1、 数学一模试卷数学一模试卷 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1集合 = *| 1 1 2+，集合 Bx|x 2x，则 AB（ ） A(1， 1 2) B （1，0） C(0， 1 2) D （0，1） 2下列函数中为奇函数的是（ ） Ayx22x Byx2cosx Cy2x+2 x D = 1 1+ 3已知复数 zi2019+i2020，则 z 的共轨复数 =（ ） A1+i B1i C1+i D1i 4已知 是圆周率，
2、e 为自然对数的底数，则下列结论正确的是（ ） Alnln3log3e Blnlog3eln3 Cln3log3eln Dln3lnlog3e 5将直线 l：y2x+1 绕点 4（1，3）按逆时针方向旋转 45得到直线 l，则直线 l的 方程为（ ） A2xy+10 Bxy+20 C3x2y+30 D3x+y60 6已知数列an为等比数列，若 a1+a42，a12+a4220，则 a2a3（ ） A8 B8 C16 D16 7如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的 体积为（ ） A9 B22 3 C28 3 D34 3 8已知过原点 O 的直线 l 与曲
3、线 C：y（x4）ex相切，则 l 的斜率为（ ） Ae Be2 C3 De 9珠算被誉为中国的第五大发明，最早见于汉朝徐岳撰写的数术记遗 2013 年联合国教 科文组织正式将中国珠算项目列入教科文组织人类非物质文化遗产如图，我国传统算 盘每一档为两粒上珠，五粒下珠，也称为“七珠算盘” 未记数（或表示零）时，每档的 各珠位置均与图中最左档一样；记数时，要拨珠靠梁，一个上珠表示“5” ，一个下珠表 示“1” ，例如：当千位档一个上珠、百位档一个上珠、十位档一个下珠、个位档一个上 珠分别靠梁时，所表示的数是 5515现选定“个位档” 、 “十位档” 、 “百位档”和“千位 档” ，若规定每档拨动一
4、珠靠梁（其它各珠不动） ，则在其可能表示的所有四位数中随机 取一个数，这个数能被 3 整除的概率为（ ） A1 2 B2 5 C3 8 D1 3 10已知过抛物线 y24x 焦点 F 的直线与抛物线交于 P，Q 两点，M 为线段 PF 的中点，连 接 OM，则OMQ 的最小面积为（ ） A1 B2 C2 D4 11已知定义在 R 上的函数() = ( + )(0，| 2)在1，2上有且仅有 3 个零 点，其图象关于点(1 4，0)和直线 x= 1 4对称，给出下列结论： (1 2) = 2 2 ； 函数 f（x）在0，1上有且仅有 3 个极值点； 函数 f（x）在( 3 2， #/DEL/#
5、#/DEL/# 5 4)上单调递增； 函数 f（x）的最小正周期是 2 其中所有正确结论的编号是（ ） A B C D 12将边长为 5 的菱形 ABCD 沿对角线 AC 折起，顶点 B 移动至 B 处，在以点 B，A，C， 为顶点的四面体 ABCD 中，棱 AC、BD 的中点分别为 E、F，若 AC6，且四面体 ABCD 的外接球球心落在四面体内部，则线段 EF 长度的取值范围为（ ） A( 14 2 ，23) B( 14 2 ，4) C(3，23) D(3，4) 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13记 Sn为等差数列a
6、n的前 n 项和，若 5a2S5+5，则数列an的公差为 14某地为了解居民的每日总用电量 y（万度）与气温 x（C）之间的关系，收集了四天 的每日总用电量和气温的数据如表： 气温 X（C） 19 13 9 1 每日总用电量 y（ （万度） 24 34 38 64 经分析， 可用线性回归方程 = 2 + 拟合 y 与 X 的关系 据此预测气温为 14C 时， 该地当日总用电量 y （万度）为 15 已知等边三角形ABC的边长为3， 点D， E分别在边AB， BC上， 且 = 1 3 ， = 1 3 ， 则 的值为 16已知点 F1、F2分别为双曲线 C： 2 2 2 2 = 1（a0，b0）的
7、左、右焦点，点 M（x0， y0） （x00）为 C 的渐近线与圆 x2+y2a2的一个交点，O 为坐标原点，若直线 F1M 与 C 的右支交于点 N，且|MN|NF2|+|OF2|，则双曲线 C 的离心率为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17函数 f（x）（sinx+cosx）2+3cos（2x
