1、铜仁市铜仁市 20202020 年高三第二次模拟考试年高三第二次模拟考试理科数学理科数学试卷试卷 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 2作答时，务必将答案写在答题卡上写在本试卷及草稿纸上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第卷（选择题 共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的请把答案填涂在答题卡上 ） 1设集合 1,0,1,2,3A ， 2 |20Bx xx，则AB （ ） A3 B2,3 C 1,3 D0,1,2 2复数z满足 1 i z i ，则在复平面内复数
2、z对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知向量(1,1)m，(2,2)n，若()()mnmn，则（ ） A4 B3 C2 D1 4为了得到函数sin 2 3 yx 的图像，只需把函数sin2yx的图像（ ） A向左平移 3 个长度单位 B向右平移 3 个长度单位 C向左平移 6 个长度单位 D向右平移 6 个长度单位 5命题“xR ， 2 210xx ”的否定是（ ） AxR ， 2 210xx BxR ， 2 210xx CxR ， 2 210xx DxR ， 2 210xx 6麒麟是中国传统瑞兽古人认为，麒麟出没处，必有祥瑞有时用来比喻才能杰出、德才兼备的
3、人如 图是客家麒麟图腾，为了测量图案中黑色部分面积，用随机模拟的方法来估计现将图案剪成长5cm，宽 4cm的矩形，然后在图案中随机产生了 500 个点，恰有 248 个点落在黑色区域内，则黑色区域的面积的估 计值为（ ） 2 cm A 248 25 B 62 125 C 63 125 D 25 248 7已知三棱锥ABCD的四个顶点, , ,A B C D都在球O的表面上，BCCD，AC 平面BCD，且 2 2AC ，2BCCD，则球O的表面积为（ ） A4 B8 C16 D2 2 8已知函数 1 ( )cos 1 x x e f xx e 的图象大致形状是（ ） A B C D 9设双曲线
4、22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 12 ,F F，过 1 F作倾斜角为 3 的直线与y轴和双 曲线的右支分别交于点A B、，若 1 1 () 2 OAOBOF，则该双曲线的离心率为（ ） A2 B5 C23 D3 10中国古代数学著作孙子算经中有这样一道算术题：今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余 三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理” ，若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记 为nNMODm，例如2113MOD现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n 等于（ ） A39 B38 C37 D36 1l已知抛物线 2 8yx，过点
5、(1,0)M的直线交抛物线于,A B两点，F为抛物线的焦点，若| 6AF ，O 为坐标原点，则OAB的面积是（ ） A5 2 B 5 2 2 C 2 5 2 D2 5 12已知函数 2 1,0 ( ) 1 2 ,0 2 x ex f x xx x ，函数( )(1)g xk x，若方程( )( )f xg x恰有三个实数解，则 实数k的取值范围为（ ） A15,0) B(0,15) C(0,35 D(0,35) 第卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 ） 13已知 9 1 x x 展开式中 5 x的系数是_； 14设不等式组 30 20 1
6、0 x y xy 表示的平面区域为M，若直线ykx经过区域M内的点，则实数k的取值 范围是_； 15在ABC中，角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，4c ，4 2sinaA，且C为锐角，则ABC面积 的最大值为_； 16已知下列命题： 函数 2 ( )lg1f xx在(,0上单调递减，在(0,)上单调递增； 若函数( )21 x f xa在R上有两个零点，则a的取值范围是(0,1)； 当1x 时，函数 1 ( ) 1 f xx x 的最大值为 0； 函数( )sincosf xxx在 5 , 24 上单调递减； 上述命题正确的是_（填序号） 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70
