广东省湛江市2020年普通高考文科数学模拟试卷(一)含答案解析

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1、2020 年高考(文科)数学一模试卷年高考(文科)数学一模试卷 一、选择题. 1已知集合 A2,3,5,7,11,Bx|x29,则 AB( ) A3,5,7,11 B7,11 C11 D5,7,11 2已知 是复数 z 的共轭复数,当 z| | (i 是虚数单位)时,z ( ) A1 B C2 D2 3已知 a6 ,blog22 ,c1.2 2,则 a,b,c 的大小关系是( ) Abca Bacb Cabc Dbac 4在中国园林建筑中,花窗是建筑中窗的一种装饰和美化的形式,既具备实用功能,又带 有装饰效果,体现了人们对美好生活的憧憬苏州园林作为中国园林建筑的代表,在很 多亭台楼阁中都采用了

2、花窗的形式, 如图就是其中之一 该花窗外框是边长为 80cm 的正 方形,正中间有一个半径为 20cm 的园,如果窗框的宽度忽咯不计,将一个小球(半径足 够小)随机投花窗上,则小球恰好从圆中穿过的概率为( ) A B C D 5已知 Sn是等差数列an的前 n 项和若 S1545,则 5a53a3的值为( ) A6 B15 C34 D17 6 已知函数 , , , 若 f (x) 在R 上为增函数, 则实数 a的取值范围是 ( ) A2,+) B0,2 C(2,+) D(,2 7已知 (2,6), (3,1),则向量 在 方向上的投影为( ) A6 B C D 8已知 , 是两个不同的平面,直

3、线 a,b 满足 a,b,则“a 且 b”是“ ”成立的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 9函数 yf(x+1)为奇函数,且在 R 上为减函数若 f(2)1,则满足1f(x1) 1 的 x 的取值范围是( ) A1,1 B1,3 C0,2 D2,4 10在三棱柱 ABCA1B1C1中,AA1平面 ABC若所有的棱长都是 2,则异面直线 AC1与 BC 所成的角的正弦值为( ) A B C D 11如图,F1,F2是双曲线 l: 1(a0,b0)的左、右焦点,过 F1的直线与 双曲线左、右两支分别交于点 P,Q若 5 ,M 为 PQ 的中点,且 ,则

4、 双曲线的离心率为( ) A B C D2 12已知 , 为函数 f(x)2sin(x+)(0,| )的图象与 x 轴的两个相邻交 点的横坐标,将 f(x)的图象向左平移 个单位得到 g(x)的图象,A,B,C 为两个函 数图象的交点,则ABC 面积的最小值为( ) A2 B C2 D 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13一组样本数据 10,23,12,5,9,a,21,b,22 的平均数为 16,中位数为 21,则 a b 14已知实数 x,y 满足 ,则实数 zx2y 的最大值为 15已知 Sn为数列an的前 n 项和,且 Sn+2an2(nN+)则 an 16

5、在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,F 是抛物线 C:y2x 的焦点,过 F 的直线与抛 物线交于 A,B 两点若|AB|2,则OAB 的面积为 三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题, 每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答(一)必考题:共 60 分. 17如图,在ABC 中,BD 是 AC 边上的高,E 为 AB 边上一点,CE 与 BD 交于点 O, BOC135,CD1,DE (1)求BDE 的正弦值; (2)若 2 ,求ADE 的面积 18 如图, 在三棱柱 ABCA1B1C1中, 侧面 AA1C1C底

6、面 ABC, E 为 CC1的中点, AF2FB (1)求证:BC1平面 A1EF; (2)若 ACAA12,ABBC ,A1AC60,求四棱锥 C1BFA1B1的体积 19我国全面二孩政策已于 2016 年 1 月 1 日起正式实施国家统计局发布的数据显示,从 2012 年到 2017 年,中国的人口自然增长率变化始终不大,在 5上下波动(如图)为了 了解年龄介于 24 岁至 50 岁之间的适孕夫妻对生育二孩的态度如何,统计部门按年龄分 为 9 组,每组选取 150 对夫妻进行调查统计有生育二孩意愿的夫妻数,得到如表: 年龄区 间 24,26 27,29 30,32 33,35 36,38

