1、湖南省五岳湖南省五岳 2020 年年 5 月高三联考文科数学试题月高三联考文科数学试题 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 (1+)(2+) =（ ） A3 10 B3+ 10 C3+ 10 D3 10 2已知集合 Ax|ylnx，BxN|x3，则（ ） ABA BABx|x0 CAB DAB1，2，3 3 “民以食为天，食以安为先 ”食品安全是关系人们身体健康的大事某店有四类食品， 其中果蔬类、粮食类、动物性食品类、
2、植物油类分别有 48 种、24 种、30 种、18 种，现 从中抽取一个容量为 40 的样本进行食品安全检测若采用分层抽样的方法抽取样本，则 抽取的动物性食品类种数是（ ） A10 B9 C8 D7 4若向量 =（1，2） ， =（1，4） ，则 =（ ） A （1，1） B （0，6） C （2，2） D （0，3） 5已知圆 C1：x2+y21，C2： （x2）2+y21，C3：x2+（y1）21，C4：x2+y24，若 从这 4 个圆中任意选取 2 个，则这 2 个圆的半径相等的概率为（ ） A1 6 B1 3 C1 2 D2 3 6 九章算术大约成书于公元一世纪，是我国古代第一部数学著
3、作，共收藏了 246 个与生 产实践有关的应用问题，其中有一题：今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一 尺，重二斤问次一尺各重几何？其意：现有一根，五尺长，一头粗，一头细，在粗的 一端截下一尺，重量为四斤，在细的一端截下一尺，重量为二斤问依次每一尺各有多 重？假设金杖由粗到细所截得的每尺的重量依次成等差数列an， a14 斤， 则 a2 （ ） A2.5 斤 B2.75 斤 C3 斤 D3.5 斤 7已知双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的左焦点为 F，点 A 的坐标为（0，2b） ，若 直线 AF 的倾斜角为 45，则 C 的离心率为（ ） A32 2 B3 C23 3 D
4、2 8函数 f（x）（1 2） 26+5的值域为（ ） A （0，16 B16，+） C （0， 1 16 D 1 16，+） 9在底面为正三角形的三棱柱 ABCA1B1C1中，AB2，AA13，该三棱柱的体积的最大 值为（ ） A3 B23 C6 D33 10已知函数 f（x）（x1） （x2） （x3） （x4） （x5） ，则曲线 yf（x）在点（2， 0）处的切线方程为（ ） Ay3x+6 By6x+12 Cy3x6 Dy6x12 11 某几何体的三视图如图所示， 俯视图为正三角形， 则该几何体外接球的表面积为 （ ） A25 4 B64 3 C25 D32 12 （5 分）已知函数
5、f（x）|14sinxcosx|，现有下述四个结论： f（x）的最小正周期为 ；曲线 yf（x）关于直线 x= 4对称； f（x）在（ 4， 5 12）上单调递增；方程 f（x）= 2在，上有 4 个不同的实根 其中所有正确结论的编号是（ ） A B C D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在答题卡中的横线上把答案填在答题卡中的横线上. 13若 xy21，则 4x+y2的最小值为 14在 log30.6，log25，30.4这 3 个数中，最大的是 15在公比大于零的等比数列an+2n，a12，a310，则 a4 ，
6、数列an的前 n 项和 Sn 16设 F1，F2分别为椭圆 C： 2 2 + 2 21 =1（a1）的左、右焦点，P（1，1）为 C 内一 点，Q 为 C 上任意一点若|PQ|+|QF1|的最小值为 3，则 C 的方程为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤骤.17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答题为必考题，每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 1