7、 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ） （一）必考题：共 60 分 17 （本小题满分 12 分） 设 n a是公差不为 0 的等差数列，其前n项和为 n S，已知 125 ,a a a成等比数列， 5 25S （1）求 n a的通项公式； （2）设( 1)2 n an nn ba ，数列 n b的前n项和为 n T，求 2n T 18 （本小题满分 12 分） 如图，矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直，60ABE ，G为BE的中点 （1）求证：AG 平面ADF； （2）若3AB ，1BC ，求二面角DACG的余弦值 19 （本题满分 12 分） 在传染病学中，通常把从致病
8、刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病 对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期一研究团队统计了某地区 1000 名患者的相关信息，得到如下 表格： 潜伏期 （单位： 天） 0,2 (2,4 (4,6 (6,8 (8,10 (10,12 (12,14 人数 85 205 310 250 130 15 5 （1）求这 1000 名患者的潜伏期的样本平均数x（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ； （2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过 6 天为标 准进行分层抽样，从上述 1000 名患者中抽取 200 人，得到如下列
9、联表请将列联表补充完整，并根据列联 表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关； 潜伏期6天 潜伏期6天 总计 50 岁以上（含 50 岁） 100 50 岁以下 55 总计 200 （3）以这 1000 名患者的潜伏期超过 6 天的频率，代替该地区 1 名患者潜伏期超过 6 天发生的概率，每名 患者的潜伏期是否超过 6 天相互独立为了深入硏究，该硏究团队随机调查了 20 名患者，设潜伏期超过 6 天的人数为X，则X的期望是多少？ 附： 2 0 P Kk 0.05 0.025 0.010 0 k 3.841 5.024 6.635 2 2 () ()()()() n adbc K ab
10、cd ac bd ，其中nabcd 20 （本题满分 12 分） 已知过椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的四个顶点与坐标轴垂直的四条直线围成的矩形ABCD（D是第一 象限内的点）的面积为8 3，且过椭圆C的右焦点F的倾斜角为60的直线过点D （1）求椭圆C的标准方程 （2）若射线,OP OQ与椭圆C的交点分别为,P Q当它们的斜率之积为 2 2 b a 时，试问POQ的面积是否 为定值？若为定值，求出此定值：若不为定值，说明理由 21 （本题满分 12 分） 已知函数 ln ( ) x x f xe a （1）若( )f x在1,2上是减函数，求实数a的最大值； （2）若01
11、a，求证： 2ln ( ) a f x a （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做第一个题目计分 22选修 44：极坐标与参数方程（本题满分 10 分） 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 1 2 xt yt （t为参数） ，以坐标原点O为极点，x轴正半轴 为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 2 sin4cos0 （1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； （2）若直线l与曲线C相交于,A B两点求|AB 23选修 45：不等式选讲（本题满分 10 分） 已知函数( ) |23|1|f xxx （1）求不等式( )5f x