8、+） （1）求函数 f（x）的最小正周期； （2）已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若( 2) = 1， = 2， 且 a2，求ABC 的面积 18已知三棱柱 ABCA1B1C1的所有棱长都相等，平面 BB1C1C平面 ABC，BC1C1C （1）求证：A1B平面 AB1C1； （2）求二面角 A1AC1B1的余弦值 19已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1(0)的短轴长为 2，离心率为 3 2 ，左顶点为 A，过点 A 的直线 l 与 C 交于另一个点 M，且与直线 xt 交于点 N （1）求椭圆 C 的方程； （2）是否存在实数 t，使得 为定值？若存在，求实
9、数 t 的值；若不存在，请说明 理由 20某市为提升中学生的数学素养，激发学生学习数学的兴趣，举办了一次“数学文化知识 大赛” ，分预赛和复赛两个环节已知共有 8000 名学生参加了预赛，现从参加预赛的全 体学生中随机地抽取 100 人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图 （1）规定预赛成绩不低于 80 分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于 60 分的学生中 随机地抽取 2 人，求恰有 1 人预赛成绩优良的概率； （2） 由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩 Z 服从正态分布 N （， 2） ，其中 可近似为样本中的 100 名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间
10、 的中点值代替） ，且2362利用该正态分布，估计全市参加预赛的全体学生中预赛成 绩不低于 91 分的人数； （3）预赛成绩不低于 91 分的学生将参加复赛，复赛规则如下：每人的复赛初始分均 为 100 分；参赛学生可在开始答题前自行决定答题数量 n，每一题都需要“花”掉（即 减去） 一定分数来获取答题资格， 规定答第 k 题时 “花” 掉的分数为 0.1k （k （1， 2n） ） ； 每答对一题加 1.5 分，答错既不加分也不减分；答完 n 题后参赛学生的最终分数即 为复赛成绩已知学生甲答对每道题的概率均为 0.7，且每题答对与否都相互独立若学 生甲期望获得最佳的复赛成绩，则他的答题数量
11、n 应为多少？ （参考数据：362 19；若 ZN（，2） ，则 P（Z+）0.6827，P（ 2Z+2）0.9545，P（3Z+3）0.9973 21已知函数 f（x）2cos2x+ax2 （1）当 a1 时，求 f（x）的导函数 f（x）在, 2 ， 2-上的零点个数； （2）若关于 x 的不等式 2cos（2sinx）+a2x2af（x）在（，+）上恒成立，求实数 a 的取值范围 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的注意：只能做所选定的 题目题目.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用
12、如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑方框涂黑.（本小题满分（本小题满分 10 分）分）选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 如图， 有一种赛车跑道类似 “梨形” 曲线， 由圆弧 ，和线段 AB， CD 四部分组成， 在极坐标系 Ox 中，A（2， 3） ，B（1， 2 3 ） ，C（1，4 3 ） ，D（2， 3） ，弧 ，所在 圆的圆心分别是（0，0） ， （2，0） ，曲线是弧 ，曲线 M2是弧 （1）分别写出 M1，M2的极坐标方程： （2）点 E，F 位于曲线 M2上，且 = 3，求E
