1、 2020 年湖北省高三（5 月）调研模拟考试理科数学参考答案 第 1页（共 4 页） 2020 年湖北省高三（年湖北省高三（5 月）调研月）调研模拟模拟考试考试 理科数学参考答案理科数学参考答案 一、选择题 题号123456789101112 答案ABCCABDDACBC 二、填空题 13. 21 2 14.?=2 ?1 1572.516.31 三、解答题 17. 解： （1）? 的外接圆半径 R = 1，有 ? = 2Rsin?= ?， 由余弦定理 ?2= ?2? ?2? 2?cos?及 A = ? ?，? 2 ? ?2= ?，有 ? = 1， 故? 的面积 ? = 1 2 ?sin? =
2、 ? ? .6 分 （2）角 ? 的平分线 ? 交 ? 于 ? 点，且?2? ?2= ?，? = 1，不妨设 ? ? 0， 有 ? ? ? =?，? ? =2， 故 ? = ? 2 2 ，? = ? 2 2 ，又 ? =?， 由? ? = ? ?，且 ? ? ? = ?，有 ? = ?1 2 ，? = ?1 2 ， 由?2= ? ? ? ? ?，有?2= 1 2， 故 AD = 2 2 .12 分 18. （1）证明：在图 2 中，取 CD 的中点 E，连 AE. 在直角?ABC 中，AC BC，AC = ?，BC = ? ?，故ACB = 90，CAB = ?0， 又 点 D 为 AB 的中
3、点， BC = ?BF，有 CD = ?，BF = 2 ?，CF = ? ?， 由DF2= CD2? CF2 2CD CF cos?0= 12，有 DF = 2 ?，故CF2= CD2? DF2 故?DCF 为直角三角形，有CD DF. 将?ACD 沿 CD 折起，使面 ACD 面 BCD，如图. 由点 E 为 CD 的中点，在等边? 中，AE CD，面 ACD面 BCD = CD，故 AE 面 BCD， 又 DF 面 BCD，有 DF AE，又 DF CD，CDAE = E，则 DF 面 ACD， 又 AC 面 ACD，有 AC DF.6 分 （2）解：由（1）相关关系及数据，在图中，以 D
4、 为原点，分别以 DC，DF，过点 D 且垂直 2020 年湖北省高三（5 月）调研模拟考试理科数学参考答案 第 2页（共 4 页） 面 DBC 的直线为 ?，?，? 轴建立空间直角坐标系（如图所示） ，有： D 0，0，0 ，A ?，0，? ? ，C ?，0，0 ，B?，? ?，0 ， 在面 ABC 中，设其一个法向量? ?= ?1，?1，?1， ? ? ? =?，0，? ? ，? ? ? =9，? ?，0 ， ? ? ? ? ? ?= 0 ? ? ? ? ? ?= 0 ? ?1? ? ?1= 0 ? 9?1? ? ?1= 0 不妨令?1= 1，则?1=?，?1= ?， 有? ?=?，?，1
5、 在面 ABD 中，设其一个法向量?= ?2，?2，?2， ? ? ? = ?，0，? ? ，? ? ? =?，? ?，0 ， ? ? ? ? ?= 0 ? ? ? ? ?= 0 ?2? ? ?2= 0 ? ?2? ? ?2= 0 不妨令?2= 1，则?2=?，?2=? 1， 有?=?，1， ? 1 cos ? ?，?= ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? 2 ? ? 2? 12 ? 2 ? 12? ? 1 2 = ?t 1? 故二面角 ? ? ? ? 的余弦值为 ?t 1? .12 分 19. 解:（1） 设?PQ?1的内切圆 M 切 P?1、Q?1、PQ 于
6、点 E、F、G， ?1= ?1= ?， ? = ?t = ?， ? 0，? 0 由 P?1 ?2，且知 ? = ?t = 1， 有t?2= ?1= ?，则 ?2= ? ? 1，?1= ? ? 1， 由 ?12? ?22= ?1?22得， ?1 2 ? ? ? 1 2 = 2 t 2 ? 0 , 有 ? = ?, 故2? = ?1? ?2= 2? = ?，即 ? = ?，? =?2? ?2= 2 故所求的椭圆标准方程为：? 2 9 ? ?2 ? = 16 分 （2）设点 ? 0，? ，其到直线 ?1的距离为 1， 有 2? t t = 1，? =t 或 ? = 0（舍） ，即 ? 0， t .
