1、2020 年高考（文科）数学一模试卷年高考（文科）数学一模试卷 一、选择题. 1已知集合 A2，3，5，7，11，Bx|x29，则 AB（ ） A3，5，7，11 B7，11 C11 D5，7，11 2已知 是复数 z 的共轭复数，当 z| | （i 是虚数单位）时，z （ ） A1 B C2 D2 3已知 a6 ，blog22 ，c1.2 2，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Abca Bacb Cabc Dbac 4在中国园林建筑中，花窗是建筑中窗的一种装饰和美化的形式，既具备实用功能，又带 有装饰效果，体现了人们对美好生活的憧憬苏州园林作为中国园林建筑的代表，在很 多亭台楼阁中都采用了
2、花窗的形式， 如图就是其中之一 该花窗外框是边长为 80cm 的正 方形，正中间有一个半径为 20cm 的园，如果窗框的宽度忽咯不计，将一个小球（半径足 够小）随机投花窗上，则小球恰好从圆中穿过的概率为（ ） A B C D 5已知 Sn是等差数列an的前 n 项和若 S1545，则 5a53a3的值为（ ） A6 B15 C34 D17 6 已知函数 ， ， ， 若 f （x） 在R 上为增函数， 则实数 a的取值范围是 （ ） A2，+） B0，2 C（2，+） D（，2 7已知 （2，6）， （3，1），则向量 在 方向上的投影为（ ） A6 B C D 8已知 ， 是两个不同的平面，直
3、线 a，b 满足 a，b，则“a 且 b”是“ ”成立的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 9函数 yf（x+1）为奇函数，且在 R 上为减函数若 f（2）1，则满足1f（x1） 1 的 x 的取值范围是（ ） A1，1 B1，3 C0，2 D2，4 10在三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1平面 ABC若所有的棱长都是 2，则异面直线 AC1与 BC 所成的角的正弦值为（ ） A B C D 11如图，F1，F2是双曲线 l： 1（a0，b0）的左、右焦点，过 F1的直线与 双曲线左、右两支分别交于点 P，Q若 5 ，M 为 PQ 的中点，且 ，则
4、 双曲线的离心率为（ ） A B C D2 12已知 ， 为函数 f（x）2sin（x+）（0，| ）的图象与 x 轴的两个相邻交 点的横坐标，将 f（x）的图象向左平移 个单位得到 g（x）的图象，A，B，C 为两个函 数图象的交点，则ABC 面积的最小值为（ ） A2 B C2 D 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13一组样本数据 10，23，12，5，9，a，21，b，22 的平均数为 16，中位数为 21，则 a b 14已知实数 x，y 满足 ，则实数 zx2y 的最大值为 15已知 Sn为数列an的前 n 项和，且 Sn+2an2（nN+）则 an 16
5、在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，F 是抛物线 C：y2x 的焦点，过 F 的直线与抛 物线交于 A，B 两点若|AB|2，则OAB 的面积为 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分. 17如图，在ABC 中，BD 是 AC 边上的高，E 为 AB 边上一点，CE 与 BD 交于点 O， BOC135，CD1，DE （1）求BDE 的正弦值； （2）若 2 ，求ADE 的面积 18 如图， 在三棱柱 ABCA1B1C1中， 侧面 AA1C1C底
6、面 ABC， E 为 CC1的中点， AF2FB （1）求证：BC1平面 A1EF； （2）若 ACAA12，ABBC ，A1AC60，求四棱锥 C1BFA1B1的体积 19我国全面二孩政策已于 2016 年 1 月 1 日起正式实施国家统计局发布的数据显示，从 2012 年到 2017 年，中国的人口自然增长率变化始终不大，在 5上下波动（如图）为了 了解年龄介于 24 岁至 50 岁之间的适孕夫妻对生育二孩的态度如何，统计部门按年龄分 为 9 组，每组选取 150 对夫妻进行调查统计有生育二孩意愿的夫妻数，得到如表： 年龄区 间 24，26 27，29 30，32 33，35 36，38
