1、20192019- -20202020 学年第二学期自主检测试卷学年第二学期自主检测试卷 初三数学初三数学 一、选择题本大题共一、选择题本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的，请将选择题的答案填在答题卷相应的位置上一项是符合题目要求的，请将选择题的答案填在答题卷相应的位置上. 1下列四个实数中，最大的实数是（ ） A|2| B1 C0 D 2下列四个图案中，不是中心对称图案的是（ ） A B C D 3下列运算正确的是（ ） Aa3+a2a5 Ba3a2a Ca3a2a6 D （a
2、3）2a9 4关于 x 的一元二次方程 x2（m+2）x+m0 根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C没有实数根 D无法确定 5在一个不透明的袋子中放有 a 个球，其中有 6 个白球，这些球除颜色外完全相同，若每 次把球充分搅匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回袋子通过大量重复试验后，发现 摸到白球的频率稳定在 0.25 左右，则 a 的值约为（ ） A10 B15 C20 D24 6如图，ABC 是一块直角三角板，C90，A30，现将三角板叠放在一把直尺 上， AC 与直尺的两边分别交于点 D、 E， AB 与直尺的两边分别交于点 F、 G， 若140， 则2 的度
3、数为（ ） A40 B50 C60 D70 7若在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ） Ax1 Bx1 Cx1 Dx1 且 x0 8如图，四边形 ABCD 内接于O，连接 OA，OC若 OABC，BCO70则ABC 的度数为（ ） A110 B120 C125 D135 9如图，一艘轮船在 A 处测得灯塔 C 在北偏西 15的方向上，该轮船又从 A 处向正东方 向行驶 40 海里到达 B 处，测得灯塔 C 在北偏西 60的方向上，则轮船在 B 处时与灯塔 C 之间的距离（即 BC 的长）为（ ） A海里 B海里 C80 海里 D海里 10 小明骑自行车去上学途中， 经过先上坡后下坡的一
4、段路， 在这段路上所骑行的路程 S （米） 与时间（分钟）之间的函数关系如图所示下列结论： 小明上学途中下坡路的长为 1800 米； 小明上学途中上坡速度为 150 米/分，下坡速度为 200 米/分； 如果小明放学后按原路返回，且往返过程中，上、下坡的速度都相同，则小明返回时 经过这段路比上学时多用 1 分钟； 如果小明放学后按原路返回，返回所用时间与上学所用时间相等，且返回时下坡速度 是上坡速度的 1.5 倍，则返回时上坡速度是 160 米/分，其中正确的有（ ） A B C D 二、填空题本大题共二、填空题本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分分.把答案直接填
5、在答题卡相应的位置上把答案直接填在答题卡相应的位置上. 11的倒数是 12DNA 分子的直径只有 0.000 000 2cm，将 0.000 000 2 用科学记数法表示为 13已知一组数据：5，x，3，6，4 的众数是 4，则该组数据的中位数是 14因式分解：2x28 15已知点 P（a，b）是一次函数 yx1 的图象与反比例函数的图象的一个交点，则 a2+b2的值为 16若圆锥的侧面积等于其底面积的 3 倍，则该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数 为 17如图，在ABC 中，ABAC5，BC8，点 D 是边 BC 上一点（点 D 不与点 B，C 重 合） ，将ACD 沿 AD 翻折，点
6、C 的对应点是 E，AE 交 BC 于点 F，若 DEAB，则 DF 的长为 18如图，四边形 ABCD 中，ABCD90，ABBC3，CD3，AC 是对角线， 以 CD 为边向四边形内部作正方形 CDEF，连接 BF，则 BF 的长为 三、解答题本大题共三、解答题本大题共 10 小题，共小题，共 76 分分.把解答过程写在答题卷相应的位置上，解答时应写把解答过程写在答题卷相应的位置上，解答时应写 出必要的计算过程、推演步骤或文字说明出必要的计算过程、推演步骤或文字说明. 19计算： 20解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来 21先化简，再求值：，其中 22如图，平行四边形 ABCD 中
