1、龙岩市龙岩市 2020 年高中毕业班教学质量检查年高中毕业班教学质量检查 数学数学（理科理科）试题试题 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题） 全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 注意事项注意事项： 1考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上 2答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项” 第第卷卷（选择题选择题 共共 60 分分） 一、选择题一、选择题（本大题共本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的目要求的 ） 1已知复数z满足1 22zi
2、i，则z的虚部为 A1 B1 Ci Di 2已知集合 |02Axx， 1 3 |log2Bxx ，则AB A|0x x B 1 |0 9 xx C |02xx D 1 |2 9 xx 32020 年初，我国突发新冠肺炎疫情，疫情期间中小学生“停课不停学” 已知某地区中小学生人数情况 如甲图所示，各学段学生在疫情期间“家务劳动”的参与率如乙图所示为了进一步了解该地区中小学 生参 500 名与“家务劳动”的情况，现用分层抽样的方法抽取 4%小学初中高中学段的学生进行调查， 则抽取的样本容量、抽取的高中生甲中参与“家务劳动”的人数分别为 A2750，200 B2750，110 C1120，110 D
3、1120，200 4若3cos22sin() 4 ，(, ) 2 则sin2的值为 A 4 2 9 B 5 2 9 C 7 9 D 7 9 5某三棱锥的三视图如下图所示，如果网格纸上小正方形的边长为 1，则该三棱锥的体积为 A4 B8 C12 D24 6已知 A，B，C 三点不共线，若3BCCD点 E 为线段 AD 的中点，且AExAByAC，则xy的 值为 A 1 6 B 1 2 C1 D 3 2 7已知函数 sinsincosf xxxx，则下列命题中正确的是 A f x的最小正周期为 B f x的图象关于直线 4 x 对称 C f x的值域为0,1 D f x在区间 3 , 44 上单调
4、递减 8分形几何是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，科赫曲线是比较典型的分形图形，1904 年瑞典 数学家科赫第一次描述了这种曲线，因此将这种曲线称为科赫曲线其生成方法是： （I）将正三角形（图 （1） ）的每边三等分，以每边三等分后的中间的那一条线段为一边，向形外作等边三角形，并将这“中 间一段”去掉，得到图（2） ； （II）将图（2）的每边三等分，重复上述的作图方法，得到图（3） ； （） 再按上述方法继续做下去，设图（1）中的等边三角形的边长为 1，并且分别将图（1） 、图（2） 、图 （3） 、图（n） 、中的图形依次记作 1 M， 2 M， 3 M， n M，设 n M的周长
5、为 n L，则 4 L为 （1） （2） （3） A 32 9 B 16 3 C 64 9 D 256 27 9已知函数 1 ( )cos(3),0, 1 x x e f xxa a e ，则 f x的图像不可能是 A B C D 10 设双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、 右焦点分别为 1 F， 2 F， 12 2FFc， 过 2 F作 x 轴的垂线， 与双曲线在第一象限的交点为 A，点 Q 坐标为 3 ( ,) 2 a c且满足 22 FQF A，若在双曲线 C 的支上存在 点 P 使得 112 7 | 6 PFPQFF成立，则双曲线 C 的离心率的取值范围是
6、A 10 (1,) 2 B 3 (1, ) 2 C 310 ( ,) 22 D 3 ( ,) 2 11在棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D中，P 是正方形 11 ADD A内（包括边界）的动点，M 是 CD 的 中点，且PBAPMD ，则当PAD的面积最大时，PA的值为 A 2 2 3 B 2 3 3 C 4 2 3 D 4 3 3 12 己知各项都为正数的数列 n a满足 1 1a ， 1 2 13 2 ln nn n aa a ， nn ba， 其中 n a表示不超过 n a 的最大整数，则 5 b的值为（参考数据：ln20.69，ln31.10，ln51.61） A2 B