7、39,41 42,44 45,47 48,50 有意愿 数 80 81 87 88 84 83 83 70 66 (1)设每个年龄区间的中间值为 x,有意愿数为 y,求样本数据的线性回归直线方程, 并求该模型的相关系数 r(结果保留两位小数) (2)从24,26,33,35,39,41,45,47,48,50这五个年龄段中各选出一对 夫妻(能代表该年龄段超过半数夫妻的意愿)进一步调研,再从这 5 对夫妻中任选 2 对 夫妻求其中恰有一对不愿意生育二孩的夫妻的概率 (参考数据和公式: r , , , (xi )(yi ) xiyi yi, xiyi26340, 473.96) 20已知 F1,F

8、2是椭圆 C: 1(a0,b0)的左右焦点,椭圆与 y 轴正半轴交 于点 B,直线 BF1的斜率为 ,且 F2到直线 BF1的距离为 (1)求椭圆 C 的方程; (2)P 为椭圆 C 上任意一点,过 F1,F2分别作直线 l1,l2,且 l1与 l2相交于 x 轴上方一 点 M,当F1MF2 时,求 P,M 两点间距离的最大值 21已知函数 f(x)lnaxbx+1,g(x)axlnx,a1 (1)求函数 f(x)的极值; (2)直线 y2x+1 为函数 f(x)图象的一条切线,若对任意的 x1(0,1),x21,2 都有 g(x1)f(x2)成立,求实数 a 的取值范围 (二)选考题:共 1

9、0 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第 一题计分选修 4-4:坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系中,直线 l 的参数方程为 (t 为参数),以坐标原点 O 为 极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 22 sin( ) +10 (1)求曲线 C 的直角坐标方程及直线 l 的普通方程; (2)设直线 (R)与曲线 C 交于 A,B 两点(A 点在 B 点左边)与直线 l 交于点 M求|AM|和|BM|的值 选修 4-5:不等式选讲 23已知函数 f(x)|xa|+|x+3| (1)若 a1,解不等式 f(x)3x; (2)若对任意 a

10、,xR,求证:f(x)2|a+1| 参考答案 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的 1已知集合 A2,3,5,7,11,Bx|x29,则 AB( ) A3,5,7,11 B7,11 C11 D5,7,11 【分析】求出集合 A,B,由此能求出 AB 解:集合 A2,3,5,7,11, Bx|x29x|x3 或 x3, AB5,7,11 故选:D 【点评】本题考查交集的求法,考查交集定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础 题 2已知 是复数 z 的共轭复数,当 z| | (i 是虚数单位)时,z ( ) A1 B C

11、2 D2 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数模的计算公式求解 解: , z| | 1+i, 则 z 故选:C 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数模的求法,是基础题 3已知 a6 ,blog22 ,c1.2 2,则 a,b,c 的大小关系是( ) Abca Bacb Cabc Dbac 【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解 解: ,c1.2 21.44, 又 , , , abc, 故选:C 【点评】本题考查三个数的大小的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意对数函数 和指数函数的性质的合理运用 4在中国园林建筑中,花窗是建筑中窗的一种装饰和美化的形式,既具备实用功

12、能,又带 有装饰效果,体现了人们对美好生活的憧憬苏州园林作为中国园林建筑的代表,在很 多亭台楼阁中都采用了花窗的形式, 如图就是其中之一 该花窗外框是边长为 80cm 的正 方形,正中间有一个半径为 20cm 的园,如果窗框的宽度忽咯不计,将一个小球(半径足 够小)随机投花窗上,则小球恰好从圆中穿过的概率为( ) A B C D 【分析】算出正方形的面积以及圆的面积,求出面积比即可 解:由题可得正方形的面积 S16400 cm2; 正中间圆的面积为:S2400cm2; 一个小球(半径足够小)随机投花窗上,则小球恰好从圆中穿过的概率为: ; 故选:C 【点评】本题主要考查几何概型,几何概型的概率