7、，O 是对角线 BD 的中点，过点 O 的直线 EF 分别交 DA， BC 的延长线于 E，F （1）求证：AECF； （2）若 AEBC，试探究线段 OC 与线段 DF 之间的关系，并说明理由 23今年 4 月 22 日是第 50 个世界地球日，某校在八年级 5 个班中，每班各选拔 10 名学生 参加“环保知识竞赛”并评出了一、二、三等奖各若干名，学校将获奖情况绘成如图所 示的不完整的条形统计图和扇形统计图，请你根据图中信息解答下列问题： （1）求本次竞赛获奖的总人数，并补全条形统计图； （2）求扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数； （3）已知甲、乙、丙、丁 4 位同学获得一等奖，
8、学校将采取随机抽签的方式在 4 人中选 派 2 人参加上级团委组织的“爱护环境、保护地球”知识竞赛，请求出抽到的 2 人恰好 是甲和乙的概率（用画树状图或列表等方法求解） 24为了丰富校园文化生活，促进学生积极参加体育运动，某校准备成立校排球队，现计划 购进一批甲、乙两种型号的排球，已知一个甲种型号排球的价格与一个乙种型号排球的 价格之和为 140 元；如果购买 6 个甲种型号排球和 5 个乙种型号排球，一共需花费 780 元 （1）求每个甲种型号排球和每个乙种型号排球的价格分别是多少元？ （2）学校计划购买甲、乙两种型号的排球共 26 个，其中甲种型号排球的个数多于乙种 型号排球，并且学校购
9、买甲、乙两种型号排球的预算资金不超过 1900 元，求该学校共有 几种购买方案？ 25如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的顶点 B，C 在 x 轴的正半轴上，AB8，BC 6对角线 AC，BD 相交于点 E，反比例函数（x0）的图象经过点 E，分别与 AB，CD 交于点 F，G （1）若 OC8，求 k 的值； （2）连接 EG，若 BFBE2，求CEG 的面积 26如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 分别交 BC 于点 D，交 CA 的延长线 于点 E，过点 D 作 DHAC，垂足为点 H，连接 DE，交 AB 于点 F （1）求证：DH 是O 的切线； （2）若O
10、的半径为 4， 当 AEFE 时，求的长（结果保留 ） ； 当时，求线段 AF 的长 27如图，四边形 ABCD 是矩形，AB1，BC2，点 E 是线段 BC 上一动点（不与 B， C 重合） ，点 F 是线段 BA 延长线上一动点，连接 DE，EF，DF，EF 交 AD 于点 G设 BEx，AFy，已知 y 与 x 之间的函数关系如图所示 （1）求图中 y 与 x 的函数表达式； （2）求证：DEDF； （3） 是否存在 x 的值， 使得DEG 是等腰三角形？如果存在， 求出 x 的值； 如果不存在， 说明理由 28 如图 1， 二次函数 yax23ax4a 的图象与 x 轴交于 A， B
11、两点 （点 A 在点 B 的左侧） ， 与 y 轴交于点 C（0，3） （1）求二次函数的表达式及点 A、点 B 的坐标； （2）若点 D 在二次函数图象上，且，求点 D 的横坐标； （3）将直线 BC 向下平移，与二次函数图象交于 M，N 两点（M 在 N 左侧） ，如图 2， 过 M 作 MEy 轴，与直线 BC 交于点 E，过 N 作 NFy 轴，与直线 BC 交于点 F，当 MN+ME 的值最大时，求点 M 的坐标 答案与解析答案与解析 一、选择题本大题共一、选择题本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项
12、中，只有 一项是符合题目要求的，请将选择题的答案填在答题卷相应的位置上一项是符合题目要求的，请将选择题的答案填在答题卷相应的位置上. 1 （3 分）下列四个实数中，最大的实数是（ ） A|2| B1 C0 D 【分析】正实数都大于 0，负实数都小于 0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值 大的反而小，据此判断即可 【解答】解：|2|01， 所给的四个实数中，最大的实数是|2| 故选：A 2 （3 分）下列四个图案中，不是中心对称图案的是（ ） A B C D 【分析】根据中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、B、D 是中心对称图形，C 不是中心对称图形， 故选：C 3 （3 分）下列运算
