1、2020 年高考（理科）数学三诊（年高考（理科）数学三诊（5 月份）一模试卷月份）一模试卷 一、选择题（共 12 小题） 1已知集合 Ax|x1 或 x2，B3，2，1，0，1，2，3，则 AB（ ） A3，2 B2，3 C3，2，3 D3，2，2，3 2若复数 z 满足（1+2i）z5i，则 z（ ） A2+i B2i C2+i D2i 3在正项等比数列an中，若 a11，a3a2+2，Sn为其前 n 项的和，则 （ ） A6 B9 C12 D15 4若夹角为 120的向量 与 满足| | |2，则| |（ ） A1 B2 C D4 5已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
2、A B C D2 6执行如图所示的程序框图，则输出的 T（ ） A B C D 7已知圆 C：（x1）2+y2r2（r1）与 x 轴负半轴的交点为 M，过点 M 且斜率为 2 的直 线 1 与圆 C 的另一个交点为 N，若 MN 的中点 P 恰好落在 y 轴上，则|MN|（ ） A B C D 8若直线 yx 与曲线 ylnx+ax 相切，则 a（ ） A B C D 9抛物线上任意两点 A、B 处的切线交于点 P，称PAB 为“阿基米德三角形”当线段 AB 经过抛物线焦点 F 时，PAB 具有以下特征： P 点必在抛物线的准线上；PAB 为直角三角形，且 PAPBPFAB 若经过抛物线 y2
3、4x 焦点的一条弦为 AB，阿基米德三角形为PAB， 且点 P 的纵坐标为 4，则直线 AB 的方程为（ ） Ax2y10 B2x+y20 Cx+2y10 D2xy20 10已知函数 f（x）x3+3x，若对任意 t1，1不等式 f（2t2m）+f（t）0 恒成立， 则实数 m 的取值范围是（ ） Am1 B C D 11已知正四棱锥 PABCD 的高为 2， ，过该棱锥高的中点且平行于底面 ABCD 的平面截该正四棱锥所得截面为 A1B1C1D1， 若底面 ABCD 与截面 A1B1C1D1的顶点在同一 球面上，则该球的表面积为（ ） A20 B C4 D 12如图，某公园内有一个半圆形湖面
4、，O 为圆心，半径为 1 千米，现规划在OCD 区域 种荷花， 在OBD 区域修建水上项目 若AOCCOD， 且使四边形 OCDB 面积最大， 则 cosAOC（ ） A B C D 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13能说明命题“xR 且 x0， ”是假命题的 x 的值可以是 （写出一 个即可） 14已知 F 是双曲线 M： ， 的右焦点，点 P 在 M 上，O 为坐标原 点，若 ， ，则 M 的离心率为 15 河图洛书是中国古代流传下来的神秘图案， 被誉为 “宇宙魔方” ， 九宫格源于河图洛书 如 图是由 9 个单位正方形（边长为 1 个单位的正方形）组成的九宫
5、格，一个质点从 A 点沿 单位正方形的边以最短路径运动到 B 点，共有 种不同的路线，则在这些路线中，该质 点经过 p 点的概率为 16 定义域为R的偶函数f （x） 满足f （1+x） +f （1x） 0， 当x0， 1） 时， ， 给出下列 四个结论： |f（x）|1； 若 f（x1）+f（x2）0，则 x1+x20 函数 f（x）在（0，4）内有且仅有 3 个零点； 若 x1x2x3，且 f（x1）f（x2）f（x3），则 x3x1的最小值为 4 其中，正确结论的序号是 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17已知三棱柱 ABCA1B1C1，底面 ABC 为等边三角形，侧棱 AA
6、1平面 ABC，D 为 CC1 中点，AA12AB，AB1和 A1B 交于点 O （1）证明：OD平面 ABC； （2）求 AB 与平面 A1BD 所成角的正弦值 182020 年 1 月，教育部关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见印发， 自 2020 年起，在部分高校开展基础学科招生改革试点（也称“强基计划”）强基计划 聚焦高端芯片与软件、智能科技、新材料、先进制造和国家安全等关键领域以及国家人 才紧缺的人文社会科学领域，选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或 基础学科拔尖的学生新材料产业是重要的战略性新兴产业，如图是我国 20112019 年 中国新材料产业市场规模
