湖南省五岳2020年5月高三联考文科数学试题(含答案解析)

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资源描述

1、湖南省五岳湖南省五岳 2020 年年 5 月高三联考文科数学试题月高三联考文科数学试题 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分分.在每小题给出的四个选项中,只有在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 (1+)(2+) =( ) A3 10 B3+ 10 C3+ 10 D3 10 2已知集合 Ax|ylnx,BxN|x3,则( ) ABA BABx|x0 CAB DAB1,2,3 3 “民以食为天,食以安为先 ”食品安全是关系人们身体健康的大事某店有四类食品, 其中果蔬类、粮食类、动物性食品类、

2、植物油类分别有 48 种、24 种、30 种、18 种,现 从中抽取一个容量为 40 的样本进行食品安全检测若采用分层抽样的方法抽取样本,则 抽取的动物性食品类种数是( ) A10 B9 C8 D7 4若向量 =(1,2) , =(1,4) ,则 =( ) A (1,1) B (0,6) C (2,2) D (0,3) 5已知圆 C1:x2+y21,C2: (x2)2+y21,C3:x2+(y1)21,C4:x2+y24,若 从这 4 个圆中任意选取 2 个,则这 2 个圆的半径相等的概率为( ) A1 6 B1 3 C1 2 D2 3 6 九章算术大约成书于公元一世纪,是我国古代第一部数学著

3、作,共收藏了 246 个与生 产实践有关的应用问题,其中有一题:今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一 尺,重二斤问次一尺各重几何?其意:现有一根,五尺长,一头粗,一头细,在粗的 一端截下一尺,重量为四斤,在细的一端截下一尺,重量为二斤问依次每一尺各有多 重?假设金杖由粗到细所截得的每尺的重量依次成等差数列an, a14 斤, 则 a2 ( ) A2.5 斤 B2.75 斤 C3 斤 D3.5 斤 7已知双曲线 C: 2 2 2 2 =1(a0,b0)的左焦点为 F,点 A 的坐标为(0,2b) ,若 直线 AF 的倾斜角为 45,则 C 的离心率为( ) A32 2 B3 C23 3 D

4、2 8函数 f(x)(1 2) 26+5的值域为( ) A (0,16 B16,+) C (0, 1 16 D 1 16,+) 9在底面为正三角形的三棱柱 ABCA1B1C1中,AB2,AA13,该三棱柱的体积的最大 值为( ) A3 B23 C6 D33 10已知函数 f(x)(x1) (x2) (x3) (x4) (x5) ,则曲线 yf(x)在点(2, 0)处的切线方程为( ) Ay3x+6 By6x+12 Cy3x6 Dy6x12 11 某几何体的三视图如图所示, 俯视图为正三角形, 则该几何体外接球的表面积为 ( ) A25 4 B64 3 C25 D32 12 (5 分)已知函数

5、f(x)|14sinxcosx|,现有下述四个结论: f(x)的最小正周期为 ;曲线 yf(x)关于直线 x= 4对称; f(x)在( 4, 5 12)上单调递增;方程 f(x)= 2在,上有 4 个不同的实根 其中所有正确结论的编号是( ) A B C D 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分.把答案填在答题卡中的横线上把答案填在答题卡中的横线上. 13若 xy21,则 4x+y2的最小值为 14在 log30.6,log25,30.4这 3 个数中,最大的是 15在公比大于零的等比数列an+2n,a12,a310,则 a4 ,

6、数列an的前 n 项和 Sn 16设 F1,F2分别为椭圆 C: 2 2 + 2 21 =1(a1)的左、右焦点,P(1,1)为 C 内一 点,Q 为 C 上任意一点若|PQ|+|QF1|的最小值为 3,则 C 的方程为 三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 5 小题,共小题,共 70 分分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤骤.17-21 题为必考题,每个试题考生都必须作答题为必考题,每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共(一)必考题:共 60 分分. 1

