1、辽宁省大连市辽宁省大连市 2020 届高三下学期第一次模拟考试届高三下学期第一次模拟考试 数学（理）试题数学（理）试题 第第 I 卷卷 一、选择题一、选择题： （： （本大题共本大题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 60 分分。每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目只有一项是符合题目 要求的要求的） 1设集合| 23Axx ，1,0,1,2,3B ，则集合AB为（ ） A2, 1,0,1,2 B1,0,1,2 C1,0,1,2,3 D2, 1,0,1,2,3 2若复数z满足12zi，则z的虚部为（ ） A1 B1 Ci Di 3下列函数中是偶函数，且在
2、0,是增函数的是（ ） Alnyx Bcosyx C 2 yx D 3 yx 4设 n S为等差数列 n a的前n项和，若 45 12aa，则 8 S的值为（ ） A14 B28 C36 D48 5 PM2 5 是衡量空气质量的重要指标， 我国采用世卫组织的最宽值限定值， 即 PM2 5 日均值在 3 35/g m 以下空气质量为一级，在 3 35 75/g m空气质量为二级，超过 3 75/g m为超标，如图是某地 1 月 1 日至 10 日的 PM25（单位： 3 /g m）的日均值，则下列说法正确的是（ ） A10 天中 PM25 日均值最低的是 1 月 3 日 B从 1 日到 6 日
3、PM25 日均值逐渐升高 C这 10 天中恰有 5 天空气质量不超标 D这 10 天中 PM25 日均值的中位数是 43 6已知抛物线 2 4yx上点B（在第一象限）到焦点F距离为 5，则点B坐标为（ ） A1,1 B2,3 C4,4 D 4, 3 7设非零向量m，n则“mn”是“22mnmn”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 8如图是函数 2sin()(0,|) 2 f xx 的部分图象，则，的值分别为（ ） A1， 3 B1， 6 C2， 6 D2， 6 9设数列 n a的前n项和为 n S若 1 1a ， 1 21 nn aS ，
4、* nN，则 5 S值为（ ） A363 B121 C80 D40 10已知0a，0b， 11 1 ab ，则ab的最小值为（ ） A 1 4 B 1 2 C2 D4 11已知a，b是两条直线，是三个平面，则下列命题正确的是（ ） A若a，b，ab则 B若，a，则a C若，a，则a D若，a，则a 12 易经是中国传统文化中的精髓，下图是易经后天八卦图（含乾坤巽震坎离艮兑八卦） ，每一 卦由三根线组成(表示一根阳线，表示一根阴线)，从八卦中任取两卦，记事件A “两卦的 六根线中恰有两根阳线” ，B “有一卦恰有一根阳线” ，则|P A B （ ）, A 1 5 B 1 6 C 1 7 D 3
5、14 第第 II 卷卷 本卷包括必考题和选考题两部分本卷包括必考题和选考题两部分，第第 13 题题第第 21 题为必考题题为必考题，每个试题考生都必须做答，第每个试题考生都必须做答，第 22 题题第第 23 题为选考题题为选考题，考生根据要求做答考生根据要求做答 二二填空题填空题： （： （本大题共本大题共 4 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 20 分分,把答案填在答卷纸的相应位置上把答案填在答卷纸的相应位置上） 13已知x，y满足约束条件 0, 0, 2 xy x y 则zxy的最大值为_ 14已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线方程yx，则该双曲线的
6、离心率为_ 15定义在1,上的函数 f x满足下列两个条件（1）对任意的1,x恒有 22fxf x成立； （2）当1,2x时， 2f xx则 6f的值是_ 16如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，点O为线段BD的中点，设点P在线段 1 CC上二面角 1 ABDP的平面角为，用图中字母表示角为_，sin的最小值是_ 三三解答题解答题： （： （本大题共本大题共 6 小题小题，共共 70 分分，解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤） 17设函数 2 ( )2sin cos2cos () 4 f xxxx （）求 f x的单调递增区间; （）在锐角A
7、BC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若0 2 B f ，3a ，1c，求 b 18某中学调查防疫期间学生居家每天锻炼时间情况，从高一、高二年级学生中分别随机抽取 100 人，由 调查结果得到如下的频率分布直方图： （）写出频率分布直方图（高一）中a的值；记高一、高二学生 100 人锻炼时间的样本的方差分别为 2 1 s， 2 2 s，试比较 2 1 s， 2 2 s的大小（只要求写出结论） ； （）估计在高一、高二学生中各随机抽取 1 人，恰有一人的锻炼时间大于 20 分钟的概率； （）由频率分布直方图可以认为，高二学生锻炼时间Z服从正态分布 2 ( ,)N 其中近似为样本平 均数x