7、及增长趋势图其中柱状图表示新材料产业市场规模（单位： 万亿元），折线图表示新材料产业市场规模年增长率（%） （1） 求从 2012 年至 2019 年， 每年新材料产业市场规模年增长量的平均数 （精确到 0.1） ； （2）从 2015 年至 2019 年中随机挑选两年，求两年中至少有一年新材料产业市场规模 年增长率超过 20%的概率； （3）由图判断，从哪年开始连续三年的新材料产业市场规模的方差最大（结论不要求 证明） 19ABC 的角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin2B+sin2Csin2A+sinBsinC （1）求 A； （2）从三个条件： ABC 的面积为 中任选
8、一个作为已知条件， 求ABC 周长的取值范围 20已知函数 （1）讨论 f（x）的单调性； （2）设 g（x）f（x）lna，若 g（x）存在两个极值点 x1，x2，求 g（x1）+g（x2）的 最小值 21椭圆规是画椭圆的一种工具，如图 1 所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标 M，N， 有一根旋杆将两个滑标连成一体，|MN|4，D 为旋杆上的一点，且在 M，N 两点之间， 且|ND|3|MD|，当滑标 M 在滑槽 EF 内作往复运动，滑标 N 在滑槽 GH 内随之运动时， 将笔尖放置于 D 处可画出椭圆，记该椭圆为 C如图 2 所示，设 EF 与 GH 交于点 O， 以 EF 所在的直线为
9、 x 轴，以 GH 所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设 A1，A2是椭圆 C 的左、右顶点，点 P 为直线 x6 上的动点，直线 A1P，A2P 分 别交椭圆于 Q，R 两点，求四边形 A1QA2R 面积的最大值 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答并用铅笔在答题卡选考题 区域内把所选的题号涂黑如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数 方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 ， （t 为参数），以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 （1）求直线 l 的极坐标方程；
10、 （2）设动点 M 的极坐标为（，），射线 OM 与直线 l 相交于点 A，且满足|OA| |OM| 4，求点 M 轨迹的极坐标方程 选修 4-5：不等式选讲 23已知 f（x）2|x+1|+|x1| （1）解不等式 f（x）4； （2）设 f（x）的最小值为 m，实数 a，b，c 满足 a2+b2+c2m，证明： 参考答案 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1已知集合 Ax|x1 或 x2，B3，2，1，0，1，2，3，则 AB（ ） A3，2 B2，3 C3，2，3 D3，2，2， 3 【分析】利用交集定义直接求解 解：集合 Ax|x1 或 x2，B3，2，1，
11、0，1，2，3， AB3，2，3 故选：C 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 2若复数 z 满足（1+2i）z5i，则 z（ ） A2+i B2i C2+i D2i 【分析】通过分母实数化，求出 z 即可 解：z 满足（1+2i）z5i， z 2+i 故选：A 【点评】 本题考查了复数的运算， 熟练掌握运算性质是解题的关键， 本题是一道基础题 3在正项等比数列an中，若 a11，a3a2+2，Sn为其前 n 项的和，则 （ ） A6 B9 C12 D15 【分析】先由 a11，a3a2+2 求出公比 q，再利用前 n 项的和公式求出结果 解：设正
12、项等比数列an的公比为 q，则 q0a11，a3a2+2，q2q+2q2 1+q39， 故选：B 【点评】本题主要考查等比数列的基本量的运算，属于基础题 4若夹角为 120的向量 与 满足| | |2，则| |（ ） A1 B2 C D4 【分析】根据向量数量积的应用，把| |2 两边平方，转化成模平方和数量积，利用 已知即可得到结论 解：| |2， 2 +2 24， 即| |2+4| |cos120+44，则| |2，或| |0（舍）， 故选：B 【点评】点评：本题考查了数量积运算性质、向量与模的转化，考查了计算能力，属于 基础题 5已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A