13、正确的是（ ） Aa3+a2a5 Ba3a2a Ca3a2a6 D （a3）2a9 【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法底数不变指数相减，幂的乘方底数不变 指数相乘，可得答案 【解答】解：A、a3与 a2不是同类项，不能合并，故 A 不符合题意； B、同底数幂的除法底数不变指数相减，故 B 符合题意； C、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故 C 不符合题意； D、幂的乘方底数不变指数相乘，故 D 不符合题意； 故选：B 4 （3 分）关于 x 的一元二次方程 x2（m+2）x+m0 根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C没有实数根 D无法确定 【分析】表示出根
14、的判别式，判断判别式的正负即可确定出方程根的情况 【解答】解：由关于 x 的一元二次方程 x2（m+2）x+m0， 得到 a1，b（m+2） ，cm， （m+2）24mm2+4m+44mm2+40， 则方程有两个不相等的实数根， 故选：A 5 （3 分） 在一个不透明的袋子中放有 a 个球， 其中有 6 个白球， 这些球除颜色外完全相同， 若每次把球充分搅匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回袋子通过大量重复试验后， 发现摸到白球的频率稳定在 0.25 左右，则 a 的值约为（ ） A10 B15 C20 D24 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近， 可以从
15、摸到白球的频率稳定在 0.25 左右得到比例关系，列出方程求解即可 【解答】解：根据题意得0.25， 解得：a24， 经检验：a24 是分式方程的解， 故选：D 6 （3 分）如图，ABC 是一块直角三角板，C90，A30，现将三角板叠放在 一把直尺上，AC 与直尺的两边分别交于点 D、E，AB 与直尺的两边分别交于点 F、G， 若140，则2 的度数为（ ） A40 B50 C60 D70 【分析】依据平行线的性质，即可得到1DFG40，再根据三角形外角性质，即 可得到2 的度数 【解答】解：DFEG， 1DFG40， 又A30， 2A+DFG30+4070， 故选：D 7 （3 分）若在实
16、数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ） Ax1 Bx1 Cx1 Dx1 且 x0 【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案 【解答】解：若在实数范围内有意义， 则 x+10， 解得：x1 故选：A 8 （3 分）如图，四边形 ABCD 内接于O，连接 OA，OC若 OABC，BCO70则 ABC 的度数为（ ） A110 B120 C125 D135 【分析】根据平行线的性质求出AOC，根据圆周角定理求出D，根据圆内接四边形的 性质计算即可 【解答】解：OABC， AOC180BCO110， 由圆周角定理得，DAOC55， 四边形 ABCD 内接于O， ABC180D125， 故选
17、：C 9 （3 分）如图，一艘轮船在 A 处测得灯塔 C 在北偏西 15的方向上，该轮船又从 A 处向 正东方向行驶 40 海里到达 B 处，测得灯塔 C 在北偏西 60的方向上，则轮船在 B 处时 与灯塔 C 之间的距离（即 BC 的长）为（ ） A海里 B海里 C80 海里 D海里 【分析】过 A 作 ADBC 于 D，解直角三角形即可得到结论 【解答】解：过 A 作 ADBC 于 D， 在 RtABD 中，ABD30，AB40， ADAB20，BDAB20， 在 RtACD 中，C45， CDAD20， BCBD+CD（20+20）海里， 故选：B 10 （3 分）小明骑自行车去上学途中
18、，经过先上坡后下坡的一段路，在这段路上所骑行的 路程 S（米）与时间（分钟）之间的函数关系如图所示下列结论： 小明上学途中下坡路的长为 1800 米； 小明上学途中上坡速度为 150 米/分，下坡速度为 200 米/分； 如果小明放学后按原路返回，且往返过程中，上、下坡的速度都相同，则小明返回时 经过这段路比上学时多用 1 分钟； 如果小明放学后按原路返回，返回所用时间与上学所用时间相等，且返回时下坡速度 是上坡速度的 1.5 倍，则返回时上坡速度是 160 米/分，其中正确的有（ ） A B C D 【分析】根据题意和函数图象可以得到下坡路的长度； 利用路程除以时间求得上坡速度和下坡的速度；
