1、龙岩市龙岩市 2020 年高中毕业班教学质量检查年高中毕业班教学质量检查 数学数学（文科文科）试题试题 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题） 。 全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 注意事项注意事项： 1考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上 2答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项” 第第卷卷 一、选择题一、选择题：本大题共本大题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 60 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题只有一项是符合题 目要求的目要求的 1已知集合|3AxZ x，2,0,2,3B ，则AB A2,0,2
2、 B0,2 C2,2 D 2 2设 1 12 i z i ，则z在复平面内对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知sin21 cos2 ，且(0,) 2 ，则 A 12 B 6 C 4 D 3 4设 x，y 满足约束条件 20, 20, 1, xy xy y 则2zxy 的最小值为 A5 B2 C4 D7 5某综艺节目为比较甲、乙两名选手的各项能力（指标值满分为 5 分，分值高者为优） ，分别绘制了如图 所示的六维能力雷达图，图中点 A 表示甲的创造力指标值为 4，点 B 表示乙的空间能力指标值为 3，则 下列叙述错误的是 A甲的六大能力中推理能力最差 B甲的创造力
3、优于观察能力 C乙的计算能力优于甲的计算能力 D乙的六大能力整体水平低于甲 6在正方体 1111 ABCDABC D中，E 为 1 AD的中点，F 为 BD 的中点，下列结论正确的是 A 1 / /EFC D BEFBD C/ /EF平面 11 BCC B DEF平面 11 ABC D 7已知函数 11 ( )coscossinsin () 22 f xxx N的图象，如图所示，那么的值为 A2 B3 C4 D5 8 “中国剩余定理”又称“孙子定理” ，最早可见于中国南北朝时期的数学著作孙子算经卷下第二十六 题，叫做“物不知数” ，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之
4、剩二， 问物几何？现有这样一个相关的问题：将 1 到 2020 这 2020 个自然数中满足被 3 除余 2 且被 5 除余 3 的 数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数是 A135 B134 C59 D58 9设 4 log 3a ， 5 log 4b ， 0.01 2c ，则 a，b，c 的大小关系为 Abac Babc Cacb Dbca 10 已知双曲线 2 2 :1(0) y C xm m 左、 右焦点分别为 1 F， 2 F， 过 2 F的直线与 C 交于 A， B 两点 若 1 ABF 为等边三角形，则 C 的渐近线方程为 A2yx B6yx C2yx 或6
5、yx D2yx 或3yx 11在正四面体 PABC 中，点 D，E 分别在线段 PC，PB 上， 1 3 PDPC，若AEED的最小值为2 13， 则该正四面体外接球的表面积为 A27 B54 C 27 6 8 D 27 2 12已知曲线 yf x与 ln22g xxx 的图象关于点1,0对称，若直线yax与曲线 yf x 相切，则a A2 B1 C 1e e D 1e e 第第卷卷 二、填空题二、填空题：本大题共本大题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，满分满分 20 分分 13已知向量1,2a ，3,bm ，若ba，R，则m_ 14为增强学生的劳动意识，某校组织两个班级的学生参加社区
6、劳动，这两个班级拟从高一年段的两个班 级和高二年段的四个班级中选出，则选出的班级中至少有一个班级来自高一年段的概率为 _ 15ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若 2 sinsincos2sinABCC，则 22 2 ab c _， sinC的最大值为_ 16已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左焦点为 F，经过原点的直线与 C 交于 A，B 两点，若 150AFB，则 C 的离心率的取值范围为_ 三、解答题三、解答题：共共 70 分分解答应写出文字说明解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤第第 1721 题为必考题题为必考题，每个试题考生
