1、2020 年高考数学三模试卷（文科）年高考数学三模试卷（文科） 一、选择题（共 12 小题） 1已知集合 Ax|x21，Bx|lgx1，则 AB（ ） A0，1 B（0，1 C（0，1） D1，10 2已知向量 ， 满足 （2，1）， （1，y），且 ，则| 2 |（ ） A B C5 D4 3已知复数 z 满足（1+i）2 z1i，则 z 的共轭复数 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 4 某中学从甲、 乙两个班中各选出 7 名学生参加数学竞赛， 他们取得的成绩 （满分 100 分） 的茎叶图如图所示， 其中甲班学生成绩的众数是 83， 乙班学生成绩
2、的平均数是 86， 则 x+y 的值为（ ） A7 B8 C9 D10 5等比数列an中，a5、a7是函数 f（x）x24x+3 的两个零点，则 a3 a9等于（ ） A3 B3 C4 D4 6函数 f（x） 的图象大致为（ ） A B C D 7设 a，b 是两条直线， 是两个平面，则 ab 的一个充分条件是（ ） Aa，b， Ba，b， Ca，b， Da，b， 8已知直线 y2 与函数 ，（其中 w0）的相邻两交点间的距离为 ，则函数 f（x）的单调递增区间为（ ） A ， ， B ， ， C ， ， D ， ， 9已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，在（0，+）上是增函数，且 f
3、（4）0， 则使得 xf（x）0 成立的 x 的取值范围是（ ） A（4，4） B（4，0）（0，4） C（0，4）（4，+） D（，4）（4，+） 10若函数 ， ， 有且只有一个零点，则 a 的取值范围是（ ） A（，1）（0，+） B（，1）0，+） C1，0） D0，+） 11已知双曲线 1（a0，b0）与椭圆 1 有相同焦点 F1，F2，离心率 为 若双曲线的左支上有一点 M 到右焦点 F 2的距离为 12，N 为线段 MF2的中点，O 为 坐标原点，则|NO|等于（ ） A4 B3 C2 D 12众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极 图”如图
4、是放在平面直角坐标系中的“太极图”整个图形是一个圆形其中黑色阴 影区域在 y 轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题： 在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是 当 时，直线 yax+2a 与白色部分有公共点； 黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点（x，y），则 x+y 的最大值为 2； 设点 P（2，b），点 Q 在此太极图上，使得OPQ45，b 的范围是2，2 其中所有正确结论的序号是（ ） A B C D 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13已知 tan3， ，则 cossin 14 已知长方形 ABCD 中， AB1， ABD60， 现将长方形
5、 ABCD 沿着对角线 BD 折起， 使平面 ABD平面 BCD，则折后几何图形的外接球表面积为 15若 x1，x2是函数 f（x）x27x+4lnx 的两个极值点，则 x1x2 ；f（x1）+f（x2） 16已知数列an的各项均为正数，其前 n 项和为 Sn，满足 4Snan2+2an（n N*），设 bn （1）n anan+1，Tn为数列bn的前 n 项和，则 T20 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第 2223 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分. 17笔、墨、纸、砚是中国独有的
6、文书工具，即“文房四宝”笔、墨、纸、砚之名，起源 于南北朝时期，其中的“纸”指的是宣纸，宣纸“始于唐代，产于泾县”，而唐代泾县 隶属于宣州府管辖，故因地而得名“宣纸”，宣纸按质量等级，可分为正牌和副牌（优 等品和合格品），某公司年产宣纸 10000 刀，公司按照某种质量标准值 x 给宣纸确定质 量等级，如表所示： x （48，52 （44， 48 （52， 56 （0， 44 （56， 100 质量等级 正牌 副牌 废品 公司在所生产的宣纸中随机抽取了一刀（100 张）进行检验，得到频率分布直方图如图所 示，已知每张正牌纸的利润是 10 元，副牌纸的利润是 5 元，废品亏损 10 元 （）按正