19、 根据“路程除以速度时间”求解即可； 设上坡速度为 x（米/分） ，根据题意列方程即可求解 【解答】解：小明上学途中下坡路的长为 18006001200（米） 小明上学途中上坡速度为：6004150（米/分） ，下坡速度为：12006200（米/ 分） 如果小明放学后按原路返回，且往返过程中，上、下坡的速度都相同，小明返回时经 过这段路所用时间为：600200+120015011（分钟） ，所以小明返回时经过这段路比 上学时多用 1 分钟； 设上坡速度为 x（米/分） ，根据题意得，解得 x160，经检验，x 160 是原方程的解所以返回时上坡速度是 160 米/分 综上所述，正确的有 故选：
20、C 二、填空题本大题共二、填空题本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分分.把答案直接填在答题卡相应的位置上把答案直接填在答题卡相应的位置上. 11 （3 分）的倒数是 【分析】根据倒数的定义可知 【解答】解：的倒数是 12 （3 分）DNA 分子的直径只有 0.000 000 2cm，将 0.000 000 2 用科学记数法表示为 2 10 7 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大 数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数 字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：0.000 000
21、2210 7 故答案为：210 7 13 （3 分）已知一组数据：5，x，3，6，4 的众数是 4，则该组数据的中位数是 4 【分析】先根据众数定义求出 x，再把这组数据从小到大排列，找出正中间的那个数就是 中位数 【解答】解：数据 5，x，3，6，4 的众数是 4， x4， 则数据重新排列为 3，4，4，5，6， 所以中位数是 4， 故答案为：4 14 （3 分）因式分解：2x28 2（x+2） （x2） 【分析】观察原式，找到公因式 2，提出即可得出答案 【解答】解：2x282（x+2） （x2） 15 （3 分）已知点 P（a，b）是一次函数 yx1 的图象与反比例函数的图象的一个 交点
22、，则 a2+b2的值为 5 【分析】一次函数 yx1 与反比例函数 y联立，求出 a 和 b 的值，代入 a2+b2，计 算求值即可 【解答】解：根据题意得： ， 解得：或， 即或， 则 a2+b2（1）2+（2）25 或 a2+b222+125， 即 a2+b2的值为 5， 故答案为：5 16 （3 分）若圆锥的侧面积等于其底面积的 3 倍，则该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角 的度数为 120 【分析】设该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为 n，圆锥的母线长为 l，底面 圆的半径为 r，利用扇形面积公式得到2rl3r2，所以 l3r，然后利用圆锥的侧 面展开图为一扇形， 这个扇形的弧长等
23、于圆锥底面的周长和弧长公式得 2r， 再解关于 n 的方程即可 【解答】解：设该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为 n，圆锥的母线长为 l，底 面圆的半径为 r， 所以2rl3r2，则 l3r， 因为 2r， 所以 n120 故答案为 120 17 （3 分）如图，在ABC 中，ABAC5，BC8，点 D 是边 BC 上一点（点 D 不与点 B，C 重合） ，将ACD 沿 AD 翻折，点 C 的对应点是 E，AE 交 BC 于点 F，若 DEAB， 则 DF 的长为 【分析】 由等腰三角形的性质和平行线的性质得出BC， BAFE， BEDF， 由折叠的性质得：EC，AEAC5，EDCD，得
24、出BBAFEEDF， 证出 AFBF，EFDF，得出 BDABAC5，EDCDBCBD3，由平行线得出 EDFABF，得出比例式，即可得出结果 【解答】解：ABAC5， BC， DEAB， BAFE，BEDF， 由折叠的性质得：EC，AEAC5，EDCD， BBAFEEDF， AFBF，EFDF， BDABAC5， EDCDBCBD3， DEAB， EDFABF， ，即， 解得：DF； 故答案为： 18 （3 分）如图，四边形 ABCD 中，ABCD90，ABBC3，CD3，AC 是 对角线，以 CD 为边向四边形内部作正方形 CDEF，连接 BF，则 BF 的长为 3 【分析】连接 CE，由