7、3 C4 D5 第第卷卷（非选择题非选择题 共共 90 分分） 二、填空题二、填空题（本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 ） 13在 6 1 () (3) 2 xx x 的展开式中，常数项为_ 14已知抛物线 2 :8E yx的焦点为 F，过抛物线 E 上一点 P（在第一象限内）作 y 轴的垂线 PQ，垂足为 Q，若四边形 OFPQ 的周长为 7，则点 P 的坐标为_ 15实现国家富强民族复兴人民幸福是“中国梦”的本质内涵某商家计划以“全民健身促健康，同 心共筑中国梦”为主题举办一次有奖消费活动，此商家先把某品牌乒乓球重新包装，包装时在每个乒 乓球上印
8、上“中” “国” “梦”三个字样中的一个，之后随机装盒（1 盒 4 个球） ，并规定：若顾客购买 的一盒球印的是同一个字，则此顾客获得一等奖；若顾客购买的一盒球集齐了“中” “国”二字且仅有 此二字，则此顾客获得二等奖；若顾客购买的一盒球集齐了“中” “国” “梦”三个字，则此顾客获得 三等奖，其它情况不设奖，则顾客购买一盒乒乓球获奖的概率是_ 16如图，在平面直角坐标系 xOy 中，边长为 2 的正方形 ABCD 沿 x 轴滚动（无滑动滚动） ，点 D 恰好经过 坐标原点，设顶点,B x y的轨迹方程是 yf x，则19f_ 三、解答题三、解答题（本大题共本大题共 6 小题，共小题，共 70
9、 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ） （一一）必考题：共必考题：共 60 分分 17 （12 分） 在锐角ABC中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 222 co2 2 sabc bc b C ca （1）求 A 的值； （2）若2c ，求ABC面积的取值范围 18 （12 分） 在 四 棱 锥P-ABCD中 ， 底 面ABCD为 直 角 梯 形 ，90ADCBCD，1BC ， 22PDADDC，60PDA，且平面PAD 平面 ABCD （1）求证：BDPC； （2）在线段 PA 上是否存在一点 M，使二面角 M-BC-D
10、的大小为30？若存在，求出 PM PA 的值；若不 存在，请说明理由 19 （12 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，M 为椭圆上任意一点，当 12 60FMF时， 12 FMF的面积为3，且23ba （1）求椭圆 C 的方程； （2）已知线 l 经点2,3N，与椭圆 C 交于同的两点 P，Q，且 48 5 NP NQ，求直线 l 的方程 20 （12 分） 交强险是车主必须为机动车购买的险种，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通 事故的情况相联系每年交强险最终保险费计算方法是：交强险最终保险费1aA，其中 a 为
11、交强险 基础保险费，A 为与道路交通事故相联系的浮动比率，同时满足多个浮动因素的，按照向上浮动或者向下浮 动比率的高者计算按照我国机动车交通事故责任强制保险基础费率表的规定：普通 6 座以下私家车 的交强险基础保险费a为 950 元，交强险费率浮动因素及比率如下表： 交强险浮交强险浮动动因素和浮因素和浮动动费率比率表费率比率表 类型 浮动因素 浮动比率 1 A 上一个年度未发生有责任道路交通事故 10% 2 A 上两个年度未发生有责任道路交通事故 20% 3 A 上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 30% 4 A 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 0% 5 A 上一个年度
12、发生两次及以上有责任道路交通事故 10% 6 A 上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 30% 某机构为了研究某一品牌普通 6 座以下私家车的投保情况，随机抽取了 100 辆车龄已满三年的该品牌 同型号私家车的下一年续保时的情况，统计结果如下表： 类型 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 数量 25 10 10 25 20 10 以这 100 辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题： （1）记 X 为一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求 X 的分布列与数学期望（数学期望值保留到个位 数字） ； （2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将经销商购车后