13、OF 面积的取值范围 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本小题满分（本小题满分 0 分分) 23已知 f（x）|x2+2t|+|2 +t3|（x0） （1）若 f（1）2，求实数 t 的取值范围； （2）求证：f（x）2 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分，在每小题给出的四个选项中，只有，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1集合 = *| 1 1 2+，集合 Bx|x 2x，则 AB（ ） A(1， 1 2) B （1，0） C(0， 1 2)
14、 D （0，1） 求出集合 A，集合 B，由此能求出 AB 集合 = *| 1 1 2+， 集合 Bx|x2xx|0x1，来源:学科网 ZXXK ABx|0x 1 2（0， 1 2） 故选：C 本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 2下列函数中为奇函数的是（ ） Ayx22x Byx2cosx Cy2x+2 x D = 1 1+ 根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案 根据题意，依次分析选项： 对于 A，yx22x，其定义域为 R，有 f（x）x2+2x，f（x）f（x）且 f（x） f（x） ，即函数 f（x）既不是奇函数也不是偶函数，不符合题
15、意； 对于 B，yx2cosx，其定义域为 R，有 f（x）x2cosxf（x） ，f（x）为偶函数，不符 合题意； 对于 C，y2x+2 x，其定义域为 R，有 f（x）2x+2xf（x） ，f（x）为偶函数，不 符合题意； 对于 D，yln1 1+，有 1 1+ 0，解可得1x1，即其定义域为（1，1） ，有 f（x） ln1+ 1 =ln1 1+ = f（x） ，为奇函数，符合题意； 故选：D 本题考查函数奇偶性的判断，关键是函数奇偶性的定义，属于基础题 3已知复数 zi2019+i2020，则 z 的共轨复数 =（ ） A1+i B1i C1+i D1i 直接利用复数 i4n1 运算化
16、简，然后利用共轭复数的概念得答案 i4n1，复数 zi2019+i2020i3+11i， z 的共轨复数 =1+i 故选：C 本题考查了复数的高次乘方运算，考查了共轭复数的概念，是基础题 4已知 是圆周率，e 为自然对数的底数，则下列结论正确的是（ ） Alnln3log3e Blnlog3eln3 Cln3log3eln Dln3lnlog3e 利用对数函数的性质求解 函数对数 ylnx 和 ylog3x 在（0，+）上单调递增，且 3e， lnln3lne1，又log3elog331， lnln3log3e， 故选：A 本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数的
17、性质的 合理运用 5将直线 l：y2x+1 绕点 4（1，3）按逆时针方向旋转 45得到直线 l，则直线 l的 方程为（ ） A2xy+10 Bxy+20 C3x2y+30 D3x+y60 直接利用到角公式的应用和点斜式的应用求出结果 直线 l：y2x+1 绕点 4（1，3）按逆时针方向旋转 45得到直线 l， 设直线 l的斜率为 k，则根据到角公式的应用， 45= 2 1+2 = 1，解得 k3， 所以直线 l的方程为 y33（x1） ，整理得 3x+y60 故选：D 本题考查的知识要点：到角公式的应用，直线方程的确定，主要考查学生的运算能力和 转换能力及思维能力，属于基础题型 6已知数列a
18、n为等比数列，若 a1+a42，a12+a4220，则 a2a3（ ） A8 B8 C16 D16 直接利用关系式的变换和等比性质的应用求出结果 数列an为等比数列，若 a1+a42，所以：12+ 214+ 42= 4， 由于 a12+a4220， 所以 2a1a416，整理得 a2a3a1a48 故选：A 本题考查的知识要点：等比数列的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及 思维能力，属于基础题型 7如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的 体积为（ ） A9 B22 3 C28 3 D34 3 首先把三视图转换为直观图，进一步求出直观图的体积