25、等腰直角三角形的性质得出 ACBC3，ACB45， 由勾股定理得出AD9， 由正方形的性质得出DECD3， DCF90， ECF45， CECF， 求出 AEADDE6， 证明BCFACE， 得出 ，即可得出结果 【解答】解：连接 CE，如图所示： ABC90，ABBC3， ACBC3，ACB45， D90，CD3， AD9， 四边形 CDEF 是正方形， DECD3，DCF90，ECF45，CECF， AEADDE6， ACBECF， BCFACE， ， BCFACE， ， BF3； 故答案为：3 三、解答题本大题共三、解答题本大题共 10 小题，共小题，共 76 分分.把解答过程写在答题卷
26、相应的位置上，解答时应写把解答过程写在答题卷相应的位置上，解答时应写 出必要的计算过程、推演步骤或文字说明出必要的计算过程、推演步骤或文字说明. 19 （5 分）计算： 【分析】直接利用特殊角的三角函数值和绝对值的性质和零指数幂的性质分别化简得出 答案 【解答】解：原式13+ 1+ 20 （5 分）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中 间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，然后把不等式的解集表示在数轴上即可 【解答】解：， 解得：x2， 解得：x3， 故不等式组的解集是：2x3， 表示在数轴上如下： 21 （
27、6 分）先化简，再求值：，其中 【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将 x 的值代入化简后的式 子即可解答本题 【解答】解： ， 当 x+1 时，原式 22 （6 分）如图，平行四边形 ABCD 中，O 是对角线 BD 的中点，过点 O 的直线 EF 分别 交 DA，BC 的延长线于 E，F （1）求证：AECF； （2）若 AEBC，试探究线段 OC 与线段 DF 之间的关系，并说明理由 【分析】 （1）由平行四边形的性质得出 ADBC，ADBC，得出ADBCBD，证明 BOFDOE，得出 DEBF，即可得出结论； （2）证出 CFBC，得出 OC 是BDF 的中位线，由三
28、角形中位线定理即可得出结论 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，ADBC， ADBCBD， O 是对角线 BD 的中点， OBOD， 在BOF 和DOE 中， BOFDOE（ASA） ， DEBF， DEADBFBC， AECF； （2）解：OCDF，且 OCDF，理由如下： AEBC，AECF， CFBC， OBOD， OC 是BDF 的中位线， OCDF，且 OCDF 23 （8 分）今年 4 月 22 日是第 50 个世界地球日，某校在八年级 5 个班中，每班各选拔 10 名学生参加“环保知识竞赛”并评出了一、二、三等奖各若干名，学校将获奖情况绘成 如图所示
29、的不完整的条形统计图和扇形统计图，请你根据图中信息解答下列问题： （1）求本次竞赛获奖的总人数，并补全条形统计图； （2）求扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数； （3）已知甲、乙、丙、丁 4 位同学获得一等奖，学校将采取随机抽签的方式在 4 人中选 派 2 人参加上级团委组织的“爱护环境、保护地球”知识竞赛，请求出抽到的 2 人恰好 是甲和乙的概率（用画树状图或列表等方法求解） 【分析】 （1）由一等奖人数及其所占百分比可得总人数，再求出二等奖人数即可补全图 形； （2）用 360乘以对应的百分比即可得； （3）利用列举法即可求解即可 【解答】解： （1）本次竞赛获奖的总人数为 42
30、0%20（人） ， 补全图形如下： （2）扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数 360108； （3）画树形图得： 则 P（抽取的两人恰好是甲和乙） 24 （8 分）为了丰富校园文化生活，促进学生积极参加体育运动，某校准备成立校排球队， 现计划购进一批甲、乙两种型号的排球，已知一个甲种型号排球的价格与一个乙种型号 排球的价格之和为 140 元；如果购买 6 个甲种型号排球和 5 个乙种型号排球，一共需花 费 780 元 （1）求每个甲种型号排球和每个乙种型号排球的价格分别是多少元？ （2）学校计划购买甲、乙两种型号的排球共 26 个，其中甲种型号排球的个数多于乙种 型号排球，并且学校购
