1、数学试题（理科）第 页（共 6 页）1 淮南市 2020 届高三第二次模拟考试 数学（理科）试题数学（理科）试题 （考试时间：120 分钟满分：150 分） 注意事项：注意事项： 1答题前，务必在答题卡规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号。 2答题时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3答题时，必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上 书写，要求字体工整、 笔迹清晰。作图题可选用铅笔在答题卡 规定的位置绘出，确认后再用 0.5 毫米的 黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区
2、域书写 的答案无效 ，在试题卷、草稿纸上答题无效 。 第第卷（选择题）卷（选择题） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分. . 在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内）有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内） 1. 已知集合2) 1( xxxA，11xxB，则 AB= A.)01，B.)02，C. 10( ，D.20( ， 2i是虚数单位，复数 2i 2i a z 是纯虚数，则实数a A.1B.1C.4D.4 3函数si
3、ncosyxx 在 ，上的图象是 数学试题（理科）第 页（共 6 页）2 第 7 题图 4. 在如图所示的算法框图中，若输入的 5 4 x，则输出结果为 A. 5 1 B 5 2 C 5 3 D 5 4 5. 设公差不为 0 的等差数列 n a的前n项和为 n S.若 1718 SS，则在 18 a， 35 S， 1917 aa， 1916 SS这四个值中，恒等于 0 的个数是 A.1B.2C.3D.4 6为了得到正弦函数sinyx的图象，可将函数 sin 3 yx 的图象向右平移m个单位 长度，或向左平移n个单位长度（0m ，0n ） ，则mn的最小值是 A. 3 B. 2 3 C. 4 3
4、 D. 5 3 7如图，网格纸上的小正方形的边长均为 1，粗线画的是一个几 何体的三视图，则该几何体的体积是 A. 3 2 B.2 C.3D. 9 2 8. 设6log 2 1 a，12log 4 1 b，15log 5 1 c，则 A.cbaB.abcC.cabD.bac 9. 有四位同学参加校园文化活动，活动共有四个项目，每人限报其中一项.已知甲同学报的 项目其他同学不报，则 4 位同学所报选项各不相同的概率等于 A. 18 1 B. 32 3 C. 9 2 D. 9 8 数学试题（理科）第 页（共 6 页）3 10. 在平行四边形ABCD中，22 3ABAD，E是 BC 的中点，F点在边
5、CD上，且 2CFFD，若 2 17 BFAE，则DAB A. 30B. 60C. 120D. 150 11. 双曲线1 169 : 22 yx C的右支上一点P在第一象限， 1 F， 2 F分别为双曲线C的左、右 焦点，I为 12 PFF的内心，若内切圆I的半径为 1，直线 1 IF， 2 IF的斜率分别为 1 k， 2 k， 则 12 kk+的值等于 A. 8 3 B. 8 3 C. 8 5 D. 8 5 12. 定义在R上函数( )f x满足)( 2 1 ) 1(xfxf，且当x0 1，时，( )121f xx . 则使得 1 ( ) 16 f x 在+m，上恒成立的m的最小值是 A.