7、牌、副牌、废品进行分层抽样，从这一刀（100 张）纸中抽出一个容量为 5 的样本，再从这个样本中随机抽出两张，求其中无废品的概率； （）试估计该公司生产宣纸的年利润（单位：万元） 18ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2a2bcosC+csinB （）求 tanB； （）若 C ，ABC 的面积为 6，求 BC 19 四棱锥 PABCD 中， ABCD， ABBC， ABBC1， PACD2， PA平面 ABCD， E 在棱 PB 上 （）求证：ACPD； （）若 VPACE ，求证：PD平面 AEC 20已知 O 为坐标原点，抛物线 E 的方程为 x22py（p0）
8、，其焦点为 F，过点 M （0， 4）的直线 1 与抛物线相交于 P、Q 两点且OPQ 为以 O 为直角顶点的直角三角形 （）求 E 的方程； （）设点 N 为曲线 E 上的任意一点，证明：以 FN 为直径的圆与 x 轴相切 21已知函数 f（x）axex，g（x）x2+2x+b，若曲线 yf（x）与曲线 yg（x）都过点 P （1，c）且在点 P 处有相同的切线 l （）求切线 l 的方程； （）若关于 x 的不等式 kef（x）g（x）对任意 x 1，+）恒成立，求实数 k 的 取值范围 （二）选考题：共 10 分，请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题 计分.选
9、修 4-4 坐标系与参数方程 22以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方 程为 2 （ 0， ），直线 1 的参数方程为 （t 为参数） （）求曲线 C 的参数方程与直线 l 的普通方程； （）设点 P 为曲线 C 上的动点，点 M 和点 N 为直线 l 上的点，且满足PMN 为等边 三角形，求PMN 边长的取值范围 选修 4-5 不等式选讲 23已知函数 f（x）m|x2|，m R，g（x）|x+3| （）当 x R 时，有 f（x）g（x），求实数 m 的取值范围 （）若不等式 f（x）0 的解集为1，3，正数 a，b 满足 ab2ab3m1，求
10、 a+b 的最小值 参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1已知集合 Ax|x21，Bx|lgx1，则 AB（ ） A0，1 B（0，1 C（0，1） D1，10 【分析】可以求出集合 A，B，然后进行交集的运算即可 解：Ax|1x1，Bx|0x10， AB（0，1 故选：B 【点评】本题考查了描述法、区间的定义，对数函数的单调性，交集的定义及运算，考 查了计算能力，属于基础题 2已知向量 ， 满足 （2，1）， （1，y），且 ，则| 2 |（ ） A B C5 D4 【分析】根据题意，由向量垂直与数量
11、积的关系可得 2+y0，解可得 y 的值，即 可得 的坐标， 进而计算可得向量 （ 2 ） 的坐标， 由向量模的计算公式计算可得答案 解：根据题意， （2，1）， （1，y），且 ， 则有 2+y0，解可得 y2，即 （1，2）， 则 2 （4，3），故| 2 | 5； 故选：C 【点评】本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量模的计算和向量垂直与数量积的关 系，属于基础题 3已知复数 z 满足（1+i）2 z1i，则 z 的共轭复数 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出 的坐标得答案 解：由（
12、1+i）2 z1i，得 z ， 则 ， 复数 在复平面内对应的点的坐标为（ ， ），位于第二象限 故选：B 【点评】 本题考查复数代数形式的乘除运算化简， 考查复数的代数表示法及其几何意义， 是基础题 4 某中学从甲、 乙两个班中各选出 7 名学生参加数学竞赛， 他们取得的成绩 （满分 100 分） 的茎叶图如图所示， 其中甲班学生成绩的众数是 83， 乙班学生成绩的平均数是 86， 则 x+y 的值为（ ） A7 B8 C9 D10 【分析】对甲组数据进行分析，得出 x 的值，利用平均数求出 y 的值，解答即可 解：由茎叶图可知，茎为 8 时，甲班学生成绩对应数据只能是 83，80+x，85
13、，因为甲班 学生成绩众数是 83，所以 83 出现的次数最多，可知 x3 由茎叶图可知乙班学生的总分为 76+81+82+80+y+91+91+96597+y， 又乙班学生的平均分是 86， 总分又等于 867602所以 597+y602，解得 y5， 可得 x+y8 故选：B 【点评】本题主要考查统计中的众数与平均数的概念解题时分别对甲组数据和乙组数 据进行分析，分别得出 x，y 的值，进而得到 x+y 的值 5等比数列an中，a5、a7是函数 f（x）x24x+3 的两个零点，则 a3 a9等于（ ） A3 B3 C4 D4 【分析】利用根与系数的关系求得 a5 a73，再由等比数列的性质