12、的解集； （2）若不等式( ) |2|f xxa在0,1上恒成立，求实数a的取值范围 绝密启用前 铜仁市 2020 年高三第二次模拟考试试卷 理科数学参考答案 第卷（选择题 共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的请把答案填涂在答题卡上 ） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A B D C A C A C B B D 1答案：C，解析： |2Bx x或0x 2答案：A，解析： (1)111 1(1)(1)222 iiii zi iii ，故选 A 3答案：B，解析：(2
13、3)( 1)3 ( 1)03 4答案：D，解析：sin 2sin 2 36 yxx ，因此，将函数sin2yx的图象向右平移 6 个 单位长度可得到函数sin 2 3 yx 的图象，故选：D 5答案：C 6答案：A， 解析：依题意，矩形面积 2 5 420Scm，设黑色部分的面积为S， 根据几何概型的知识， 得 248 500 S S ，故答案选 A 7答案：C，解析：由题意可知,CA CB CD两两垂直，所以补形为长方形，三棱锥与长方体共球， 2222 (2 )(2 2)2216R，求的外接球的表面积 2 416SR，选 C 8答案：A，解析： 1 ()cos 1 x x e gxx e ，
14、()( )gxg x ，即知 1 ( )cos 1 x x e g xx e 是R上奇函数， 又当0, 2 x 时，有( )0g x ，结合选项，只有 A 符合题意 9答案：C，解析：如图， 1 1 () 2 OAOBOF，A为 1 BF的中点， 1 Rt AFO中， 1 60 3 AFO ，所以3AOc，因O是 12 FF中点， 所以AO是 12 FF B中位线，所以 2 2 3BFc且 212 BFFF，在 12 Rt FF B中， 21 90BF F ， 12 30FBF ，所以 112 2224BFFFcc， 由双曲线定义知： 12 242 3aBFBFcc， 所以 1 23 23 c
15、 a 故选 C 10答案：B，解析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件： 被 3 除余 2，被 5 除余 3，由已知中四个答案中的数据可得，故输出的n为 38，故选：B 11答案：B，解析：抛物线 2 8yx的准线方程为2x ，设 11 ,A x y， 22 ,B x y，过点A作准线的 垂线AH，如图，由抛物线的定义可知，| | 6AFAH， 1 26x， 1 4x， 1 4 2y ，设直线 AB的方程为(1)(0)yk xk， 由 2 (1) 8 yk x yx 得 2222 280k xkxk， 12 1x x， 2 1 11 4 x x ， 2 2
16、y ，OAB的面积 12 1115 2 11(4 22) 2222 OABAOMBOM SSSyy 12答案：D，解析：依题意，画出 2 1,0 ( ) 1 2 ,0 2 x ex f x xx x 的图象， 如图直线( )(1)g xk x过定点(1,0)，由图象可知，函数( )g x的图象与 2 1 ( )2 2 f xxx，0x的图 象相切时，函数( ), ( )f x g x的图象恰有两个交点下面利用导数法求该切线的斜率设切点为 00 ,P x y， 由( )2,0fxxx ， 得 2 00 00 0 1 2 2 2 1 xx kfxx x ，化简得 2 00 240xx，解得 0 1
17、5x 或 0 15x （舍去） ， 要使方程( )( )f xg x恰有三个实数解，则函数( ), ( )f x g x的图象恰有三个交点， 结合图象可知035k，所以实数k的取值范围为(0,35)，故选 D 第卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 ） 13答案：36，解析：因为 9 1 x x 展开式的通项公式为 99 2 199 1 r rrrr r TC xC x x ，0r ，1，2， 9，所以令925r，解得2r ，所以 9 1 x x 展开式中 5 x的系数是 2 9 98 36 2 1 C 故答案为：36 14答案： 2 ,2
18、 3 ，解析：作出可行域如图：因为函数ykx的图象（虚线部分）是过点(0,0)O，且斜 率为k的直线l， 由图知， 当直线l过点(1,2)A时，k取最大值 2， 当直线l过点(3,2)B时，k取最小值 2 3 ， 故实数k的取值范围是 2 ,2 3 故答案为： 2 ,2 3 15 答案：44 2，解析：因为4c ，又4 2 sinsin ca CA ， 所以 2 sin 2 C ，又C为锐角，可得 4 C 因为 2222 162cos2(22)ababCababab， 所以 16 8(22) 22 ab ，当且仅当8(22)ab时等号成立， 即 12 sin44 2 24 ABC SabCab