6、7 2 B. 9 2 C. 13 4 D. 15 4 第第 IIII 卷（非选择题，共卷（非选择题，共 90 分）分） 本卷包括必考题和选考题两部分本卷包括必考题和选考题两部分. 第第 13 题题第第 21 题为必考题题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答. 第第 22 题题第第 23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分，将每题的正确答案填在题中的横分，将每题的正确答案填在题中的横 线上）线上） 13. 已知公比不为 1 的等比数列 n a
7、,且 7 2 3 aa ， 546 32aaa,则数列的通项公式 n a _. 14在 5 1axx展开式中，x的偶数次幂项的系数之和为8，则a . 15过抛物线 2 4yx焦点F的直线交抛物线于点A、B，交准线于点P，交y轴于点Q， 若FBPQ ，则弦长AB. 数学试题（理科）第 页（共 6 页）4 第 16 题图 16九章算术卷第五商功中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面 的四棱锥”. 现有阳马ABCDS ,SA平面ABCD， 1AB,3AD，3SA.BC上有一点E，使截面 SDE的周长最短，则SE与CD所成角的余弦值等 于. 三、三、解答题解答题： （本大题满分本大题满分
8、60 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分 12 分） 在ABC中，三内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若B为锐角，且 sin2sin3cosABA. （）求C； （）已知2a ，8BCAB，求ABC的面积. 18.（本小题满分 12 分） 如图，在三棱柱 111 ABCABC中， 1 90ACBC CB ， 1 60A AC，D，E分 别为 1 A A和 11 BC的中点，且 1 AAACBC （）求证： 1 AE/平面 1 BC D； （）求平面 1 BC D与平面ABC所成锐二面角的余弦值 19.（本小题满分 1
9、2 分） 已知椭圆 22 22 :1 xy C ab （0ab）的离心率是 2 2 ，原点到直线1 xy ab 的距离 等于 2 3 3 ，又知点(0 3)Q， （）求椭圆C的标准方程； （）若椭圆C上总存在两个点A、B关于直线yxm对称，且283QBQA， 求实数m的取值范围 S A BC D E 第 18 题图 数学试题（理科）第 页（共 6 页）5 20.（本小题满分 12 分） 为了提高生产线的运行效率， 工厂对生产线的设备进行了技术改造.为了对比技术改造后 的效果，采集了生产线的技术改造前后各 20 次连续正常运行的时间长度（单位：天）数据， 并绘制了如下茎叶图： （） （1）设所采
10、集的 40 个连续正常运行时间的中位数m，并将连续正常运行时间超 过m和不超过m的次数填入下面的列联表： 超过m不超过m 改造前ab 改造后cd 试写出 a，b，c，d 的值； （2）根据（1）中的列联表，能否有 99%的把握认为生产线技术改造前后的连续正常运 行时间有差异？ 附： 2 2 n adbc K abcdacbd ， （） 工厂的生产线的运行需要进行维护. 工厂对生产线的生产维护费用包括正常维护 费、保障维护费两种.对生产线设定维护周期为T天（即从开工运行到第kT天（*Nk ） 进行维护.生产线在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立.在一个维护 周期内，若生产线能连
11、续运行，则不会产生保障维护费；若生产线不能连续运行，则产生保 障维护费.经测算，正常维护费为 0.5 万元/次；保障维护费第一次为 0.2 万元/周期，此后每增 加一次则保障维护费增加 0.2 万元. 现制定生产线一个生产周期（以 120 天计）内的维护方 案：30T，4321，k. 以生产线在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周 2 P Kk0.0500.010 0.001 k3.8416.635 10.828 数学试题（理科）第 页（共 6 页）6 期内生产维护费的分布列及期望值. 21.（本小题满分 12 分） 已知函数1 2 1 e)( 2 axxxf x
12、 ，Ra. （）若)(xf为R上的增函数，求a的取值范围； （）若0a， 21 xx ，且4)()( 21 xfxf，证明：2)( 21 xxf. 请考生在第请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请 写清题号写清题号 22 （本小题满分 10 分）选修 44 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 33cos 3sin x y （其中为参数） ， 以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 4cos0. （）求曲线 1 C的