7、7设 a,b,c 分别为ABC 内角 A,B,C 的对边已知 acosBbcosA+c, (1)证明:ABC 是直角三角形 (2)若 D 是 AC 边上一点,且 CD3,BD5,BC6,求ABD 的面积 18如图,EA平面 ABC,ABBC,AB4,BCBD3,ACAD,CD32 (1)证明:BD平面 ACE (2)若几何体 EABCD 的体积为 10,求三棱椎 EABC 的侧面积 19已知函数 f(x)x 3 4lnx (1)求 f(x)的单调区间; (2)判断 f(x)在(0,10上的零点的个数,并说明理由 (提示:ln102.303) 20 某公司准备上市一款新型轿车零配件, 上市之前拟

8、在其一个下属 4S 店进行连续 30 天的 试销,定价为 1000 元/件试销结束后统计得到该 4S 店这 30 天内的日销售量(单位: 件)的数据如表: 日销售量 40 60 80 100 频数 9 12 6 3 (1)若该 4S 店试销期间每个零件的进价为 650 元/件,求试销连续 30 天中该零件日销 售总利润不低于 24500 元的频率 (2)试销结束后,这款零件正式上市,每个定价仍为 1000 元,但生产公司对该款零件 不零售,只提供零件的整箱批发,大箱每箱有 60 件,批发价为 550 元/件;小箱每箱有 45 件,批发价为 600 元/件,该 4S 店决定每天批发两箱,根据公司

9、规定,当天没销售出 的零件按批发价的 9 折转给该公司的另一下属 4S 店, 假设该 4S 店试销后的连续 30 天的 日销售量(单位:件)的数据如表: 日销售量 50 70 90 110 频数 5 15 8 2 (i)设该 4S 店试销结束后连续 30 天每天批发两大箱,求这 30 天这款零件的总利润; (ii)以总利润作为决策依据,该 4S 店试销结束后连续 30 天每天应该批发两大箱还是两 小箱? 21设抛物线 y22px(p0)的焦点为 F,直线 l 与抛物线交于 M,N 两点 (1)若 l 过点 F,且|MN|3p,求 l 的斜率; (2)若( 2,),且 l 的斜率为1,当 Pl

10、时,求 l 在 y 轴上的截距的取值范围(用 p 表示) ,并证明MPN的平分线始终与 y 轴平行 (二)选考题:共(二)选考题:共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答两题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第如果多做,则按所做的第 一题计分一题计分.选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 = 4 + = 4 + (r0, 为参数) ,以坐标 原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 M 的极坐标方程为 2+86 (1)若 r42,求 C 的极坐标方程; (2)若 C 与 M 恰有 4

11、个公共点,求 r 的取值范围 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲 23已知函数 f(x)|x4|2 (1)求不等式 f(x)的解集; (2)证明:|x2|f(x)2 8 + 17 2sinx 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分分.在每小题给出的四个选项中,只有在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 (5 分) (1+)(2+) =( ) A3 10 B3+ 10 C3+ 10 D3 10 运用复数的乘法法则和除法法则直接计算 (1+)(2+) = 1+3 = (13) (1+3)(1

12、3) = 3+ 10 故选:B 本题考查了复数代数形式的乘除运算,是基础题 2已知集合 Ax|ylnx,BxN|x3,则( ) ABA BABx|x0 CAB DAB1,2,3 求出集合 A,B,由此能求出 AB 集合 Ax|ylnxx|x0, BxN|x30,1,2,3, AB1,2,3 故选:D 本题考查交集的求法,考查交集定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础题 3 “民以食为天,食以安为先 ”食品安全是关系人们身体健康的大事某店有四类食品, 其中果蔬类、粮食类、动物性食品类、植物油类分别有 48 种、24 种、30 种、18 种,现 从中抽取一个容量为 40 的样本进行食品安全检测若

13、采用分层抽样的方法抽取样本,则 抽取的动物性食品类种数是( ) A10 B9 C8 D7 根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论 根据分层抽样的定义知抽取的动物性食品类种数为 30 48+24+30+18 40= 30 120 4010种, 故选:A 本题主要考查分层抽样的应用,根据条件建立比例关系是解决本题的关键比较基础 4若向量 =(1,2) , =(1,4) ,则 =( ) A (1,1) B (0,6) C (2,2) D (0,3) 把 = 代入 可得,2 = ( ) + ,从而求出 = , = ( ) = + = 2 , 2 = ( ) + =(1,4)+(1,2)(0,6)