13、 B C D2 【分析】由三视图还原原几何体，该几何体是组合体，下方为圆锥，圆锥的高是 2，底面 半径为 1，上方为一个半球去掉右前方的四分之一，半球的半径为 1，再由圆锥与球的体 积公式求解 解：由三视图还原原几何体如图， 该几何体是组合体，下方为圆锥，圆锥的高是 2，底面半径为 1， 上方为一个半球去掉右前方的四分之一，半球的半径为 1， 则该几何体的体积为 故选：C 【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题 6执行如图所示的程序框图，则输出的 T（ ） A B C D 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 T 的 值，
14、模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 解：模拟程序的运行，可得 k1，S0，T0， S1 满足条件 S15，执行循环体，T1，k2，S3 满足条件 S15，执行循环体，T ，k3，S6 满足条件 S15，执行循环体，T ，k4，S10 满足条件 S15，执行循环体，T ，k5，S15 此时，不满足条件 S15，退出循环，输出 T 的值为 故选：D 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得 出正确的结论，是基础题 7已知圆 C：（x1）2+y2r2（r1）与 x 轴负半轴的交点为 M，过点 M 且斜率为 2 的直 线 1 与圆 C 的另一
15、个交点为 N，若 MN 的中点 P 恰好落在 y 轴上，则|MN|（ ） A B C D 【分析】由题意画出图形，求出 M 的坐标，写出直线 l 的方程，与圆的方程联立求得 N 点横坐标，再由中点坐标公式求得 r，进一步求出 M 与 N 的坐标，则答案可求 解：取 y0，可得 x1r 或 x1+r， 由题意可得，M（1r，0）， 设直线 l 的方程为 y2（x+r1）， 联立 ，得 5x 2+（8r10）x+3r28r+40 由 xM+xN1r+xN ，得 xN 由 MN 的中点 P 恰好落在 y 轴上，得 1r+xN0，即 r M（ ，0），N（ ，1）， 则|MN| 故选：B 【点评】本题
16、考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，考查运算 能力，是中档题 8若直线 yx 与曲线 ylnx+ax 相切，则 a（ ） A B C D 【分析】先设切点，再对曲线求导，然后令导数等于 1，然后结合 xlnx+ax，即可求出 a 的值 解：设切点为（x，y）， 由题意 ，解得 故选：D 【点评】本题考查导数的几何意义，利用切点满足的两个条件列方程组是本题的总体思 路属于基础题 9抛物线上任意两点 A、B 处的切线交于点 P，称PAB 为“阿基米德三角形”当线段 AB 经过抛物线焦点 F 时，PAB 具有以下特征： P 点必在抛物线的准线上；PAB 为直角三角形，且 PAPB
17、PFAB 若经过抛物线 y24x 焦点的一条弦为 AB，阿基米德三角形为PAB， 且点 P 的纵坐标为 4，则直线 AB 的方程为（ ） Ax2y10 B2x+y20 Cx+2y10 D2xy20 【分析】由PAB 为“阿基米德三角形”，且线段 AB 经过抛物线 y24x 焦点，可得：P 点必在抛物线的准线上，可求出点 P（1，4），从而得到直线 PF 的斜率为2， 又 PFAB，所以直线 AB 的斜率为 ，再利用点斜式即可求出直线 AB 的方程 解：由题意可知，抛物线 y24x 的焦点 F 的坐标为（1，0），准线方程为：x1， 由PAB 为“阿基米德三角形”，且线段 AB 经过抛物线 y2
18、4x 焦点，可得：P 点必在 抛物线的准线上， 点 P（1，4）， 直线 PF 的斜率为： 2， 又PFAB，直线 AB 的斜率为 ， 直线 AB 的方程为：y0 ，即 x2y10， 故选：A 【点评】本题主要考查了抛物线的定义，以及抛物线的性质，是中档题 10已知函数 f（x）x3+3x，若对任意 t1，1不等式 f（2t2m）+f（t）0 恒成立， 则实数 m 的取值范围是（ ） Am1 B C D 【分析】函数 f（x）x3+3x，判断其奇偶性不等式 f（2t2m）+f（t）0，化为：f （2t2m）f（t）f（t），利用其单调性及其二次函数的单调性即可得出 解：函数 f（x）x3+3x