19、根据几何体的三视图可得直观图为：该几何体为上面为一个半径为 2 的半球，下面为底 面半径为 2，高为 3 的半圆柱体 如图所示： 故 V= 1 2 22 3 + 2 3 23= 34 3 故选：D 本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的体积和表面积公式的应 用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 8已知过原点 O 的直线 l 与曲线 C：y（x4）ex相切，则 l 的斜率为（ ） Ae Be2 C3 De 设切点为（m， （m4）em） ，然后利用导数求出切线方程，将（0，0）代入即可求出切 点坐标，问题可解 由题意设切点为（m， （m4）em） ， y
20、ex（x3） ，kem（m3） y（m4）emem（m3） （xm） ， 由切线过原点得 m24m+40， 所以 m2，所以 ke2 故选：B 本题考查导数的几何意义与切线的求法，属于基础题 9珠算被誉为中国的第五大发明，最早见于汉朝徐岳撰写的数术记遗 2013 年联合国教 科文组织正式将中国珠算项目列入教科文组织人类非物质文化遗产如图，我国传统算 盘每一档为两粒上珠，五粒下珠，也称为“七珠算盘” 未记数（或表示零）时，每档的 各珠位置均与图中最左档一样；记数时，要拨珠靠梁，一个上珠表示“5” ，一个下珠表 示“1” ，例如：当千位档一个上珠、百位档一个上珠、十位档一个下珠、个位档一个上 珠分
21、别靠梁时，所表示的数是 5515现选定“个位档” 、 “十位档” 、 “百位档”和“千位 档” ，若规定每档拨动一珠靠梁（其它各珠不动） ，则在其可能表示的所有四位数中随机 取一个数，这个数能被 3 整除的概率为（ ） A1 2 B2 5 C3 8 D1 3 基本事件总数 n2416， 利用列举法求出这个数能被 3 整除包含的基本事件有 6 个，由 此能求出这个数能被 3 整除的概率 选定“个位档” 、 “十位档” 、 “百位档”和“千位档” ， 规定每档拨动一珠靠梁（其它各珠不动） ， 则在其可能表示的所有四位数中随机取一个数， 基本事件总数 n2416， 这个数能被 3 整除包含的基本事件
22、有： 5511，5115，5151，1155，1515，1551，共 6 个， 这个数能被 3 整除的概率为 P= 6 16 = 3 8 故选：C 本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 10已知过抛物线 y24x 焦点 F 的直线与抛物线交于 P，Q 两点，M 为线段 PF 的中点，连 接 OM，则OMQ 的最小面积为（ ） A1 B2 C2 D4 由题意可得直线 PQ 的斜率不为 0，设直线 PQ 的方程，与抛物线联立球心两根之和及两 根之积， 可得 PF 的中点 M 的纵坐标， 由 SOMQSOFQ+SOMF1 2|OF| 1 2 1y2|= 1 21 (
23、1 21 2)2，整理可得由1 2 4 +y22 2 1 2 2，而 y1y2为定值可得OMQ 的面积的 最小值 设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，设 P 在 x 轴上方， 由题意可得直线 PQ 的斜率不为 0，设直线 PQ 的方程为 xmy+1， 联立直线与抛物线的方程 = + 1 2= 4 ， 整理可得 y24my40， y1+y24m， y1y24， 因为 M 为 PF 的中点，所以 yM= 1 2 ， 所以S OMQSOFQ+SOMF= 1 2 |OF| 1 2 1y2|= 1 2 1 (1 21 2)2= 1 2 1 2 4 + 22 12 1 2 2 1 212 12=
24、1 2 12 12= 1 28 = 2， 所以2， 故选：B 本题考查直线与抛物线的综合及均值不等式的应用，属于中档题 11已知定义在 R 上的函数() = ( + )(0，| 2)在1，2上有且仅有 3 个零 点，其图象关于点(1 4，0)和直线 x= 1 4对称，给出下列结论： (1 2) = 2 2 ； 函数 f（x）在0，1上有且仅有 3 个极值点； 函数 f（x）在( 3 2， #/DEL/# #/DEL/# 5 4)上单调递增； 函数 f（x）的最小正周期是 2 其中所有正确结论的编号是（ ） A B C D 先根据条件求得函数的解析式，再结合三角函数的性质判断选项即可 曲线关于点