14、, = (0,3), 故选:D 本题主要考查了平面向量的坐标运算,是基础题 5已知圆 C1:x2+y21,C2: (x2)2+y21,C3:x2+(y1)21,C4:x2+y24,若 从这 4 个圆中任意选取 2 个,则这 2 个圆的半径相等的概率为( ) A1 6 B1 3 C1 2 D 2 3来源:学科网 圆C1, C2, C3的半径相等, 都是1, 从这4个圆中任意选取2个, 基本事件总数n= 4 2 =6, 这 2 个圆的半径相等包含的基本事件个数 m= 3 2 =3,由此能求出这 2 个圆的半径相等的概 率 圆 C1:x2+y21,C2: (x2)2+y21,C3:x2+(y1)21

15、,C4:x2+y24, 其中圆 C1,C2,C3的半径相等,都是 1, 从这 4 个圆中任意选取 2 个, 基本事件总数 n= 4 2 =6, 这 2 个圆的半径相等包含的基本事件个数 m= 3 2 =3, 这 2 个圆的半径相等的概率 p= = 3 6 = 1 2 故选:C 本题考查概率的求法,考查古典概型等基础知识,考查运算求解能力,是基础题 6 九章算术大约成书于公元一世纪,是我国古代第一部数学著作,共收藏了 246 个与生 产实践有关的应用问题,其中有一题:今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一 尺,重二斤问次一尺各重几何?其意:现有一根,五尺长,一头粗,一头细,在粗的 一端截下一

16、尺,重量为四斤,在细的一端截下一尺,重量为二斤问依次每一尺各有多 重?假设金杖由粗到细所截得的每尺的重量依次成等差数列an, a14 斤, 则 a2 ( ) A2.5 斤 B2.75 斤 C3 斤 D3.5 斤 利用等差数列的通项公式即可得出 设等差数列an的公差为 d,a14,a52, 4+4d2,解得 d= 1 2 则 a24 1 2 =3.5 斤 故选:D 本题考查了等差数列通项公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题 7已知双曲线 C: 2 2 2 2 =1(a0,b0)的左焦点为 F,点 A 的坐标为(0,2b) ,若 直线 AF 的倾斜角为 45,则 C 的离心率为( ) A32

17、 2 B3 C23 3 D2 求出 F 的坐标,然后将直线 AF 的斜率表示出来等于 1,得到关于 a,c 的方程,即可求 出 e 的值 易知双曲线 C: 2 2 2 2 =1(a0,b0)的左焦点 F 的坐标为(c,0) 因为 A(0,2b) 所以 AF 的斜率为45= 2 = 1 即4 2 2 = 4242 2 = 1, = = 23 3 故选:C 本题考查双曲线的几何性质,要求离心率,只需找到关于 a,c 的等量关系,构造方程即 可属于中档题 8函数 f(x)(1 2) 26+5的值域为( ) A (0,16 B16,+) C (0, 1 16 D 1 16,+) 来源:Z,xx,k.C

18、om 利用换元法, 结合二次函数的性质求出 t 的范围, 结合指数函数的单调性进行求解即可 x26x+5(x3)244, 设 tx26x+5,则 t4, 则 y(1 2) t,为减函数,则 0y(1 2) 416, 故函数的值域为(0,16, 故选:A 本题主要考查函数值域的求解,利用换元法,结合复合函数单调性的性质是解决本题的 关键难度不大 9在底面为正三角形的三棱柱 ABCA1B1C1中,AB2,AA13,该三棱柱的体积的最大 值为( ) A3 B23 C6 D33 由题意可知当侧棱与底面垂直时, 三棱柱体积最大, 求出三棱柱底面等边三角形的面积, 再由棱柱体积公式求解 底面三角形 ABC

