1、2020 年高考数学一模试卷年高考数学一模试卷 一、解答题（共 8 小题） 1设集合 ， lnx0，则 AB（ ） A ， B ， C ， D ， 2已知复数 z 满足：z（1+2i）4+3i（i 为虚数单位），则复数 在复平面内对应的点在第 （ ）象限 A一 B二 C三 D四 3设命题 p：任意常数数列都是等比数列则p 是（ ） A所有常数数列都不是等比数列 B有的常数数列不是等比数列 C有的等比数列不是常数数列 D不是常数数列的数列不是等比数列 4在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 P 是 C1D1的中点，且 ，则实 数 x+y 的值为（ ） A B C D 5函数 在区间3，0）（
2、0，3上的大致图象为（ ） A B C D 6某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分用茎叶图表示，茎叶图中甲得分的部分数据 丟 失 （ 如 图 ） ， 但 甲 得 分 的 折 线 图 完 好 ， 则 下 列 结 论 正 确 的 是 （ ） A甲得分的极差是 11 B乙得分的中位数是 18.5 C甲运动员得分有一半在区间20，30上 D甲运动员得分的平均值比乙运动员得分的平均值高 7已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，SA平面 ABC，SA2，AB1， AC2，BAC ，则球 O 的体积为（ ） A B C D 8已知函数 ，若关于 x 的方程 f2（x）+（1m）f（x）m0
3、 有且只 有两个不同实数根，则 m 的取值范围是（ ） A ， B（，0）（ ，2） C（，1）（1，0） ， D（，0）（ ，1）（1，2） 二、多选题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有 多个选项符合要求，全部选对得满分，部分选对得 3 分，错选得 0 分） 9某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了 100 名学生，他们的 身高都处在 A，B，C，D，E 五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则下面叙述正确 的是（ ） A样本中女生人数多于男生人数 B样本中 B 层人数最多 C样本中 E 层次男生人数为 6 人 D样本中 D
4、层次男生人数多于女生人数 101970 年 4 月 24 日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国 开始了人造卫星的新篇章人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在 以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积 守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等设椭 圆的长轴长、焦距分别为 2a，2c，下列结论正确的是（ ） A卫星向径的取值范围是ac，a+c B卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间 C卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁 D卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最
5、小 11已知函数 f（x）sinx+|cosx|，下列命题正确的为（ ） A该函数为偶函数 B该函数最小正周期为 2 C该函数图象关于 x 对称 D该函数值域为1， 12 如图， 已知点 E 是平行四边形 ABCD 的边 AB 的中点， Fn（nN*） 为边 BC 上的一列点， 连接 AFn交 BD 于 Gn，点 Gn（nN*）满足 ，其中数 列an是首项为 1 的正项数列，Sn是数列an的前 n 项和，则下列结论正确的是（ ） Aa313 B数列an+3是等比数列 Can4n3 D 三、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13某校 3 个兴趣小组的学生人数分布如表（每名学
6、生只参加一个小组）（单位：人） 篮球组 书画组 乐器组 高一 45 30 高二 15 20 10 已知用分层抽样的方法从参加这三个兴趣小组的学生中共抽取 30 人， 其中篮球组被抽出 12 人，则处的值为 14如图，在棱长为 1 的正方体 AC1中，点 E、F 是棱 BC、CC1的中点，P 是底面 ABCD 上（含边界）一动点，满足 A1PEF，则线段 A1P 长度的最小值为 15已知双曲线 C： ， ）的左、右焦点分别为 F1、F2 （1）若 F2到渐近线的距离是 3，则 b 为 （2）若 P 为双曲线 C 右支上一点，F1PF260且F1PF2的角平分线与 x 轴的交点 为 Q，满足 ，则