14、得答案 解：a5、a7是函数 f（x）x24x+3 的两个零点， a5、a7是方程 x24x+30 的两个根， a5 a73， 由等比数列的性质可得：a3 a9a5 a73 故选：B 【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题 6函数 f（x） 的图象大致为（ ） A B C D 【分析】先判断函数 f（x）的奇偶性，可排除选项 CD，再由 f（1）0，可排除选项 A， 进而得出正确选项 解：函数的定义域为x|x0， ，即函数 f（x）为偶函 数，其图象关于 y 轴对称，可排除 CD； 又 ，可排除 A； 故选：B 【点评】本题考查利用函数性质确定函数图象，考查数
15、形结合思想，属于基础题 7设 a，b 是两条直线， 是两个平面，则 ab 的一个充分条件是（ ） Aa，b， Ba，b， Ca，b， Da，b， 【分析】根据题意分别画出错误选项的反例图形即可 解：A、B、D 的反例如图 故选：C 【点评】本题考查线面垂直、平行的性质及面面垂直、平行的性质，同时考查充分条件 的含义及空间想象能力 8已知直线 y2 与函数 ，（其中 w0）的相邻两交点间的距离为 ，则函数 f（x）的单调递增区间为（ ） A ， ， B ， ， C ， ， D ， ， 【分析】根据最值点之间的关系求出周期和 ，结合三角函数的单调性进行求解即可 解：y2 与函数 ，（其中 w0）的
16、相邻两交点间的距离为 ， 函数的 周期 T2，即 2，得 2， 则 f（x）2sin（2x ）， 由 2k 2x 2k ，k Z， 得 k xk ，k Z， 即函数的单调递增区间为k ，k ，k Z， 故选：B 【点评】本题主要考查三角函数单调性的应用，根据最值性求出函数的周期和 ，以及 利用三角函数的单调性是解决本题的关键难度不大 9已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，在（0，+）上是增函数，且 f（4）0， 则使得 xf（x）0 成立的 x 的取值范围是（ ） A（4，4） B（4，0）（0，4） C（0，4）（4，+） D（，4）（4，+） 【分析】由奇函数的图象关于原点对称及
17、f（x）在（0，+）为增函数，可得函数 f（x） 是在（，0）上是增函数，结合 f（4）f（4）0，转化为不等式组求解 解：函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，在（0，+）上是增函数， 函数 f（x）是在（，0）上是增函数， 又 f（4）0，f（4）0， 由 xf（x）0，得 或 ， x4 或 x4 x 的取值范围是（，4）（4，+） 故选：D 【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，考查数学转化思想方法，是中档题 10若函数 ， ， 有且只有一个零点，则 a 的取值范围是（ ） A（，1）（0，+） B（，1）0，+） C1，0） D0，+） 【分析】当 x0 时，因为 log210
18、，所以有一个零点，所以要使函数 f（x）有且只有一 个零点，则当 x0 时，函数 f（x）没有零点即可，即恒为负或恒为正，进而求出 a 的取 值范围即可 解：当 x0 时，因为 log210，所以有一个零点， 所以要使函数 ， ， 有且只有一个零点，则当 x0 时，函数 f（x）没 有零点即可， 当 x0 时，02x1，12x0，1a2xaa， 所以a0 或1a0， 即 a0 或 a1， 故选：B 【点评】本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，是中档题 11已知双曲线 1（a0，b0）与椭圆 1 有相同焦点 F1，F2，离心率 为 若双曲线的左支上有一点 M 到右焦点 F 2的距离为 12
19、，N 为线段 MF2的中点，O 为 坐标原点，则|NO|等于（ ） A4 B3 C2 D 【分析】由题意画出图形，利用三角形的中位线定理可得|NO| |MF1|6a，再由已知 椭圆方程及双曲线的离心率求解 a，则答案可求 解：如图，N 为线段 MF2的中点，|NO| |MF1 | （|MF2|2a）6a， 双曲线 1（a0，b0）的离心率为 e ， ， 椭圆 1 与双曲线 1 的焦点相同， c 4，则 a3，即 6a3， |NO|3 故选：B 【点评】 本题考查椭圆与双曲线的简单性质， 考查数形结合的解题思想方法， 是中档题 12众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为