7、39，41 42，44 45，47 48，50 有意愿 数 80 81 87 88 84 83 83 70 66 （1）设每个年龄区间的中间值为 x，有意愿数为 y，求样本数据的线性回归直线方程， 并求该模型的相关系数 r（结果保留两位小数） （2）从24，26，33，35，39，41，45，47，48，50这五个年龄段中各选出一对 夫妻（能代表该年龄段超过半数夫妻的意愿）进一步调研，再从这 5 对夫妻中任选 2 对 夫妻求其中恰有一对不愿意生育二孩的夫妻的概率 （参考数据和公式： r ， ， ， （xi ）（yi ） xiyi yi， xiyi26340， 473.96） 20已知 F1，F
8、2是椭圆 C： 1（a0，b0）的左右焦点，椭圆与 y 轴正半轴交 于点 B，直线 BF1的斜率为 ，且 F2到直线 BF1的距离为 （1）求椭圆 C 的方程； （2）P 为椭圆 C 上任意一点，过 F1，F2分别作直线 l1，l2，且 l1与 l2相交于 x 轴上方一 点 M，当F1MF2 时，求 P，M 两点间距离的最大值 21已知函数 f（x）lnaxbx+1，g（x）axlnx，a1 （1）求函数 f（x）的极值； （2）直线 y2x+1 为函数 f（x）图象的一条切线，若对任意的 x1（0，1），x21，2 都有 g（x1）f（x2）成立，求实数 a 的取值范围 （二）选考题：共 1
9、0 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第 一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），以坐标原点 O 为 极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 22 sin（ ） +10 （1）求曲线 C 的直角坐标方程及直线 l 的普通方程； （2）设直线 （R）与曲线 C 交于 A，B 两点（A 点在 B 点左边）与直线 l 交于点 M求|AM|和|BM|的值 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|xa|+|x+3| （1）若 a1，解不等式 f（x）3x； （2）若对任意 a
10、，xR，求证：f（x）2|a+1| 参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1已知集合 A2，3，5，7，11，Bx|x29，则 AB（ ） A3，5，7，11 B7，11 C11 D5，7，11 【分析】求出集合 A，B，由此能求出 AB 解：集合 A2，3，5，7，11， Bx|x29x|x3 或 x3， AB5，7，11 故选：D 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 2已知 是复数 z 的共轭复数，当 z| | （i 是虚数单位）时，z （ ） A1 B C
11、2 D2 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解 解： ， z| | 1+i， 则 z 故选：C 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题 3已知 a6 ，blog22 ，c1.2 2，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Abca Bacb Cabc Dbac 【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解 解： ，c1.2 21.44， 又 ， ， ， abc， 故选：C 【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数 和指数函数的性质的合理运用 4在中国园林建筑中，花窗是建筑中窗的一种装饰和美化的形式，既具备实用功
12、能，又带 有装饰效果，体现了人们对美好生活的憧憬苏州园林作为中国园林建筑的代表，在很 多亭台楼阁中都采用了花窗的形式， 如图就是其中之一 该花窗外框是边长为 80cm 的正 方形，正中间有一个半径为 20cm 的园，如果窗框的宽度忽咯不计，将一个小球（半径足 够小）随机投花窗上，则小球恰好从圆中穿过的概率为（ ） A B C D 【分析】算出正方形的面积以及圆的面积，求出面积比即可 解：由题可得正方形的面积 S16400 cm2； 正中间圆的面积为：S2400cm2； 一个小球（半径足够小）随机投花窗上，则小球恰好从圆中穿过的概率为： ； 故选：C 【点评】本题主要考查几何概型，几何概型的概率