19、 ， 即当8(22)ab时，ABC面积的最大值为44 2故答案为44 2 16答案：，解析：根据复合函数同增异减的性质，可知函数 2 ( )lg1f xx在(,0上单调 递减，在(0,)上单调递增，故正确； 令( )21 x g x ，则函数( )g x的图象与直线ya有两个交点，根据函数( )g x的图象可知01a， 故正确； 当1x 时，10x， 所以 1111 ( )11112 (1)11 1111 f xxxxx xxxx （当且仅当 1 1 1 x x ，即0x 时取等号） ，所以函数 1 ( ) 1 f xx x 的最大值为1，故不正确 ( )sincos2sin 4 f xxxx
20、 ，当 5 , 24 x 时， 33 , 442 x ，此时( )f x单调递减， 故正确；综上，命题正确的序号为 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ） （一）必考题：共 60 分 17解答： （1）设 n a的公差为(0)d d ，则 21 aad， 51 4aad， 125 ,a a a成等比数列， 2 215 aa a，又 51 54 525 2 d Sa ， 1 1a，2d ， 即 n a的通项公式为21 n an 6 分 （2）由（1）得， 21 ( 1) (21)2 nn n bn ， 1341 2 1357(41)222 n n
21、 Tn 1341 ( 13)( 57) (43)(41)222 n nn 2 41 214 12 222 1433 n n nn 12 分 18解答： （1）证明：矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直，ADAB， 矩形ABCD菱形ABEFAB，AD平面ABEF， AG平面ABEF，ADAG， 菱形ABEF中，60ABE ，G为BE的中点，AGBE，AGAF， ADAFA，AG平面ADF 6 分 （2）由（1）可知,AD AF AG两两垂直，以A为原点，AG为x轴，AF为y轴，AD为z轴，建立空 间直角坐标系， 3AB ，1BC ，则1AD ， 3 2 AG ， 故(0,0,0)A， 3
22、3 ,1 22 C ，(0,0,1)D， 3 ,0,0 2 G ， 则 33 ,1 22 AC ，(0,0,1)AD ， 3 ,0,0 2 AG ， 设平面ACD的法向量 1111 ,nx y z， 则 1111 11 33 0 22 0 AC nxyz AD nz ，取 1 3y ，得 1 (1, 3,0)n ， 设平面ACG的法向量 2222 ,nxy z，则 2222 22 33 0 22 3 0 2 AC nxyz AG nx ， 取 2 2y ，得 2 (0,2, 3)n ， 设二面角DACG的平面角为，则 12 12 |2 321 |cos| 7| |27 n n nn ， 由图可
23、知为钝角，所以二面角DACG的余弦值为 21 7 12 分 19解答： （1）根据统计数据，计算平均数为： 1 (1 853 2055 31072509 13011 15 13 5)5.4 1000 x 天 4 分 （2）根据题意，补充完整的列联表如下： 潜伏期6天 潜伏期6天 总计 50 岁以上（含 50 岁） 65 35 100 50 岁以下 55 45 100 总计 120 80 200 则 2 2 (65 4555 35)20025 2.083 120 80 100 10012 K ， 经查表，得 2 2.0833.841K ， 所以，没有95%的把握认为潜伏期与年龄有关 8 分 （3
24、）由题可知，该地区每 1 名患者潜伏期超过 6 天发生的概率为 4002 10005 ， 设调查的 20 名患者中潜伏期超过 6 天的人数为X，则X服从二项分布： 2 20, 5 XB ， 20 20 23 () 55 kk k P XkC ，0k ，1，2，20， 则 2 ()208 5 E X 所以，X的期望为()8E X 12 分 20解答： （1）由题意得：( , )D a b，( ,0)F c，228 3ab，2 3ab 直线DF的斜率 0 tan603 bb k acac ，3()bac， 由 222 2 3 3() ab bac abc 得 2 3 1 a b c ，椭圆C的标准