7、双曲线 C 的离心率为 （本题第一空 2 分，第二空 3 分） 16若函数 f（x）sin（x ）（0）在（0， ）存在唯一极值点，且在（ ，）上 单调，则 的取值范围为 四、解答题（共 6 小题，满分 70 分） 17在条件2cosA（bcosC+ccosB）a，csin asinC，（sinBsinC） 2sin2A sinBsinC 中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答 已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 a ，bc2，_求 BC 边上的高（注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 18已知数列an的前 n 项和为 ，数列bn满足 bnlog2an
8、 （1）求数列an、bn的通项公式； （2）求 Tnb12b22+b32b42+（1）n+1bn2 19如图，在四棱锥 PABCD 中，ADBC，ADCPAB90，BCCD ADE、 M 分别为棱 AD、PD 的中点，PACD （1）证明：平面 MCE平面 PAB； （2）若二面角 PCDA 的大小为 45，求直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值 20已知抛物线 E：x22py（p0）的焦点为 F，圆 M 的方程为：x2+y2py0，若直线 x 4 与 x 轴交于点 R，与抛物线交于点 Q，且 （1）求出抛物线 E 和圆 M 的方程； （2）过焦点 F 的直线 l 与抛物线 E 交于 A
9、、B 两点，与圆 M 交于 C、D 两点（A，C 在 y 轴同侧），求证：|AC| |DB|是定值 21医院为筛查某种疾病，需要血检，现有 n（nN*）份血液样本，有以下两种检验方式： 方式一：逐份检验，需要检验 n 次； 方式二：混合检验，把每个人的血样分成两份，取 k（k2）个人的血样各一份混在一起 进行检验， 如果结果是阴性， 那么对这 k 个人只作一次检验就够了； 如果结果是阳性， 那么再对这 k 个人的另一份血样逐份检验，此时这 k 份血液的检验次数总共为 k+1 次 （1）假设有 6 份血液样本，其中只有 2 份样本为阳性，若采用逐份检验的方式，求恰好 经过 3 次检验就能把阳性样
10、本全部检验出来的概率； （2）假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是相互独立 的，且每份样本是阳性结果的概率为 p（0p1）现取其中 k（kN*且 k2）份血液 样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为 X1，采用混合检验方式，样本需 要检验的总次数为 X2 运用概率统计的知识，若 EX1EX2，试求 p 关于 k 的函数关系式 pf（k）； 若 ，且采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份 检验的总次数期望值更少，求 k 的最大值 参考数据：ln112.3978，1n122.4849，ln132.5649 22已知函数 f（x）xexa（x
11、+lnx） （1）若 a0，求函数 f（x）在 x1 处的切线方程； （2）讨论 f（x）极值点的个数； （3）若 x0是 f（x）的一个极小值点，且 f（x0）0，证明： 参考答案 一、解答题（共 8 小题，满分 40 分） 1设集合 ， lnx0，则 AB（ ） A ， B ， C ， D ， 【分析】求出集合 A，B，由此能求出 AB 解：集合 ， lnx0， Ax|0 ，Bx|0x1， ABx|0x （0， ） 故选：A 2已知复数 z 满足：z（1+2i）4+3i（i 为虚数单位），则复数 在复平面内对应的点在第 （ ）象限 A一 B二 C三 D四 【分析】根据复数的运算法则进行化简
12、，结合复数的几何意义求出点的坐标即可 解：由 z（1+2i）4+3i 得 z 2i， 则共轭复数 2+i，对应点的坐标为（2，1）， 位于第一象限， 故选：A 3设命题 p：任意常数数列都是等比数列则p 是（ ） A所有常数数列都不是等比数列 B有的常数数列不是等比数列 C有的等比数列不是常数数列 D不是常数数列的数列不是等比数列 【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可求出 解：全称命题的否定为特称命题； 故命题 p：任意常数数列都是等比数列则p 是：有的常数数列不是等比数列 故选：B 4在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 P 是 C1D1的中点，且 ，则实 数 x+y 的值为（ ）