19、 为正三角形,且 AB2,则= 1 2 2 3 = 3 又 AA13,当 AA1底面 ABC 时,三棱柱的体积取得最大值为3 3 = 33 故选:D 本题考查棱柱体积的求法,是基础的计算题 10已知函数 f(x)(x1) (x2) (x3) (x4) (x5) ,则曲线 yf(x)在点(2, 0)处的切线方程为( ) Ay3x+6 By6x+12 Cy3x6 Dy6x12 先求得 f(x)(x1) (x2) (x3) (x4) (x5)的导函数,再利用导数的几何意 义求得切线的斜率,进而求得切线方程 f(x)(x1) (x2) (x3) (x4) (x5) ,令(x2) (x3) (x4) (

20、x5) g(x) 则 f(x)g(x)+(x1)g(x),令 h(x)(x3) (x4) (x5) ,则 h (x)(x4) (x5)+(x3) (2x9) f(x)g(x)+(x1)h(x)+(x2)h(x) 曲线 yf(x)在点(2,0)处的切线的斜率 kf(2)g(2)+h(2)h(2) 6, 曲线 yf(x)在点(2,0)处的切线方程为 y06(x2) ,即 y6x+12 故选:B 本题主要考查导数在求切线方程中的应用,属于基础题 11 某几何体的三视图如图所示, 俯视图为正三角形, 则该几何体外接球的表面积为 ( ) A25 4 B64 3 C25 D32 由三视图还原原几何体,可知

21、该几何体是三棱锥,底面三角形 ABC 是边长为 2 的等边三 角形,PA底面 ABC,找出三棱锥外接球的球心,求出外接球的半径,代入球的表面积 公式得答案 由三视图还原原几何体如图, 该几何体是三棱锥,底面三角形 ABC 是边长为 2 的等边三角形, PA底面 ABC, 设底面三角形 ABC 的外心为 G, 过 G 作底面的垂线 GO, 且使 GO= 1 2AP 则 O 为三棱锥 PABC 外接球的球心,连接 OB, GB= 23 3 ,OG2,三棱锥外接球的半径 ROB=4 + (2 3 3 )2= 43 3 该几何体外接球的表面积为 4 (4 3 3 )2= 64 3 故选:B 本题考查由

22、三视图还原原几何体,考查多面体外接球表面积的求法,是中档题 12已知函数 f(x)|14sinxcosx|,现有下述四个结论: f(x)的最小正周期为 ;曲线 yf(x)关于直线 x= 4对称; f(x)在( 4, 5 12)上单调递增;方程 f(x)= 2在,上有 4 个不同的实根 其中所有正确结论的编号是( ) A B C D 先利用正弦的二倍角公式将函数化简为 f(x)|12sin2x|,然后根据图象的伸缩变换、 平移变换和翻折变换作出其在一个周期的函数图象,根据图象逐一判断每个选项的正误 即可 f(x)|14sinxcosx|12sin2x|,最小正周期 = 2 2 = ,即正确; 作

23、出函数在一个周期内的大致图象如下所示, 令2 = 2 + , ,则 = 4 + 2 , ,当 k1 时, = 4,即正确; 在( 4, 5 12)上取1 = 3 ,2= 3 8 ,则 x1x2, ( 3) = |1 2 2 3 | = 3 1,(3 8 ) = |1 2 3 4 | = 2 1,f(x1)f(x2) , 与 f(x)在( 4, 5 12)上单调递增不符,即错误; 由图可知,方程 f(x)= 2在 2 , 2一个周期内有两个实根,在,两个周 期内有 4 个实根,即正确 所以正确的有, 故选:D 本题考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换、函数图象变换等知识点,根据函数的 解析式作

24、出函数图象是解题的关键,考查学生的作图分析能力和推理论证能力,属于中 档题 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分.把答案填在答题卡中的横线上把答案填在答题卡中的横线上. 13若 xy21,则 4x+y2的最小值为 4 由 xy21 得 x0,y20,由均值不等式可求 4x+y2的最小值 xy21,x0,y20 4x+y2242=4,当且仅当 4xy2时 等号成立,则 4x+y2的最小值为 4 故答案是:4 本题考查均值不等式的性质运用,属于基础题 14在 log30.6,log25,30.4这 3 个数中,最大的是 log25 利