19、， f（x）x33xf（x），函数 f（x）为 R 上的奇函数 f（x）3x2+30，函数 f（x）为 R 上的增函数 不等式 f（2t2m）+f（t）0，化为：f（2t2m）f（t）f（t）， 2t2mt，化为：m2t2+t，t1，1 令 g（t）2t2+t2 ，t1，1 t 时，函数 g（t）取得最小值，g（ ） 则实数 m 的取值范围是 m 故选：D 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、函数的奇偶性、二次函数的单调性， 考查了推理能力与计算能力，属于中档题 11已知正四棱锥 PABCD 的高为 2， ，过该棱锥高的中点且平行于底面 ABCD 的平面截该正四棱锥所得截面为 A1B1
20、C1D1， 若底面 ABCD 与截面 A1B1C1D1的顶点在同一 球面上，则该球的表面积为（ ） A20 B C4 D 【分析】如图（见解答部分）：根据正四棱锥，球心必在高线上，并且底面边长和高， 可知对角面 PAC 是等腰直角三角形，当截面过高的中点时，截面的对角线长可求，再设 球心为 O，在两个直角三角形OAM，A1ON 利用勾股定理，列出方程，可以解出半径 R，则表面积可求 解：因为正四棱锥 PABCD，所以底面是正方形，结合高为 2， ， 设底面对角线交点为 M，所以 AC4，AM2，故 PMAMCM2， 所以PAC 是等腰直角三角形 因为截面 A1B1C1D1过 PM 的中点 N，
21、所以 N 为截面正方形 A1B1C1D1的中心，且 PM截 面 A1B1C1D1 PNMNA1N1，设球心为 O，球的半径为 R，则 A1OAOR 在直角三角形A1ON中， ， 在直角三角形 APM 中，OA2AM2+OM2 ，即 ， 解得 R25，故 S4R220 故选：A 【点评】本题考查球的表面积的计算以及正四棱锥的性质根据对角面是等腰直角三角 形，和含有 R 的两个直角三角形列方程是本题的关键属于中档题 12如图，某公园内有一个半圆形湖面，O 为圆心，半径为 1 千米，现规划在OCD 区域 种荷花， 在OBD 区域修建水上项目 若AOCCOD， 且使四边形 OCDB 面积最大， 则 c
22、osAOC（ ） A B C D 【分析】 设AOCCOD （0 ） ， 利用三角形面积公式可得S ， 利用导数结合复合函数的单调性求最值， 即可得到使四边形 OCDB 面积最大时 cosAOC 的值 解：设AOCCOD（0 ）， OCOBOD1， 四边形OCDB面积S 则 由 S0，得 4cos2+cos20，解得 cos （舍）或 cos ，即 arccos 又 cos 在（0， ）上单调递减， 当 （0，arccos ），即 cos（ ，1）时，S 单 调递减， 当 （arccos ， ），即 cos（0， ）时，S 单调 递增， 当 cosAOC 时，四边形 OCDB 的面积最大 故选
23、：B 【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查函数模型的选择及其应用，训练了利 用导数求最值，是中档题 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13能说明命题“xR 且 x0， ”是假命题的 x 的值可以是 1，（任意负数 均可以） （写出一个即可） 【分析】全称命题的否定只需举出一个反例即可例如 x1，带入 解：当 时， ，当且仅当 取等号， 当 时， ，当且仅当 取等号， 只需 x 取值为负数，即可例如 x1 时 【点评】本题考察了，全称命题的真假，基本不等式应用（也可以利用对勾函数图象来 解决），属于基础题 14已知 F 是双曲线 M： ， 的右焦点，点 P 在
24、M 上，O 为坐标原 点，若 ， ，则 M 的离心率为 【分析】 设 P 的坐标， 求出 ， 的坐标， 由POF ， 所以 cosPOF ，求出 P 的横坐标，代入 x0 2+y 0 24b2进而求出纵坐标，再将 P 坐标代入双曲线的方 程可得 a，b 的关系，由 a，b，c 之间的关系求出离心率 解：设 P（x0，y0）由题意可得 x00，设 y00， （x0，y0），由题意|OP|2b，可得 x0 2+y 0 24b2， （c，0）， 由POF ，所以 cosPOF ，可得 x0b， y023b2，y00，将 P 点的坐标代入双曲线的方程可得： 31，所以 b 24a2， 所以双曲线的离心
25、率 e ， 故答案为： 【点评】本题考查双曲线的性质，及数量积的应用，属于中档题 15 河图洛书是中国古代流传下来的神秘图案， 被誉为 “宇宙魔方” ， 九宫格源于河图洛书 如 图是由 9 个单位正方形（边长为 1 个单位的正方形）组成的九宫格，一个质点从 A 点沿 单位正方形的边以最短路径运动到 B 点，共有 种不同的路线，则在这些路线中，该质 点经过 p 点的概率为 【分析】共有 n 20 种不同的路线，其中该质点经过 p 点包含的基本事件有 m6 212 种，由此能求出该质点经过 p 点的概率 解：一个质点从 A 点沿单位正方形的边以最短路径运动到 B 点， 共有 n 20 种不同的路线