13、估算公式中的“几何度量”,可以为 线段长度、面积、体积等,而且这个“几何度量”只与“大小”有关,而与形状和位置 无关解决的步骤均为:求出满足条件 A 的基本事件对应的“几何度量”N(A),再求 出总的基本事件对应的“几何度量”N,最后根据 P 求解 5已知 Sn是等差数列an的前 n 项和若 S1545,则 5a53a3的值为( ) A6 B15 C34 D17 【分析】 由 S1545, 可得 15a845, 解得 a8, 再利用通项公式化简 5a53a3, 即可得出 解:S1545,15a845,解得 a83, 则 5a53a35(a1+4d)3(a1+2d)2a1+14d2a86, 故选

14、:A 【点评】本题考查了数列通项公式与求和公式及其性质,考查了推理能力与计算能力, 属于基础题 6 已知函数 , , , 若 f (x) 在R 上为增函数, 则实数 a的取值范围是 ( ) A2,+) B0,2 C(2,+) D(,2 【分析】x1 时,f(x)a+lnx 是增函数;x1 时,f(x)2x是增函数,从而要使 f (x)在 R 上是增函数,只需满足 a2 即可,从而得出 a 的取值范围 解:f(x)在 R 上为增函数, a2, 实数 a 的取值范围是2,+) 故选:A 【点评】本题考查了对数函数、指数函数和分段函数的单调性,增函数的定义,考查了 计算能力,属于基础题 7已知 (2

15、,6), (3,1),则向量 在 方向上的投影为( ) A6 B C D 【分析】根据平面向量 在 方向上的投影的定义,计算即可( 解:由 (2,6), (3,1), 所以 (5,5), 所以( ) 535110, | | , 所以向量 在 方向上的投影为 故选:D 【点评】本题考查了平面向量投影的定义与计算问题,是基础题 8已知 , 是两个不同的平面,直线 a,b 满足 a,b,则“a 且 b”是“ ”成立的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 【分析】由 a,b,利用面面平行的性质定理可得:a 且 b,反之不成 立,即可判断出关系 解:a,b,a

16、且 b,反之不成立, 与 可能相交 a 且 b”是“”成立的必要不充分条件 故选:B 【点评】本题考查了面面平行的性质定理、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计 算能力,属于基础题 9函数 yf(x+1)为奇函数,且在 R 上为减函数若 f(2)1,则满足1f(x1) 1 的 x 的取值范围是( ) A1,1 B1,3 C0,2 D2,4 【分析】由函数奇偶性的性质分析可得函数 yf(x)的图象关于点(1,0)对称,进而 可得 f(0)1,结合函数的单调性分析可得1f(x1)10x12,解可得 x 的取值范围,即可得答案 解:根据题意,函数 yf(x+1)为奇函数,则函数 yf(x)的图象关

17、于点(1,0)对 称, 若 f(2)1,则 f(0)1, 又由 yf(x)在 R 上为减函数,则1f(x1)1f(2)f(x1)f(0)0 x12, 解可得:1x3;即 x 的取值范围为1,3; 故选:B 【点评】 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用, 涉及不等式的解法, 属于基础题 10在三棱柱 ABCA1B1C1中,AA1平面 ABC若所有的棱长都是 2,则异面直线 AC1与 BC 所成的角的正弦值为( ) A B C D 【分析】如图所示,连接 AB1,BCB1C1,AC1B1是异面直线 AC1与 BC 所成的角,在 AC1B1中,AC1AB12 ,B 1C12利用等腰三角形的性质及

18、边角关系即可得出 解:如图所示,连接 AB1,BCB1C1, AC1B1是异面直线 AC1与 BC 所成的角, 在AC1B1中,AC1AB12 ,B 1C12 cosAC1B1 , sinAC1B1 , 异面直线 AC1与 BC 所成的角的正弦值为 故选:A 【点评】本题考查了异面直线所成的角、等腰三角形的性质及其边角关系、三棱柱的性 质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题 11如图,F1,F2是双曲线 l: 1(a0,b0)的左、右焦点,过 F1的直线与 双曲线左、右两支分别交于点 P,Q若 5 ,M 为 PQ 的中点,且 ,则 双曲线的离心率为( ) A B C D2 【分析】连接 F2