7、7设 a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边已知 acosBbcosA+c， （1）证明：ABC 是直角三角形 （2）若 D 是 AC 边上一点，且 CD3，BD5，BC6，求ABD 的面积 18如图，EA平面 ABC，ABBC，AB4，BCBD3，ACAD，CD32 （1）证明：BD平面 ACE （2）若几何体 EABCD 的体积为 10，求三棱椎 EABC 的侧面积 19已知函数 f（x）x 3 4lnx （1）求 f（x）的单调区间； （2）判断 f（x）在（0，10上的零点的个数，并说明理由 （提示：ln102.303） 20 某公司准备上市一款新型轿车零配件， 上市之前拟
8、在其一个下属 4S 店进行连续 30 天的 试销，定价为 1000 元/件试销结束后统计得到该 4S 店这 30 天内的日销售量（单位： 件）的数据如表： 日销售量 40 60 80 100 频数 9 12 6 3 （1）若该 4S 店试销期间每个零件的进价为 650 元/件，求试销连续 30 天中该零件日销 售总利润不低于 24500 元的频率 （2）试销结束后，这款零件正式上市，每个定价仍为 1000 元，但生产公司对该款零件 不零售，只提供零件的整箱批发，大箱每箱有 60 件，批发价为 550 元/件；小箱每箱有 45 件，批发价为 600 元/件，该 4S 店决定每天批发两箱，根据公司
9、规定，当天没销售出 的零件按批发价的 9 折转给该公司的另一下属 4S 店， 假设该 4S 店试销后的连续 30 天的 日销售量（单位：件）的数据如表： 日销售量 50 70 90 110 频数 5 15 8 2 （i）设该 4S 店试销结束后连续 30 天每天批发两大箱，求这 30 天这款零件的总利润； （ii）以总利润作为决策依据，该 4S 店试销结束后连续 30 天每天应该批发两大箱还是两 小箱？ 21设抛物线 y22px（p0）的焦点为 F，直线 l 与抛物线交于 M，N 两点 （1）若 l 过点 F，且|MN|3p，求 l 的斜率； （2）若( 2，)，且 l 的斜率为1，当 Pl
10、时，求 l 在 y 轴上的截距的取值范围（用 p 表示） ，并证明MPN的平分线始终与 y 轴平行 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第如果多做，则按所做的第 一题计分一题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 = 4 + = 4 + （r0， 为参数） ，以坐标 原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 M 的极坐标方程为 2+86 （1）若 r42，求 C 的极坐标方程； （2）若 C 与 M 恰有 4
11、个公共点，求 r 的取值范围 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x4|2 （1）求不等式 f（x）的解集； （2）证明：|x2|f（x）2 8 + 17 2sinx 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （5 分） (1+)(2+) =（ ） A3 10 B3+ 10 C3+ 10 D3 10 运用复数的乘法法则和除法法则直接计算 (1+)(2+) = 1+3 = (13) (1+3)(1
12、3) = 3+ 10 故选：B 本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题 2已知集合 Ax|ylnx，BxN|x3，则（ ） ABA BABx|x0 CAB DAB1，2，3 求出集合 A，B，由此能求出 AB 集合 Ax|ylnxx|x0， BxN|x30，1，2，3， AB1，2，3 故选：D 本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 3 “民以食为天，食以安为先 ”食品安全是关系人们身体健康的大事某店有四类食品， 其中果蔬类、粮食类、动物性食品类、植物油类分别有 48 种、24 种、30 种、18 种，现 从中抽取一个容量为 40 的样本进行食品安全检测若