26、， 则在这些路线中，该质点经过 p 点包含的基本事件有 m6212 种， 该质点经过 p 点的概率为 P 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能 力，是基础题 16 定义域为R的偶函数f （x） 满足f （1+x） +f （1x） 0， 当x0， 1） 时， ， 给出下列 四个结论： |f（x）|1； 若 f（x1）+f（x2）0，则 x1+x20 函数 f（x）在（0，4）内有且仅有 3 个零点； 若 x1x2x3，且 f（x1）f（x2）f（x3），则 x3x1的最小值为 4 其中，正确结论的序号是 【分析】由 f（1+x）+f（1x）0
27、可知，f（x）关于点（1，0）对称，另外令 x1，可 得 f（1）0，再结合 f（x）为偶函数，且当 x0，1）时， ，可以作出函 数的图象，然后逐一判断每个选项即可 解：f（1+x）+f（1x）0，函数 f（x）关于点（1，0）对称， 令 x1，则 f（1）+f（1）0，f（1）0， 又f（x）为偶函数，且当 x0，1）时， ，可作出函数 f（x）的图象如 下所示， 1f（x）1，|f（x）|1，即正确； 取 x11，x22，满足 f（x1）+f（x2）0，但 x1+x210，即错误； 函数 f（x）在（0，4）内的零点为 x1，2，3，有且仅有 3 个零点，即正确； 取 x11，x20，x
28、31，则 f（x1）f（x2）f（x3）0，但 x3x124，即 错误 正确的是 故答案为： 【点评】本题考查函数的图象与性质，分析出函数的对称性和作出函数图象是解题的关 键，考查学生的作图能力和分析能力，属于中档题 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17已知三棱柱 ABCA1B1C1，底面 ABC 为等边三角形，侧棱 AA1平面 ABC，D 为 CC1 中点，AA12AB，AB1和 A1B 交于点 O （1）证明：OD平面 ABC； （2）求 AB 与平面 A1BD 所成角的正弦值 【分析】（1）取 AB 中点 E，先利用中位线的性质可证 BOBB1且 ，再由已 知条件可得 且 C
29、DBB1，进而得到 ，则四边形 EODC 为平 行四边形，故 ODEC，由此得证 OD平面 ABC； （2）建立空间直角坐标系，求出直线 AB 的方向向量以及平面 A1BD 的法向量，利用向 量的夹角夹角公式即可得到所求正弦值 解：（1）取 AB 中点 E，连接 CE，OE，在四边形 BODC 中，E 为 AB 中点，O 为 AB1 中点， BO 为ABB1的中位线，故 BOBB1且 ， D 为 CC1中点， 且 CDBB1， ， 四边形 EODC 为平行四边形， ODEC，且 BC 在平面 ABC 内， OD平面 ABC； （2）取 BC 中点 F，根据已知条件建立如图所示的空间直角坐标系，
30、设 AB2，则 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设平面 A1BD 的一个法向量为 ， ， ，则 ，可取 ， ， ， 设 AB 与平面 A1BD 所成角为 ，则 ，即 AB 与平 面 A1BD 所成角的正弦值为 【点评】本题考查线面平行的判定以及利用空间向量研究线面角问题，考查推理能力及 计算能力，属于中档题 182020 年 1 月，教育部关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见印发， 自 2020 年起，在部分高校开展基础学科招生改革试点（也称“强基计划”）强基计划 聚焦高端芯片与软件、智能科技、新材料、先进制造和国家安全等关键
31、领域以及国家人 才紧缺的人文社会科学领域，选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或 基础学科拔尖的学生新材料产业是重要的战略性新兴产业，如图是我国 20112019 年 中国新材料产业市场规模及增长趋势图其中柱状图表示新材料产业市场规模（单位： 万亿元），折线图表示新材料产业市场规模年增长率（%） （1） 求从 2012 年至 2019 年， 每年新材料产业市场规模年增长量的平均数 （精确到 0.1） ； （2）从 2015 年至 2019 年中随机挑选两年，求两年中至少有一年新材料产业市场规模 年增长率超过 20%的概率； （3）由图判断，从哪年开始连续三年的新材料产业市场规模的方