25、（ 1 4，0）对称，所以： 1 4+k1；k1Z 又因为其图象关于直线 x= 1 4对称，所以： 1 4+k2+ 2，k2Z； 由可得：2（k1k2）1 即 （2n1），nZ； 因为数() = ( + )(0，| 2)在1，2上有且仅有 3 个零点， 所以2 21 4 ， （0）即 24，； 由可得 3； f（1 4）0， 3 4 +k，又| 2，= 4； f（x）sin（3x+ 4） ； 所以易知 f（1 2）= 2 2 ；错误； 令 3x0+ 4 = 2 +k，则 x0= 3 + 1 12， （kZ） ； 令 0 3 + 1 12 1，则可取 k0，1，2； x0= 1 12， 5 12
26、， 3 4； 正确； 令 2 +2k3x+ 4 2 +2k 1 4 + 2 3kx 1 12 + 2 3k；kZ； 当 k2 时， 19 12， 5 4为 f（x）的一个递增区间，而（ 3 2， 5 4） 19 12， 5 4 f（x）在( 3 2 ， #/DEL/# #/DEL/# 5 4)上单调递增，正确； f（x）sin（3x+ 4） ；T= 2 3 = 2 3；错误 综上所述，其中正确的结论为； 故选：A 本题主要考查命题的真假判断以及三角函数的图象和性质，属于中档题目，也是易错题 目 12将边长为 5 的菱形 ABCD 沿对角线 AC 折起，顶点 B 移动至 B 处，在以点 B，A，
27、C， 为顶点的四面体 ABCD 中，棱 AC、BD 的中点分别为 E、F，若 AC6，且四面体 ABCD 的外接球球心落在四面体内部，则线段 EF 长度的取值范围为（ ） A( 14 2 ，23) B( 14 2 ，4) C(3，23) D(3，4) 由题意画出图形，可证 AC平面 BED，得到球心 O 位于平面 BED 与平面 ACF 的 交线上，即直线 EF 上，由勾股定理结合 OAOB，OEEF，EFEB4 可得线段 EF 长度的取值范围 如图，由已知可得，ACBE，且 ACDE，AC平面 BED， E 是 AC 的中点，到点 A、C 的距离相等的点位于平面 ACF 内， 同理可知，到点
28、 B、D 的距离相等的点位于平面 ACF 内， 球心 O 到点 A，B，C，D 的距离相等，球心 O 位于平面 BED 与平面 ACF 的交 线上，即直线 EF 上 球心 O 落在线段 EF 上（不含端点 E、F） ， 显然 EFBD，由题意 EA3，EB4，则 OA2OE2+9， 且 OB2OF2+FB2OF2+EB2EF2 （EFOE） 2+16EF2OE2+162EFOE OAOB，OE2+9OE2+162EFOE，则 = 7 2， 显然 OEEF， 7 2 EF，即 EF 14 2 又 EFEB4， 14 2 EF4 故选：B 本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力与思
29、维能力，属中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13记 Sn为等差数列an的前 n 项和，若 5a2S5+5，则数列an的公差为 1 利用等差数列的通项公式及求和公式即可得出 设等差数列an的公差为 d 5a2S5+5，5（a1+d）5a1+10d+5， 则数列an的公差 d1 故答案为：1 本题考查了等差数列的通项公式及求和公式， 考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 14某地为了解居民的每日总用电量 y（万度）与气温 x（C）之间的关系，收集了四天 的每日总用电量和气温的数据如表： 气温 X（C） 19 13 9
30、1 每日总用电量 y（ （万度） 24 34 38 64 经分析，可用线性回归方程 = 2 + 拟合 y 与 X 的关系据此预测气温为 14C 时， 该地当日总用电量 y （万度）为 32 求出样本中心，代入回归直线方程，求出 a，然后求解该地当日总用电量 由题意可知： = 19+13+91 4 =10， = 24+34+38+64 4 =40， 所以 40210+a，解得 a60 线性回归方程 = 2 + 60， 预测气温为 14C 时， 可得 y28+6032 故答案为：32 本题考查回归直线方程的求法，是基本知识的考查，基础题 15 已知等边三角形ABC的边长为3， 点D， E分别在边A
31、B， BC上， 且 = 1 3 ， = 1 3 ， 则 的值为 3 以 B 为原点， BC 和垂直 BC 的线分别为 x、 y 轴建立平面直角坐标系， 再分别写出 C、 D、 E 三点坐标，结合平面向量数量积的坐标运算即可得解 以 B 为原点，BC 和垂直 BC 的线分别为 x、y 轴建立平面直角坐标系，如图所示， 则 C（3，0） ，D（1，3） ，E（1，0） ， = (2， 3) (0， 3) = 3 故答案为：3 本题考查平面向量在几何中的应用，在规则平面多边形中建立坐标系求解可事半功倍， 考查学生的运算能力，属于基础题 16已知点 F1、F2分别为双曲线 C： 2 2 2 2 = 1