13、采用分层抽样的方法抽取样本，则 抽取的动物性食品类种数是（ ） A10 B9 C8 D7 根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论 根据分层抽样的定义知抽取的动物性食品类种数为 30 48+24+30+18 40= 30 120 4010种， 故选：A 本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键比较基础 4若向量 =（1，2） ， =（1，4） ，则 =（ ） A （1，1） B （0，6） C （2，2） D （0，3） 把 = 代入 可得，2 = ( ) + ，从而求出 = ， = ( ) = + = 2 ， 2 = ( ) + =（1，4）+（1，2）（0，6）
14、， = (0，3)， 故选：D 本题主要考查了平面向量的坐标运算，是基础题 5已知圆 C1：x2+y21，C2： （x2）2+y21，C3：x2+（y1）21，C4：x2+y24，若 从这 4 个圆中任意选取 2 个，则这 2 个圆的半径相等的概率为（ ） A1 6 B1 3 C1 2 D 2 3来源:学科网 圆C1， C2， C3的半径相等， 都是1， 从这4个圆中任意选取2个， 基本事件总数n= 4 2 =6， 这 2 个圆的半径相等包含的基本事件个数 m= 3 2 =3，由此能求出这 2 个圆的半径相等的概 率 圆 C1：x2+y21，C2： （x2）2+y21，C3：x2+（y1）21
15、，C4：x2+y24， 其中圆 C1，C2，C3的半径相等，都是 1， 从这 4 个圆中任意选取 2 个， 基本事件总数 n= 4 2 =6， 这 2 个圆的半径相等包含的基本事件个数 m= 3 2 =3， 这 2 个圆的半径相等的概率 p= = 3 6 = 1 2 故选：C 本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 6 九章算术大约成书于公元一世纪，是我国古代第一部数学著作，共收藏了 246 个与生 产实践有关的应用问题，其中有一题：今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一 尺，重二斤问次一尺各重几何？其意：现有一根，五尺长，一头粗，一头细，在粗的 一端截下一
16、尺，重量为四斤，在细的一端截下一尺，重量为二斤问依次每一尺各有多 重？假设金杖由粗到细所截得的每尺的重量依次成等差数列an， a14 斤， 则 a2 （ ） A2.5 斤 B2.75 斤 C3 斤 D3.5 斤 利用等差数列的通项公式即可得出 设等差数列an的公差为 d，a14，a52， 4+4d2，解得 d= 1 2 则 a24 1 2 =3.5 斤 故选：D 本题考查了等差数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 7已知双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的左焦点为 F，点 A 的坐标为（0，2b） ，若 直线 AF 的倾斜角为 45，则 C 的离心率为（ ） A32
17、 2 B3 C23 3 D2 求出 F 的坐标，然后将直线 AF 的斜率表示出来等于 1，得到关于 a，c 的方程，即可求 出 e 的值 易知双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的左焦点 F 的坐标为（c，0） 因为 A（0，2b） 所以 AF 的斜率为45= 2 = 1 即4 2 2 = 4242 2 = 1， = = 23 3 故选：C 本题考查双曲线的几何性质，要求离心率，只需找到关于 a，c 的等量关系，构造方程即 可属于中档题 8函数 f（x）（1 2） 26+5的值域为（ ） A （0，16 B16，+） C （0， 1 16 D 1 16，+） 来源:Z,xx,k.C
18、om 利用换元法， 结合二次函数的性质求出 t 的范围， 结合指数函数的单调性进行求解即可 x26x+5（x3）244， 设 tx26x+5，则 t4， 则 y（1 2） t，为减函数，则 0y（1 2） 416， 故函数的值域为（0，16， 故选：A 本题主要考查函数值域的求解，利用换元法，结合复合函数单调性的性质是解决本题的 关键难度不大 9在底面为正三角形的三棱柱 ABCA1B1C1中，AB2，AA13，该三棱柱的体积的最大 值为（ ） A3 B23 C6 D33 由题意可知当侧棱与底面垂直时， 三棱柱体积最大， 求出三棱柱底面等边三角形的面积， 再由棱柱体积公式求解 底面三角形 ABC