13、估算公式中的“几何度量”，可以为 线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置 无关解决的步骤均为：求出满足条件 A 的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求 出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据 P 求解 5已知 Sn是等差数列an的前 n 项和若 S1545，则 5a53a3的值为（ ） A6 B15 C34 D17 【分析】 由 S1545， 可得 15a845， 解得 a8， 再利用通项公式化简 5a53a3， 即可得出 解：S1545，15a845，解得 a83， 则 5a53a35（a1+4d）3（a1+2d）2a1+14d2a86， 故选
14、：A 【点评】本题考查了数列通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 6 已知函数 ， ， ， 若 f （x） 在R 上为增函数， 则实数 a的取值范围是 （ ） A2，+） B0，2 C（2，+） D（，2 【分析】x1 时，f（x）a+lnx 是增函数；x1 时，f（x）2x是增函数，从而要使 f （x）在 R 上是增函数，只需满足 a2 即可，从而得出 a 的取值范围 解：f（x）在 R 上为增函数， a2， 实数 a 的取值范围是2，+） 故选：A 【点评】本题考查了对数函数、指数函数和分段函数的单调性，增函数的定义，考查了 计算能力，属于基础题 7已知 （2
15、，6）， （3，1），则向量 在 方向上的投影为（ ） A6 B C D 【分析】根据平面向量 在 方向上的投影的定义，计算即可（ 解：由 （2，6）， （3，1）， 所以 （5，5）， 所以（ ） 535110， | | ， 所以向量 在 方向上的投影为 故选：D 【点评】本题考查了平面向量投影的定义与计算问题，是基础题 8已知 ， 是两个不同的平面，直线 a，b 满足 a，b，则“a 且 b”是“ ”成立的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 【分析】由 a，b，利用面面平行的性质定理可得：a 且 b，反之不成 立，即可判断出关系 解：a，b，a
16、且 b，反之不成立， 与 可能相交 a 且 b”是“”成立的必要不充分条件 故选：B 【点评】本题考查了面面平行的性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计 算能力，属于基础题 9函数 yf（x+1）为奇函数，且在 R 上为减函数若 f（2）1，则满足1f（x1） 1 的 x 的取值范围是（ ） A1，1 B1，3 C0，2 D2，4 【分析】由函数奇偶性的性质分析可得函数 yf（x）的图象关于点（1，0）对称，进而 可得 f（0）1，结合函数的单调性分析可得1f（x1）10x12，解可得 x 的取值范围，即可得答案 解：根据题意，函数 yf（x+1）为奇函数，则函数 yf（x）的图象关
17、于点（1，0）对 称， 若 f（2）1，则 f（0）1， 又由 yf（x）在 R 上为减函数，则1f（x1）1f（2）f（x1）f（0）0 x12， 解可得：1x3；即 x 的取值范围为1，3； 故选：B 【点评】 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用， 涉及不等式的解法， 属于基础题 10在三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1平面 ABC若所有的棱长都是 2，则异面直线 AC1与 BC 所成的角的正弦值为（ ） A B C D 【分析】如图所示，连接 AB1，BCB1C1，AC1B1是异面直线 AC1与 BC 所成的角，在 AC1B1中，AC1AB12 ，B 1C12利用等腰三角形的性质及