13、A B C D 【分析】直接利用向量的线性运算和三角形法则的应用求出结果 解：正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 P 是 C1D1的中点， 所 以 ， 所以 ， ， 故 x+y 故选：D 5函数 在区间3，0）（0，3上的大致图象为（ ） A B C D 【分析】判断函数的奇偶性可排除 AD，由 f（1）0 可排除 B，进而得出正确选项 解： ，故函数 f（x）在定义域上为奇函数， 其图象关于原点对称，可排除 AD； 又 ，可排除 B 故选：C 6某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分用茎叶图表示，茎叶图中甲得分的部分数据 丟 失 （ 如 图 ） ， 但 甲 得 分 的 折 线 图 完 好
14、 ， 则 下 列 结 论 正 确 的 是 （ ） A甲得分的极差是 11 B乙得分的中位数是 18.5 C甲运动员得分有一半在区间20，30上 D甲运动员得分的平均值比乙运动员得分的平均值高 【分析】根据茎叶图，折线图整合数据，判断选项 解：甲的极差为 28919，A 错， 乙的中位数为 ，B 错， 由甲得分的折线图可知甲运动员得分有 2 次在区间20，30，C 错， 故选：D 7已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，SA平面 ABC，SA2，AB1， AC2，BAC ，则球 O 的体积为（ ） A B C D 【分析】由 AB1，AC2，BAC ，可得 BC 的值，又可得三角
15、形 ABC 为直角三角 形，可得外接圆的半径为斜边的一半，再由 SA平面 ABC，可得三棱锥的外接球的球心 是过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线与中截面的交点，进而求出外接球的半径， 再求出外接球的体积 解：因为 AB1，AC2，BAC ，可得 BC ， 所以可得 AC2AB2+BC2，所以三角形 ABC 的外接圆的圆心为 AC 的最中点 O，所以外 接圆的半径 r 1 因为 SA平面 ABC， 所以三棱锥的外接球的球心是过底面外接圆的圆心作垂直于底面的 直线与中截面的交点，设为 O，设球的半径为 R， 则 R ， 所以外接球的体积为 V （ ） 3 ， 故选：B 8已知函数 ，若关于 x
16、的方程 f2（x）+（1m）f（x）m0 有且只 有两个不同实数根，则 m 的取值范围是（ ） A ， B（，0）（ ，2） C（，1）（1，0） ， D（，0）（ ，1）（1，2） 【分析】作出函数 f（x）的图象，将条件转化为 f（x）m 有且只有一个根，数形结合 即可 解：作出函数 f（x）的图象如图： 方程 f2（x）+（1m）f（x）m0 等价于f（x）+1f（x）m0， 则 f（x）1，f（x）m， 由图可知 f（x）1 时，x 有唯一解，则要想满足条件，则需 f（x）m 有唯一解， 当 x0 时，f（x） 2 2， 当 x0 时，f（x） ，令 f（x） 0 得 xe，所以 f（
17、x）在（0，e）上单 调递增，在（e，+）上单调递减， 故 x0，f（x）最大值为 f（e） ，则此时需 m2， 综上 m 的取值范围是（，1）（1，0）（ ，2）， 故选：C 二、多选题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有 多个选项符合要求，全部选对得满分，部分选对得 3 分，错选得 0 分） 9某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了 100 名学生，他们的 身高都处在 A，B，C，D，E 五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则下面叙述正确 的是（ ） A样本中女生人数多于男生人数 B样本中 B 层人数最多 C样本中 E 层次
18、男生人数为 6 人 D样本中 D 层次男生人数多于女生人数 【分析】根据频率直方图，扇形图求出选项中的数，进行比较 解：由女生频数直方图可知女生人数为：9+24+15+9+360，则男生人数为 1006 40，则 A 对； 由图可知：女生人数中 B 层的人最多，男生人数中 B 层的人最多，则总人数中 B 层的人 最多，B 对； 可求出 E 层为（10.10.30.250.2）406 人，C 对； 样本中 D 层次男生人数为 4020%8，样本中 D 层次女生人数为 9，D 错， 故选：ABC 101970 年 4 月 24 日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国 开始了