25、用对数函数和指数函数的性质求解来源:学|科|网 log30.6log310,log30.60, log25log242,log252, 3030.430.5= 3,130.43, 在 log30.6,log25,30.4这 3 个数中,最大的是 log25, 故答案为:log25 本题考查三个数的大小的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意对数函数和指数函 数的性质的合理运用 15在公比大于零的等比数列an+2n,a12,a310,则 a4 105 ,数列an的前 n 项和 Sn 1(5)(1+5) 2 利用等比数列通项公式求出 q= 5,由此能求出 a4和数列an的前 n 项和 在公比大于零

26、的等比数列an+2n,a12,a310, q= 3 1 =10 2 = 5, a42(5)3105, 数列an的前 n 项和: Sn= 21(5) 15 = 1(5)(1+5) 2 故答案为:105, 1(5)(1+5) 2 本题考查等比数列的第 4 项和前 n 项和的求法,考查等比数列的性质等基础知识,考查 运算求解能力,是基础题 16设 F1,F2分别为椭圆 C: 2 2 + 2 21 =1(a1)的左、右焦点,P(1,1)为 C 内一 点,Q 为 C 上任意一点若|PQ|+|QF1|的最小值为 3,则 C 的方程为 2 4 + 2 3 =1 由椭圆的方程可得焦点坐标, |PQ|+|QF1

27、|PQ|+2a|QF2|2a (|QF2|PQ|) 2a|PF2|, 当且仅当 P,Q,F2三点共线时取到最小值为 3,进而求出 a 的值,可得椭圆的方程 由椭圆的方程 2 2 + 2 21 =1,所以可得 c2a2(a21)1,即焦点坐标: (1,0) , |PQ|+|QF1|PQ|+2a|QF2|2a(|QF2|PQ|)2a|PF2|, 当且仅当 P,Q,F2三点共线时取到最小值为 3,而|PF2|1, 所以 2a13,所以 a2, 所以 b2a2c2413 所以椭圆的方程: 2 4 + 2 3 =1, 故答案为: 2 4 + 2 3 =1 本题考查三点共线时线段最短及椭圆的性质,属于中档

28、题 三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 5 小题,共小题,共 70 分分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤骤.17-21 题为必考题,每个试题考生都必须作答题为必考题,每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共(一)必考题:共 60 分分. 17设 a,b,c 分别为ABC 内角 A,B,C 的对边已知 acosBbcosA+c, (1)证明:ABC 是直角三角形 (2)若 D 是 AC 边上一点,且 CD3,BD5,BC6,求ABD 的面积 (1) 利用正

29、弦定理化角, 然后由三角函数值相等得到角之间的关系, 即可求出 A 是直角; (2) 先在DBC 中利用余弦定理求出 C 角, 然后再在直角三角形 ABC 中求出 AB, AC, 则面积可求 解(1)由正弦定理 acosBbcosA+c 化为: sinAcosBsinBcosA+sinC, sinAcosBsinBcosAsinC,sin(AB)sinC,来源:学。科。网 AB(,) ,C(0,) , ABC 或 ABC(舍) AB+C, = 2即ABC 是直角三角形 (2) 在 RtBCD 中, CD3, BD5, BC6, 由余弦定理得 = 2+22 2 = 5 9 = 214 9 = =

30、 10 3 ,ADACCD= 1 3,又 = = 414 3 = 1 2 = 214 9 本题考查正余弦定理、三角函数的定义及三角恒等变换等知识方法要注意对这种多个 三角形的解三角形问题,先将条件集中在一个三角形中挖掘隐含条件同时考查了学生 的逻辑推理、数学运算以及直观想象等数学核心素养 18如图,EA平面 ABC,ABBC,AB4,BCBD3,ACAD,CD32 (1)证明:BD平面 ACE (2)若几何体 EABCD 的体积为 10,求三棱椎 EABC 的侧面积 (1)推导出ABCABD,从而 ABBD,推导出 BDBC从而 BD平面 ABC,再 由 EA平面 ABC,得 EABD,由此能