19、 为正三角形，且 AB2，则= 1 2 2 3 = 3 又 AA13，当 AA1底面 ABC 时，三棱柱的体积取得最大值为3 3 = 33 故选：D 本题考查棱柱体积的求法，是基础的计算题 10已知函数 f（x）（x1） （x2） （x3） （x4） （x5） ，则曲线 yf（x）在点（2， 0）处的切线方程为（ ） Ay3x+6 By6x+12 Cy3x6 Dy6x12 先求得 f（x）（x1） （x2） （x3） （x4） （x5）的导函数，再利用导数的几何意 义求得切线的斜率，进而求得切线方程 f（x）（x1） （x2） （x3） （x4） （x5） ，令（x2） （x3） （x4） （
20、x5） g（x） 则 f（x）g（x）+（x1）g（x），令 h（x）（x3） （x4） （x5） ，则 h （x）（x4） （x5）+（x3） （2x9） f（x）g（x）+（x1）h（x）+（x2）h（x） 曲线 yf（x）在点（2，0）处的切线的斜率 kf（2）g（2）+h（2）h（2） 6， 曲线 yf（x）在点（2，0）处的切线方程为 y06（x2） ，即 y6x+12 故选：B 本题主要考查导数在求切线方程中的应用，属于基础题 11 某几何体的三视图如图所示， 俯视图为正三角形， 则该几何体外接球的表面积为 （ ） A25 4 B64 3 C25 D32 由三视图还原原几何体，可知
21、该几何体是三棱锥，底面三角形 ABC 是边长为 2 的等边三 角形，PA底面 ABC，找出三棱锥外接球的球心，求出外接球的半径，代入球的表面积 公式得答案 由三视图还原原几何体如图， 该几何体是三棱锥，底面三角形 ABC 是边长为 2 的等边三角形， PA底面 ABC， 设底面三角形 ABC 的外心为 G， 过 G 作底面的垂线 GO， 且使 GO= 1 2AP 则 O 为三棱锥 PABC 外接球的球心，连接 OB， GB= 23 3 ，OG2，三棱锥外接球的半径 ROB=4 + (2 3 3 )2= 43 3 该几何体外接球的表面积为 4 (4 3 3 )2= 64 3 故选：B 本题考查由
22、三视图还原原几何体，考查多面体外接球表面积的求法，是中档题 12已知函数 f（x）|14sinxcosx|，现有下述四个结论： f（x）的最小正周期为 ；曲线 yf（x）关于直线 x= 4对称； f（x）在（ 4， 5 12）上单调递增；方程 f（x）= 2在，上有 4 个不同的实根 其中所有正确结论的编号是（ ） A B C D 先利用正弦的二倍角公式将函数化简为 f（x）|12sin2x|，然后根据图象的伸缩变换、 平移变换和翻折变换作出其在一个周期的函数图象，根据图象逐一判断每个选项的正误 即可 f（x）|14sinxcosx|12sin2x|，最小正周期 = 2 2 = ，即正确； 作
23、出函数在一个周期内的大致图象如下所示， 令2 = 2 + ， ，则 = 4 + 2 ， ，当 k1 时， = 4，即正确； 在（ 4， 5 12）上取1 = 3 ，2= 3 8 ，则 x1x2， ( 3) = |1 2 2 3 | = 3 1，(3 8 ) = |1 2 3 4 | = 2 1，f（x1）f（x2） ， 与 f（x）在（ 4， 5 12）上单调递增不符，即错误； 由图可知，方程 f（x）= 2在 2 ， 2一个周期内有两个实根，在，两个周 期内有 4 个实根，即正确 所以正确的有， 故选：D 本题考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换、函数图象变换等知识点，根据函数的 解析式作
24、出函数图象是解题的关键，考查学生的作图分析能力和推理论证能力，属于中 档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在答题卡中的横线上把答案填在答题卡中的横线上. 13若 xy21，则 4x+y2的最小值为 4 由 xy21 得 x0，y20，由均值不等式可求 4x+y2的最小值 xy21，x0，y20 4x+y2242=4，当且仅当 4xy2时 等号成立，则 4x+y2的最小值为 4 故答案是：4 本题考查均值不等式的性质运用，属于基础题 14在 log30.6，log25，30.4这 3 个数中，最大的是 log25 利