19、人造卫星的新篇章人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在 以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积 守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等设椭 圆的长轴长、焦距分别为 2a，2c，下列结论正确的是（ ） A卫星向径的取值范围是ac，a+c B卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间 C卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁 D卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小 【分析】由题意可得卫星向径是椭圆上的点到焦点的距离，可得向径的最大值最小值， 运行速度的意义又是服从面积守恒规律，即卫星的向
20、径（卫星与地球的连线）在相同的 时间内扫过的面积相等，可得速度的最大值及最小值时的情况，由向径的意义可得最小 值与最大值的比越小时，离心率越大，椭圆越扁，进而可得所给命题的真假 解：由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为 ac，最大值 为 a+c，所以 A 正确； 根据在相同时间内扫过的面积相等，卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧 的运行时间，故 B 正确； 卫星向径的最小值与最大值的比值越小，即 1 越小，则 e 越大，椭 圆越扁，故 C 不正确 因为运行速度是变化的，速度的变化，所以卫星运行速度在近地点时向径越小，在远地 点时向径越大，卫星的向径（卫星与地球
21、的连线）在相同的时间，内扫过的面积相等， 则向径越大，速度越小，所以卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，故 D 正 确； 故选：ABD 11已知函数 f（x）sinx+|cosx|，下列命题正确的为（ ） A该函数为偶函数 B该函数最小正周期为 2 C该函数图象关于 x 对称 D该函数值域为1， 【分析】选项 A，根据偶函数的概念，证明 f（x）f（x）是否成立即可得解； 选 项B ， 去 绝 对 值 ， 将 函 数 写 成 分 段 函 数 的 形 式 ， ， ， ， ， ，kZ，即可得解； 选项 C，根据函数的对称性，证明 是否成立即可得解； 选项 D， 取一个周期， 当 ， 时，
22、可得 ， ； 当 ， 时，可得 ， ，即可判断 解：选项 A，定义域为 R，f（x）sin（x）+|cos（x）|sinx+|cosx|f（x）， 故 A 错误； 选项 B， ， ， ， ， ，kZ， 所以函数的最小正周期是 2，故 B 正确； 选项 C， ， ， ，故 C 正确； 选项 D，在一个周期内，当 ， 时， ， ， ， ， 同理可得，当 ， 时， ， ，故 D 正确 故选：BCD 12 如图， 已知点 E 是平行四边形 ABCD 的边 AB 的中点， Fn（nN*） 为边 BC 上的一列点， 连接 AFn交 BD 于 Gn，点 Gn（nN*）满足 ，其中数 列an是首项为 1 的正
23、项数列，Sn是数列an的前 n 项和，则下列结论正确的是（ ） Aa313 B数列an+3是等比数列 Can4n3 D 【分析】此题在向量基础上把数列综合进来，其本质还是向量线性表示问题首先利用 平面向量找到数列递推公式，再求解 【解答】解E 为 AB 又D、Gn、B 三点共线 又 ，化简可得 an+12an+3 a n+1+32（an+3） 数列an+3是等比数列 又a11 a313 故选：AB 三、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13某校 3 个兴趣小组的学生人数分布如表（每名学生只参加一个小组）（单位：人） 篮球组 书画组 乐器组 高一 45 30 高二 15 2
24、0 10 已知用分层抽样的方法从参加这三个兴趣小组的学生中共抽取 30 人， 其中篮球组被抽出 12 人，则处的值为 30 【分析】根据每个个体被抽到的概率都相等可得： ，从而求得的值 解：根据分层抽样的定义和方法可得， ， 解得30， 故答案为：30 14如图，在棱长为 1 的正方体 AC1中，点 E、F 是棱 BC、CC1的中点，P 是底面 ABCD 上（含边界）一动点，满足 A1PEF，则线段 A1P 长度的最小值为 【分析】先证垂直，找出点 P 所在的直线，再判断最值 解：因为 CD平面 B1C1CB，EF平面 B1C1CB， 所以 CDEF， 又 EFBC1，BC1B1C， 所以 E
