部要对即将出厂的 1000 个零件进行质检，已知每个零件质检合格的概率为 0.95，且每个零 件质检是否合格是相互独立的，设质检合格的零件数为X，则随机变量X的方差DX _ 15已知0a ，0b，且2ab，则 51 5ab 的最小值是_ 16 在正方体 1111 ABCDABC D中，E为棱CD上一点， 且2CEDE，F为棱 1 AA的中点， 且平面BEF 与 1 DD交于点G，与 1 AC交于点H，则 1 DG DD _， 1 AH
7、HC _ （本题第一空 2 分，第 二空 3 分） 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分） 在cos23sin20BB，2 cos2bCa c， cos1 3sin bB aA 三个条件中任选一个，补充在下面 问题中，并加以解答 已知ABC的内角, ,A B C所对的边分别是, ,a b c，若_，且, ,a b c成等差数列，则ABC是否 为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 18 （12 分） 设等差数列 nn ab的公差为 2，等比数列 nn ab的公比为 2，且 1
8、2a ， 1 1b （1）求数列 n a的通项公式； （2）求数列 22n n a 的前n项和 n S 19 （12 分） 在四棱锥PABCD中，PAB是边长为2的等边三角形， 底面ABCD为直角梯形，ABCD，ABBC， 1BCCD，2PD . （1）证明：ABPD （2）求二面角APBC的余弦值 20 （12 分） 某工厂为提高生产效率，需引进一条新的生产线投入生产，现有两条生产线可供选择，生产线：有A，B 两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是 0.02，0.03若两道工序都没有出现故障，则 生产成本为 15 万元；若A工序出现故障，则生产成本增加 2 万元；若B工序出现
9、故障，则生产成本增加 3 万元；若A，B两道工序都出现故障，则生产成本增加 5 万元生产线：有a，b两道独立运行的生产 工序， 且两道工序出现故障的概率依次是 0.04， 0.01 若两道工序都没有出现故障， 则生产成本为 14 万元； 若a工序出现故障，则生产成本增加 8 万元；若b工序出现故障，则生产成本增加 5 万元；若a，b两道工 序都出现故障，则生产成本增加 13 万元 （1）若选择生产线，求生产成本恰好为 18 万元的概率； （2）为最大限度节约生产成本，你会给工厂建议选择哪条生产线？请说明理由 21 （12 分） 已知O为坐标原点，( 2,0)A ，(2,0)B，直线AG，BG相
10、交于点G，且它们的斜率之积为 3 4 记点G 的轨迹为曲线C （1）若射线2(0)xy与曲线C交于点D，且E为曲线C的最高点，证明：ODAE （2）直线:(0)l ykx k与曲线C交于,M N两点，直线,AM AN与y轴分别交于P，Q两点试问在 x轴上是否存在定点T，使得以PQ为直径的圆恒过点T？若存在，求出T的坐标；若不存在，请说明理 由 22 （12 分） 已知函数 22 ( )1 x f xaxaxe （1）若函数( )( )g xfx，试讨论( )g x的单调性； （2）若(0,),( )0xf x ，求a的取值范围 2020 年海南省普通高中高考调研测试数学试题参考答案年海南省普通
11、高中高考调研测试数学试题参考答案 1B 因为 | 31Axx ， | 26 RB xx ，所以 | 36 R ABxx 2C 1213 12 zii zi 3B 因为 2 21 cos 32 212 x x ，所以0x ，且 2 212xx，解得2x 4A 若lnlnmn，则0mn，从而 22 mn；若 22 mn，则| |mn，推不出lnlnmn 5 D 因为 22 1(0)mxnym可化为 22 1(0) 11 xy m mn ， 所以 2 2 15 b e a ， 则 2 2 1 4 1 b n a m ， 即4 m n 6B 因为BCCD，所以7BD ，又AB 底面BCD，所以球O的球
12、心为侧棱AD的中点，从而 球O的 直 径 为10 利 用 张 衡 的 结 论 可 得 2 5 168 ， 则10， 所 以 球O的 表 面 积 为 2 10 41010 10 2 7C 因为 1 ( ) x x e f x ea 是定义在R上的奇函数，所以(1)( 1)0ff，即 1 1 1 0 1 e e ea a e ，解得 1a ，即 12 ( )1 11 x xx e f x ee ，易知( )f x在R上为增函数又 2 (3)9f xfx，所以 2 39xx，解得43x 8A 因为等差数列 n a， n b的前n项和分别为 n S和 n T，且 5 21 n n Sn Tn ，所以可
