北京市西城区2019-2020高三诊断性数学(二模)试卷(含答案)

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1、 1 / 12 西城区高三诊断西城区高三诊断性性测试测试 数学数学 2020.5 第卷第卷(选择题(选择题 共共 40 分)分) 一、选择题一、选择题:本大题共:本大题共 10 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 40 分分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求 的一项的一项 01设集合 3Ax x,2 ,Bx xk kZ,则AB= (A)0,2 (B)2,2 (C)2,0,2 (D)2, 1,0,1,2 02若复数z满足i1iz ,则在复平面内z对应的点位于 (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 03下列函数中,

2、值域为R且区间(0,)上单调递增的是 (A) 3 yx (B)yx x (C) 1 yx (D)yx 04抛物线 2 4xy的准线方程为 (A)1x (B)1x (C)1y (D)1y 05在ABC中,若: :4:5:6a b c ,则其最大内角的余弦值为 (A) 1 8 (B) 1 4 (C) 3 10 (D) 3 5 06设 0.2 3a , 3 log 2b , 0.2 log3c ,则 (A)acb (B)abc (C)bca (D)bac 07某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 (A)6 (B)4 (C)3 (D)2 08若圆 22 420xyxya与x轴,y轴均有公共点,

3、则实数a的取值范围是 (A)(,1 (B)(,0 (C)0,) (D)5,) 09若向量a与b不共线,则“0ab”是“2abab”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 10设函数( )(1)exf xx若关于x的不等式( )1f xax有且仅有一个整数解,则正数a的取值范围是 2 / 12 (A)(0,e (B) 2 (0,e (C) 2 e 1, 2 (D) 2 e1 1, 2 第卷第卷(非选择题(非选择题 共共 110 分)分) 二、二、填空填空题题:本大题共:本大题共 5 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 25 分分 1

4、1设平面向量(1, 2)a,( ,2)kb满足ab,则b_ 12若双曲线 22 2 1(0) 16 xy a a 经过点(2,0),则该双曲线渐近线的方程为_ 13设函数 2 ( )sin22cosf xxx,则函数( )f x的最小正周期为_;若对于任意xR,都有( )f xm成 立,则实数m的最小值为_ 14甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛,其中有两人最终获奖在比赛结果揭晓之前,四人的猜测如 下表,其中“”表示猜测某人获奖, “”表示猜测某人未获奖,而“”则表示对某人是否获奖 未发表意见已知四个人中有且只有两个人的猜测是完全正确定的,那么两名获奖者是_,_ 甲获奖 乙获奖 丙获奖 丁获奖

5、 甲的猜测 乙的猜测 丙的猜测 丁的猜测 15在四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,PA底面ABCD,4PAAB,, ,E F H分别是棱 ,PB BC PD的中点,对于平面EFH截四棱锥PABCD所得的截面多边形,有以下三个结论: 截面的面积等于4 6; 截面是一个五边形; 截面只与四棱锥PABCD四条侧棱中的三条相交 其中,所有正确结论的序号是_ 三、解答题三、解答题:本大题共:本大题共 6 小题,共小题,共 85 分分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 16 (本小题满分 14 分) 如图,在几何体ABCDEF中,底面ABCD是

6、边长为2的正方形,DE 平面ABCD,DEBF,且 22DEBF ()求证:平面BCF 平面ADE; ()求钝二面角DAEF的余弦值 3 / 12 17 (本小题满分 14 分) 从前n项和 2 () n Snp pR, 1 3 nn aa , 6 11a 且 12 2 nnn aaa 这三个条件中任选一个, 补充到下面的问题中,并完成解答 在数列 n a中, 1 1a ,_,其中 * nN ()求 n a的通项公式; ()若 1, , nm a a a成等比数列,其中 * ,m nN,且1mn,求m的最小值 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分 18 (本小题满分 14 分) 某花

7、卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨,通过试验田培育,得到了这些康乃馨种子在当地环境下 的发芽率,并按发芽率分为 8 组:0.486,0.536),0.536,0.586),0.836,0.886)加以统计,得到 如图所示的频率分布直方图 企业对康乃馨的种子进行分级,将发芽率不低于0.736的种子定为“A 级” ,发芽率低于0.736但不低 于0.636的种子定为“B 级” ,发芽率低于0.636的种子定为“C 级” ()现从这些康乃馨种子中随机抽取一种,估计该种子不是“C 级”种子的概率; ()该花卉企业销售花种,且每份“A 级” 、 “B 级” “C 级”康乃馨种子的售价分别为 20 元、1