31、买甲、乙两种型号排球的预算资金不超过 1900 元，求该学校共有 几种购买方案？ 【分析】 （1）设每个甲种型号排球的价格是 x 元，每个乙种型号排球的价格是 y 元，根 据“一个甲种型号排球的价格与一个乙种型号排球的价格之和为 140 元；购买 6 个甲种 型号排球和 5 个乙种型号排球，一共需花费 780 元” ，即可得出关于 x，y 的二元一次方 程组，解之即可得出结论； （2）设购买甲种型号排球 m 个，则购买乙种型号排球（26m）个，根据甲种型号排球 的个数多于乙种型号排球且学校购买甲、乙两种型号排球的预算资金不超过 1900 元，即 可得出关于 m 的一元一次不等式组，解之即可得出
32、 m 的取值范围，再结合 m 为整数，即 可得出购买方案的个数 【解答】解： （1）设每个甲种型号排球的价格是 x 元，每个乙种型号排球的价格是 y 元， 依题意，得：， 解得： 答：每个甲种型号排球的价格是 80 元，每个乙种型号排球的价格是 60 元 （2）设购买甲种型号排球 m 个，则购买乙种型号排球（26m）个， 依题意，得：， 解得：13m17 又m 为整数， m 的值为 14，15，16，17 答：该学校共有 4 种购买方案 25 （8 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的顶点 B，C 在 x 轴的正半轴上，AB 8，BC6对角线 AC，BD 相交于点 E，反比例函数（
33、x0）的图象经过点 E， 分别与 AB，CD 交于点 F，G （1）若 OC8，求 k 的值； （2）连接 EG，若 BFBE2，求CEG 的面积 【分析】 （1）先利用矩形的性质和线段中点坐标公式得到 E（5，4） ，然后把 E 点坐标代 入 y可求得 k 的值； （2） 利用勾股定理计算出 AC10， 则 BEEC5， 所以 BF7， 设 OBt， 则 F （t， 7） ， E（t+3，4） ，利用反比例函数图象上点的坐标得到 7t4（t+3） ，解得 t4，从而得到反 比例函数解析式为 y， 然后确定 G 点坐标， 最后利用三角形面积公式计算CEG 的 面积 【解答】解： （1）在矩形
34、ABCD 的顶点 B，AB8，BC6， 而 OC8， B（2，0） ，A（2，8） ，C（8，0） ， 对角线 AC，BD 相交于点 E， 点 E 为 AC 的中点， E（5，4） ， 把 E（5，4）代入 y得 k5420； （2）AC10， BEEC5， BFBE2， BF7， 设 OBt，则 F（t，7） ，E（t+3，4） ， 反比例函数（x0）的图象经过点 E、F， 7t4（t+3） ，解得 t4， k7t28， 反比例函数解析式为 y， 当 x10 时，y， G（10，） ， CEG 的面积3 26 （10 分）如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 分别交 BC 于点
35、 D，交 CA 的延长线于点 E，过点 D 作 DHAC，垂足为点 H，连接 DE，交 AB 于点 F （1）求证：DH 是O 的切线； （2）若O 的半径为 4， 当 AEFE 时，求的长（结果保留 ） ； 当时，求线段 AF 的长 【分析】 （1）根据同圆的半径相等和等边对等角证明：ODBOBDACB，则 DH OD，DH 是圆 O 的切线； （2）根据等腰三角形的性质的EAFEAF，设BC，得到EAFEFA 2，根据三角形的内角和得到B36，求得AOD72，根据弧长公式即可得到 结论； 连接 AD， 根据圆周角定理得到ADBADC90， 解直角三角形得到 AD2， 根据相似三角形的性质得
36、到 AH3，于是得到结论 【解答】证明： （1）连接 OD，如图 1， OBOD， ODB 是等腰三角形， OBDODB， 在ABC 中，ABAC， ABCACB， 由得：ODBOBDACB， ODAC， DHAC， DHOD， DH 是圆 O 的切线； （2）AEEF， EAFEAF， 设BC， EAFEFA2， EB， +2+2180， 36， B36， AOD72， 的长； 连接 AD， AB 为O 的直径， ADBADC90， O 的半径为 4， ABAC8， ， ， AD2， ADBC，DHAC， ADHACD， ， ， AH3， CH5， BC，EB， EC， DEDC，DHAC，
37、 EHCH5， AE2， ODAC， EAFFOD，EFDO， AEFODF， ， ， AF 27 （10 分）如图，四边形 ABCD 是矩形，AB1，BC2，点 E 是线段 BC 上一动点（不 与 B， C 重合） ， 点 F 是线段 BA 延长线上一动点， 连接 DE， EF， DF， EF 交 AD 于点 G 设 BEx，AFy，已知 y 与 x 之间的函数关系如图所示 （1）求图中 y 与 x 的函数表达式； （2）求证：DEDF； （3） 是否存在 x 的值， 使得DEG 是等腰三角形？如果存在， 求出 x 的值； 如果不存在， 说明理由 【分析】 （1）利用待定系数法可得 y 与