13、普通方程与曲线 2 C的直角坐标方程； （）设点,A B分别是曲线 12 ,C C上两动点且 2 AOB ，求AOB面积的最大值. 23.（本小题满分 10 分）选修 45 不等式选讲 已知函数 1 1 f xxmx m （其中实数0m ） （）当1m ，解不等式 3f x ； （）求证： 1 2 1 f x m m . 数学试题答案（理科）第页（共 9 页）1 淮南市 2020 届高三第二次模拟考试 数学（数学（理理科）试题参考答案及评分标准科）试题参考答案及评分标准 第第 I I 卷卷 一、 选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 题号123456789101112 答
14、案BABBCBCACCBD 第第卷卷 二、 填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 1 2 n n a.14. 1 2 a .15. 2 9 |AB| 16 4 2 cosSEF . 三、解答题：共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答. 第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：60 分. 17.（本小题满分 12 分） 解析：（）由sin2sin3cosABA，得 31 sincossin 22 BAA sinsin 3 BA . 2 分 所以 3 BA，或 2 33 BABA
15、. 3 分 因为B为锐角，所以 3 BA，即 3 BA，故 2 3 C . 5 分 数学试题答案（理科）第页（共 9 页）2 （）由8BCAB，得cos()8cos8caBcaB . 因为2a ， 所以cos4cB . 7 分 根据正弦定理， sinsin ac AC ，及 3 AB， 2 3 C ，2a ， 得 2 3 sin 3 2 c B ，所以 sin3 3 cB ， 31 cossin3 22 cBcB. 10 分 代入，得 1 2 3sin3 2 cB，所以sin2 3cB . 所以ABC的面积等于 11 sin2 2 32 3 22 acB .12 分 另解（酌情给分）：由8BC
16、AB，得cos()8cos8caBcaB . 因为2a ，所以cos4cB 7 分 作BCAD 交BC延长线于D，则4cosBcBD，2BCADCD 在ACDRt中， 33 2 ACD，由 CA CD ACD cos得4AC 所以ABC的面积等于 11 sin2 2 32 3 22 acB .12 分 18.（本小题满分 12 分） 解析：（）如图 1，取线段 1 BC的中点F，连接EF、DF. 数学试题答案（理科）第页（共 9 页）3 因为E为 11 BC的中点，所以EF/ 1 BB，且 1 1 2 EFBB. 又D为 1 A A的中点， 所以 1 A D/ 1 BB， 且 11 1 2 A
17、DBB， 所以EF/ 1 A D， 且EF= 1 A D， 所以四边形 1 ADFE是平行四边形，所以 1 AE/DF. 又DF 平面 1 BC D， 1 AE 平面 1 BC D，所以 1 AE/平面 1 BC D.4 分 （）作 1 AOAC于点O，因为 1 60A AC，所以 1 30AAO，所以 1 11 22 AOA AAC，即O为AC的中点. 因为 1 90ACBC CB ， 所以 1 ,CCBCCABC,又CCCCA 1 ,所以BC 平面 11 A ACC， 所以 1 BCAO ，又 , 1 CAOACBCCA所以 1 AO 平面ABC.6 分 故可以点O为原点，射线OA、 1
18、OA分别为x轴和z轴的正半轴，以平行于BC的直线 为y轴，建立空间直角坐标系，如图 2. 令 1 2AAACBCa，则(0 0)A a，(20)Baa ， ， 1(0 0 3 )Aa， 1( 2 03 )Caa， 13 0 22 Daa ，所以 aaaBD 2 3 ,2, 2 3 ， aaDC 2 3 , 0 , 2 5 1 .7 分 数学试题答案（理科）第页（共 9 页）4 设平面 1 BC D一个法向量为),(zyxm ，则 33 ()20 22 53 ()00 22 x y zaaa x y zaa ， ， ， ， ， 得 33 20 22 53 0 22 xyz xz ， .取3x ，
19、2 3y ，5z ，所以)5 , 32 , 3(m.9 分 又平面ABC的一个法向量为)3, 0 , 0( 1 aOA 10 分 设平面 1 BC D与平面ABC所成锐二面角为， 则. 4 10 340 35 cos 1 1 a a OAm OAm 所以平面 1 BC D与平面ABC所成锐二面角的余弦值为 10 4 12 分 19.（本小题满分 12 分） 解析：（）由 22 22 2 2 12 3 311 ab a ab ， ，得 2 4a ， 2 2b ， 所以椭圆C的标准方程为 22 1 42 xy 5 分 （）根据题意可设直线AB的方程为yxn ，联立 22 1 42 yxn xy ，
20、 ， 整理得 22 342(2)0xnxn，6 分 数学试题答案（理科）第页（共 9 页）5 由 22 ( 4 )4 3 2(2)0nn ，得 2 6n 设 11 ()A xxn， ， 22 ()B xxn， ，则 12 4 3 n xx， 2 12 22 3 n x x . 又设AB的中点为 00 ()M xxn， ，则 12 0 2 23 xxn x ， 0 3 n xn. 由于点M在直线yxm上，所以 2 33 nn m，得3nm ，代入 2 6n ， 得 2 96m ，所以 66 33 m.8 分 因为)3,( 11 nxxQA，)3,( 22 nxxQB，所以 2 2121 )3()