7、故圆 ? 的方程为 ?2? ? ?t 2 = 1， 设 ? ?1?1，? ?2?2， 由 ? = 2? ? ? ?2? 9?2? ? = 0 得 ?0?2? ? ? 9?2? ? = 0， ?1?2= 1 ?0 ? 2? ? ?0 9?2? ? = ? 10 ?0? ?2， 2020 年湖北省高三（5 月）调研模拟考试理科数学参考答案 第 3页（共 4 页） ? =1 ? ?2 ?1?2= ? t 10 ?0? ?2， 而 ? = 2? ? ? 与?2? ? ?t 2 = 1 相切，有 ? t t = 1，? = 0 或 ? = 2 t， 故? = ? 2或 ? = ?.12 分 20.解：（
8、1） 由正态分布可知， 抽取的一件零件的质量在 ? ? ?，? ? ? 之内的概率为 0.9974， 则这 10 件质量全都在 ? ? ?，? ? ? 之内（即没有废品）的概率为 10 0.99740.9743 ； 则这 10 件零件中至少有 1 件是废品的概率为10.97430.0257；4 分 （2） （）由已知数据，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，得该厂生 产的一件正品零件为“优等”、“一级”、“合格”的概率分别为 0.7、0.2、0.1； 则的可能取值为 150，140，130，125，115，100 元，有： P ? = 1t0 = 0? 0? = 0?9， P ?
9、 = 1?0 = 0? 0?2 2 = 0?2， P ? = 1?0 = 0?2 0?2 = 0?0?， P ? = 12t = 0? 0?1 2 = 0?1?， P ? = 11t = 0?2 0?1 2 = 0?0?， P ? = 100 = 0?1 0?1 = 0?01， 得到 ? 的分布列如下： ?150140130125115100 P0.490.280.040.140.040.01 数学期望为： ? ? = 1t0 0?9 ? 1?0 0?2 ? 1?0 0?0? ? 12t 0?1? ? 11t 0?0? ? 100 0?01 = 1?1（元） ； （）设乙厂生产的 5 件该零件
10、规格的正品零件中有n件“优等”品，则有5n件“一 级”品，由已知有 ?tn ? ?t t ? ? ?，解得 ? ?t，则 ? 取 4 或 5； 故所求的概率为： 445 5 0.80.20.8PC 0.40960.32768 0.7372812 分 21.解： （1）? ? 为偶函数，? 0 = 0，且 ? = 0 时，? ? 0 不恒成立， 故题意可为：? 0，? 0，? ? ，若 ? ? 0 恒成立，求 ? 的最大值?0. ? = ?2? ? ?sin?，? = ?2? ?2cos? =? ?2cos? ? ?2 ?2 ， 若 0 2，则最小的正数?0，使?0= 0 成立，此时cos?0=
11、 ?2 ?2 ， 当 ? 0，?0时，? 0，? 在 0，?0单调递减，又?0 = 0, 有? 0，? 0，?0，故 ? ? 在 0，?0单调递减，又 ? 0 = 0, 有 ? ? 0，? 0，?0，故 ? ? 0，? 0， ? ? 不恒成立，即 ? 无最大值； 综合可知，满足题意 ? 的最大值?0= 2；6 分 2020 年湖北省高三（5 月）调研模拟考试理科数学参考答案 第 4页（共 4 页） （2）由（）知，? ? = 22?2? cos2? ? 1，证明：g ? ? ? ? 2， 即证：ln 22? ? 1 ? 2? 2 2 22?2? cos2? ? 1 2，? 1 2 ? 1 22
12、， ln 22? ? 1 ? 2 22?2? cos2? 2 2 ? 1，? 1 2 ? 1 22， 由ln? ? ?1，? 0 恒成立，有 ln 22? ? 1 ? 2 22? ? 2， 即证：22? ? 2 22?2? cos2? 2 2 ? 1，? 1 2 ? 1 22， 22?2? ? cos2? ? 2 2 ? 1，? 1 2 ? 1 22， 当 ? 1 2 ? 1 22时，? ? = 2 2 ?2? ? 的最大值为 ? 1 2 = 2 2 ， 当 ? 1 2 ? 1 22时， ? = cos2? ? 2 2 ? 1的最小值为 2 2 ，故式恒成立， 即证得 g ? ? ? ? 2
13、恒成立.12 分 22.解： （1）对于 ?：?2= 2sin2? ?sin2? ? 1，? ? 2，2 ， 故 ? 的普通方程为：? = ?2? 1，? ? 2，2 ； 对于 ?：? cos?cos ? ? ? sin?sin ? ? =2?， 故 ? 的直角坐标方程为：? ? ? = 2?5 分 （2）由（）知 ?： ? = ?2? 1，? ? 2，2 ，过点 ? 2，t ?：? ? ? = 2? 过 ? 2，t 时，? = ? 2； ? 与 ? 相切时有：?2? ? ? 1 ? 2? = 0，? = 1 ? 12? = 0，? = ? ， 故 ? 的取值范围为 ? ， ? 2 .10 分 23.解： （1）? ? = 1 2 ? ? ? ? 1 = 1 2 ?1，? 0， ? 2 ? ? 1，0 2 ? ? ?2 ? ? 2， 即? ? ? ? 2 ? ? ?2 ? ? .10 分