31、证明 BD平面 ACE (2) ABC 的面积 S6, 由几何体 EABCD 的体积为 10, 解得 EA2, 推导出 BCAE, ABBC,得 BCBE,三棱椎 EABC 的侧面积为 SSABE+SBCE+SAEC (1)证明:BCBD,ACAD,ABAB,ABCABD, ABBC,ABBD, AB4,BCBD3,ACAD,CD32 BD2+BC2CD2,BDBC ABBCB,BD平面 ABC, EA平面 ABC,EABD, BD平面 ACE,AE平面 ACE, BD平面 ACE (2)解:ABC 的面积 S= 1 2 3 4 =6,几何体 EABCD 的体积为 10, 几何体 EABCD

32、的体积为: V= 1 3 ( + ) = 1 3 6 ( + 3) = 10, 解得 EA2, EA平面 ABC,BCAE,又 ABBC,AEABA, BC平面 ABE,BCBE, 三棱椎 EABC 的侧面积为: SSABE+SBCE+SAEC = 1 2 + 1 2 + 1 2 = 1 2 4 2 + 1 2 22+ 42 3 + 1 2 42+ 32 2 4+35 +5 9+35 本题考查线面平行的证明,考查三棱锥的侧面积的求法,考查空间中线线、线面、面面 间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题 19已知函数 f(x)x 3 4lnx (1)求 f(x)的单调区间; (2)判断

33、 f(x)在(0,10上的零点的个数,并说明理由 (提示:ln102.303) (1)函数 f(x)的定义域为(0,+) ,f(x)= (3)(1) 2 ,能求出函数 f(x)的 单调区间 (2)由函数的单调性,极值,可判断函数的零点; (1)函数 f(x)的定义域x|x0, f(x)1+ 3 2 4 = 24+3 2 = (3)(1) 2 在区间(1,3)上,f(x)0,f(x)单调递减, 在区间(0,1) , (3,+)上,f(x)0,f(x)单调递增, 所以 f(x)单调递增区间(0,1) , (3,+) f(x)单调递减区间(1,3) (2)由(1)知,f(1)134020, f(3)

34、314ln324ln30, f(10)10 3 10 4ln10= 97 10 4ln109.742.3030, 所以函数 f(x)在(0,10上的零点有一个 本题主要考查利用导数求函数的单调性,极值,属于基础题 20 某公司准备上市一款新型轿车零配件, 上市之前拟在其一个下属 4S 店进行连续 30 天的 试销,定价为 1000 元/件试销结束后统计得到该 4S 店这 30 天内的日销售量(单位: 件)的数据如表: 日销售量 40 60 80 100 频数 9 12 6 3 (1)若该 4S 店试销期间每个零件的进价为 650 元/件,求试销连续 30 天中该零件日销 售总利润不低于 245

35、00 元的频率 (2)试销结束后,这款零件正式上市,每个定价仍为 1000 元,但生产公司对该款零件 不零售,只提供零件的整箱批发,大箱每箱有 60 件,批发价为 550 元/件;小箱每箱有 45 件,批发价为 600 元/件,该 4S 店决定每天批发两箱,根据公司规定,当天没销售出 的零件按批发价的 9 折转给该公司的另一下属 4S 店, 假设该 4S 店试销后的连续 30 天的 日销售量(单位:件)的数据如表: 日销售量 50 70 90 110 频数 5 15 8 2 (i)设该 4S 店试销结束后连续 30 天每天批发两大箱,求这 30 天这款零件的总利润; (ii)以总利润作为决策依

36、据,该 4S 店试销结束后连续 30 天每天应该批发两大箱还是两 小箱? (1) 要使得日销售总利润不低于 24500 元, 则日销售零件的件数不能少于24500 350 = 70, 根据题意,求出大于等于 70 件的频率即可; (2)(i) 若4S店试销结束后连续30天每天批发两大箱, 则批发成本为60255066000 元,分别求出日销售量为 50 件,70 件,90 件,110 件的利润,再求出总利润; (ii) 若该 4S 店试销结束后连续 30 天每天批发两小箱, 则批发成本为 45260054000 元,分别求出日销售量为 50 件,70 件,90 件,110 件的利润,再求出总利