20、“阴阳鱼太极 图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”整个图形是一个圆形其中黑色阴 影区域在 y 轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题： 在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是 当 时，直线 yax+2a 与白色部分有公共点； 黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点（x，y），则 x+y 的最大值为 2； 设点 P（2，b），点 Q 在此太极图上，使得OPQ45，b 的范围是2，2 其中所有正确结论的序号是（ ） A B C D 【分析】根据“太极图”和各选项对应知识，即可判断真假 解：对于，将 y 轴右侧黑色阴影部分补到左侧，即可知黑色阴影区域占圆的面积的一 半， 根据几何概
21、型的计算公式，所以在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率 是 ，正确； 对于，直线 yax+2a x3，圆的方程为 x 2+y24，联立可得，13x2+36x+200， 362413200，但是两根之和为负，两根之积为正，所以两根都为负， 即说明直线 yax+2a 与白色部分没有公共点，错误； 对于，设 l：zx+y，由线性规划知识可知，当直线 l 与圆 x2+（y1）21 相切时，z 最大， 由 解得 z （z1 舍去），错误； 对于，要使得OPQ45，即需要过点 P 的切线所成角大于等于 90 度， 所以 ，即 OP2 ，于是 22+b28，解得2b2 故选：A 【点评】本题主要
22、考查图象的应用，考查学生识图用图以及运用相关知识的能力，涉及 几何概型的计算公式，直线与圆的位置关系，以及线性规划知识的应用，属于较难题 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13已知 tan3， ，则 cossin 【分析】由 tan 的值及 的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出 cos 与 sin 的 值，代入原式计算即可 解：tan3， ， cos ，sin ， 则 cossin ， 故答案为： 【点评】 此题考查了同角三角函数基本关系的运用， 熟练掌握基本关系是解本题的关键 14 已知长方形 ABCD 中， AB1， ABD60， 现将长方形 ABCD 沿着
23、对角线 BD 折起， 使平面 ABD平面 BCD，则折后几何图形的外接球表面积为 4 【分析】由长方形中 AB1，ABD60，可得 BD，BC，及 A 到 BD 的距离 AE，由 面 ABD平面 BCD 可得 AE面 BCD，求出底面外接圆的圆心及外接圆的半径，再由椭 圆求出外接球的半径，进而求出外接球的表面积 解：长方形 ABCD 中，AB1，ABD60，可得 BD2，AD ， 作 AEBD 于 E， 可得 AEBDABAD， 所以 AE ， BE ， 因为平面 ABD平面 BCD，AE面 ABD，平面 ABD平面 BCDBD， 所以 AE面 BCD， 由直角三角形 BCD 可得其外接圆的圆
24、心为斜边 BD 的中点 O1，且外接圆的半径 r 1，过 O1作 OO1垂直于底面 BCD，所以 EO1O1 BBE1 ， 所以 OO1AE，取三棱锥外接球的球心 O，设外接球的半径为 R， 作 OFAE 于 F，则四边形 EFOO1为矩形，O1EOF，EFOO1， 则 OAOCOBODR， 在AFO 中，OA2AF2+OF2（AEEF）2+EO12即 R2（ OO1） 2 ； 在BOO1中：OB2OO12+EO12，即 R2OO12 ； 由可得 R21，OO10，即外接球的球心为 O1， 所以外接球的表面积 S4R24， 故答案为：4 【点评】本题考查三棱锥的棱长与外接球的半径之间的关系，及
25、球的表面积公式，属于 中档题 15若 x1，x2是函数 f（x）x27x+4lnx 的两个极值点，则 x1x2 2 ；f（x1）+f（x2） 4ln2 【分析】先求出导函数 f（x），由题意可得 x1，x2是方程 2x27x+40 的两个根，利用 韦达定理可得 ， x1x22， 代入 f （x1） +f （x2） 即可求出 f （x1） +f （x2） 4ln2 解：函数 f（x）x27x+4lnx，x （0，+）， f（x）2x7 ， 令 f（x）0 得：2x27x+40， x1，x2是方程 2x27x+40 的两个根， ，x1x22， f （x1） +f （x2） 7 （x1+x2） +4