8、， 2 近似为样本方差，且每名学生锻炼时间相互独立，设X表示从高二学生中随机抽取 10 人，其 锻炼时间位于14.55,38.45的人数，求X的数学期望 注：同一组数据用该区间的中点值作代表,计算得 2 142.7511.95s 若 2 ,ZN ，则()0.6826PZ， (22 )0.9544PZ 19 如图， 三棱柱 111 ABCABC中， 侧面 11 BBCC为菱形，A在侧面 11 BBCC上的投影恰为 1 BC的中点O， E为AB的中点 （）证明：OE平面 11 ACC A； （）若 1 60CBB， 1 2 cos 4 ACC在线段 11 C A上是否存在点F（F不与 1 C， 1
9、 A重合）使得直线 EF与平面 11 ACC A成角的正弦值为 3 . 7 若存在，求出 1 11 C F C A 的值；若不存在，说明理由 20已知过点 3 1, 2 P 的曲线C的方程为 2222 (1)(1)2xyxya （）求曲线C的标准方程: （）已知点1,0F，A为直线4x上任意一点，过F作AF的垂线交曲线C于点B，D （）证明：OA平分线段BD（其中O为坐标原点） ； （）求 | | BD AF 最大值 21已知函数 2 ( )2sin2f xxxxa （）当0a时，求 f x零点处的切线方程； （）若 f x有两个零点 1212 ,()x x xx，求证： 2 21 1 (2
10、)xxa 请考生在请考生在 22，23 二题中任选一题作答二题中任选一题作答，如果多做如果多做，则按所做的第一题记分则按所做的第一题记分做答时做答时，用用 2B 铅笔在答题卡铅笔在答题卡 上把所选题目对应的标号涂黑上把所选题目对应的标号涂黑 22选修选修 4-4：坐标系与参数方程坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中， 已知点1,0A ，1,0B， 动点,M x y满足直线AM与BM的斜率之积为4 记 M的轨迹为曲线C以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 2 cos3 sin110 （）求C和l的直角坐标方程； 则 6f的值是_ 23选修选修 45：不等式选
11、讲不等式选讲 已知函数 2f xmx，mR， 3g xx （）当xR时，有 f xg x，求实数m的取值范围 （）若不等式 0f x 的解集为1,3，正数a，b满足231aba bm ，求ab的最小值 2020 年大连市高三一模测试年大连市高三一模测试 数学（理科）参考答案与评分标准数学（理科）参考答案与评分标准 说明： 一、本解答给岀了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比 照评分标准制订相应的评分细则 二、对解答题，当考生的解答在某一步岀现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视 影响的桯度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得
12、分数的一半；如果后继部分的解答有较 严重的错误，就不再给分 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分 一、选择题一、选择题 1 B 2 A 3 A 4 D 5 D 6 C 7 C 8 D 9 B 10 D 11 C 12 B 二二、填空题填空题 134； 142 151 16 1 AOP， 6 3 三三、解答题解答题 17解： （1）由题意可知 2 2sin cos2cos2sin21 4 f xxxxx ， 由222 22 kxkkz ， 所以 f x的单调递增区间是, 44 kkkZ （）由2sin10 2 B fB ，可得 1
13、 sin 2 B ， 由题意知B为锐角， 3 B ， 由余弦定理 222 1bacac，1b 18解： （）0.015a， 22 12 ss； （）设事件A：在高一学生中随机抽取 1 人，其锻炼时间不大于 20 分钟， 事件B：在高二学生中随机抽取 1 人，其锻炼时间不大于 20 分钟， 事件C：在高一、高二学生中随机抽取 1 人，恰有一个学生锻炼时间大于 20 分钟，且另一个不大于 20 分 钟， 则 0.20 0.100.30P A ， 0.10 0.200.30P B ， 0.42P CP A P BP A P B （）26.5x ，由条件得26.5,142.75ZN， 从而26.5 1
14、1.9526.5 11.950.6826PZ， 从高二中随机抽取 10 人，其锻炼时间值位于14.55,38.45的概率是 06826， 根据题意得10,0.6826XB，10 0.68266.826EX 19解： （）证明：连接 1 BC， 1 AC， 因为O，E分别为 1 BC，AB中点，所以 1 OEAC， 因为OE平面 11 ACC A， 1 AC 平面 11 ACC A， 所以OE平面 11 ACC A （）因为AO 平面 11 BBCC， 11 BBCC为菱形，如图建立空间直角坐标系Oxyz， 设2BC ，因为 1 60CBB， 11 coscoscosACCACOOCC， 所以