7、每个试题考生 都必须作答都必须作答第第 22、23 题为选考题题为选考题，考生根据要求作答考生根据要求作答 （一一）必考题：共必考题：共 60 分分 17 （12 分） 记数列 n a的前 n 项和为 n S，已知 1 1a ， 1 2 nn n Sa （1）求数列 n a的通项公式; （2）设2 n a n b ，记数列 n b的前 n 项和为 n T，求证： 2 21nnn TTT 18 （12 分） 在党中央的正确领导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的共同努力，新冠肺炎 疫情得到了有效控制 作为集中医学观察隔离点的某酒店在疫情期间， 为客人提供两种速食品“方便面” 和“
8、自热米饭”为调查这两种速食品的受欢迎程度，酒店部门经理记录了连续 10 天这两种速食品的销售 量，得到如下频数分布表（其中销售量单位：盒） ： 第t天 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 方便面 103 93 98 93 106 86 87 94 91 99 自热米饭 88 96 98 97 101 99 102 107 104 112 （1）根据两组数据完成下面的茎叶图（填到答题卡上）; （2）根据统计学知识，你认为哪种速食品更受欢迎，并简要说明理由; （3）求自热米饭销售量 y 关于天数 t 的线性回归方程，并预估第 12 天自热米饭的销售量（结果精确到 整数） 参考数据： 10 1
9、 ()()165 ii i ttyy ， 10 2 1 165 () 2 i i tt 附：回归直线方程 ybta，其中 1 2 1 n ii i n i i ttyy b tt ， a ybt 19 （12 分） 在如图所示的几何体 ABCDE 中，DC 平面 ABC，/ /DEBC，CACD，F 是线段 AD 的中点， AECF （1）求证：ACBC； （2）若22ACBCDE，求三棱锥FABE的体积 20 （12 分） 已知点1,0A ，抛物线 2 :2(0)C ypx p上存在一点 M，使得直线 AM 的斜率的最大值为 1，圆 Q 的方程为 22 3 20 4 xyx （1）求点 M
10、的坐标和 C 的方程; （2）若直线 l 交 C 于 D，E 两点且直线 MD，ME 都与圆 Q 相切，证明直线 l 与圆 Q 相离 21 （12 分） 已知函数 2 lnf xxxaxa （1）若 f xa，求a的取值范围; （2）若 f x存在唯一的极小值点 0 x，求a的取值范围，并证明 0 210af x （二二）选考题：共选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 2223 两题中任选一题作答如果多做，则按所做第一个题目两题中任选一题作答如果多做，则按所做第一个题目 计分计分 22 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 （10 分） 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 过点2,0且倾斜
11、角为以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为1，l 与 C 交于 M，N 两点 （1）求 C 的直角坐标方程和的取值范围; （2）求 MN 中点 H 的轨迹的参数方程 23 【选修 4-5：不等式选讲】 （10 分） 已知函数 120f xxxm m，且 f x的最大值为 3 （1）求 m 的值; （2）若正数 a，b，c 满足2 abcm，证明：1116bcaacbabcabc 龙岩市龙岩市 2020 年高中毕业班教学质量检查年高中毕业班教学质量检查 数学数学（文科文科）参考答案参考答案 一、选择题一、选择题：本大题共本大题共 12 小题小题，
12、每小题每小题 5 分分，共共 60 分分在每个小题给出的四个选项中在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合只有一项是符合 题目要求的题目要求的 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C C D B D C A B C B D 12 【简解】由已知得 lnf xxx ， 1 ( )1fx x ， 设切点为 00 ,xy，则 000 0 ln 1 1 axxx a x ，得 1e a e ，选 D 二、填空题二、填空题：本大题共本大题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，满分满分 20 分分 136； 14 3 5 ； 155， 3 5 ； 6 6 (0, 2
13、 4 16 【简解】如图，设椭圆的右焦点为 F ，连接AF，BF AB，FF互相平分，四边形AF BF为平行四边形 180AFBFBF， 150AFB，30FBF 由条件知，当 B 在短轴端点 2 B时，FBF最大， 此时在 2 Rt B OF中， 2 15FOB， e 2 62 sinsin15 4 eFOB ， 62 0 4 e ，即 62 (0, 4 e 三、解答题三、解答题：本大题共本大题共 6 小题小题，满分满分 70 分分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 17 （12 分） 解： （1） （法一） 1 2 nn n Sa ，即21 n S