26、ln（x1 x2） 4ln2 ， 故答案为：2，4ln2 【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及韦达定理的应用，是中档题 16已知数列an的各项均为正数，其前 n 项和为 Sn，满足 4Snan2+2an（n N*），设 bn （1）n anan+1，Tn为数列bn的前 n 项和，则 T20 880 【分析】利用公式 anSnSn1可得数列an是首项为 2，公差为 2 的等差数列，所以 an 2n，所以 bn（1）n anan+14（1）nn（n+1），进而 T2042+612+20 30+42380+420，再利用并项求和法即可算出结果 解：4Snan2+2an（n N*）， 当
27、 n1 时， ，解得 a12 或 0（舍去）， 当 n2 时，4Snan2+2an，4Sn1an12+2an1， 得： ， 整理得：（an+an1）（anan12）0， 数列an的各项均为正数， anan120，即 anan12， 数列an是首项为 2，公差为 2 的等差数列， an2+2（n1）2n， bn（1）n ana n+14（1） nn（n+1）， T2042+612+2030+42380+4204（2+6）+（12+20）+（ 30+42）+（380+420） 4（4+8+12+40）4 880， 故答案为：880 【点评】 本题主要考查了数列的递推式， 以及并项求和法求数列的前
28、n 项和， 是中档题 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第 2223 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分. 17笔、墨、纸、砚是中国独有的文书工具，即“文房四宝”笔、墨、纸、砚之名，起源 于南北朝时期，其中的“纸”指的是宣纸，宣纸“始于唐代，产于泾县”，而唐代泾县 隶属于宣州府管辖，故因地而得名“宣纸”，宣纸按质量等级，可分为正牌和副牌（优 等品和合格品），某公司年产宣纸 10000 刀，公司按照某种质量标准值 x 给宣纸确定质 量等级，如表所示： x （48，52 （44， 48 （52
29、， 56 （0， 44 （56， 100 质量等级 正牌 副牌 废品 公司在所生产的宣纸中随机抽取了一刀（100 张）进行检验，得到频率分布直方图如图所 示，已知每张正牌纸的利润是 10 元，副牌纸的利润是 5 元，废品亏损 10 元 （）按正牌、副牌、废品进行分层抽样，从这一刀（100 张）纸中抽出一个容量为 5 的样本，再从这个样本中随机抽出两张，求其中无废品的概率； （）试估计该公司生产宣纸的年利润（单位：万元） 【分析】（）按正牌、副牌、废品进行分层抽样，从这一刀（100 张）约中抽出一个容 量为 5 的样本，设抽出的 2 张正牌为 A，B，2 张副牌为 a，b，1 张废品为 t，从中
30、任取两 张，基利用列举法能求出其中无废品的概率 （）由频率分布直方图得一刀（100 张）宣纸有正牌宣纸 40 张，有副牌宣纸 40 张，有 废品 20 张，由此能估计该公司生产宣纸的年利润 解：（）按正牌、副牌、废品进行分层抽样， 从这一刀（100 张）约中抽出一个容量为 5 的样本， 设抽出的 2 张正牌为 A，B，2 张副牌为 a，b，1 张废品为 t， 从中任取两张，基本事件有： AB，Aa，Ab，At，Ba，Bb，Bt，ab，at，bt，共 10 种， 其中无废品包含的基本事件有：AB，Aa，Ab，Ba，Bb，ab，共 6 种， 其中无废品的概率 p （）由频率分布直方图得： 一刀（1
31、00 张）宣纸有正牌宣纸 1000.1440 张， 有副牌宣纸 1000.054240 张，有废品 1000.0254220 张， 该公司一刀宣纸的利润为 4010+405+20（10）400 元， 估计该公司生产宣纸的年利润为：400 万元 【点评】本题考查概率、利润的求法，考查考查频率分布直方图、古典概型、列举法等 基础知识，考查运算求解能力，是中档题 18ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2a2bcosC+csinB （）求 tanB； （）若 C ，ABC 的面积为 6，求 BC 【分析】（I）由 2a2bcosC+csinB，利用正弦定理可得：2sinA2s