18、边角关系即可得出 解：如图所示，连接 AB1，BCB1C1， AC1B1是异面直线 AC1与 BC 所成的角， 在AC1B1中，AC1AB12 ，B 1C12 cosAC1B1 ， sinAC1B1 ， 异面直线 AC1与 BC 所成的角的正弦值为 故选：A 【点评】本题考查了异面直线所成的角、等腰三角形的性质及其边角关系、三棱柱的性 质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 11如图，F1，F2是双曲线 l： 1（a0，b0）的左、右焦点，过 F1的直线与 双曲线左、右两支分别交于点 P，Q若 5 ，M 为 PQ 的中点，且 ，则 双曲线的离心率为（ ） A B C D2 【分析】连接 F2
19、P，F2Q，设|F1P|t，则由题意可得|PM|MQ|2t，由题意可得|F2P| t+2a，|F2Q|5t2a，在直角三角形 PMF2中，cosMPF2 ， 所以在三角形 P1F2中，由余弦定理可得 cosF1PF2 ，所以可得 2c 2 7a2，求出离心率 e 解：连接 F2P，F2Q，设|F1P|t，则由题意可得|PM|MQ|2t， 因为 P，Q 为双曲线的点，所以|F2P|t+2a，|F2Q|5t2a， 因为 M 为 PQ 的中点，且 ， 所以|F2P|F2Q|，所以 t+2a5t2a，所以 ta， 所以|F1P|a，|PM|MQ|2a，|F2P|F2Q|3a， 在直角三角形 PMF2中
20、，cosMPF2 ， 所以在三角形 P1F2中，由余弦定理可得 cosF1PF2 ， 所以可得 2c27a2，即 e ， 故选：A 【点评】本题考查双曲线的性质及余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于 中档题 12已知 ， 为函数 f（x）2sin（x+）（0，| ）的图象与 x 轴的两个相邻交 点的横坐标，将 f（x）的图象向左平移 个单位得到 g（x）的图象，A，B，C 为两个函 数图象的交点，则ABC 面积的最小值为（ ） A2 B C2 D 【分析】 由题意利用正弦函数的周期性求得 f （x） 的解析式， 再利用函数 yAsin （x+） 的图象变换规律，求得 g（x）的解析式
21、，利用正弦函数的图象和性质，求得ABC 面积 的最小值 解：已知 ， 为函数 f（x）2sin（x+）（0，| ）的图象与 x 轴的两个相 邻交点的横坐标， ，2 由 f（ ）0，可得 2 k，kZ， ，f（x）2sin（2x ） 将 f（x）的图象向左平移 个单位得到 g（x）2sin（2x ）2cos（2x ） 的图 象， A，B，C 为两个函数图象的交点， 令 2sin（2x ）2cos（2x ），可得 2x k ，即 x ，kZ 把代入 f（x）的解析式，可得交点纵坐标为 ， 则ABC 面积的最小值为 2 ， 故选：B 【点评】本题主要考查函数 yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函
22、数的图象和性质， 属于基础题 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13一组样本数据 10，23，12，5，9，a，21，b，22 的平均数为 16，中位数为 21，则 a b 0 【分析】由数据的平均数为 16，可得 a+b42，又数据的中位数为 21，所以 a21，b 21，所以 ab21，进而 ab0 解：数据的平均数为 16， 10+23+12+5+9+a+21+b+22169144， a+b42， 591012212223，且数据的中位数为 21， a21，b21， ab21， ab0， 故答案为：0 【点评】本题主要考查了样本的数字特征，是基础题 14已知实数
23、 x，y 满足 ，则实数 zx2y 的最大值为 5 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论 解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由 zx2y 得 y z， 平移直线 y z， 则当直线 y z 经过点 A 时， 直线的截距最大， 此时 z 最大， 由 ， 解得 A（ ， ） 此时 z5， 故答案为：5 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键 15已知 Sn为数列an的前 n 项和，且 Sn+2an2（nN+）则 an 【分析】首先利用数列的递推关系式的应用整理出数列为等比数列，进一步利用等比数 列的定义的应用求出数列的通项公式 解：Sn为