14、nna， 11 2(2) nn Snan ， 11 22(1)(2) nnnn SSnanan -1 2(1) nnn anana，即 1 1 nn nana ， 1 (2) 1 n n an n an 12 1 121 nn n nn aaa a aaa a 12 1(2) 121 nn n n nn 又 1 1a 也满足上式， n an （法二） 1 2 nn n Sa ，即21 nn Sna， 11 2(2) nn Snan 11 22(1)(2) nnnn SSnanan -1 2(1) nnn anana，即 -1 (1) nn nana， 1 (2) 1 nn aa n nn ，
15、n a n 是以 1 1 1 a 为首项的常数列， n an （2）由（1）知2n n b ， 2 12 2 21 12 n n n T 2 212 12 4 214 21 21 nnn nnn TT T 2222222 4 22122214220 nnnnnnn 2 12nnn TTT ，即 2 21nnn TTT 18 （12 分） 解： （1）茎叶图如下： （2）解法一：由（1）中的茎叶图可知，自热米饭的销售量较方便面更高，两种速食品的销售量波动情 况相当，所以认为自热米饭更受欢迎 解法二：方便面的销售量平均值为 372761413691 10095 10 ， 自热米饭的销售量平均值为
16、12423 1 127412 100100.4 10 ， 所以自热米饭的销售量平均值比方便面销售量平均值更高，因此认为自热米饭更受欢迎 （注：本小题只需根据统计学知识参照给分） （3）计算 1 1011, 100.4 22 ty ， 又 10 1 ()()165 ii i ttyy ， 10 2 1 165 () 2 i i tt ， 10 1 12 2 1 ()() 166 2 165 () 2 ii i i i ttyy b tt ， 11 100.4289.4 2 aybt 因此自热米饭销售量 y 关于天数 t 的线性回归方程为289.4yt 当12t 时，2 1289.4113y （个
17、） ， 所以预估第 12 天自热米饭的销售量为 113 个 19 （12 分） 证明： （1）CACD，F 是线段 AD 的中点，CFAD 又AECF，AEADA，CF 平面 ADE， CFDE，又/ /DEBC，CFCB， DC 平面 ABC，DCBC， 又CFCDC，BC 平面 ACD， AC 平面 ACD，ACBC （2）CACD，CACB，CDCBC， 又/ /DEBC， B，C，D，E 四点共面， CA平面 BDE， 22ACBCDE，F 为线段 AD 的中点 1111 2223 FABED ABEAEBDEBD VVSVAC 111 1 22 623 20 （12 分） 解： （1
18、） （法一）设 00 ,M x y，则 2 00 2ypx， 由已知可得 0 0y ，直线 AM 的斜率为 000 22 000 2 12 1 2 AM yypy k yxyp 0 0 222 2 22 2 ppp p p y y 当且仅当 0 2yp时， AM k取得最大值 1 2 1 2 p ，解得2p ， 0 2y 1,2M，C 的方程为 2 4yx 法二：设 00 ,M xy，则点 M 在 x 轴上方 由已知，当直线 AM 的斜率为 1 时，直线 AM 与抛物线 C 相切 此时直线 AM 的方程为1yx， 联立直线 AM 和抛物线 C 的方程并整理得 2 (22 )10xp x ，22
19、40p ， 解得：2p ，且 12 1xx 1,2M，C 的方程为 2 4yx （2） （法一）圆 Q 的方程可化为 22 1 (1) 4 xy 圆 Q 的圆心为1,0，半径为 1 2 ， 设过点 M 的直线 MA 或 MB 的方程为21yk x 化为20kxyk，则 2 |2|1 2 1k ，解得15k 不妨设直线 MD 的方程为215(1)yx， 将直线 MD 与抛物线 2 4yx方程联立 消去 x 得 2 15484 150yy 设 11 ,D x y，则 1 4 2 15 y 1 4 2 15 y ， 1 194 1515 x 同理设 22 ,E xy， 2 4 2 15 y 2 4
20、2 15 y ， 2 194 1515 x 直线 l 的斜率 21 21 1 l yy k xx 直线 l 的方程为 11 yyxx ，即 11 15 yx l 的方程1515110xy， 此时圆心 Q 到直线 l 的距离 2613 21 15215 2 d 直线 l 与圆 Q 相离12 分 （法二）圆 Q 的方程可化为 22 1 (1) 4 xy 圆心1,0Q，半径为 1 2 由题知，直线 l 的斜率必存在， 设 l 的方程为ykxm 联立 2 4 ykxm yx ，消去 x 得 2 440kyym 由16 160km，得1km， 设 1122 ,D x yE x y 则 12 4 yy k