32、差最大（结论不要求 证明） 【分析】 （1）从 2012 年起，每年新材料产业市场规模的年增加值依次为 0.3，0.2，0.3， 0.5，0.6，0.4，0.8，0.6，（单位：万亿元），由此能求出年增加的平均数 （2）设 A 表示事件“从 2015 年至 2019 年中随机挑选两个，两年中至少有一年新材料产 业市场规模增长率超过 20%”，利用对立事件概率计算公式能求出两年中至少有一年 新材料产业市场规模年增长率超过 20%的概率 （3）从 2017 年开始连续三年的新材料产业市场规模的方差最大 解：（1）从 2012 年起，每年新材料产业市场规模的年增加值依次为： 0.3，0.2，0.3，
33、0.5，0.6，0.4，0.8，0.6，（单位：万亿元）， 年增加的平均数为： 0.5 万亿元 （2）设 A 表示事件“从 2015 年至 2019 年中随机挑选两个，两年中至少有一年新材料产 业市场规模增长率超过 20%”， 依题意 P（A）1 （3）从 2017 年开始连续三年的新材料产业市场规模的方差最大 【点评】本题考查平均数、概率、方差的求法，考查折线图、条形统计图等基础知识， 考查运算求解能力，是基础题 19ABC 的角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin2B+sin2Csin2A+sinBsinC （1）求 A； （2）从三个条件： ABC 的面积为 中任选一个作
34、为已知条件， 求ABC 周长的取值范围 【分析】（1）由已知利用正弦定理可得 b2+c2a2bc，由余弦定理求出 cosA，结合 A 的范围可得 A 的值 （2）由题意，分类讨论，利用正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式， 正弦函数的图象和性质等知识即可求解 解：（1）sin2B+sin2Csin2A+sinBsinC， 由正弦定理可得：b2+c2a2bc， 由余弦定理可得：cosA ， A（0，）， A （2）若选择 ， 因为 A ，a ，由正弦定理 ， 则 ABC的 周 长l a+b+c 2sinB+2sinC 2sinB+2sin （ B ） 3sinB cosB 2 sin
35、（B ） ， 因为 B（0， ），所以 B ， sin（B ）1，即ABC 周长的取值范 围是（2 ，3 ）， ，因为 A ，b ，由正弦定理可得 a ，c ， 可得ABC 的周长 la+b+c ， 因为 B（0， ），所以 0 ，所以 0 ，即ABC 周长的取值范围是 （2 ，+）， 若选择ABC 的面积为 ， 因为 A ，SABC bcsinA bc ，可得 bc4，由余弦定理可得 a2b2+c2bc （b+c）23bc（b+c）212，即ABC 的周长 la+b+c b+c， 因为 b+c2 4，当且仅当 bc2 时等号成立，所以 l 46，即ABC 的周长的取值范围是6，+） 【点评】
36、 本题考查三角形周长取值范围的求法， 考查余弦定理、 三角形面积等基础知识， 考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题 20已知函数 （1）讨论 f（x）的单调性； （2）设 g（x）f（x）lna，若 g（x）存在两个极值点 x1，x2，求 g（x1）+g（x2）的 最小值 【分析】（1）求导，令 f（x）0 得 x1 或 ，接下来分 0a2，a2 及 a2 讨论即可； （2）依题意，可得 ，设 ， 利用导数求 h（x）的最小值即可得出答案 解：（1） ， 因为 a0，由 f（x）0 得 x1 或 ， 若 0a2， 则 ， 由 f （x） 0 得 ； 由 f （x） 0 得 0x1 或
37、 ， 若 0a2，则 f（x）在（0，1）递增，在 ， 递减，在 ， 递增； 若 a2，则 ， ，f（x）在定义域（0，+）递增； 若 a2，则 ，由 f（x）0 得 ；由 f（x）0 得 或 x1， 若 a2，则 f（x）在 ， 递增，在 ， 递减，在（1，+）递增； （2）由 g（x）f（x）lna 得 g（x）f（x）， 由（1）知，g（x）有两个极值点时，a0 且 a2，不妨设 ， ， ， ， ， 设 ，则 h（x）lnxln2+1， 由 h（x）0 得 ，h（x）在 ， 上单调递减， 由 h（x）0 得 ，h（x）在 ， 上单调递增， x0 时， ， 当 a0 且 a2 时，g（x1
