1、高三数学 第 1 页 共 6 页 苏州市吴江区苏州市吴江区 2020 届高三下学期五月统考试题届高三下学期五月统考试题 数 学 2020.5 参考公式：参考公式： 样本数据 1 x， 2 x， n x的方差 22 1 1 () n i i sxx n ，其中 1 1 n i i xx n 柱体的体积公式: V = Sh, 其中 S 是柱体的底面积, h 为高 锥体的体积公式: V = 1 3 Sh, 其中 S 是锥体的底面积, h 为高 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分不需写出解题过程，请把答案直接填写在 答题卡相应位置上 1. 已知集合 A = 4, 2, 3
2、, 4),集合 B = 4, 5,则 AB = 2. 复数 z=i(1+4i), (其中 i 为虚数单位的实部为 3. 函数 f(x)=lnx+1-x 的定义域为 4. 已知某地连续 5 天的最低气温(单位:摄氏度)依次是 18, 21, 22, 24, 25,那么这组数据的方差 为 5. 我国古代数学名著九章算术有一抽样问题:“今有北乡若干人,西乡七千四百八十八人,南乡六干九 百一十二人,凡三乡,发役三百人,而北乡需遣一百零八人;河北乡人数儿何?” 其意思为: “今有某地北 面若干人, 西面有 7488 人, 南面有 6912 人, 这三面要征调 300 人, 而北面征调 108 人(用分层
3、抽样的 方法), 则北面共有 人” 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页,包含填空题(第 1 题一第 14 题)、解答题(第 15 题一第 20 题).本卷满分 160 分 考试时间为 120 分钟,考试结東后,请将答题卡交回 2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡 的规定位置 3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效,作答必须用 0.5 毫 米黑色墨水的签字笔,请注意字体工整,笔迹清楚 4.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗 5.请保
4、持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔 高三数学 第 2 页 共 6 页 6. 已知椭圆 x2 10-m y2 m-21 的长轴在 y 轴上, 若焦距为 4, 则 m = 7. 如图是一个算法的程序框图, 当输入的值 x 为 8 时, 则其输出的结果是 8. 已知知角 的顶点与坐标原点重合, 始边与 x 轴的正半轴重合, 终边经过点 P (1, 2) ,则 sin2 = 9. 已知函数f(x)loga （ x2a-x） +b, 若 f (3)f (3) =1, 则实数 a 的值是 10.如图,正方体 ABCD - A1B1C1D1的棱长为 1, E 为棱
5、DD1上的点, F 为 AB 的中点, 则三棱锥 B1-BFE 的 体积为 11.已知 x，y 为正数, 且 1 2+x 4 y1, 则 x + y 的最小值为 12.如图所示, 平行四边形 ABCD 中, AB = 2AD = 2, BAD =60, E 是 DC 中点, 那么向量AC 与EB所 成角的余弦值等于 13.设 ABC 的三边 a,b,c,所对的角分别为 A,B,C. 若 b+3a 2 =c 2 ,则 tanA 的最大值 14.任意实数 a,b,定义 a b= ab，ab0， a b， ab0， ，设函数 f (x)=lnxx,正项数列an是公比大于 0 的 等比数列, 且 a1
6、010=1, f(a1)+f(a2)+f(a3) +f (a2019)+f(a2020)= e, 则 a2020= 二、解答题:本大题共 6 小题, 共计 90 分, 请在答题卡指定区域内作答, 解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) ABC 中的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 已知 a= 2 , B= 3 , AB AC = 6. (1) 求边 c 的值; (2) 求 sin (AC)的值. 16. (本小题满分 14 分) 高三数学 第 3 页 共 6 页 在直三棱柱 ABC-A1B1C1中, AB=AC, BB1=BC, 点