25、用对数函数和指数函数的性质求解来源:学|科|网 log30.6log310，log30.60， log25log242，log252， 3030.430.5= 3，130.43， 在 log30.6，log25，30.4这 3 个数中，最大的是 log25， 故答案为：log25 本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函 数的性质的合理运用 15在公比大于零的等比数列an+2n，a12，a310，则 a4 105 ，数列an的前 n 项和 Sn 1(5)(1+5) 2 利用等比数列通项公式求出 q= 5，由此能求出 a4和数列an的前 n 项和 在公比大于零
26、的等比数列an+2n，a12，a310， q= 3 1 =10 2 = 5， a42（5）3105， 数列an的前 n 项和： Sn= 21(5) 15 = 1(5)(1+5) 2 故答案为：105， 1(5)(1+5) 2 本题考查等比数列的第 4 项和前 n 项和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查 运算求解能力，是基础题 16设 F1，F2分别为椭圆 C： 2 2 + 2 21 =1（a1）的左、右焦点，P（1，1）为 C 内一 点，Q 为 C 上任意一点若|PQ|+|QF1|的最小值为 3，则 C 的方程为 2 4 + 2 3 =1 由椭圆的方程可得焦点坐标， |PQ|+|QF1
27、|PQ|+2a|QF2|2a （|QF2|PQ|） 2a|PF2|， 当且仅当 P，Q，F2三点共线时取到最小值为 3，进而求出 a 的值，可得椭圆的方程 由椭圆的方程 2 2 + 2 21 =1，所以可得 c2a2（a21）1，即焦点坐标： （1，0） ， |PQ|+|QF1|PQ|+2a|QF2|2a（|QF2|PQ|）2a|PF2|， 当且仅当 P，Q，F2三点共线时取到最小值为 3，而|PF2|1， 所以 2a13，所以 a2， 所以 b2a2c2413 所以椭圆的方程： 2 4 + 2 3 =1， 故答案为： 2 4 + 2 3 =1 本题考查三点共线时线段最短及椭圆的性质，属于中档
28、题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤骤.17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答题为必考题，每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17设 a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边已知 acosBbcosA+c， （1）证明：ABC 是直角三角形 （2）若 D 是 AC 边上一点，且 CD3，BD5，BC6，求ABD 的面积 （1） 利用正
29、弦定理化角， 然后由三角函数值相等得到角之间的关系， 即可求出 A 是直角； （2） 先在DBC 中利用余弦定理求出 C 角， 然后再在直角三角形 ABC 中求出 AB， AC， 则面积可求 解（1）由正弦定理 acosBbcosA+c 化为： sinAcosBsinBcosA+sinC， sinAcosBsinBcosAsinC，sin（AB）sinC，来源:学。科。网 AB（，） ，C（0，） ， ABC 或 ABC（舍） AB+C， = 2即ABC 是直角三角形 （2） 在 RtBCD 中， CD3， BD5， BC6， 由余弦定理得 = 2+22 2 = 5 9 = 214 9 = =
30、 10 3 ，ADACCD= 1 3，又 = = 414 3 = 1 2 = 214 9 本题考查正余弦定理、三角函数的定义及三角恒等变换等知识方法要注意对这种多个 三角形的解三角形问题，先将条件集中在一个三角形中挖掘隐含条件同时考查了学生 的逻辑推理、数学运算以及直观想象等数学核心素养 18如图，EA平面 ABC，ABBC，AB4，BCBD3，ACAD，CD32 （1）证明：BD平面 ACE （2）若几何体 EABCD 的体积为 10，求三棱椎 EABC 的侧面积 （1）推导出ABCABD，从而 ABBD，推导出 BDBC从而 BD平面 ABC，再 由 EA平面 ABC，得 EABD，由此能
