1、2020 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江模拟卷 3） 数学 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 4 页，选择题部分 1 至 2 页；非选择题部分 3 至 4 页。 满分 150 分。考试用时 120 分钟。 考生注意： 1答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定 的位置上。 2答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的 作答一律无效。 参考公式：参考公式： 若事件 A，B 互斥，则()( )( )P ABP AP B 若事件 A，B 相互独立，则()( ) ( )P ABP A P B 若事件
2、 A 在一次试验中发生的概率是 p，则 n 次 独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 ( )C(1)(0,1,2, ) kkn k nn P kppkn 台体的体积公式 1122 1 () 3 VSS SS h 其中 12 ,S S分别表示台体的上、下底面积，h表示 台体的高 柱体的体积公式VSh 其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高 锥体的体积公式 1 3 VSh 其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高 球的表面积公式 2 4SR 球的体积公式 3 4 3 VR 其中R表示球的半径 选择题部分（共 40 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小
3、题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1已知集合 2 lg 2 x Ax y x ，集合 2 1By yx ，则集合 x xABxAB且为（） A.2,12,B.2,12,C., 21,2 D., 21,2 2若复数 z 满足 z2=4，则|=（） AB3CD5 3在的二项展开式中，x2的系数为（） ABCD 4将函数 y=cos（2x+）的图象向左平移个单位后，得到 f（x）的图象，则（） Af（x）=sin2xBf（x）的图象关于 x=对称 Cf（）=Df（x）的图象关于（，0）对称 5如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，几何体的表面积为（） A
4、4+2（+）B6+2（+）C10D12 6设等差数列an的前 n 项为 Sn，已知 S130，S140，若 akak+10，则 k=（） A6B7C13D14 7函数 f（x）=ln|x|+|sinx|（x且 x0）的图象大致是（） ABCD 8将 4 名大学生分配到 A，B，C 三个不同的学校实习，每个学校至少分配一人，若甲要求不到 A 学校， 则不同的分配方案共有（） A36 种B30 种C24 种 D20 种 9抛物线 y2=4x 的焦点 F，点 P（x，y）为抛物线上的动点，又点 A（1，0） ，则的最小值是（） ABCD 10已知实数 a，b，c 满足 a2+b=lna，则（ac）2
5、+（b+c2）2的最小值为（） A2B8CD2 非选择题部分（共 110 分） 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。 11已知向量 =（2，3） ， =（m，6） ，若 ，则 m=，|2 + |= 12在等差数列an中，若 a5+a7=4，a6+a8=2，则数列an的公差等于；其前 n 项和 Sn的最大值 为 13已知函数 f(x) x2，x1， x6 x6，x1， 则 f(f(2)_，f(x)的最小值是_ 14商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖每次抽奖都是从装有 4 个红球、6 个白 球的甲箱和装有 5 个红球、5 个白球
6、的乙箱中，各随机摸出 1 个球在摸出的 2 个球中，若都是红球， 则获一等奖；若只有 1 个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖，则顾客抽奖 1 次能获奖的概率 是_； 若某顾客有 3 次抽奖机会， 记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为 X， 则 E(X)_. 15在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线=1（a0，b0）的右支与焦点为 F 的抛物线 x2=2py（p 0）交于 A，B 两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为 16对于函数 f（x）=，有下列 5 个结论： 任取 x1，x20，+） ，都有|f（x1）f（x2）|2； 函数 y=f（x）在区间4，5上