19、P,F2Q,设|F1P|t,则由题意可得|PM|MQ|2t,由题意可得|F2P| t+2a,|F2Q|5t2a,在直角三角形 PMF2中,cosMPF2 , 所以在三角形 P1F2中,由余弦定理可得 cosF1PF2 ,所以可得 2c 2 7a2,求出离心率 e 解:连接 F2P,F2Q,设|F1P|t,则由题意可得|PM|MQ|2t, 因为 P,Q 为双曲线的点,所以|F2P|t+2a,|F2Q|5t2a, 因为 M 为 PQ 的中点,且 , 所以|F2P|F2Q|,所以 t+2a5t2a,所以 ta, 所以|F1P|a,|PM|MQ|2a,|F2P|F2Q|3a, 在直角三角形 PMF2中

20、,cosMPF2 , 所以在三角形 P1F2中,由余弦定理可得 cosF1PF2 , 所以可得 2c27a2,即 e , 故选:A 【点评】本题考查双曲线的性质及余弦定理的应用,考查了推理能力与计算能力,属于 中档题 12已知 , 为函数 f(x)2sin(x+)(0,| )的图象与 x 轴的两个相邻交 点的横坐标,将 f(x)的图象向左平移 个单位得到 g(x)的图象,A,B,C 为两个函 数图象的交点,则ABC 面积的最小值为( ) A2 B C2 D 【分析】 由题意利用正弦函数的周期性求得 f (x) 的解析式, 再利用函数 yAsin (x+) 的图象变换规律,求得 g(x)的解析式

21、,利用正弦函数的图象和性质,求得ABC 面积 的最小值 解:已知 , 为函数 f(x)2sin(x+)(0,| )的图象与 x 轴的两个相 邻交点的横坐标, ,2 由 f( )0,可得 2 k,kZ, ,f(x)2sin(2x ) 将 f(x)的图象向左平移 个单位得到 g(x)2sin(2x )2cos(2x ) 的图 象, A,B,C 为两个函数图象的交点, 令 2sin(2x )2cos(2x ),可得 2x k ,即 x ,kZ 把代入 f(x)的解析式,可得交点纵坐标为 , 则ABC 面积的最小值为 2 , 故选:B 【点评】本题主要考查函数 yAsin(x+)的图象变换规律,正弦函

22、数的图象和性质, 属于基础题 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13一组样本数据 10,23,12,5,9,a,21,b,22 的平均数为 16,中位数为 21,则 a b 0 【分析】由数据的平均数为 16,可得 a+b42,又数据的中位数为 21,所以 a21,b 21,所以 ab21,进而 ab0 解:数据的平均数为 16, 10+23+12+5+9+a+21+b+22169144, a+b42, 591012212223,且数据的中位数为 21, a21,b21, ab21, ab0, 故答案为:0 【点评】本题主要考查了样本的数字特征,是基础题 14已知实数

23、 x,y 满足 ,则实数 zx2y 的最大值为 5 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用线性规划的知识即可得到结论 解:作出不等式组对应的平面区域如图: 由 zx2y 得 y z, 平移直线 y z, 则当直线 y z 经过点 A 时, 直线的截距最大, 此时 z 最大, 由 , 解得 A( , ) 此时 z5, 故答案为:5 【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决本题的关键 15已知 Sn为数列an的前 n 项和,且 Sn+2an2(nN+)则 an 【分析】首先利用数列的递推关系式的应用整理出数列为等比数列,进一步利用等比数 列的定义的应用求出数列的通项公式 解:Sn为

24、数列an的前 n 项和,且 Sn+2an2, 当 n1 时,解得 , 当 n2 时,Sn1+2an12, 得:3an2an1,整理得 (常数), 所以数列an 是以 为首项, 为公公比的等比数列 所以 (首项符合通项) 所以 故答案为: 【点评】本题考查的知识要点:数列的递推关系式的应用,等比数列的定义的应用,主 要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型 16在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,F 是抛物线 C:y2x 的焦点,过 F 的直线与抛 物线交于 A,B 两点若|AB|2,则OAB 的面积为 【分析】由抛物线的方程可得焦点坐标,设过焦点 F 的方程,与抛物线的方程联立求