31、证明 BD平面 ACE （2） ABC 的面积 S6， 由几何体 EABCD 的体积为 10， 解得 EA2， 推导出 BCAE， ABBC，得 BCBE，三棱椎 EABC 的侧面积为 SSABE+SBCE+SAEC （1）证明：BCBD，ACAD，ABAB，ABCABD， ABBC，ABBD， AB4，BCBD3，ACAD，CD32 BD2+BC2CD2，BDBC ABBCB，BD平面 ABC， EA平面 ABC，EABD， BD平面 ACE，AE平面 ACE， BD平面 ACE （2）解：ABC 的面积 S= 1 2 3 4 =6，几何体 EABCD 的体积为 10， 几何体 EABCD
32、的体积为： V= 1 3 ( + ) = 1 3 6 ( + 3) = 10， 解得 EA2， EA平面 ABC，BCAE，又 ABBC，AEABA， BC平面 ABE，BCBE， 三棱椎 EABC 的侧面积为： SSABE+SBCE+SAEC = 1 2 + 1 2 + 1 2 = 1 2 4 2 + 1 2 22+ 42 3 + 1 2 42+ 32 2 4+35 +5 9+35 本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的侧面积的求法，考查空间中线线、线面、面面 间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 19已知函数 f（x）x 3 4lnx （1）求 f（x）的单调区间； （2）判断
33、 f（x）在（0，10上的零点的个数，并说明理由 （提示：ln102.303） （1）函数 f（x）的定义域为（0，+） ，f（x）= (3)(1) 2 ，能求出函数 f（x）的 单调区间 （2）由函数的单调性，极值，可判断函数的零点； （1）函数 f（x）的定义域x|x0， f（x）1+ 3 2 4 = 24+3 2 = (3)(1) 2 在区间（1，3）上，f（x）0，f（x）单调递减， 在区间（0，1） ， （3，+）上，f（x）0，f（x）单调递增， 所以 f（x）单调递增区间（0，1） ， （3，+） f（x）单调递减区间（1，3） （2）由（1）知，f（1）134020， f（3）
34、314ln324ln30， f（10）10 3 10 4ln10= 97 10 4ln109.742.3030， 所以函数 f（x）在（0，10上的零点有一个 本题主要考查利用导数求函数的单调性，极值，属于基础题 20 某公司准备上市一款新型轿车零配件， 上市之前拟在其一个下属 4S 店进行连续 30 天的 试销，定价为 1000 元/件试销结束后统计得到该 4S 店这 30 天内的日销售量（单位： 件）的数据如表： 日销售量 40 60 80 100 频数 9 12 6 3 （1）若该 4S 店试销期间每个零件的进价为 650 元/件，求试销连续 30 天中该零件日销 售总利润不低于 245
35、00 元的频率 （2）试销结束后，这款零件正式上市，每个定价仍为 1000 元，但生产公司对该款零件 不零售，只提供零件的整箱批发，大箱每箱有 60 件，批发价为 550 元/件；小箱每箱有 45 件，批发价为 600 元/件，该 4S 店决定每天批发两箱，根据公司规定，当天没销售出 的零件按批发价的 9 折转给该公司的另一下属 4S 店， 假设该 4S 店试销后的连续 30 天的 日销售量（单位：件）的数据如表： 日销售量 50 70 90 110 频数 5 15 8 2 （i）设该 4S 店试销结束后连续 30 天每天批发两大箱，求这 30 天这款零件的总利润； （ii）以总利润作为决策依
36、据，该 4S 店试销结束后连续 30 天每天应该批发两大箱还是两 小箱？ （1） 要使得日销售总利润不低于 24500 元， 则日销售零件的件数不能少于24500 350 = 70， 根据题意，求出大于等于 70 件的频率即可； （2）（i） 若4S店试销结束后连续30天每天批发两大箱， 则批发成本为60255066000 元，分别求出日销售量为 50 件，70 件，90 件，110 件的利润，再求出总利润； （ii） 若该 4S 店试销结束后连续 30 天每天批发两小箱， 则批发成本为 45260054000 元，分别求出日销售量为 50 件，70 件，90 件，110 件的利润，再求出总利