7、单调递增； f（x）=2kf（x+2k） （kN+） ，对一切 x0，+）恒成立； 函数 y=f（x）ln（x1）有 3 个零点； 若关于 x 的方程 f（x）=m（m0）有且只有两个不同实根 x1，x2，则 x1+x2=3 则其中所有正确结论的序号是 （请写出全部正确结论的序号） 17.已知定义在 R 上的奇函数 f（x） ，设其导函数为 f（x） ，当 x（，0时，恒有 xf（x）f（x） ， 令 F（x）=xf（x） ，则满足 F（3）F（2x1）的实数 x 的取值范围是 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18 （本小题满分 14 分
8、）已知向量 =（sin（+x） ，2cosx） ， =（2sin（+x） ，cosx） ， （0） ， 函数 f（x）= ，其图象上相邻的两个最低点之间的距离为 （）求函数 f（x）的对称中心； （）在锐角ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，tanB=，求 f（A）的取值范围 19.（本小题满分 15 分）如图所示，四边形ABCD为菱形，且120ABC，2AB ，/ /BEDF，且 3BEDF ，DF 平面ABCD. （1）求证：平面ABE 平面ABCD； （2）求平面AEF与平面ABE所成锐二面角的正弦值. 20.（本小题满分 15 分）已知数列an满足 an2qan(q
9、为实数，且 q1)，nN*，a11，a22，且 a2 a3，a3a4，a4a5 成等差数列 (1)求 q 的值和an的通项公式； (2)设 bnlog2a2n a2n1 ，nN*，求数列bn的前 n 项和 21（本小题满分 15 分）已知点F是椭圆 22 1 22 :1(0) yx Cab ab 和抛物线 2 2: 4Cxy的公共焦点， 12 ,A A是椭圆的长轴的两个端点，点M是 1 C与 2 C在第二象限的交点，且 5 3 MF . (I) 求椭圆 1 C的方程； (II) 点N为直线:2l y 上的动点，过点N作抛物线 2 C的两条切线，切点分别为,A B.直线AB交椭圆 1 C于,P
10、Q两点，设NPQ的面积为 1 S， 12 NA A的面积为 2 S，求 12 SS的最大值. 22（本小题满分 15 分）已知函数xxexf x cossin)(， x exxxg2cos)(，其中e是自然常数. （）判断函数)(xfy 在) 2 , 0( 内零点的个数，并说明理由； （） 2 , 0 1 x， 2 , 0 2 x，使得不等式mxgxf)()( 21 成立，试求实数m的取值范围； （）若1x，求证：0)()(xgxf. 2020 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江模拟卷 3） 数学 参 考 答 案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分40分。 1 D2C3
11、C4B5B 6 B7D8C9B10D 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。 119 ，13123，57131 2 2 6614 7 10 3 5 15y=x1617（，2） 三、解答题：本大题共5小题，共74分。 18本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。 解： （）由题意，向量 =（sin（+x） ，2cosx） ， =（2sin（+x） ，cosx） ， （0） ， 函数 f（x）= =sin（+x）（2sin（+x）+2cosxcosx=2cos2xsinxcosx =1+cos2xsin2x=2cos
12、（2x+）+1， 图象上相邻的两个最低点之间的距离为 周期 T=，即， =1， 可得 f（x）=2cos（2x+）+1， 令 2x+=k，kZ， 得：x=， 函数 f（x）的对称中心为（，1） ，kZ； （）tanB=， 由余弦定理：cosB=化简可得：tanB=， sinB=， ABC 是锐角三角形， B= ， 那么：f（A）=2cos（2A+）+1， 则 2A+（，） ， cos（2A+）1，） 故得 f（A）的取值范围是1，2） 19. 本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查空间想象能力和运 算求解能力。满分15分。 （1）/ /BEDF，DF 平面A
13、BCD，BE 平面ABCD， 又BE 平面ABE，平面ABE 平面ABCD. （2）设AC与BD的交点为O，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz， 则 3,0,0A，0,1,0B， 0,1, 3E， 0, 1, 3F， 0, 2,0EF ， 3,1, 3AE ， 3,1,0AB ， 设平面AEF的法向量为 1111 ,nx y z ，则 1 1 0 0 EF n AE n ， 即 1 111 20 330 y xyz ， 令 1 1x ，则 1 0y ， 1 0z ， 1 1,0,1n . 设平面ABE的法向量为 2222 ,nxyz ，则 2 2 0 0 AE n AB n ， 即 222
14、22 330 30 xyz xy ， 令 2 1x ，则 2 3y ， 2 0z ， 2 1, 3,0n . 12 12 12 12 cos, 422 n n n n nn ， 12 14 sin, 4 n n ， 平面AEF与平面ABE所成锐二面角的正弦值为 14 4 . 20. 本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识，同时考查运算求解能力和综合 应用能力。满分 15 分。 (1)由已知，有(a3a4)(a2a3)(a4a5)(a3a4)， 即 a4a2a5a3， 所以 a2(q1)a3(q1) 又因为 q1，故 a3a22， 由 a3a1q，得 q2. 当 n2k1