24、数列an的前 n 项和，且 Sn+2an2， 当 n1 时，解得 ， 当 n2 时，Sn1+2an12， 得：3an2an1，整理得 （常数）， 所以数列an 是以 为首项， 为公公比的等比数列 所以 （首项符合通项） 所以 故答案为： 【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，等比数列的定义的应用，主 要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 16在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，F 是抛物线 C：y2x 的焦点，过 F 的直线与抛 物线交于 A，B 两点若|AB|2，则OAB 的面积为 【分析】由抛物线的方程可得焦点坐标，设过焦点 F 的方程，与抛物线的方程联立求
25、出 两根之和，由抛物线的性质可得弦长|AB|，由题意可得参数，求出直线 AB 的方程，进而 求出 O 到直线的距离，代入面积公式求出面积的值 解：由抛物线 C：y2x 的方程可得焦点 F（ ，0），p ， 设 A（x1，y1），B（x2，y2），y10， 显然直线 AB 的斜率不为 0，设直线 AB 的方程为：xmy ， 与抛物线方程联立 整理可得 y2my 0，y 1+y2m，y1y2 ， 所以 x1+x2m（y1+y2 ） m 2 由抛物线的性质可得|AB|x1+x2+pm2+1， 由题意|AB|2，所以 m2+12，解得 m1， 所以 O 到直线 AB 的距离 d ， 所以 SOAB |
26、AB| d 故答案为： 【点评】本题考查抛物线的性质、点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于中档题， 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分. 17如图，在ABC 中，BD 是 AC 边上的高，E 为 AB 边上一点，CE 与 BD 交于点 O， BOC135，CD1，DE （1）求BDE 的正弦值； （2）若 2 ，求ADE 的面积 【分析】（1）先在三角形 DOC 中利用三角函数的定义求出 OD，然后再利用三角形 DO 借助于余弦定理求出
27、OE，最后利用正弦定理求出BDE 的正弦值； （2）只需由 F 点向 BD 引垂线，构造 RtEOF，求出 OF、EF，再借助于 O 是 BD 的三 等分点求出 BF，最后结合比例关系和平方关系即可解决问题 解：（1）BOC135，BDAC，CD1， DOC45，OD1，结合 DE ， 在DOE 中，由余弦定理得 解得 或 舍 ， 由正弦定理得 ，sinBDE （2）如图，做 EFBD 于 F，易知 EFAC， 在 Rt 中， ， OFEF1，又 ，BO2，BF1 由 ，得 由（1）知， ， 【点评】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，一般来讲，不止一个三角形时，要 先把条件集中在一个三角形
28、中求解要注意三角函数的定义、内角和定理等性质的应 用属于中档题 18 如图， 在三棱柱 ABCA1B1C1中， 侧面 AA1C1C底面 ABC， E 为 CC1的中点， AF2FB （1）求证：BC1平面 A1EF； （2）若 ACAA12，ABBC ，A1AC60，求四棱锥 C1BFA1B1的体积 【分析】 （1）连接 AC1，与 A1E 交于点 M，连接 MF，可得 ，得到 AM：MC1 2：1，再由 AF2FB，得到 MFBC1，然后利用直线与平面平行的判定可得 BC1平 面 A1EF； （2）由已知求得三棱柱 ABCA1B1C1的高 h ，然后利用等体积法求四棱锥 C1 BFA1B1的
29、体积 【解答】（1）证明：如图，连接 AC1，与 A1E 交于点 M，连接 MF， E 为 CC1的中点，C1EAA1，且 ， AM：MC12：1， 又AF2FB，在ABC1中，MFBC1， MF平面 A1EF，BC1平面 A1EF， BC1平面 A1EF； （2）解：侧面 AA1C1C底面 ABC，ACAA12，A1AC60， 三棱柱 ABCA1B1C1的高 h 三棱锥 三棱柱 ， 四棱锥 三棱柱 ， 在侧面 ABB1A1中，AF2FB， 梯形 平行四边形 ， 四棱锥 四棱锥 三棱柱 四棱锥 【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用 等积法求多面体的体积，