21、 ， 12 4m y y k ， 直线 MD 的斜率为 11 2 111 224 12 1 4 MD yy k yyy 直线 MD 的方程式为 1 4 2(1) 2 yx y ， 即 11 4220xyyy MD 与圆 Q 相切， 1 22 12 |42|1 2 4() y yy 2 1 15216y ， 1 4 2 15 y 由题知： 1 4 (, 2) 15 D x ， 2 4 (, 2) 15 E x 或 1 4 (, 2) 15 D x ， 2 4 (, 2) 15 E x 代入得1k ， 11 15 m 11 1 15 km ，满足式， 直线 l 得方程为 11 15 yx ，即 1
22、1 0 15 xy 此时圆心 Q 到直线 l 的距离 20 13 21 15 2215 d 直线 l 与圆 Q 相离 21 （12 分） （1） f x的定义域为0, 由 f xa，得 ln a x x 在 0,x恒成立， 转化为 max () ln x a x 令 n ( l )g x x x ，则 2 1ln ( ) x g x x ， n ( l )g x x x 在0,e单调递增，在 , e 单调递减， g x的最大值为 1 ( )g e e ， 1 a e a的取值范围是1,) e （2）设 g xfx，则 ln1 2g xxax ， 1 ( )2g xa x ，0x 当0a 时，
23、0g x恒成立， g x在0,单调递增， 又 11 20ga ， 212121 ()21 122 (1)0 aaa g eaaeae 所以 g x存在唯一零点 1 0,1x 当 1 0,xx时， 0fxg x， 当 1,1 xx时， 0fxg x 所以 f x存在唯一的极小值点 01 xx 当0a 时， ln1g xx， g x在0,单调递增， 1 ( )0g e ， 所以 g x在0,有唯一零点 1 e 当 1 (0, )x e 时， 0fxg x， 当 1 ( ,1)x e 时， 0fxg x 所以 f x存在唯一的极小值点 0 1 x e 当0a 时，令 0g x，得 1 (0,) 2
24、x a ; 令 0g x，得 1 (,) 2 x a ， g x在 1 (0,) 2a 单调递增，在 1 (,) 2a 单调递减， 所以 g x的最大值为 1 ()ln(2 ) 2 ga a 当 1 0 2 a时， 1 ( )0g e ， 11 20ga ， 1 ()0 2 g a ， 2 1212 ()212(1)10l1ng aaa a a （或用 11 11 1 ()20 aa g eae a ） 由函数零点存在定理知： g x在区间0,1，1,分别有一个零点 2 x， 3 x 当 2 0,xx时， 0fxg x; 当 23 ,xx x时， 0fxg x; 所以 f x存在唯一的极小值点
25、 02 xx，极大值点 3 x 当 1 2 a 时， 1 0 2 g a ，( )( )0fxg x 所以 f x在0,单调递减，无极值点 由可知，当 0 0,xx时， 0fx; 所以 f x在 0 0,x单调递减， 0,1 x单调递增 所以 0 (1)0f xf 由 000 ln1 20fxxax ，得 00 ln21xax 所以 2 0000 ln()f xxaxax 2 000 (21)xaxaxa 2 00 axax 2 000 ()(21)1f xaaxax 00 (1)(1)1xa x， 因为 0 (0,1)x ， 1 , 2 a ， 所以 0 10x ， 0 1 11210 2
26、a x 所以 0 (21)0f xa，即 0 21f xa; 所以 0 210af x 22 （10 分） 解： （1）C 的直角坐标方程为 22 1xy， 即 22 1xy，是以原点为圆心的单位圆 当90时，显然直线 l 与曲线 C 相离，不合题意 90，所以直线 l 的斜率tank存在 直线 l 的方程可写为20kxyk 直线 l 与曲线 C 交于 M，N 两点， 圆心 O 到直线 l 的距离 2 |2 | 1 1 k d k ， 解得 33 33 k 0 6 或 5 6 （2） （法一）直线 l 的参数方程为 2cos sin xt yt （t 为参数，0 6 或 5 6 ） 设 M，N
27、，H 对应的参数分别为 M t， N t， H t，则 2 MN H tt t ， 将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程得： 2 4cos30tt 4cos MN tt，2cos 2 MN H tt t ， 又点 H 的坐标满足 2cos sin H H xt yt ， （t 为参数，0 6 或 5 6 ） 点 H 的轨迹的参数方程为 2 22cos 2cossin x y 即 1cos2 sin2 x y （为参数，0 6 或 5 6 ） （法二） 设点,H x y，则由OHl可知， 当0 l k 时有1 OHl kk 即1 2 yy x x ，整理得 22 (1)1xy 当0 l k 时，点 H 与原点重合，也满足上式 点 H 的轨迹的参数方程为 1cos sin x y （为参数，且0 3 或 5 2 3 ）. 23 （10 分） （1）解： 21,1 ( )321, 1 21, xmx f xxmxm xmxm 当xm时， f x取得最大值1m， f x的最大值为 3， 13m ，解得2m （2）证明：由（1）得2m， 22abc，即1abc 又 a，b，c 为正数， 且 111abcbcacab bcacab 2226 bcacab aabbcc （当且仅当 1 3 abc时等号成立） 1116bcaacbabcabc