13、下一年的交强险最终保险费高于 交强险基础保险费a的车辆记为事故车，假设购进一辆事故车亏损 3000 元，购进一辆非事故车 盈利 5000 元： 若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至少有一辆是事故车的概 率； 若该销售商一次购进 100 辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望 21 （12 分） 已知 2 ( )(ln )2 x f xxxae （1）证明 f x在1x 处的切线恒过定点； （2）若 f x有两个极值点，求实数a的取值范围 （二二）选考题：请考生在第选考题：请考生在第 22、23 二题中任选一题做答注意：只能做所选定的题目如果多做，则二题中任
14、选一题做答注意：只能做所选定的题目如果多做，则 按所做第一个题目计分，做答时请用按所做第一个题目计分，做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框内涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框内涂黑 22 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 （10 分） 在直角坐标系xOy中，直线 l 过点2,0且倾斜角为以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为1，1 与 C 交于 M，N 两点 （1）求 C 的直角坐标方程和的取值范围； （2）求线段 MN 中点 H 的轨迹的参数方程 23 【选修 4-5：不等式选讲】 （10 分） 已知函数( ) |1| 2|
15、(0)f xxxmm，且 f x的最大值为 3 （1）求 m 的值； （2）若正数 a，b，c 满足2 abcm，证明：1116bcaacbabcabc 龙岩市龙岩市 2020 年高中毕业班教学质量检查年高中毕业班教学质量检查 数学数学（理科理科）参考答案及评分细则参考答案及评分细则 评分说明： 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可在评卷组内讨论后根据试题的 主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步仅出现严谨性或规范性错误时，不要影响后续部分的判分；当考生的 解答在某一步出现了将影响后续解答的严重性错误时，后继部分的解答不再给分
16、 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数选择题和填空题不给中间分 一、选择题一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算本大题考查基础知识和基本运算每小题每小题 5 分分，满分满分 60 分分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D C C A B D C B C D A 11 题略解： 由题意可知，2PAPD， 以 AD 所在直线为 x 轴，AD 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系， 则1,0A ，1,0D， 设,P x y，所以 2222 (1)4(1)4xyxy， 即 22 516 () 39 xy， 所以点 P 的轨迹是以
17、5 ( ,0) 3 为圆心，半径长为 4 3 的圆（在面 11 ADD A内的部分） 所以PA的最大值为 4 3 3 12 题略解： 设 2 13 ( )(0) 2 lnf xx x x，所以 2 33 122 ( ) x fx xxx ， 当2x 时， f x单调递增， 22.44f， 32.71f， 所以当2,3x时 ,23f x， 又因为 2 2.5a ， 3 2,3a ， 4 2,3a ， 5 2,3a ，所以 5 2b 二、填空题二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算本大题考查基础知识和基本运算每小题每小题 5 分分，满分满分 20 分分 13 15 2 14 1 ( ,2) 2
18、15 53 81 163 16 题略解： 由题意，当42x 时，顶点,B x y的轨迹是以点2,0A 为圆心，以 2 为半径的 1 4 圆； 当22x 时，顶点,B x y的轨迹是以点0,0D为圆心，以2 2为半径的 1 4 圆； 当24x时，顶点,B x y的轨迹是以点2,0C为圆心，以 2 为半径的 1 4 圆； 当46x，顶点,B x y的轨迹是以点4,0A为圆心，以 2 为半径的 1 4 圆， 与42x 的形状相同， 因此函数 (yfx的图像在4,4恰好为一个周期的图像； 所以函数 yf x的周期是 8； (19)(3)3ff，其图像如下： 三、解答题三、解答题：解答应写出文字说明解答