25、FB1C， 所以 EF平面 A1B1CD， 当点 P 在线段 CD 上时，总有 A1PEF， 所以 A1P 的最大值为 A1C ，A1P 的最小值为 A1D ， 故答案为： 15已知双曲线 C： ， ）的左、右焦点分别为 F1、F2 （1）若 F2到渐近线的距离是 3，则 b 为 3 （2）若 P 为双曲线 C 右支上一点，F1PF260且F1PF2的角平分线与 x 轴的交点 为 Q，满足 ，则双曲线 C 的离心率为 （本题第一空 2 分，第二空 3 分） 【分析】（1）写出双曲线的一条渐近线方程，由点到直线的距离公式列式求解 b； （2）利用向量关系，结合双曲线 C 的左，右焦点分别为 F1
26、，F2，F1PF160，推出 三角形的面积关系，通过余弦定理转化求解即可 解：（1）设双曲线的一条渐近线方程为 y ，即 bxay0 F2（c，0），由题意， ，即 b3； （2）由 ，得|F1Q|2|QF2|， 故 ， 又 |PF1| |PQ|sin30， |PF2| |PQ|sin30， 故|PF1|2|PF2|， 再根据双曲线定义知|PF1|PF2|2a， 即|PF2|2a，|PF1|4a， 在PF1F2中，由余弦定理知 4c216a2+4a28a212a2， 故 e23，即 e 故答案为：（1）3；（2） 16若函数 f（x）sin（x ）（0）在（0， ）存在唯一极值点，且在（ ，）
27、上 单调，则 的取值范围为 （ ， 【分析】根据函数 f（x）的图象与性质，结合题意列出不等式组求得 的取值范围 解：函数 f（x）sin（x ），x（0， ）时，x （ ， ）， 由 f（x）存在唯一极值点，所以 ，解得 ； 又 f（x）在（ ，）上单调，所以 ，解得 ； 所以 的取值范围是（ ， 故答案为：（ ， 四、解答题（共 6 小题，满分 70 分） 17在条件2cosA（bcosC+ccosB）a，csin asinC，（sinBsinC） 2sin2A sinBsinC 中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答 已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 a
28、 ，bc2，_求 BC 边上的高（注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 【分析】若选，由正弦定理可得及面积公式求出 h，对选的分析同 解：若选2cosA（bcosC+ccosB）a，有正弦定理可得 2cosA（sinBcosC+sinCcosB） sinA，即 2cosAsin（B+C）sinA，而 sin（B+C）sinA，所以 cosA ， 因为 A（0，），所以 A ， 由余弦定理可得 a2b2+c22bccosA，bc2，a ，解得 c1，b3， 设 BC 边上的高为 h，由面积公式可得 bcsinA ， 所以 h 若选，由题设及正弦定理：sinCsin sinAsinC，因
29、为 sinC0， 所以 sin sinA，而 A+B+C，所以 sin cos ， 所以 cos 2sin cos ，cos 0， 所以 sin ，所以 A ；下面求法如； 若选， 由已知得 （sinBsinC） 2sin2AsinBsinC 可得 sin2B+sin2Csin2AsinBsinC， 由正弦定理可得 b2+c2a2bc，由余弦定理可得 cosA ，A（0，）， 所以 A 下面同 18已知数列an的前 n 项和为 ，数列bn满足 bnlog2an （1）求数列an、bn的通项公式； （2）求 Tnb12b22+b32b42+（1）n+1bn2 【分析】本题第（1）题先根据组合的知
30、识可知 Sn2n1，然后根据公式 an ， ， 可计算出数列a n的通项公式，最后将数列an的通项公式代入 bn log2an进行计算可得数列bn的通项公式； 第 （2） 题先根据第 （1） 题的结果可判断出数列bn是以 0 为首项， 1 为公差的等差数列， 然后对 n 分奇数和偶数两种情况分别进行计算，利用平方差公式及等差数列的求和公式 可计算出 Tn的表达式 解：（1）由题意， 2n1， 当 n1 时，a1S12111， 当 n2 时，anSnSn12n12n1+12n1， 当 n1 时，a11 也满足 an2n1， an2n1，nN*， bnlog2anlog22n1n1，nN* （2）
31、由（1）知，bnn10+1 （n1）， 故数列bn是以 0 为首项，1 为公差的等差数列， 当 n 为奇数时，n1 为偶数， Tnb12b22+b32b42+（1）n+1bn2 b12b22+b32b42+bn22bn12+bn2 （b1+b2）（b1b2）+（b3+b4）（b3b4）+（bn2+bn1）（bn2bn 1）+bn2 （b1+b2+b3+b4+bn2+bn1）+bn2 （n1）2 ； 当 n 为偶数时，n1，n+1 均为奇数， Tnb12b22+b32b42+（1）n+1bn2 b12b22+b32b42+bn12bn2 （b1+b2）（b1b2）+（b3+b4）（b3b4）+（