32、inBcosC+sinCsinB， 又 sinAsin（B+C）sinBcosC+cosBsinC，化简即可得出 （II）由 tanB2，B （0，），可得 sinB ，cosB sinAsin（B+C），由正弦 定理： ，可得：a 又 absin 6，可得 b 即可得出 a 解： （I）2a2bcosC+csinB，利用正弦定理可得：2sinA2sinBcosC+sinCsinB，又 sinA sin（B+C）sinBcosC+cosBsinC， 化为：2cosBsinB0，tanB2 （II）tanB2，B （0，），可得 sinB ，cosB sinAsin（B+C）sinBcosC+c
33、osBsinC ，可得：a 又 absin 6，可得 b a ，解得 a3 【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计 算能力，属于中档题 19 四棱锥 PABCD 中， ABCD， ABBC， ABBC1， PACD2， PA平面 ABCD， E 在棱 PB 上 （）求证：ACPD； （）若 VPACE ，求证：PD平面 AEC 【分析】 （）过 A 作 AFDC 于 F，推导出 ACDA，ACPA，从而 AC平面 PAD， 由此能求出 ACPD； （） 设 E 到平面 ABCD 的距离为 h， 由已知体积列式求得 h， 可得 PB： EBPA： h3： 1
34、，连接 DB 交 AC 于 O，连接 OE，再由三角形相似证得 DB：OB3：1，可得 PB：EB DB：OB，得到 PDOE，再由直线与平面平行的判定可得 PD平面 AEC 【解答】证明：（）过 A 作 AFDC 于 F， ABCD，ABBC，ABBC1，四边形 ABCF 为正方形，则 CFDFAF1， DAC90，得 ACDA， 又 PA底面 ABCD，AC平面 ABCD， ACPA， 又 PA，AD平面 PAD，PAADA， AC平面 PAD， 又 PD平面 PAD，ACPD； （）设 E 到平面 ABCD 的距离为 h， 则 VPACE ，得 h 又 PA2，则 PB：EBPA：h3：
35、1 BC1，CD2，DB ， 连接 DB 交 AC 于 O，连接 OE， AOBCOD，DO：OB2：1，得 DB：OB3：1， PB：EBDB：OB，则 PDOE 又 OE平面 AEC，PD平面 AEC， PD平面 AEC 【点评】本题考查直线与平面平行、垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练 了多面体体积的求法，是中档题 20已知 O 为坐标原点，抛物线 E 的方程为 x22py（p0），其焦点为 F，过点 M （0， 4）的直线 1 与抛物线相交于 P、Q 两点且OPQ 为以 O 为直角顶点的直角三角形 （）求 E 的方程； （）设点 N 为曲线 E 上的任意一点，证明：以 FN
36、为直径的圆与 x 轴相切 【分析】（）由题意设直线 l 的方程，与抛物线联立求出两根之积，由OPQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形，所以 0，可得 p 的值，进而求出抛物线的方程； （）由（）可得 F 的坐标和准线方程，设 N 的坐标，可得 NF 的中点 M，即圆心的 坐标， 求出 M 的纵坐标到 x 轴的距离， 再求 NF 的半径， 可得 M 的纵坐标恰好等于半径， 可证得结论 解： （）由题意可得直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为：ykx+4，设 P（x1，y1）， Q（x2，y2）， 联立直线 l 与抛物线的方程 ，整理可得：x28kpx8p0， 所以 x1x28p，所以 y1
37、y2 16， 因为OPQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形，所以 0， 即 x1x2+y1y20，所以8p+160，解得 p2， 所以抛物线的方程为：x24y； （）证明：由（）得 F（0，1），准线方程为：y1， 设 N（m，n），则 NF 的中点 M 的纵坐标 ，即以 NF 为直径的圆的圆心 M 到 x 轴的 距离为 ， 而由抛物线的性质可得|NF|n+1，即以 NF 为直径的圆的半径为 ， 所以可得圆心 M 到 x 轴的距离恰好等于圆的半径， 所以可证得以 FN 为直径的圆与 x 轴相切 【点评】本题考查直角三角形与向量的关系，及直线与抛物线的综合，属于中档题 21已知函数 f（x）ax