21、(3(2nxxnxxQBQA 22 2 4(2)4 (3)3619 (3) 333 nn nnn n . 10 分 由283QBQA，得 2 36192813nnn ，所以133m ， 即 1 1 3 m .11 分 又由得 61 33 m. 故实数m的取值范围为 61 33 ，.12 分 20.（本小题满分 12 分） 解析：（）（1）由茎叶图知30 2 3129 m1 分 根据茎叶图可得：5a，15b，15c，5d.3 分 （2）由于635. 610 20202020 )151555(40 2 2 K，所以有 99%的把握认为连续正常 运行时间有差异6 分 （）生产周期内有 4 个维护周期
22、，一个维护周期为 30 天，一个维护周期内，生产 线需保障维护的概率为 4 1 20 5 p.设一个生产周期内需保障维护的次数为次， 数学试题答案（理科）第页（共 9 页）6 则) 4 1 4(，B，7 分 （正常维护费为245 . 0万元， 保障维护费为 1 . 01 . 0 2 ) 1(2 . 0 2 万元. 故一个生产周期内需保障维护次时的生产维护费为21 . 01 . 0 2 万元.） 设一个生产周期内的生产维护费为X万元，则 X 的可能取值为 2，2.2，2.6，3.2，4 （万元），8 分 则 256 81 ) 4 1 1 ()2( 4 XP 64 27 4 1 ) 4 1 1 (
23、)2 . 2( 31 4 CXP 128 27 ) 4 1 () 4 1 1 ()6 . 2( 222 4 CXP 64 3 ) 4 1 () 4 1 1 ()3.2( 313 4 CXP 256 1 ) 4 1 ()4( 4 XP10 分 则分布列为 X22.22.63.24 P 256 81 64 27 128 27 64 3 256 1 则 )(XE 256 1 4 64 3 2 . 3 128 27 6 . 2 64 27 2 . 2 256 81 2 275. 2 256 4 .582 256 44 .384 .1406 .237162 万元. 故一个生产周期内生产维护费的期望值为
24、2.275 万元12 分 21.（本小题满分 12 分） 解析：（）axxf x e)( ，若)(xf为R上的增函数，则0e)( axxf x 恒成 立，即ax x e恒成立.设xxF x e)(，则1e)( x xF，当)0 ,(x时， 数学试题答案（理科）第页（共 9 页）7 0)( xF，当), 0( x时，0)( xF，所以)(xF在)0 ,(上单调递减，在), 0( 上单调递增，所以1)0()(FxF，故1a，所以1a.5 分 （）若0a，由（）知)(xf为R上的增函数.由于2)0(f，已知 21 xx ，且 4)()( 21 xfxf，不妨设 21 0xx.6 分 设函数)()()
25、(xfxfxh，)0 ,(x，则 ) 1 2 1 e (1 2 1 e)( 22 axxaxxxh xx 2ee 2 x xx ，则 )( xhx xx 2ee ， 设)( xhx ）（， 则02ee)( xx x， 由于)0 ,(x， 所以)( xh为）（0 ,上的增函数，所以0)0( )( hxh，所以)(xh为）（0 ,上的减 函数 10 分 所以4)0()()()( 111 hxfxfxh，所以)()(4)( 112 xfxfxf， 而)(xf为R上的增函数，所以 12 xx，故0 21 xx. 从而2)0()( 21 fxxf.故2)( 21 xxf.12 分 （二）选考题：共 10
26、 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题计分. 22（本小题满分 10 分）选修 44 坐标系与参数方程 解析：（）由条件知消去参数得到曲线 1 C的普通方程为 2 2 39xy. 因4cos0可 化 为 2 4 cos0， 又 222, cosxyx， 代 入 得 22 40xyx，于是曲线 2 C的直角坐标方程为 22 40xyx.5 分 （）由条件知曲线 12 ,C C均关于x轴对称，而且外切于原点O， 数学试题答案（理科）第页（共 9 页）8 不妨设 1, 0 2 A ，则 2, 2 B ， 因曲线 1 C的极坐标方程为6cos， 所以 12 6co
27、s ,4cos4sin 2 ， 于是 12 11 6cos4sin6sin26 22 AOB S ， 所以当 4 时，AOB面积的最大值为 6.10 分 23.（本小题满分 10 分）选修 45 不等式选讲 解析：（）由条件知1m 时， 1 2,1 2 131 1,1 222 11 2, 22 xx f xxxx xx 于是原不等式可化为 1 1 23 2 x x ； 1 1 2 3 3 2 x ； 1 2 1 23 2 x x 解得 7 1 4 x；解得 1 1 2 x；解得 51 42 x ， 所以不等式 3f x 的解集为 5 7 , 4 4 5 分 （）由已知得 111 111 f xxmx m mmm m 1111 1111 xmxm mm mmm m 1111 2 11 mm mmmm 数学试题答案（理科）第页（共 9 页）9 当且仅当1m 时，等号成立，于是原不等式得证.10 分