30、是中档题 19我国全面二孩政策已于 2016 年 1 月 1 日起正式实施国家统计局发布的数据显示，从 2012 年到 2017 年，中国的人口自然增长率变化始终不大，在 5上下波动（如图）为了 了解年龄介于 24 岁至 50 岁之间的适孕夫妻对生育二孩的态度如何，统计部门按年龄分 为 9 组，每组选取 150 对夫妻进行调查统计有生育二孩意愿的夫妻数，得到如表： 年龄区 间 24，26 27，29 30，32 33，35 36，38 39，41 42，44 45，47 48，50 有意愿 数 80 81 87 88 84 83 83 70 66 （1）设每个年龄区间的中间值为 x，有意愿数为
31、 y，求样本数据的线性回归直线方程， 并求该模型的相关系数 r（结果保留两位小数） （2）从24，26，33，35，39，41，45，47，48，50这五个年龄段中各选出一对 夫妻（能代表该年龄段超过半数夫妻的意愿）进一步调研，再从这 5 对夫妻中任选 2 对 夫妻求其中恰有一对不愿意生育二孩的夫妻的概率 （参考数据和公式： r ， ， ， （xi ）（yi ） xiyi yi， xiyi26340， 473.96） 【分析】（1）根据题意求出对应的数值，根据线性回归方程公式和相关系数公式求出即 可； （2）根据题意，24，26，33，35，39，41，45，47，48，50这五个年龄段中，2
32、4， 26， 33， 35， 39， 41这三个年龄段超过半数夫妻有生育二孩的意愿， 在45， 47， 48， 50这两个年龄段中超过半数夫妻没有生育二孩的意愿，故设随机变量 X 表示从 5 对夫妻 中任选 2 对，不愿意生育二孩的夫妻个数 X0，1，2，求出随机变量 X 的分布列和数学 期望即可 解：（1）根据题意 xi333， ， ， ， yi3772026640， xiyi26340， 故 （xi ）（yi ） xiyi yi2634026640300， 由 ， ， 故 ， 所以 ， 80 ， 故线性回归方程为 y ， 相关系数 r ； （2）根据题意，24，26，33，35，39，41
33、，45，47，48，50这五个年龄段中， 24，26，33，35，39，41这三个年龄段超过半数夫妻有生育二孩的意愿， 在45，47，48，50这两个年龄段中超过半数夫妻没有生育二孩的意愿， 故设随机变量 X 表示从 5 对夫妻中任选 2 对，不愿意生育二孩的夫妻个数 X0，1，2， 则 ， ， ， 随机变量 X 的分布列如下： X 0 1 2 P 0.3 0.6 0.1 EX00.3+10.6+20.10.8 【点评】本题考查了求线性回归方程和相关系数，考查了离散型随机变量求分布列和数 学期望，考查运算能力，中档题 20已知 F1，F2是椭圆 C： 1（a0，b0）的左右焦点，椭圆与 y 轴
34、正半轴交 于点 B，直线 BF1的斜率为 ，且 F2到直线 BF1的距离为 （1）求椭圆 C 的方程； （2）P 为椭圆 C 上任意一点，过 F1，F2分别作直线 l1，l2，且 l1与 l2相交于 x 轴上方一 点 M，当F1MF2 时，求 P，M 两点间距离的最大值 【分析】（1）运用两点的斜率公式和点到直线的距离公式和 a，b，c 的关系可得 a，b， 进而得到椭圆方程； （2）设 P（x0，y0），M（x，y），且 y0，当 MF1，MF2不垂直于 x 轴时，当 l1或 l2 垂直于 x 轴时，运用直线的斜率公式和三角函数的差角正切公式，求得 M 的轨迹方程， 再由两点的距离公式和二次
35、函数的最值求法，计算所求最大值 解：（1）由题意可得 F1（c，0），F2（c，0），B（0，b），所以 ， 由直线 BF1的方程为 1，即 bxcy+bc0， 所以由题意可得 ， 由 a2b2c2，解得 a2，b1，c ， 即椭圆 C 的方程为 y 21； （2）由（1）可得 F1（ ，0），F2（ ，0）， 设 P（x0，y0），M（x，y），且 y0，当 MF1，MF2不垂直于 x 轴时， k ，k ，由F1MF2 ，即MF2xMF1x ， 则 tan ，化简可得 x2+（y1）24（x ，y 0）， 当 l1或 l2垂直于 x 轴时，可得 M（ ，2），也满足上式 所以 M 的轨迹方程