38、ex，g（x）x2+2x+b，若曲线 yf（x）与曲线 yg（x）都过点 P （1，c）且在点 P 处有相同的切线 l （）求切线 l 的方程； （）若关于 x 的不等式 kef（x）g（x）对任意 x 1，+）恒成立，求实数 k 的 取值范围 【分析】（）根据导数的几何意义即可求出切线方程； （）构造函数 h（x）2kxex（x2+2x1），利用导数求出函数的最小值，使得最小 值大于等于 0，需要分类讨论 解：（）f（x）aex（x+1），g（x）2x+2， 由已知可得 ， 即 ，解得 a ，b1，c2， 切线的斜率 g（1）4， 切线 l 的方程为 y24（x1），即 4xy20， （）由
39、（）可得 f（x）2xex1，g（x）x2+2x1， 设 h（x）kef（x）g（x）2kxex（x2+2x1）， 即 h（x）0，对任意 x 1，+）恒成立，从而 h（x）min0， h（x）2k（x+1）ex2（x+1）2（x+1）（kex1）， 当 k0 时，h（x）0，h（x）在1，+）上单调递减， 又 h（1）2ke20，显然 h（x）0 不恒成立， 当 k0 时，h（x）0，解得 x11，x2lnk， （i）当lnk1 时，即 ke 时，h（x）0，h（x）单调递增， 又 h（x）minh（1） 2 0，显然 h（x）0 不恒成立， （ii）当lnk1 时，即 ke 时，h（x）0
40、，h（x）单调递增， h（x）minh（1） 2 0，即 h（x）0 恒成立， （iii）当lnk1 时，即 0k0 时， 当 x 1，lnk）时，h（x）0，h（x）单调递减， 当 x （lnk，+）时，h（x）0，h（x）单调递增， h（x）minh（lnk）2lnk（ln2k2lnk1）1ln2k0， 解得 ke， ke， 综上所述得 ke 【点评】 此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程， 函数恒成立问题， 构造函数， 求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和最值是解决本题的关键综合性较强，运 算量较大 一、选择题 22以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，
41、曲线 C 的极坐标方 程为 2 （ 0， ），直线 1 的参数方程为 （t 为参数） （）求曲线 C 的参数方程与直线 l 的普通方程； （）设点 P 为曲线 C 上的动点，点 M 和点 N 为直线 l 上的点，且满足PMN 为等边 三角形，求PMN 边长的取值范围 【分析】（）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间 进行转换 （）利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性 质的应用求出结果 解：（）曲线 C 的极坐标方程为 2 （ 0， ），转换为直角坐标方程为 （ ， ）， 转换为参数方程为 （ 为参数， 0， ） 直线 1 的参数方程为
42、 （t 为参数）转换为直角坐标方程为 x+2y80 （）设 P（ ， ）， 0， ， 所以点 P 到直线 l 的距离 d ， 由于 0， ，所以 ， 所以 ， 故等边三角形的边长的取值范围： 【点评】 本题考查的知识要点： 三角函数关系式的恒等变换， 正弦型函数的性质的应用， 参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要 考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型 选修 4-5 不等式选讲 23已知函数 f（x）m|x2|，m R，g（x）|x+3| （）当 x R 时，有 f（x）g（x），求实数 m 的取值范围 （）若不等式 f（x）0 的解集为1
43、，3，正数 a，b 满足 ab2ab3m1，求 a+b 的最小值 【分析】（1）利用绝对值三角不等式性质 （2）利用绝对值不等式解法求出 m，带入得到 a，b 等式，转化为只含有 a 的式子后利 用基本不等式可以求解 解：（1）由题意得：f（x）g（x）在 x R 上恒成立， m|x+3|+|x2|恒成立， 即 m（|x+3|+|x2|）min 又|x+3|+|x2|（x+3）（x2）|5 m5，即 m （，5 （2）令 f（x）0，m| 若 m0，则解集为，不合题意； 若 m0，则有mx2m，即 x 2m，2+m 又解集为 x 1，3，m1 ab2ab2b ，解得 a1 a+ba 3 a+b2 37 当且仅当 a1 ，即 a3 时，等号成立，此时 b4 a3，b4 时 a+b 的最小值为 7 【点评】本题考查绝对值三角不等式，以及基本不等式的应用，考查转化思想以及计算 能力，是中档题