25、出 两根之和,由抛物线的性质可得弦长|AB|,由题意可得参数,求出直线 AB 的方程,进而 求出 O 到直线的距离,代入面积公式求出面积的值 解:由抛物线 C:y2x 的方程可得焦点 F( ,0),p , 设 A(x1,y1),B(x2,y2),y10, 显然直线 AB 的斜率不为 0,设直线 AB 的方程为:xmy , 与抛物线方程联立 整理可得 y2my 0,y 1+y2m,y1y2 , 所以 x1+x2m(y1+y2 ) m 2 由抛物线的性质可得|AB|x1+x2+pm2+1, 由题意|AB|2,所以 m2+12,解得 m1, 所以 O 到直线 AB 的距离 d , 所以 SOAB |

26、AB| d 故答案为: 【点评】本题考查抛物线的性质、点到直线的距离公式,考查了计算能力,属于中档题, 三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题, 每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答(一)必考题:共 60 分. 17如图,在ABC 中,BD 是 AC 边上的高,E 为 AB 边上一点,CE 与 BD 交于点 O, BOC135,CD1,DE (1)求BDE 的正弦值; (2)若 2 ,求ADE 的面积 【分析】(1)先在三角形 DOC 中利用三角函数的定义求出 OD,然后再利用三角形 DO 借助于余弦定理求出

27、OE,最后利用正弦定理求出BDE 的正弦值; (2)只需由 F 点向 BD 引垂线,构造 RtEOF,求出 OF、EF,再借助于 O 是 BD 的三 等分点求出 BF,最后结合比例关系和平方关系即可解决问题 解:(1)BOC135,BDAC,CD1, DOC45,OD1,结合 DE , 在DOE 中,由余弦定理得 解得 或 舍 , 由正弦定理得 ,sinBDE (2)如图,做 EFBD 于 F,易知 EFAC, 在 Rt 中, , OFEF1,又 ,BO2,BF1 由 ,得 由(1)知, , 【点评】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用,一般来讲,不止一个三角形时,要 先把条件集中在一个三角形

28、中求解要注意三角函数的定义、内角和定理等性质的应 用属于中档题 18 如图, 在三棱柱 ABCA1B1C1中, 侧面 AA1C1C底面 ABC, E 为 CC1的中点, AF2FB (1)求证:BC1平面 A1EF; (2)若 ACAA12,ABBC ,A1AC60,求四棱锥 C1BFA1B1的体积 【分析】 (1)连接 AC1,与 A1E 交于点 M,连接 MF,可得 ,得到 AM:MC1 2:1,再由 AF2FB,得到 MFBC1,然后利用直线与平面平行的判定可得 BC1平 面 A1EF; (2)由已知求得三棱柱 ABCA1B1C1的高 h ,然后利用等体积法求四棱锥 C1 BFA1B1的

29、体积 【解答】(1)证明:如图,连接 AC1,与 A1E 交于点 M,连接 MF, E 为 CC1的中点,C1EAA1,且 , AM:MC12:1, 又AF2FB,在ABC1中,MFBC1, MF平面 A1EF,BC1平面 A1EF, BC1平面 A1EF; (2)解:侧面 AA1C1C底面 ABC,ACAA12,A1AC60, 三棱柱 ABCA1B1C1的高 h 三棱锥 三棱柱 , 四棱锥 三棱柱 , 在侧面 ABB1A1中,AF2FB, 梯形 平行四边形 , 四棱锥 四棱锥 三棱柱 四棱锥 【点评】本题考查直线与平面平行的判定,考查空间想象能力与思维能力,训练了利用 等积法求多面体的体积,

30、是中档题 19我国全面二孩政策已于 2016 年 1 月 1 日起正式实施国家统计局发布的数据显示,从 2012 年到 2017 年,中国的人口自然增长率变化始终不大,在 5上下波动(如图)为了 了解年龄介于 24 岁至 50 岁之间的适孕夫妻对生育二孩的态度如何,统计部门按年龄分 为 9 组,每组选取 150 对夫妻进行调查统计有生育二孩意愿的夫妻数,得到如表: 年龄区 间 24,26 27,29 30,32 33,35 36,38 39,41 42,44 45,47 48,50 有意愿 数 80 81 87 88 84 83 83 70 66 (1)设每个年龄区间的中间值为 x,有意愿数为