32、（a0，b0）的左、右焦点，点 M（x0， y0） （x00）为 C 的渐近线与圆 x2+y2a2的一个交点，O 为坐标原点，若直线 F1M 与 C 的右支交于点 N，且|MN|NF2|+|OF2|，则双曲线 C 的离心率为 5 4 由题意画出图形，可得直线 F1M 与圆 O 相切于点 M，且|MF1|b，再由双曲线的定义及 隐含条件列式求解双曲线的离心率 如图，由题意可得，直线 F1M 与圆 O 相切于点 M，且|MF1|b， 由双曲线的定义可知，2a|NF1|NF2|MN|+|MF1|NF2|， |MN|NF2|+|OF2|，且|OF2|c， 2ab+c，即 b2ac， b2（2ac）2c
33、24ac+4a2， 又 b2c2a2， 联立解得 4c5a，即 e= = 5 4 故答案为：5 4 本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分.来源来源:学科网学科网 ZXXK 17函数 f（x）（sinx+cosx）2+3cos（2x+） （1）求
34、函数 f（x）的最小正周期； （2）已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若( 2) = 1， = 2， 且 a2，求ABC 的面积 （1）根据三角函数恒等变换的应用和正弦函数的性质即可求出； （2）先求出 A 的值，再根据正弦定理余弦定理即可求出 b 的值，根据三角形的面积公式 可得 解： （1）f（x）（sinx+cosx）2+3cos（2x+）1+sin2x3cos2x2sin（2x 3）+1， 函数 f（x）的最小正周期 T= 2 2 =； （2）f（ 2）2sin（A 3）+11，sin（A 3）0， 3 2A 3 5 3 ， A 3 =0，即 A= 3， 由正弦
35、定理以及 sinC2sinB 可得 c2b， 由余弦定理可得 a2b2+c22bccosA，可得 b= 23 3 ， c= 43 3 ， SABC= 1 2bcsinA= 23 3 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，正弦定理，余弦定理，三 角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 18已知三棱柱 ABCA1B1C1的所有棱长都相等，平面 BB1C1C平面 ABC，BC1C1C （1）求证：A1B平面 AB1C1； （2）求二面角 A1AC1B1的余弦值 （1）设直线 AB1与直线 BA1交于点 G，连结 C1G，推导出 A1BAB1，C1GA1
36、B，由此 能证明 A1B平面 AB1C1 （2）取 BC 中点 O 为坐标原点，分别以 OA，OC，OC1所在直线为 x，y，z 轴，建立空 间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 A1AC1B1的余弦值 （1）证明：设直线 AB1与直线 BA1交于点 G，连结 C1G， 四边形 ABB1A1是菱形，A1BAB1， BC1C1CC1A1，G 为 A1B 的中点，C1GA1B， AB1C1GG，A1B平面 AB1C1 （2）解：取 BC 中点 O 为坐标原点， 如图，分别以 OA，OC，OC1所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系， 设棱柱的棱长为 2，则 C（0，1，0） ，C1（0，0
37、，3） ，A（3，0，0） ，B（0，1，0） ， 1 =（3，0，3） ，11 = =（3，1，0） ，11 = =（0，2，0） ， 设平面 A1AC1的一个法向量 =（x，y，z） ， 则 11 = 3 + = 0 1 = 3 + 3 = 0 ，取 x1，得 =（1，3，1） ， 设平面 AB1C1的一个法向量为 =（a，b，c） ， 则 1 = 3 + 3 = 0 11 = 2 = 0 ，取 x1，得 =（1，0，1） ， 设二面角 A1AC1B1的平面角为 ， 则 cos= | | | |= 2 52 = 10 5 二面角 A1AC1B1的余弦值为 10 5 本题考查线面垂直的证明，