25、方程为 22 1 43 xy 6 分 （2）POQ的面积为定值3，理由如下：设 11 ,P x y， 22 ,Q x y， 当直线PQ斜率存在时，设方程为ykxm 由 22 1 43 ykxm xy 得： 222 3484120kxkmxm， 则 222222 644 3441248 430k mkmkm ，即 22 43mk， 12 2 8 34 km xx k ， 2 12 2 412 34 m x x k ， 222 2 2 1212 2 4 3143 |14 34 kkm PQkxxx x k ， 又点O到直线PQ的距离 2 | 1 m d k ， 22 2 12 3|43 | 234
26、 POQ mkm SPQ d k 12 12 3 4 OPOQ y y kk x x ， 22 2 22 2 21212 2 12 2 8 3 34 4124 34 k m m k x xkm xxm k k mx x k ， 化简可得： 22 234mk，满足0 ， 2222 22 2 3|432 3|2 3 342 POQ mkmmmm S km ； 10 分 当直线PQ斜率不存在时， 3 4 OPOQ kk 且 OPOQ kk ，可设 3 2 OP k， 3 2 OQ k ， 则点,P Q 的坐标分别为 6 2, 2 P ， 6 2, 2 Q ，此时 1 263 2 POQ S； 综上所
27、述：POQ的面积为定值3 12 分 21解答： （1） 1 ( )(0) x fxex ax ， 在1,2上，因为( )f x是减函数，所以 1 ( )0 x fxe ax 恒成立， 即 1 x xe a 恒成立，只需 max 1 x xe a 令( ) x t xxe，1,2x，则( )ee xx t xx ，因为1,2x，所以( )0t x 所以( ) x t xxe在1,2上是增函数，所以 2 max 2 x xee，所以 2 1 2e a ，解得 2 1 0 2 a e 所以实数a的最大值为 2 1 2e 6 分 （2） ln ( )(0) x x f xex a ， 1 ( ) x
28、fxe ax 令 1 ( )(0) x g xex ax ，则 2 1 ( ) x g xe ax ， 根据题意知( )0g x ，所以( )g x在(0,)上是增函数 8 分 又因为 1 1 10 a ge a ， 当x从正方向趋近于 0 时， 1 ax 趋近于， x e趋近于 1，所以 1 ( )0 x g xe ax ， 所以，存在 0 1 0,x a ，使 0 0 0 1 0 x g xe ax ， 即 0 0 1 x e ax ， 000 lnlnlnxaxax ， 所以对任意 0 0,xx，( )0g x ，即( )0fx ，所以( )f x在 0 0,x上是减函数； 对任意 0,
29、 xx，( )0g x ，即( )0fx ，所以( )f x在 0, x 上是增函数， 所以当 0 xx时，( )f x取得最小值，最小值为 0 f x 由于 0 0 1 x e ax ， 00 lnlnxxa， 则 000 000 000 ln1ln11112ln ln(2ln ) x xxaa f xexaxa aaxaaxaxa 当且仅当 0 0 1 x x ，即 0 1x 时取等号， 所以当01a时， 2ln ( ) a f x a 12 分 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做第一个题目计分 22选修 44：极坐标与参数方程（本题满分
30、 10 分） 解答： （1）由题意，将 1 2 xt yt （t为参数）中的参数t消去，可得22yx 即直线l的普通方程为22yx， 由 2 sin4cos0， 可得 22 sin4 cos， 又由cosx，siny， 代入可得 2 4yx， 所以曲线C的直角坐标方程为 2 4yx 5 分 （2）令 5 5 tt，则有 5 1 5 2 5 5 xt yt （t为参数） 将其代入方程 2 4yx中，得 2 44 5 40 55 tt，其中 2 4 54 4( 4)0 55 设点,A B对应的参数分别为 12 ,t t ，则 12 5tt ， 12 5t t ， 所以 2 121212 |4520
31、5ABttttt t 10 分 （用其他方法求出| 5AB ，按照相应步骤给分） 23选修 45：不等式选讲（本题满分 10 分） 解答： （1）( )5|23|1| 5f xxx 1 2315 x xx 或 3 1 2 2315 x xx 或 3 2 2315 x xx x或 3 1 2 x 或 377 1 233 xx 综上，不等式( )5f x 的解集为 7 | 1 3 xx 5 分 （2）对0,1x ，( ) |2|f xxa恒成立，即|23|1| |2|xxxa在0,1x恒成立， 即4|2|xxa，则有40x，424xxax ， 4, 43 ax ax 在0,1x恒成立， 4, 1, a a 4,1a 10 分