13、设(5) n Skn n， (21) n Tknn，所以 776 18aSSk， 665 21bTTk，所以 7 6 6 7 a b 9ABD 体重在区间90,100)内的肥胖者由健身前的 6 人增加到健身后的 8 人，故人数增加了 2 个，A 正 确；他们健身后，体重在区间100,110)内的百分比没有变，所以人数没有变，B 正确；他们健身后，已经 出现了体重在80,90)内的人， 健身之前是没有这部分体重的， C错误； 因为图2中没有体重在区间110,120) 内的比例，所以原来体重在区间110,120)内的肥胖者体重都有减少，D 正确 10BC 因为()sin33cos312sin31
14、3 fxxxx ，所以 ()2sin312sin31 636 gxxx ，令3 62 xk ，得() 39 k xkZ ，所 以 5 9 x 不是对称轴错误， 显然正确： 令3 6 xk ， 得() 318 k xkZ ， 取2k ， 得 11 18 x ， 故关于点 11 ,1 18 对称，正确：令232, 262 kxkkZ 剟，得 222 3939 kk x 剟， 取2k ，得 1013 99 x 剟，取3k ，得 1619 99 x 剟，所以错误选项 BC 正确 11ACD 由104,1025 ab ，得lg 4,lg 25ab，则lg1002ab， 25 lglg6 4 ba， 2
15、4lg2lg54lg2lg48lg 2ab ，故选 ACD 12 BD 因 为( )f x的 定 义 域 为 2 ,2 )， 所 以( )f x是 非 奇 非 偶 函 数( )1cos(cossin )1sinfxxxxxxx ，当0, )x时，( )0fx，则( )f x在0, )上单 调递增显然( )0fx，令 0fx，得 1 sin x x ，分别作出sinyx， 1 y x 在区间 2 ,2 ) 上的图象，由图可知，这两个函数的图象在区间 2 ,2 )上共有 4 个公共点，且两图象在这些公共点上都 不相切，故( )f x在区间 2 ,2 )上的极值点的个数为 4，且( )f x只有 2
16、 个极大值点故选 BD 135 因为 2 (8)4log 8431f ，所以 1 1 ( (8)( 1)25 3 f ff 1447.5 由题意可知，(1000,0.95)XB，10000.95 (10.95)47.5DX 15 18 5 因为2ab，所以 511511 526 () 525255 ba ab ababab 因为0,0ab，所 以 5 2 5 ba ab （当且仅当 5 3 a ， 1 3 b 时，等号成立） ，所以 5112618 2 5255ab 16 1 6 ； 3 8 易证BF平面 11 CDDC，则BFGE，则 AFDG ABDE ，即 1 2 DG DE ，又2CE
17、DE，则 1 1 6 DG DD 连接AC与BE于M，过M作 1 MNCC，MN与 1 AC交于N，连接FM，则H为FM与 1 AC的交点因为ABCE，所以 3 2 AMAB MCCE ，则 1 3 2 ANAM NCMC 所以 1 3 5 MN CC ，所以 6 5 MNHN FAAH ，故 1 3 8 AH HC 17解：选 2 cos212sinBB ， 2 2sin3sin30BB， 即(2sin3)(sin3)0BB，解得sin3B （舍去）或 3 sin 2 B 0B， 3 B 或 2 3 ， 又, ,a b c成等差数列，2bac，b不是三角形中最大的边， 即 3 B ， 由 2
18、22 2cosbacacB，得 22 20acac，即ac， 故ABC是等边三角形 选 由正弦定理可得2sincos2sinsinBCAC， 故2sincos2sin()sinBCBCC， 整理得2cos sinsin0BCC 0C，sin0C ，即 1 cos 2 B 0B， 3 B ， 又, ,a b c成等差数列，2bac， 由余弦定理 222 2cosbacacB，可得 22 20acac，即ac， 故ABC是等边三角形 选 由正弦定理得 sincos1 sin3sin BB AA ， sin0A，3sincos1BB， 即 1 sin 62 B ， 0B， 5 666 B ， 即 6
19、6 B ，可得 3 B ， 由余弦定理即 222 2cosbacacB，可得 22 20acac，可得ac， 故ABC是等边三角形 18解： （1） 11 2,1ab， 11 1ab 11 3ab， 依题意可得，12(1)21 nn abnn ， 1 32n nn ab ， 故 1 213 2 2 n n n a （2）由（1）可知， 1 222152 nn n an ， 故 1 (1321)5122n n Sn 2 (121) 521525 2 nn nn n 19 （1）证明：取AB的中点M，连接DM，PM，DB PAB为等边三角形，ABPM 在直角梯形ABCD中，ABBC，2AB ，1B