19、应写出文字说明，证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 12 分） 解： （1）由余弦定理得 222 2cosbcabcA 222 co2 2 sabc bc b C ca coscos cosc 2 os 2 2 abca bc bc CC AA 由正弦定理得 sincos s2 insin cos AC BC A 2sincossincossincosBACAAC 2sincossinsinBAACB， ABC是锐角三角形， 0 2 B ，0 2 A ，sin0B cos 1 2 A， 3 A （2）由（1）得 3 A 设B，则 2 3 C ， ABC是锐角三角形， 0
20、2 ， 2 0 32 ， 62 由正弦定理得 2 sin sin() 2 bc 2c ， 31 cossin 22 311 2tan2 b 由 62 得 3 tan 3 ， 1311 2 22tan2 ，14b 13 sin 22 BC SbcAb， 3 2 3 2 ABC S ABC面积的取值范围是 3 (,2 3) 2 18 （本小题满分 12 分） （1）证明：过点 P 在面 PAD 内作POAD，垂足为 O，连接 BO、OC 面PAD 面 ABCD， PO 面 ABCD，POBD 60PDA，2PDDA， PDA是等边三角形，1ODBC 又/ /ODBC，90BCD 四边形 OBCD
21、是正方形，BDOC， 又OCPOO，BD 面 POC， 又PC 面 POC，BDPC （2）PO 面 ABCD，OBAD，如图，建立空间直角坐标系Oxyz 则0,1,0B，1,1,0C ，1,0,0D ，(0,0, 3)P，1,0,0A 假设在线段 PA 上存在一点 M，使二面角MBCD大小为30 设PMPA，0,1，则( ,0, 33 )M， ( , 1, 33 )BM，( 1,0,0)BC ， 设面 MBC 的法向量为( , , )mx y z， 则 0 0 m BM m BC ，即 ( 33 )0 0 xyz x ， 可取(0, 33 ,1)m，面 ABCD 的一个法向量为(0,0,1)
22、n 二面角 M-BC-D 大小为30， 2 |13 cos30 |2 ( 33 )1 m n m n 2 3 或 4 3 （舍） ， 所以在线段 PA 上存在点 M 满足题设条件且 2 3 PM PA 19 （本小题满分 12 分） 解： （1）设 11 MFr， 22 MFr，则 12 2rra， 在 12 MFF中， 1 2 1 sin603 2 Srr ， 即 1 2 4rr ，由余弦定理得 222 121 2 2cos604rrrrc ， 即 2 2 121 2 34rrrrc 代入计算得 22 3ac， 2 3b ， 又23ba， 2 4a ， 椭圆 C 的方程为 22 1 43 x
23、y （2）由题意知直线 l 存在斜率 设直线 l 的方程为32yk x ， 将其代入 22 1 43 xy 整理可得 2222 (34)(2416)1648240kxkkxkk， 则 2222 64(32 )4(34)(164824)0kkkkk ，得 1 2 k . 设 1122 ,P x yQ xy， 则 2 12 2 1624 34 kk xx k ， 2 12 2 164824 34 kk x x k 11 (2,3)NPxy， 22 (2,3)NQxy， 48 5 NP NQ 1212 48 2233 5 NP NQxxyy 又 11 23yk x， 22 23yk x 22 121
24、212 48 (2)(2)(1)2()4 (1) 5 NP NQxxkx xxxk 得 22 2 22 164824324848 41 34345 kkkk k kk 化简得 2 2 36(1)48 345 k k ， 解得 2 3k ， 1 2 k ，3k 直线 l 的方程为33(2)yx， 即332 30xy 20 （本小题满分 12 分） 解： （1）由题意可知 X 的所有可能取值为 0.9a，0.8a，0.7a，a，1.1a，1.3a， 由统计数据可知： 1 (0.9 ) 4 P Xa， 1 (0.8 ) 10 P Xa， 1 (0.7 ) 10 P Xa， 1 () 2 P Xa，
25、1 (1.1 ) 5 P Xa， 1 (1.3 ) 10 P Xa， 所以 X 的分布列为： X 0.9a 0.8a 0.7a a 1.1a 1.3a P 1 4 1 10 1 10 1 4 1 5 1 10 111111 0.90.80.71.11.30.975926 410104510 EXaaaaaaa （2）由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率 3 10 ， 则三辆车中至少有一辆事故车的概率为 3 3657 1(1) 101000 P ， 设该销售商购进一辆二手车获得的利润为 Y， 则 Y 的所有可能取值为3000，5000 所以 Y 的分布列为： Y 300