38、）+g（x2）的最小值为 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查分类讨论思想及运算 求解能力，属于中档题 21椭圆规是画椭圆的一种工具，如图 1 所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标 M，N， 有一根旋杆将两个滑标连成一体，|MN|4，D 为旋杆上的一点，且在 M，N 两点之间， 且|ND|3|MD|，当滑标 M 在滑槽 EF 内作往复运动，滑标 N 在滑槽 GH 内随之运动时， 将笔尖放置于 D 处可画出椭圆，记该椭圆为 C如图 2 所示，设 EF 与 GH 交于点 O， 以 EF 所在的直线为 x 轴，以 GH 所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系 （1）求椭圆 C
39、 的方程； （2）设 A1，A2是椭圆 C 的左、右顶点，点 P 为直线 x6 上的动点，直线 A1P，A2P 分 别交椭圆于 Q，R 两点，求四边形 A1QA2R 面积的最大值 【分析】（1）由|MN|的值及|ND|3|MD|，可得|MD|，|ND|的值，由题意可得椭圆的长半 轴及短半轴长，进而求出椭圆的方程； （2）由（1）可得 A1，A2电子版，由题意设 P 的坐标，进而求出直线 A1P，直线 A2P 的 方程，与椭圆联立分别求出 Q，R 的坐标，进而求出四边形的面积的表达式，换元由均 值不等式可得 P 的坐标 解：（1）由|MN|4，D 为旋杆上的一点，且在 M，N 两点之间，且|ND
40、|3|MD|，可得 |MD|1，|ND|3 所以椭圆的长半轴 a 为 3，短半轴 b 为 1， 所以椭圆的方程为： y 21； （2）由对称性设 P（6，t），其中 t0，则直线 A1P 的方程为：y （x+3），直线 A2P 的方程为：y （x3），设 Q（x1，y1），R（x2，y2）， 由 消 x 可得（9+t2）y26ty0，由于 y 0，所以 y1 ， 由 消 x 可得（1+t2）y2+2ty0，由于 y 0，所以 y2 ， 所以四边形 A1QA2R 的面积为 S |A1A2| |y1y2| ， 由于 t0，设 m ， 又 ym 在2 ，+），所以 ym ， 故 S 3 ， 当且仅当
41、 m2 ，即 t 时，四边形 A 1QA2R 的面积的最大值为 3 【点评】 本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合和均值不等式的应用， 属于中档题 一、选择题 22在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 ， （t 为参数），以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 （1）求直线 l 的极坐标方程； （2）设动点 M 的极坐标为（，），射线 OM 与直线 l 相交于点 A，且满足|OA| |OM| 4，求点 M 轨迹的极坐标方程 【分析】 （1） 直接利用转换关系， 把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （2）利用极径的应用求出结果 解：（1）直线 l 的
42、参数方程为 ， （t 为参数），转换为直角坐标方程为 x+y 20转换为极坐标方程为 cos+sin+20 （2）设动点 M 的极坐标为（，），射线 OM 与直线 l 相交于点 A，且满足|OA| |OM| 4， 所以 A（ ， ）， 所以 ，转换为 2sin+2cos（0） 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径 的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 选修 4-5：不等式选讲 23已知 f（x）2|x+1|+|x1| （1）解不等式 f（x）4； （2）设 f（x）的最小值为 m，实数 a，b，c 满足 a2+b2+c2m，证明： 【分析】（1）利用绝对值的意义，写出分段函数，即可求不等式 f（x）4 的解集； （2）利用绝对值不等式，求出 m，再利用柯西不等式进行证明 解：（1）f（x） ， ， ， ， 不等式 f（x）4 等价于 或 或 ， 解得 x1 或1x1 或 x1， 不等式的解集为 ，1； （2）由（1）可知，f（x）在（，1递减，在（1，+）递增， f（x）的最小值为 f（1）2， m2， 即 a2+b2+c22， 根据柯西不等式得（a+b+c）2（12+12+12）（a2+b2+c2）6， 故 【点评】本题考查不等式的解法，考查柯西不等式证明不等式，考查学生分析解决问题 的能力，属于中档题