20、CCD， 2ADBD， DAB为等腰三角形，ABDM PD 平面PDM，ABPD （2） 解： 由 （1） 知，DM，DC，DP两两垂直， 以D为坐标原点建立空间直角坐标系Dxyz， 则( 1 , 1 , 0 )A， (1,1,0)B，(0,1,0)C，(0,0, 2)P， 则(0,2,0)AB ，(1,1,2)PB ，( 1,0,0)BC ， 设平面APB的法向量为( , , )mx y z， 0, 0, AB m PB m 即 20, 20, y xyz 令2x ，得( 2,0,1)m 同理可得平面PBC的一个法向量为(0, 2,1)n ， 11 cos, 333 m n ， 又二面角AP
21、BC为钝二面角，故其余弦值为 1 3 20解： （1）若选择生产线，生产成本恰好为 18 万元，即A工序不出现故障B工序出现故障，故所求的 概率为(10.02)0.030.0294 （2）若选择生产线，设增加的生产成本为（万元） ，则的可能取值为 0，2，3，5 (0)(10.02)(10.03)0.9506P； (2)0.02(10.03)0.0194P； (3)(10.02)0.030.0294P； (5)0.020.030.0006P 所以00.950620.01943 0.02945 0.00060.13E （万元） ， 故选生产线的生产成本期望值为15 0.13 15.13（万元）
22、若选生产线，设增加的生产成本为，则的可能取值为 08，5，13 (0)(10.04)(10.01)0.9504P； (8)0.04(10.01)0.0396P； (5)(10.04)0.010.0096P； (13)0.040.010.0004P 所以00.950480.03965 0.009613 0.00040.37E （万元） ， 选生产线的生产成本期望值为140.3714.37（万元） ，故应选生产线 21 （1）证明：设 2 2 3 2244 AGBG yyy kk xxx ， 即 22 1(0) 43 xy y 将2(0)xy代入 22 1 43 xy ，得D的坐标为 6 2, 2
23、 ， 又(0, 3)E， 则 3 2 ODAE kk，故ODAE （2）解（方法一）设 11 ,M x y， 22 ,N x y，联立ykx与 22 1 43 xy ，得 22 34120kx， 12 0xx， 12 2 12 34 x x k 易知A的坐标为( 2,0)，则直线AM的方程为 1 1 (2) 2 y yx x ，则 1 1 2 0, 2 y P x ， 同理可得 2 2 2 0, 2 y Q x 故以PQ为直径的圆的方程为 22 2 22 PQPQ yyyy xy , 令0y ，得 2 12 12 4 22 PQ y y xy y xx 2222 121212 2 121212
24、12 12 44444 3 4 3422244 1 1 3 y yk x xk x xkk kxxx xxxx x x x ， 以PQ为直径的圆恒过定点(3,0)T （方法二）设 11 ,M x y，则 11 ,Nxy， 则直线AM的方程为 1 1 (2) 2 y yx x ， 则 1 1 2 0, 2 y P x ， 同理可得 1 1 2 0, 2 y Q x 假设存在 0,0 T x符合题设，则0PT QT， 2 2 1 0 2 1 4 0 4 y x x ， 11 ,M x y在曲线C上， 222 111 2 1 4 13 434 xyy x ， 2 00 303xx 故存在(3,0)T
25、 符合题设 22解： （1）因为 2 ( )( )22 x g xfxaxae，所以 22 ( )242 2 xx g xaeea ， 当0a 时，( )0g x，( )g x在R上单调递减 当0a 时，令( )0g x，则 1 ln 22 a x ；令( )0g x，则 1 ln 22 a x ， 所以( )g x在 1 ,ln 22 a 上单调递增，在 1 ln, 22 a 上单调递减 综上所述，当0a时，( )g x在R上单调递减； 当0a 时，( )g x在 1 ,ln 22 a 上单调递增，在 1 ln, 22 a 上单调递减 （2） 2 22 2 ( )22(21)2(21) 21
26、 x xx e fxaxaeaxexa x ，(0)0f 令( )0fx，得 2 2 21 x e a x 设 2 2 ( ) 21 x e h x x ，则 2 2 8 ( ) (21) x xe h x x 当0x 时，( )0h x，( )h x在(0,)上单调递增， 所以( )h x在(0,)上的值域是(2,)，即 2 2 2 21 x e x 当2a时，( )0fx没有实根，且( )0fx， ( )f x在(0,)上单调递减，( )(0)0f xf，符合题意 当2a 时，(0)2ha， 所以 2 2 ( ) 21 x e h xa x 有唯一实根 0 x， 当 0 0,xx时，( )0fx，( )f x在 0 0,x上单调递增，( )(0)0f xf，不符合题意 综上，2a，即a的取值范围为(,2g