15、2 cos 2 ACO，所以1AO，所以 3,0,0B，0, 1,0C， 1 3,0,0C ，0,0,1A， 1 3,1,1A ，所以 31 ,0, 22 E ， 设 111 01CFC A，所以 3, ,F ，所以 3 31 , , 22 EF , 设平面 11 AACC的法向量, ,nx y z，因为0,1,1CA， 1 3,1,0CC ， 所以 0 30 yz xy ，所以n的一组解为 1, 3,3n ， 由题可得 2 2 33 7 271 7 42 EF n EF n ，解得 1 2 ，0（舍） ， 所以 1 11 1 2 C F C A 20解： （） 将 3 1, 2 P 代入曲线
16、C的方程得2a；由椭圆定义可知曲线C的轨迹为以1,0，1,0为 焦点的椭圆， 所以C的标准方程为 22 1 43 xy （）设 11 ,B x y， 22 ,D xy，BD的中点 00 ,M x y 设BD的方程为1xmy，则AF的方程为1ym x，所以4, 3Am 将直线BD与椭圆C的方程联立 22 1 34120 xmy xy ， 得 22 34690mymy 则 12 2 6 34 m yy m ， 12 2 9 34 yy m ， 22 43 , 34 34 m M mm ， 3 4 OAOM m kk ， OA平分线段BD 2 31AFm， 2 2 2 1212 2 121 14 3
17、4 m BDmyyyy m 2 2 41 34 BDm AFm ，令 2 11tm ， 2 44 1 1 31 3 BDt AFt t t （当且仅当“1t ”时取等号） BD AF 的最大值为 1 法二：AFx， 3 cos AF ， 2 22 222 21212 4sin3cos cos 2 ab BD ac ， 2 4cos4 1 3 3cos cos cos BD AF （当且仅当cos1时取得等号） 21解： （）由题意得：0a， 2 2sin2f xxxx，定义域为xR， 2cos22fxxx ， 2sin20fxx ， fx 在xR上为减函数 0220f ， 20f 由零点存在定
18、理可知， fx在0,x上必存在一点 0 x使 0 0fx 当 0 ,xx 时， 0fx，即 f x在 0 ,xx 上为增函数， 当 0, xx时， 0fx，即 f x在 0, xx上为减函数， f x极大值 0 f x， 故 f x至多有两个零点，又 00f，20f， 故0x，2x是 f x的两个零点，由 022f，222f， 易得出两切线方程为：22yx或 2 2244yx （）由（）易知 102 xxx， 设 2 222sin2F xxxxx， 22cos2Fxxx ， 2sin20Fxx ， 22cos2F xxx 在xR上为增函数， 00 F 当,0x 时， 0Fx，即 F x在,0x
19、 上为减函数， 当0,x时， 0Fx，即 F x在0,x上为增函数， 00F xF，即 2 222sin2xxxx， 设22yx与ya的交点横坐标为 3 x， 2 11113 222sin222xxxxax， 22yx为增函数， 31 22 a xx ， 同理设 2 2 222sin2G xxxxx， 242cos2G xxx ， 2sin20Gxx ， 242cos2G xxx 在xR上为增函数， 20G ， 当2 ,x时， 0G x，即 G x在2 ,x上为增函数， 当,2x 时， 0G x，即 G x在,2x 上为减函数， 20G xG，即 2 2222sin2xxxx， 设222yx与
20、ya的交点横坐标为 4 x， 2 22224 2222sin2222xxxxax， 222yx为减函数， 42 2 22 a xx ， 故： 2143 2 4 22 22221 aa xxxx ， 2 21 1 2xxa 得证 22选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 解： （）由题设得2 11 yy xx ， 化简得 2 2 11 4 y xx l的直角坐标方程为23110xy （）由（）可设C的参数方程为 cos 2sin x y ， （为参数， ） C上的点到l的距离为 2cos2 3sin11 7 4cos11 3 7 当 2 3 时，4cos11 3 取得最小值 7，
21、 故C上的点到l距离的最小值为7 23选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲 解： （）由题意得： f xg x在xR上恒成立， 23mxx在xR上恒成立 min 32mxx， 又 32235xxxx， 当且仅当230xx，即3,2x 时等号成立 5m，即,5m （）令 0f x ，2xm， 若0m时，解集为，不合题意； 若0m时，2mxm ，2,2xmm ，又1,3x， 1m，综上所述：1m， 22aba b ， 22 1 a b a 0 0 a b ，解得1a ， 224 13 11 a abaa aa ， 4 2137 1 aba a ，当且仅当 4 1 1 a a ，即3a 时等号成立， 此时 22 4 1 a b a 当3a ，4b时，min7ab