31、 y,求样本数据的线性回归直线方程, 并求该模型的相关系数 r(结果保留两位小数) (2)从24,26,33,35,39,41,45,47,48,50这五个年龄段中各选出一对 夫妻(能代表该年龄段超过半数夫妻的意愿)进一步调研,再从这 5 对夫妻中任选 2 对 夫妻求其中恰有一对不愿意生育二孩的夫妻的概率 (参考数据和公式: r , , , (xi )(yi ) xiyi yi, xiyi26340, 473.96) 【分析】(1)根据题意求出对应的数值,根据线性回归方程公式和相关系数公式求出即 可; (2)根据题意,24,26,33,35,39,41,45,47,48,50这五个年龄段中,2

32、4, 26, 33, 35, 39, 41这三个年龄段超过半数夫妻有生育二孩的意愿, 在45, 47, 48, 50这两个年龄段中超过半数夫妻没有生育二孩的意愿,故设随机变量 X 表示从 5 对夫妻 中任选 2 对,不愿意生育二孩的夫妻个数 X0,1,2,求出随机变量 X 的分布列和数学 期望即可 解:(1)根据题意 xi333, , , , yi3772026640, xiyi26340, 故 (xi )(yi ) xiyi yi2634026640300, 由 , , 故 , 所以 , 80 , 故线性回归方程为 y , 相关系数 r ; (2)根据题意,24,26,33,35,39,41

33、,45,47,48,50这五个年龄段中, 24,26,33,35,39,41这三个年龄段超过半数夫妻有生育二孩的意愿, 在45,47,48,50这两个年龄段中超过半数夫妻没有生育二孩的意愿, 故设随机变量 X 表示从 5 对夫妻中任选 2 对,不愿意生育二孩的夫妻个数 X0,1,2, 则 , , , 随机变量 X 的分布列如下: X 0 1 2 P 0.3 0.6 0.1 EX00.3+10.6+20.10.8 【点评】本题考查了求线性回归方程和相关系数,考查了离散型随机变量求分布列和数 学期望,考查运算能力,中档题 20已知 F1,F2是椭圆 C: 1(a0,b0)的左右焦点,椭圆与 y 轴

34、正半轴交 于点 B,直线 BF1的斜率为 ,且 F2到直线 BF1的距离为 (1)求椭圆 C 的方程; (2)P 为椭圆 C 上任意一点,过 F1,F2分别作直线 l1,l2,且 l1与 l2相交于 x 轴上方一 点 M,当F1MF2 时,求 P,M 两点间距离的最大值 【分析】(1)运用两点的斜率公式和点到直线的距离公式和 a,b,c 的关系可得 a,b, 进而得到椭圆方程; (2)设 P(x0,y0),M(x,y),且 y0,当 MF1,MF2不垂直于 x 轴时,当 l1或 l2 垂直于 x 轴时,运用直线的斜率公式和三角函数的差角正切公式,求得 M 的轨迹方程, 再由两点的距离公式和二次

35、函数的最值求法,计算所求最大值 解:(1)由题意可得 F1(c,0),F2(c,0),B(0,b),所以 , 由直线 BF1的方程为 1,即 bxcy+bc0, 所以由题意可得 , 由 a2b2c2,解得 a2,b1,c , 即椭圆 C 的方程为 y 21; (2)由(1)可得 F1( ,0),F2( ,0), 设 P(x0,y0),M(x,y),且 y0,当 MF1,MF2不垂直于 x 轴时, k ,k ,由F1MF2 ,即MF2xMF1x , 则 tan ,化简可得 x2+(y1)24(x ,y 0), 当 l1或 l2垂直于 x 轴时,可得 M( ,2),也满足上式 所以 M 的轨迹方程