32、bn1+bn）（bn1bn） （b1+b2+b3+b4+bn1+bn） ； 综上所述，可知： Tn ， 为奇数 ， 为偶数 19如图，在四棱锥 PABCD 中，ADBC，ADCPAB90，BCCD ADE、 M 分别为棱 AD、PD 的中点，PACD （1）证明：平面 MCE平面 PAB； （2）若二面角 PCDA 的大小为 45，求直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值 【分析】（1）由点 E 为 AD 的中点，得四边形 ABCE 为平行四边形，即 ECAB，再由 三角形中位线定理可得 EMAP， 利用平面与平面平行的判定可得平面 MCE平面 PAB； （2）由题意 PA平面 ABCD，
33、不妨设 AD2，则 BCCD AD1，以与 AD 垂直的 直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴，AP 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系设 APh， 利用二面角PCDA的大小为45列式求得h2， 再求出平面PCE的一个法向量与 的坐标，则直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值可求 【解答】（1）证明：点 E 为 AD 的中点，BC ，ADBC， 四边形 ABCE 为平行四边形，即 ECAB， E，M 分别为棱 AD、PD 的中点，EMAP， 又 EMECE， 平面 MCE平面 PAB； （2）解：如图所示，PAAB，PACD，AB 与 CD 是相交直线，PA平面 ABCD 不妨设 A
34、D2，则 BCCD AD1， 以与 AD 垂直的直线为 x 轴， AD 所在直线为 y 轴， AP 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标 系 设 APh，A（0，0，0），D（0，2，0），C（1，2，0），P（0，0，h）， 从而 ， ， ， ， ， 设平面 PCD 的一个法向量为 ， ， ， 由 ，令 y1，则 ， ， ； 又平面 ACD 的一个法向量 （0，0，1）， 二面角 PCDA 的大小为 45，得 ，解得 h2 P（0，0，2），E（0，1，0），C（1，2，0）， ， ， ， ， ， ， ， ， 设平面 PCE 的一个法向量为 ， ， ， 由 ，取 y1 2，得 ， ， 设直线
35、PA 与平面 PCE 所成角为 ，则 sin|cos ， | 即直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值为 20已知抛物线 E：x22py（p0）的焦点为 F，圆 M 的方程为：x2+y2py0，若直线 x 4 与 x 轴交于点 R，与抛物线交于点 Q，且 （1）求出抛物线 E 和圆 M 的方程； （2）过焦点 F 的直线 l 与抛物线 E 交于 A、B 两点，与圆 M 交于 C、D 两点（A，C 在 y 轴同侧），求证：|AC| |DB|是定值 【分析】（1）设 Q（4，y0），由 求得 y02p，把点（4，2p）代入抛物线 方程得 p2，则抛物线 E 与圆 M 的方程可求； （2）抛物线
36、 E：x24y 的焦点 F（0，1），设直线 l 的方程为 ykx+1，A（x1，y1），B （x2，y2），联立直线方程与抛物线方程，利用根与系数的关系结合抛物线的定义即可证 明|AC| |DB|是定值 1 解：（1）设 Q（4，y0），由 ， 得 ，即 y02p 将点（4，2p）代入抛物线方程，可得 p2 抛物线 E：x24y，圆 M 的方程为：x2+y22y0； 证明：（2）抛物线 E：x24y 的焦点 F（0，1）， 设直线 l 的方程为 ykx+1，A（x1，y1），B（x2，y2） 联立 ，得 x 24kx40 则16（k2+1）0，且 x1+x24k，x1x24 由圆的方程可得圆
37、 M 的圆心坐标为 M（0，1），半径为 1，圆心就是焦点 由抛物线的定义可知|AF|y1+1，|BF|y2+1 则|AC|AF|1y1，|BD|BF|1y2， |AC| |BD|y1y2（kx1+1）（kx2+1）k2x1x2+k（x1+x2）+14k2+4k2+11 即|AC| |DB|是定值 1 21医院为筛查某种疾病，需要血检，现有 n（n一、选择题*）份血液样本，有以下两种 检验方式： 方式一：逐份检验，需要检验 n 次； 方式二：混合检验，把每个人的血样分成两份，取 k（k2）个人的血样各一份混在一起 进行检验， 如果结果是阴性， 那么对这 k 个人只作一次检验就够了； 如果结果是