7、P,Q,R 分别是棱 BC,CC1,B1C1的中点. (1) 求证: A1R/平面 APQ ; (2) 求证: 直线 B1C平面 APQ . 17. (本小题满分 14 分) 如图, 为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”, 现准备在河岸一侧建造一个观景台 P, 已知射 线AB, AC为两边夹角为120的公路(长度均超过 3干米), 在两条公路AB,AC上分別设立游客上下 点 M, N, 从观景台 P 到 M, N 建造两条观光线路 PM, PN, 测得 AM = 3干米, AN = 3干米. (1) 求线段 MN 的长度; (2) 若MPN = 60 , 求两条观光线路 PM 与 PN 之和
8、的最大值. 18. (本小题满分 16 分) 已知椭圆: x2 a2 y2 b2=1 (ab0)的离心率为 2 2 , 点 N(2,0)为椭圆的右顶点. (1)求椭圆的方程; (2)过点 H(0, 2)的直线 l 与椭圆交于 A, B 两点, 直线 NA 与直线 NB 的斜率和为1 3 ,求直线 l 的方程. 19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f(x)=e x +x2-x,g(x)=x2+ax+b, a,bR. 高三数学 第 4 页 共 6 页 (1) 当 a=1 时,求函数 F(x)=f(x)g(x)的单调区间; (2) 若曲线 y=f(x)g(x)在点 (1, 0) 处的切线为:
9、 x+y-1=0, 求 a , b 的值; (3) 若 f(x)g(x)恒成立, 求 a+b 的最大值. 20. (本小题满分 16 分) 记无穷数列an的前n项a1, a2 , ,an的最大项为An, 第n项之后的各项an+1, an+2 的最小项为 Bn, bn= AnBn. (1) 若数列an的通项公式为 an = 2 n27n+6, 写出 b1, b2, b3; (2) 若数列bn的通项公式为 bn=2n, 判断an+1an是否为等差数列, 若是,求出公差; 若不是,请说 明理由; (3) 若数列bn为公差大于零的等差数列, 求证: an+1an是等差数列. 苏州市吴江区苏州市吴江区
10、2020 届高三下学期五月统考试题届高三下学期五月统考试题 数学附加题 2020.5 高三数学 第 5 页 共 6 页 【选做题】本题包括 A、B、C 三小题,请选定其中两小题作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 选修 42:矩阵与变换 21.在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 xy2=0 在矩阵 A 1 a b 2 对应的变换作用下得到的直线仍 为 xy2=0,求矩阵 A. 选修 44:极坐标与参数方程 22.在极坐标系中,直线l的极坐标方程为 = 3 (R).以极点为原点, 极轴为x轴的正半轴建立平面直 角坐标系, 曲线 C 的参数方程为 x
11、sin， y12cos， （ 为参数). 求直线 l 与曲线 C 交点 P 的直角坐标 选修 45:不等式选讲 23.已知 x,y,z 均为正数，且 1 x1 1 y1 1 z1 3 2 ，求证: x4y9z0. 【必做题】 第 22 题、 第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 24. 如图,在三棱锥 DABC 中, DA平面 ABC, CAB=90 , 且 AC=AD=1, AB=2, E 为 BD 的中点. (1) 求异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值； (2) 求二面角 ACEB 的余弦值. 高三数学 第 6 页 共 6 页 2
12、5. 在自然数列 1,2,3,n 中, 任取 k 个元素位置保持不动, 将其余 nk 个元素变动位置, 得到 不同的新数列. 由此产生的不同新数列的个数记为 Pn(k). (1) 求 P3(1)； (2) 求 k0 4 P4 (k)； (3) 证明 k0 n k Pn(k) = k k0 n-1 Pn1(k), 并求出 k Pn(k)的值. 高三数学 第 7 页 共 6 页 高三数学 第 8 页 共 6 页 高三数学 第 9 页 共 6 页 高三数学 第 10 页 共 6 页 高三数学 第 11 页 共 6 页 高三数学 第 12 页 共 6 页 高三数学 第 13 页 共 6 页 高三数学 第 14 页 共 6 页 高三数学 第 15 页 共 6 页 高三数学 第 16 页 共 6 页 高三数学 第 17 页 共 6 页 高三数学 第 18 页 共 6 页 高三数学 第 19 页 共 6 页