26、0 5000 P 3 10 7 10 所以 37 300050002600 1010 EY 所以该销售商一次购进 100 辆（车龄已满三年）该品牌的二手车获得利润的期望为 10026EY万元 21 （本小题满分 12 分） 解： （1） 2(ln) ( ) x xxaxe fx x ，所以 12fae 又因为 12fae， 所以 f x在1x 处的切线方程221yaeaex 即2yae x 所以 f x在1x 处的切线恒过定点0,0 （2） l () ( ) n2 x xxxe x x f a ，其中0x ， 设( )2(ln) x g xxxaxe， 则 (1)(2) ( ) x xaxe
27、g x x ， 当0a 时， 0g x， 则 g x在(0,)单调递增， g x在(0, )上至多有一个零点， 即 fx在(0,)上至多有一个零点， f x至多只有一个极值点，不合题意，舍去 当0a 时，设 2 x h xaxe，( )(1) x h xa xe ， 0h x， h x在(0,)上单调递减， 020h， 2 2 ( )220 a he a ， 0 2 (0,) a ，使得 0 0h x，即 0 0 2 x ax e2， 当 0 0,xx时， 0h x ，此时 0g x， g x在 0 0,x单调递增， 当 0 (),xx时， 0h x ，此时 0g x， g x在 0 (),x
28、 单调递减， g x在(0,)有极大值 0 g x， 即 0 max000 ( )2 ln x g xxxax e 0000 2 ln22 ln1xxxx 若 00 ln10xx ，则 0g x ， 0fx， f x在(0,)单调递减，不合题意， 若 00 ln10xx ， 设 lnp xxx， 1 ( )10p x x ， p x在(0,)单调递增， 又 11p， 0 1x ， ()(1)0 xx xexe ， x yxe在(0,)单调递增， 0 0 2 x x ee a ，即 2 0a e ， 此时 0 0g x， 0 0fx 11 1 1112 ( )2( 1)20 ee aeae ee
29、ee g ， g x在 0 0,x单调递增， 0 0g x 10 1 ( ,)xx e ，使得 1 0g x， 当 1 0,xx时， 0g x ， 0fx， f x在 1 0,x上单调递减， 当 10 ,xx x时， 0g x ， 0fx， f x在 10 ,x x上单调递增， f x在 1 xx处取得极小值 又11ln x exxx ，1 x exx 444 44444 2 ln42ln0 aaa geee aaaaa g x在 0 (),x 单调递减， 0 0g x， 又 0 2 (0,)x a ， 0 4 x a ， 20 4 (,)xx a ，使得 2 0g x， 当 02 ,xx x
30、时， 0g x ， 0fx， f x在 02 ,x x上单调递增， 当 2, xx时， 0g x ， 0fx， f x在 2 (),x 上单调递减， f x在 2 xx处取得极大值 综上所述，若 f x有两个极值点，则实数a的取值范围为 2 (0, ) e （注：利用当x 时， 0g x ，当0x 时， 0g x ，证明存在两个极值点，得 1 分） 22 （10 分） 解： （1）C 的直角坐标方程为 22 1xy， 即 22 1xy，是以原点为圆心的单位圆 当90时，显然直线 l 与曲线 C 相离，不合题意 90，所以直线 l 的斜率tank存在 直线 l 的方程可写为20kxyk 直线 l
31、 与曲线 C 交于 M，N 两点， 圆心 O 到直线 l 的距离 2 |2 | 1 1 k d k ， 解得 33 33 k 0 6 或 5 6 （2） （法一）直线 l 的参数方程为 2cos sin xt yt （t 为参数，0 6 或 5 6 ） 设 M，N，H 对应的参数分别为 M t， N t， H t，则 2 MN H tt t ， 将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程得： 2 4cos30tt 4cos MN tt，2cos 2 MN H tt t ， 又点 H 的坐标满足 2cos sin H H xt yt ， （t 为参数，0 6 或 5 6 ） 点 H 的轨
32、迹的参数方程为 2 22cos 2cossin x y 即 1cos2 sin2 x y （为参数，0 6 或 5 6 ） （法二） 设点,H x y，则由OHl可知， 当0 l k 时有1 OHl kk 即1 2 yy x x ，整理得 22 (1)1xy 当0 l k 时，点 H 与原点重合，也满足上式 点 H 的轨迹的参数方程为 1cos sin x y （为参数，且0 3 或 5 2 3 ） 23 （10 分） （1）解： 21,1 ( )321, 1 21, xmx f xxmxm xmxm 当xm时， f x取得最大值1m， f x的最大值为 3， 13m ，解得2m （2）证明：由（1）得2m， 22abc，即1abc 又 a，b，c 为正数， 且 111abcbcacab bcacab 2226 bcacab aabbcc （当且仅当 1 3 abc时等号成立） 1116bcaacbabcabc