36、为 x2+（y1）24（y0） 所以当 P 与圆心（0，1）距离最大时，P，M 两点的距离取得最大值 由 ， 又因为1y01，所以 0 ， 则 P，M 两点的距离的最大值为 2 【点评】本题考查椭圆方程法求法和椭圆的性质，考查直线和椭圆的位置关系，以及圆 的方程和性质，考查化简运算能力，属于中档题 21已知函数 f（x）lnaxbx+1，g（x）axlnx，a1 （1）求函数 f（x）的极值； （2）直线 y2x+1 为函数 f（x）图象的一条切线，若对任意的 x1（0，1），x21，2 都有 g（x1）f（x2）成立，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1） 研究函数 f （x） 的导数和零
37、点， 并讨论零点左右两侧的导数符号和单调性； （2）根据已知的切线方程得到 a，b 的关系，然后再分别求出 g（x）的最小值和 f（x） 的最大值即可，然后构造 a 的不等式即可 解：（1）a1，x0 f（x）lnaxbx+1lnx+lnabx+1 当 b0 时，f（x）0，f（x）在（0，+）递增，无极值； 当 b 0 时 ， 由 得， ， 则 ， 时， ， 递增 ； ， 时， ， 递减 所以 f（x）在定义域上有极大值 （2）设直线 y2x+1 与函数 f（x）的切点为（x0，y0）则 y02x0+1 ， ，bx012x0 又因为 lnax0bx0+12x0+1，lnax01， 因为对任意
38、的 x1（0，1），x21，2都有 g（x1）f（x2）成立，只需 g（x1）minf （x2）max 对于 g（x）： ，令 得 a1， ， 时， ， 为减函数； ， 时， ， 为增函数 ； 对于 在 ， 上是减函数 ，即 设 h（a）lna ，易知 h（a）在（1，+）上递增 结合 h（e）0a 的范围是（e，+） 【点评】本题考查导数的概念、几何性质以及导数在研究函数性质中的应用突出考查 学生利用函数与方程思想、转化思想、分类讨论思想解决不等式、函数零点的问题考 查了学生的逻辑推理、数学抽象、数学运算等数学核心素养属于较难的题目 一、选择题 22在平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程为
39、 （t 为参数），以坐标原点 O 为 极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 22 sin（ ） +10 （1）求曲线 C 的直角坐标方程及直线 l 的普通方程； （2）设直线 （R）与曲线 C 交于 A，B 两点（A 点在 B 点左边）与直线 l 交于点 M求|AM|和|BM|的值 【分析】 （1） 直接利用转换关系， 把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （2）利用极径的应用求出结果 解： （1） 曲线 C 的极坐标方程为 22 sin （ ） +10 转换为 22sin2cos+1 0，转换为直角坐标方程为 x2+y22x2y+10 直线 l 的参数方
40、程为 （t 为参数），转换为直角坐标方程为 3x+4y30 （2）设 A（ ， ），B（ ， ），C（ ， ）， 由于曲线 C 的极坐标方程为 22sin2cos+10， 所以 ，解得 ， 直线 l 的极坐标方程为 3cos+4sin30， 所以 ，解得 ， 所以：|AM| ， |BM| 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径 的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|xa|+|x+3| （1）若 a1，解不等式 f（x）3x； （2）若对任意 a，xR，求证：f（x）2|a+1|
41、【分析】（1）将 a1 代入 f（x）中，然后根据 f（x）3x，利用零点分段法解不等式 即可； （2）利用绝对值三角不等式可得 f（x）|a+3|，再根据|a+3|+|a+1|2，从而得到 f（x） 2|a+1| 【解答】（1）解：当 a1 时，f（x）|x1|+|x+3| ， ， ， f（x）3x， 或 或 ， x3 或3x1 或 1x2， 不等式的解集为（，2 （2）证明：f（x）|xa|+|x+3|a+3|， 又|a+3|+|a+1|2，|a+3|2|a+1|， f（x）2|a+1| 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，考查利用综合法证明不等式，考查了分类讨 论思想和转化思想，属中档题