38、考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面 间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题 19已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1(0)的短轴长为 2，离心率为 3 2 ，左顶点为 A，过点 A 的直线 l 与 C 交于另一个点 M，且与直线 xt 交于点 N （1）求椭圆 C 的方程； （2）是否存在实数 t，使得 为定值？若存在，求实数 t 的值；若不存在，请说明 理由 （1）由题意可得 b1，运用椭圆的离心率的公式和 a，b，c 的关系，解方程可得 a，c， 进而得到椭圆方程； （2） 假设存在实数 tt0， 使得 为定值 可设直线 l 的方程为 yk （x+2）
39、， M （x0， y0） ，联立椭圆的方程，运用韦达定理，求得 M 的坐标，将 tt0代入 yk（x+2） ，求得 N 的坐标，再由向量的数量积的坐标表示，结合定值，可得所求值 （1）由题意可得 2b2，即 b1，e= = 3 2 ，a2b2c2， 解得 a2，c= 3，则椭圆 C 的方程为 2 4 +y21； （2）假设存在实数 tt0，使得 为定值 由题意可得直线 l 的斜率存在， 由 A （2， 0） ， 可设直线 l 的方程为 yk （x+2） ， M （x0， y0） ， 联立 = ( + 2) 2+ 42= 4，可得（1+4k 2）x2+16k2x+16k240， 由韦达定理可得2
40、x0= 1624 1+42 ，即 x0= 82+2 1+42 ，y0k（x0+2）= 4 1+42， 即 M（8 2+2 1+42 ， 4 1+42） ， 将 tt0代入 yk（x+2） ，可得 N（t0，k（t0+2） ） ， 则 = 20820+420+82 1+42 = 4(20)2+20 1+42 ， 若 为定值，则840 4 = 20 1 ， 解得 t0= 2 3，此时 为定值4 3， 所以存在实数 t= 2 3，使得 为定值4 3 本题以直线和椭圆为载体，其几何关系向量表达为背景，利用方程思想解决几何问题， 主要考查椭圆的基本量， 直线和椭圆的位置关系， 向量的数量积的运算， 考查
41、逻辑推理、 数学运算等数学核心素养及思维能力，属于中档题 20某市为提升中学生的数学素养，激发学生学习数学的兴趣，举办了一次“数学文化知识 大赛” ，分预赛和复赛两个环节已知共有 8000 名学生参加了预赛，现从参加预赛的全 体学生中随机地抽取 100 人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图 （1）规定预赛成绩不低于 80 分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于 60 分的学生中 随机地抽取 2 人，求恰有 1 人预赛成绩优良的概率； （2） 由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩 Z 服从正态分布 N （， 2） ，其中 可近似为样本中的 100 名学生预赛成绩的平均值（
42、同一组数据用该组区间 的中点值代替） ，且2362利用该正态分布，估计全市参加预赛的全体学生中预赛成 绩不低于 91 分的人数； （3）预赛成绩不低于 91 分的学生将参加复赛，复赛规则如下：每人的复赛初始分均 为 100 分；参赛学生可在开始答题前自行决定答题数量 n，每一题都需要“花”掉（即 减去） 一定分数来获取答题资格， 规定答第 k 题时 “花” 掉的分数为 0.1k （k （1， 2n） ） ； 每答对一题加 1.5 分，答错既不加分也不减分；答完 n 题后参赛学生的最终分数即 为复赛成绩已知学生甲答对每道题的概率均为 0.7，且每题答对与否都相互独立若学 生甲期望获得最佳的复赛成绩，则他的答题数量 n 应为多少？ （参考数据：362 19；若 ZN（，2） ，则 P（Z+）0.6827，P（ 2Z+2）0.9545，P（3Z+3）0.9973 （1）求出样本中成绩不低于 60 分的学生共有 40 人，其中成绩优良的人数为 15 人，由 此能求出恰有 1 人预赛成绩优良的概率 （2）样本中的 100 名学生预赛成绩的平均值为： =100.1+300.2+500.3+70 0.25+900.1553，则 53，由2362，得19，从而 P（Z91）P（Z+2 ）= 1 2 ,1 (