37、润，根据（i） 的计算结果，比较判断出最好的方案即可 （1）因为试销期间每个零件的利润为 1000650350 元， 所以要使得日销售总利润不低于 24500 元，则日销售零件的件数不能少于24500 350 = 70， 根据题中数据大于等于 70 件的频数为 6+39， 故所求频率为6+3 30 = 0.3； （2）（i） 该4S店试销结束后连续30天每天批发两大箱， 则批发成本为60255066000 元， 当日销售量为 50 件时， 当日利润为 501000+0.9（12050）5506600018650 元； 当日销售量为 70 件时， 当日利润为 701000+0.9（12070）5
38、506600028750 元； 当日销售量为 90 件时， 当日利润为 901000+0.9（12090）5506600038850 元； 当日销售量为 110 件时， 当日利润为 1101000+0.9（120110）5506600048950 元 所以这 30 天这款零件的总利润为 186505+2875015+388508+48950293.32万元； （ii） 若该 4S 店试销结束后连续 30 天每天批发两小箱， 则批发成本为 45260054000 元， 当日销售量为 50 件时， 当日利润为 501000+0.9（9050）6005400017600 元； 当日销售量为 70 件
39、时， 当日利润为 701000+0.9（9070）6005400026800 元； 当日销售量为 90 件或 110 件时， 当日利润为 9010005400036000 元， 所以这 30 天这款零件的总利润为 176005+2680015+360001085 万元， 因为 93.32 万元85 万元，所以每天应该批发两大箱 本题考查了频数，频率的计算，考查了运算能力和实际运用能力，中档题 21设抛物线 y22px（p0）的焦点为 F，直线 l 与抛物线交于 M，N 两点 （1）若 l 过点 F，且|MN|3p，求 l 的斜率； （2）若( 2 ，)，且 l 的斜率为1，当 Pl 时，求 l
40、 在 y 轴上的截距的取值范围（用 p 表示） ，并证明MPN 的平分线始终与 y 轴平行 （1） 当直线 l 的斜率不存在时， 判断是否满足题意； 设其方程为 = ( 2)( 0) 联 立直线与抛物线方程，设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，通过韦达定理以及抛物线的性质， 求解即可 （2）设直线 l 的方程为 yx+m，M（x1，y1） ，N（x2，y2） 直线代入抛物线方程，利 用韦达定理以及判别式，转化求解 kPM+kPN0，说明直线 PM，PN 的斜率互补，从而 MPN 的平分线始终与 y 轴平行 （1）当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 = 2，代入抛物线方程可得
41、 y 2p2，即 yp， 所以|MN|2p， 但|MN|3p，故直线 l 的斜率存在，设其方程为 = ( 2)( 0) 由 = ( 2)， 2= 2， 得22 (2 + 2) + 22 4 = 0， 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，则1+ 2= 2+2 2 ， 所以| = | + | = 1+ 2 + 2+ 2 = 1+ 2+ = 2+2 2 + = 3，来源:Z+xx+k.Com 解得 = 2，所以直线 l 的斜率为2 （2）设直线 l 的方程为 yx+m，M（x1，y1） ，N（x2，y2） 得 x2（2m+2p）x+m20， 则1+ 2= 2 + 2，12= 2 由（2m+2
42、p）24m20，得 2又 2 + ，所以 3 2 ， 从而 l 在 y 轴上的截距的取值范围为( 2 ， 3 2 ) (3 2 ，+ )+ = 1 1 2 + 2 2 2 = (1)(2 2)+(2)(1 2) (1 2)(2 2) = (1+)(2 2)+(2+)(1 2) (1 2)(2 2) = 212+( 2)(1+2)() (1 2)(2 2) = 22+( 2)(2+2)() (1 2)(2 2) = 0， 所以直线 PM，PN 的斜率互补， 从而MPN 的平分线始终与 y 轴平行 本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，抛物线的方程的求法以及简单性质的应 用，考查分析问题解决问题的能