38、x 的函数表达式； （2）方法一：证明CDEADF，得ADFCDE，可得结论； 方法二： 分别表示DEF 三边的长， 计算三边的平方， 根据勾股定理的逆定理得： DEF 是直角三角形，从而得：DEDF； （3）分三种情况： 若 DEDG，则DGEDEG， 若 DEEG，如图，作 EHCD，交 AD 于 H， 若 DGEG，则GDEGED， 分别列方程计算可得结论 【解答】解： （1）设 ykx+b， 由图象得：当 x1 时，y2，当 x0 时，y4， 代入得：， y2x+4（0x2） ； （2）方法一：BEx，BC2 CE2x， ， ， 四边形 ABCD 是矩形， CDAF90， CDEADF
39、， ADFCDE， ADF+EDGCDE+EDG90， DEDF； 方法二：四边形 ABCD 是矩形， CDAFB90， 根据勾股定理得： 在 RtCDE 中，DE2CD2+CE21+（2x）2x24x+5， 在 RtADF 中，DF2AD2+AF24+（42x）24x216x+20， 在 RtBEF 中，EF2BE2+BF2x2+（52x）25x220x+25， DE2+DF2EF2， DEF 是直角三角形，且EDF90， DEDF； （3）假设存在 x 的值，使得DEG 是等腰三角形， 若 DEDG，则DGEDEG， 四边形 ABCD 是矩形， ADBC，B90， DGEGEB， DEGB
40、EG， 在DEF 和BEF 中， ， DEFBEF（AAS） ， DEBEx，CE2x， 在 RtCDE 中，由勾股定理得：1+（2x）2x2， x； 若 DEEG，如图，作 EHCD，交 AD 于 H， ADBC，EHCD， 四边形 CDHE 是平行四边形， C90， 四边形 CDHE 是矩形， EHCD1，DHCE2x，EHDG， HGDH2x， AG2x2， EHCD，DCAB， EHAF， EHGFAG， ， ，x1，x2（舍） ， 若 DGEG，则GDEGED， 方法一：ADBC， GDEDEC， GEDDEC， CEDF90， CDEDFE， ， CDEADF， ， ， 2x，x，
41、 方法二：EDF90， FDG+GDEDFG+DEG90， FDGDFG， FGDG， FGEG， ADBC， FGAFEB，FAGB， FAGFBE， ， ，x， 综上，x或或 28 （10 分）如图 1，二次函数 yax23ax4a 的图象与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C（0，3） （1）求二次函数的表达式及点 A、点 B 的坐标； （2）若点 D 在二次函数图象上，且，求点 D 的横坐标； （3）将直线 BC 向下平移，与二次函数图象交于 M，N 两点（M 在 N 左侧） ，如图 2， 过 M 作 MEy 轴，与直线 BC 交于点 E，过
42、N 作 NFy 轴，与直线 BC 交于点 F，当 MN+ME 的值最大时，求点 M 的坐标 【分析】 （1）求出 a，即可求解； （2）求出直线 BC 的解析式，过点 D 作 DHy 轴，与直线 BC 交于点 H，根据三角形面 积的关系求解； （3）过点 M 作 MGx 轴，交 FN 的延长线于点 G，设 M（m，m2m3） ，N（n， n2n3） ，判断四边形 MNFE 是平行四边形，根据 MENF，求出 m+n4，再确 定 ME+MNm2+3m+5m（m）2+，即可求 M； 【解答】解： （1）yax23ax4a 与 y 轴交于点 C（0，3） ， a， y， 与 x 轴交点 A（1，0）
43、 ，B（4，0） ； （2）设直线 BC 的解析式为 ykx+b， ， ， yx3； 过点 D 作 DHy 轴，与直线 BC 交于点 H， 设 H（x，x3） ，D（x，x2x3） ， DH|x23x|， SABC， SDBC6， SDBC2|x23x|6， x2+2，x22，x2； D 点的横坐标为 2+2，22，2； （3）过点 M 作 MGx 轴，交 FN 的延长线于点 G， 设 M（m，m2m3） ，N（n，n2n3） ， 则 E（m，m3） ，F（n，n3） ， MEm2+3m，NFn2+3n， EFMN，MENF， 四边形 MNFE 是平行四边形， MENF， m2+3mn2+3n， m+n4， MGnm42m， NMGOBC， cosNMGcosOBC， B（4，0） ，C（0，3） ， OB4，OC3， 在 RtBOC 中，BC5， MN（nm）（42m）5m， ME+MNm2+3m+5m（m）2+， 0， 当 m时，ME+MN 有最大值， M（，）