37、润,根据(i) 的计算结果,比较判断出最好的方案即可 (1)因为试销期间每个零件的利润为 1000650350 元, 所以要使得日销售总利润不低于 24500 元,则日销售零件的件数不能少于24500 350 = 70, 根据题中数据大于等于 70 件的频数为 6+39, 故所求频率为6+3 30 = 0.3; (2)(i) 该4S店试销结束后连续30天每天批发两大箱, 则批发成本为60255066000 元, 当日销售量为 50 件时, 当日利润为 501000+0.9(12050)5506600018650 元; 当日销售量为 70 件时, 当日利润为 701000+0.9(12070)5

38、506600028750 元; 当日销售量为 90 件时, 当日利润为 901000+0.9(12090)5506600038850 元; 当日销售量为 110 件时, 当日利润为 1101000+0.9(120110)5506600048950 元 所以这 30 天这款零件的总利润为 186505+2875015+388508+48950293.32万元; (ii) 若该 4S 店试销结束后连续 30 天每天批发两小箱, 则批发成本为 45260054000 元, 当日销售量为 50 件时, 当日利润为 501000+0.9(9050)6005400017600 元; 当日销售量为 70 件

39、时, 当日利润为 701000+0.9(9070)6005400026800 元; 当日销售量为 90 件或 110 件时, 当日利润为 9010005400036000 元, 所以这 30 天这款零件的总利润为 176005+2680015+360001085 万元, 因为 93.32 万元85 万元,所以每天应该批发两大箱 本题考查了频数,频率的计算,考查了运算能力和实际运用能力,中档题 21设抛物线 y22px(p0)的焦点为 F,直线 l 与抛物线交于 M,N 两点 (1)若 l 过点 F,且|MN|3p,求 l 的斜率; (2)若( 2 ,),且 l 的斜率为1,当 Pl 时,求 l

40、 在 y 轴上的截距的取值范围(用 p 表示) ,并证明MPN 的平分线始终与 y 轴平行 (1) 当直线 l 的斜率不存在时, 判断是否满足题意; 设其方程为 = ( 2)( 0) 联 立直线与抛物线方程,设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,通过韦达定理以及抛物线的性质, 求解即可 (2)设直线 l 的方程为 yx+m,M(x1,y1) ,N(x2,y2) 直线代入抛物线方程,利 用韦达定理以及判别式,转化求解 kPM+kPN0,说明直线 PM,PN 的斜率互补,从而 MPN 的平分线始终与 y 轴平行 (1)当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 = 2,代入抛物线方程可得

41、 y 2p2,即 yp, 所以|MN|2p, 但|MN|3p,故直线 l 的斜率存在,设其方程为 = ( 2)( 0) 由 = ( 2), 2= 2, 得22 (2 + 2) + 22 4 = 0, 设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,则1+ 2= 2+2 2 , 所以| = | + | = 1+ 2 + 2+ 2 = 1+ 2+ = 2+2 2 + = 3,来源:Z+xx+k.Com 解得 = 2,所以直线 l 的斜率为2 (2)设直线 l 的方程为 yx+m,M(x1,y1) ,N(x2,y2) 得 x2(2m+2p)x+m20, 则1+ 2= 2 + 2,12= 2 由(2m+2

42、p)24m20,得 2又 2 + ,所以 3 2 , 从而 l 在 y 轴上的截距的取值范围为( 2 , 3 2 ) (3 2 ,+ )+ = 1 1 2 + 2 2 2 = (1)(2 2)+(2)(1 2) (1 2)(2 2) = (1+)(2 2)+(2+)(1 2) (1 2)(2 2) = 212+( 2)(1+2)() (1 2)(2 2) = 22+( 2)(2+2)() (1 2)(2 2) = 0, 所以直线 PM,PN 的斜率互补, 从而MPN 的平分线始终与 y 轴平行 本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用,抛物线的方程的求法以及简单性质的应 用,考查分析问题解决问题的能

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