36、为 x2+(y1)24(y0) 所以当 P 与圆心(0,1)距离最大时,P,M 两点的距离取得最大值 由 , 又因为1y01,所以 0 , 则 P,M 两点的距离的最大值为 2 【点评】本题考查椭圆方程法求法和椭圆的性质,考查直线和椭圆的位置关系,以及圆 的方程和性质,考查化简运算能力,属于中档题 21已知函数 f(x)lnaxbx+1,g(x)axlnx,a1 (1)求函数 f(x)的极值; (2)直线 y2x+1 为函数 f(x)图象的一条切线,若对任意的 x1(0,1),x21,2 都有 g(x1)f(x2)成立,求实数 a 的取值范围 【分析】 (1) 研究函数 f (x) 的导数和零

37、点, 并讨论零点左右两侧的导数符号和单调性; (2)根据已知的切线方程得到 a,b 的关系,然后再分别求出 g(x)的最小值和 f(x) 的最大值即可,然后构造 a 的不等式即可 解:(1)a1,x0 f(x)lnaxbx+1lnx+lnabx+1 当 b0 时,f(x)0,f(x)在(0,+)递增,无极值; 当 b 0 时 , 由 得, , 则 , 时, , 递增 ; , 时, , 递减 所以 f(x)在定义域上有极大值 (2)设直线 y2x+1 与函数 f(x)的切点为(x0,y0)则 y02x0+1 , ,bx012x0 又因为 lnax0bx0+12x0+1,lnax01, 因为对任意

38、的 x1(0,1),x21,2都有 g(x1)f(x2)成立,只需 g(x1)minf (x2)max 对于 g(x): ,令 得 a1, , 时, , 为减函数; , 时, , 为增函数 ; 对于 在 , 上是减函数 ,即 设 h(a)lna ,易知 h(a)在(1,+)上递增 结合 h(e)0a 的范围是(e,+) 【点评】本题考查导数的概念、几何性质以及导数在研究函数性质中的应用突出考查 学生利用函数与方程思想、转化思想、分类讨论思想解决不等式、函数零点的问题考 查了学生的逻辑推理、数学抽象、数学运算等数学核心素养属于较难的题目 一、选择题 22在平面直角坐标系中,直线 l 的参数方程为

39、 (t 为参数),以坐标原点 O 为 极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 22 sin( ) +10 (1)求曲线 C 的直角坐标方程及直线 l 的普通方程; (2)设直线 (R)与曲线 C 交于 A,B 两点(A 点在 B 点左边)与直线 l 交于点 M求|AM|和|BM|的值 【分析】 (1) 直接利用转换关系, 把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 (2)利用极径的应用求出结果 解: (1) 曲线 C 的极坐标方程为 22 sin ( ) +10 转换为 22sin2cos+1 0,转换为直角坐标方程为 x2+y22x2y+10 直线 l 的参数方

40、程为 (t 为参数),转换为直角坐标方程为 3x+4y30 (2)设 A( , ),B( , ),C( , ), 由于曲线 C 的极坐标方程为 22sin2cos+10, 所以 ,解得 , 直线 l 的极坐标方程为 3cos+4sin30, 所以 ,解得 , 所以:|AM| , |BM| 【点评】本题考查的知识要点:参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,极径 的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型 选修 4-5:不等式选讲 23已知函数 f(x)|xa|+|x+3| (1)若 a1,解不等式 f(x)3x; (2)若对任意 a,xR,求证:f(x)2|a+1|

41、【分析】(1)将 a1 代入 f(x)中,然后根据 f(x)3x,利用零点分段法解不等式 即可; (2)利用绝对值三角不等式可得 f(x)|a+3|,再根据|a+3|+|a+1|2,从而得到 f(x) 2|a+1| 【解答】(1)解:当 a1 时,f(x)|x1|+|x+3| , , , f(x)3x, 或 或 , x3 或3x1 或 1x2, 不等式的解集为(,2 (2)证明:f(x)|xa|+|x+3|a+3|, 又|a+3|+|a+1|2,|a+3|2|a+1|, f(x)2|a+1| 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法,考查利用综合法证明不等式,考查了分类讨 论思想和转化思想,属中档题

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