15、(kN*)时， ana2k12k 1-1 2n； 当 n2k(kN*)时，ana2k2k2n. 所以，an的通项公式为 1 2 2 2, 2 , n n n n a n 为奇数 为偶数 (2)由(1)得 bnlog2a2n a2n1 n 2n 1，nN *. 设bn的前 n 项和为 Sn，则 Sn1 1 202 1 213 1 22(n1) 1 2n 2n 1 2n 1， 1 2S n1 1 212 1 223 1 23(n1) 1 2n 1n 1 2n， 上述两式相减，得 1 2S n11 2 1 22 1 2n 1 n 2n 1 1 2n 11 2 n 2n2 2 2n n 2n， 整理，
16、得 Sn4n2 2n 1，nN *. 所以，数列bn的前 n 项和为 4n2 2n 1，nN *. 21.本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算求解能力和综合 应用能力。满分15分。 解：（I）易知1 2 p c ，所以焦点(0,1)F，椭圆的另一焦点为(0, 1) F 由抛物线定义知 552 1 3233 MM p yy ， 从而 2 22 6 4(0) 33 MMM xxx ， 又由椭圆定义得： 57 22 33 aMFMFa, 222 3bac， 故所求椭圆方程为： 22 1 43 yx （2）由对称性，不妨设 00 (, 2),(0)N xx， 再
17、设 22 12 12 ( ,), (,) 44 xx A xB x, 由 2 4 x y 得 12 , 222 ANBN xxx ykk , 2 11 : 24 AN xx lyx 2 22 : 24 BN xx lyx 由解得 12 12 4 4 N N xx x yy y 所以有： 120 2xxx 12 8xx 由点斜式得 1212 : 44 AB xxxx lyx 代入得： 0 :2 2 AB x lyx 联立 0 22 2 2 1 43 x yx yx 消去y得 22 0 (316)240xxx， 又设 3344 (,),(,)P xyQ xy， 则 22 000 34 2 0 24
18、 11 44316 xxx PQxx x ， N到 AB l之间的距离为 2 0 2 0 4 2 1 4 x d x ， 12120 0 0 11612 3 16 233 3 SSPQ dA Ax x x ， 当且仅当 0 4 3 3 x 时， 12 2 3 () 3 Max SS. 22本题主要考查函数的单调性，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力。满分15 分。 解： （）函数)(xfy 在) 2 , 0( 上的零点的各数为 1， 理由如下：因为xxexf x cossin)(，所以xxexexf xx sincossin)(. 因为 2 0 x，所以0)(xf. 所以函
19、数)(xf在) 2 , 0( 上是单调递增函数. 因为01)0(f，0) 2 ( 2 ef， 根据函数零点存在性定理得 函数)(xfy 在) 2 , 0( 上的零点的个数为 1. （）因为不等式mxgxf)()( 21 等价于)()( 21 xgmxf， 所以 2 , 0 1 x， 2 , 0 2 x，使得不等式mxgxf)()( 21 成立，等价于 max2max1 )()(xgmxf，即 max2max1 )()(xgmxf. 当 2 , 0 x时，0sincossin)(xxexexf xx ，故)(xf在区间 2 , 0 上单调递增，所以0x时， )(xf取得最小值-1， 又 x ex
20、xxxg2sincos)(，由于1cos0x，0sinxx，22 x e， 所以0)( x g，故)(xg在区间 2 , 0 上单调递增. 因此，0x时，)(xg取得最大值2. 所以)2(1m，所以12 m， 所以实数m的取值范围是21,(. （）当0x时，要证0)()(xgxf，只要证)()(xgxf， 只要证xxexcossin x exx2cos ， 只要证xxxexcos) 1()2(sin， 由于02sinx，01x只要证 2sin cos 1 x x x ex . 下面证明1x时，不等式 2sin cos 1 x x x ex 成立. 令) 1( 1 )( x x e xh x ，
21、则 22 ) 1() 1( ) 1( )( x xe x exe xh xxx ， 当)0 , 1(x时，0)( x h，)(xh是单调递减； 当), 0( x时，0)( x h，)(xh是单调递增. 所以当且仅当0x时，)(xh取得极小值也就是最小值为 1. 令 2sin cos x x k，其可看作点)cos,(sinxxA与点)0 ,2(B连线的斜率， 所以直线AB的方程为：)2( xky， 由于点A在圆1 22 yx上，所以直线AB与圆1 22 yx相交或相切， 当直线AB与圆1 22 yx相切且切点在第二象限时， 当直线AB取得斜率k的最大值为 1. 故0x时，)0(1 2 2 hk；0x时，kxh1)(. 综上所述，当1x时，0)()(xgxf成立.