38、阳性， 那么再对这 k 个人的另一份血样逐份检验，此时这 k 份血液的检验次数总共为 k+1 次 （1）假设有 6 份血液样本，其中只有 2 份样本为阳性，若采用逐份检验的方式，求恰好 经过 3 次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率； （2）假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是相互独立 的，且每份样本是阳性结果的概率为 p（0p1）现取其中 k（kN*且 k2）份血液 样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为 X1，采用混合检验方式，样本需 要检验的总次数为 X2 运用概率统计的知识，若 EX1EX2，试求 p 关于 k 的函数关系式 pf（k）； 若 ，
39、且采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份 检验的总次数期望值更少，求 k 的最大值 参考数据：ln112.3978，1n122.4849，ln132.5649 【分析】（1）记恰好经过 3 次检验就能把阳性样本全部检验出来为 A 事件，利用古典概 型、排列组合能求出恰好经过 3 次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率 （2）X1的取值为 k，P（X1k）1，EX1k，X2的取值为 1，k+1，P（X21）（1 p）k，P（X2k+1）1（1p）k，从而 E（X2）k+1k（1p）k，由 EX1EX2， 能求出 p ，EX2k+1ke k，从而 lnk ，设 f（x）lnx
40、，则 ，x0，利用导数性质能求出 k 的最大值 解：（1）记恰好经过 3 次检验就能把阳性样本全部检验出来为 A 事件， 则恰好经过 3 次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为 P（A） （2）X1的取值为 k，P（X1k）1，EX1k， X2的取值为 1，k+1， P（X21）（1p）k，P（X2k+1）1（1p）k， E（X2）（1p）k+（k+1）1（1p）kk+1k（1p）k， 由 EX1EX2，得 kk+1k（1p）k， p1（ ） ，（kN *，k2） ，EX2k+1ke k，lnk ， 设 f（x）lnx ，则 ，x0， 当 x（0，5）时，f（x）0，f（x）在（0，5）上单
41、调递增， x（5，+）时，f（x）0，f（x）在（5，+）单调递减， 且 f（12）ln22，.20，f（13）ln132.60， k 的最大值为 12 22已知函数 f（x）xexa（x+lnx） （1）若 a0，求函数 f（x）在 x1 处的切线方程； （2）讨论 f（x）极值点的个数； （3）若 x0是 f（x）的一个极小值点，且 f（x0）0，证明： 【分析】（1）当 a0 时，f（x）xex，求导，求出在 x1 处的切线 的斜率及在 x1 处的函数值，进而求出在 x1 出的切线的方程； （2）对函数 f（x）求导，讨论 a 的不同的范围求出函数极值点的情况 （3）由（2）可得 ax0
42、e ，将 a 值代入 f（x0）x0e （1x0lnx0），构造函数 （x）1xlnx，可得它的单调性，进而求出 x0的范围，再构造函数 H（x）xlnx 1，求导，求出其单调性可得 exx，放缩可得 f（x0）2（x02x03） 解：（1）当 a0 时 f（x）xex，则 f（x）（x+1）ex， 所以 f（1）e，f（1）2e， 所以函数 f（x）在 x1 处的切线方程为 ye2e（x1）， 即 2exye0 （2）f（x）（x+1）exa（1 ）（x+1）（e x ） ，x0， 当 a0 时 f（x）0，f（x）在（0，+）单调递增，不存在极值 当 a0，令 f（x）0，则 xexa，令
43、 g（x）xexa，g（x）（x+1）ex0，g（x） 单调递增，又因为 g（0）a0，g（a）a（ea1）0， 必存在 x00，时 g（x0）0， x（0，x0），g（x）0，f（x）0，f（x）单调递减， x（x0，+），g（x）0，f（x）0，f（x）单调递增， 所以 xx0是 f（x）的极小值点， 综上所述：当 a0，f（x）无极值点， a0 时，f（x）有一个极值点 即 f（x）仅有一个极值点 （3）证明：由（2）f（x）0，即 x0e a， 所以 lnax0+lnx0，所以 f（x0）x0e x0e （x0+lnx0）x0e （1x0lnx0）， x00， 由 f（x0）0，x0e
44、 0，可得 1x0lnx00， 令 （x）1xlnx，（x）1 0，显然 （x）在（0，+）单调递减， 而 （1）0，由 （x）（1），所以 0x01， 令 H（x）xlnx1，H（x）1 ，x1，H（x）0，函数 H（x）单调递增，0 x1，H（x）0，H（x）单调递减， 所以 H（x）H（1）0， 所以 x1lnx， 所以lnx1x， 所以 ln（x+1）x，即 exx+10， 因为 x0（0，1），所以 e x0+10， 1x0lnx01x0+1x00， 两式相乘可得 e （1x0lnx0）（x0+1）（22x0）， 所以 f（x0）x0e （1x0lnx0）2x0（x0+1）（1x0） 2（x0x03）， 即证 f（x0）2（x0x03）