8、5 元、 10 元某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份,共花费X元,以频率为概率, 求X的分布列和数学期望; ()企业改进了花卉培育技术,使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的1.1倍,那么对于这些康 乃馨的种子,与旧的发芽率数据的方差相比,技术改进后发芽率数据的方差是否发生变化?若 发生变化,是变大了还是变小了?(结论不需要证明) 4 / 12 19 (本小题满分 14 分) 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 1 2 ,右焦点为F,点( ,0)A a,且1AF ()求椭圆C的方程; ()过点F的直线l(不与x轴重合)交椭圆C于点,M N,直线,MA

9、 NA分别与直线4x 交于点P, Q,求PFQ的大小 20 (本小题满分 15 分) 设函数( )ecos x f xax,其中aR ()已知函数( )f x为偶函数,求a的值; ()若1a ,证明:当0x 时,( )2f x ; ()若( )f x在区间0,内有两个不同的零点,求a的取值范围 5 / 12 21 (本小题满分 14 分) 设N为正整数,区间,1 kkk Ia a(其中 k a R,1,2,kN)同时满足下列两个条件: 对任意0,100x,存在k使得 k xI; 对任意1,2,kN,存在0,100x,使得 i xI(其中1,2,1,1,ikkN) ()判断(1,2,) k ak

10、N能否等于1k 或1 2 k ; (结论不需要证明) ()求N的最小值; ()研究N是否存在最大值,若存在,求出N的最大值;若不在在,说明理由 6 / 12 数学参考答案 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 10 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 40 分分. 1C 2A 3B 4D 5. A 6. B 7. D 8. A 9. A 10. D 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 5 小小题,每小题题,每小题 5 分,共分,共 25 分分. 112 5 12 2yx 13, 21 14乙,丁 15 注:第 14 题全部选对得 5 分,其他得 0 分;第 15 题全部选对得

11、 5 分,不选或有错选得 0 分,其他得 3 分. 三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 6 小题,共小题,共 85 分分. 其他正确解答过程,请参照评分标准给分其他正确解答过程,请参照评分标准给分. 16 (本小题满分 14 分) 解: ()因为 /DEBF,DE 平面ADE,BF 平面ADE, 所以/BF平面ADE. 3 分 同理,得/BC平面ADE. 又因为BCBFB,BC 平面BCF,BF 平面BCF, 所以平面/BCF平面ADE. 6 分 ()由DE 平面ABCD,底面ABCD为正方形, 得,DA DCDE两两垂直,故分别以, ,DA DCDE为x轴,y轴,z轴,如图建立空间直角

12、坐 标系, 7 分 则(0,0,0)D,(0,0,2)E,(2,2,1)F,(2,0,0)A, 所以( 2,0,2)AE ,(0,2,1)AF . 8 分 设平面AEF的法向量( , , )x y zn, 由0AE n,0AF n,得 220, 20, xz yz 令1y ,得( 2,1, 2) n. 11 分 平面DAE的法向量 (0,1,0)m. 设钝二面角DAEF的平面角为, 则 1 |cos| |cos,| | | |3 m n m n mn , A B C F E D y x z 7 / 12 所以 1 cos 3 ,即钝二面角D AEF的余弦值为 1 3 . 14 分 17 (本小

13、题满分 14 分) 解:选择 : () 当1n 时,由 11 1Sa,得0p . 2 分 当2n时,由题意,得 2 1 (1) n Sn , 3 分 所以 1 21 nnn aSSn ( 2n). 5 分 经检验, 1 1a 符合上式, 所以21 () n annN* *. 6 分 ()由 1, , nm a a a成等比数列,得 2 1nm aaa, 8 分 即 2 (21)1 (21)nm . 9 分 化简,得 22 11 2212() 22 mnnn , 11 分 因为m,n是大于 1 的正整数,且mn, 所以当2n 时,m有最小值5 14 分 选择 : ()因为 1 3 nn aa ,

14、所以 1 3 nn aa 2 分 所以数列 n a是公差3d 的等差数列 4 分 所以 1 (1)32() n aandnnN* *. 6 分 ()由 1, , nm a a a成等比数列,得 2 1nm aaa, 8 分 即 2 (32)1 (32)nm . 9 分 化简,得 22 22 3423() 33 mnnn, 11 分 因为m,n是大于 1 的正整数,且mn, 所以当2n 时,m取到最小值 6 14 分 选择 : () 由 12 2 nnn aaa ,得 121nnnn aaaa . 所以数列 n a是等差数列 2 分 又因为 1 1a , 61 511aad, 8 / 12 所以

15、2d 4 分 所以 1 (1)21() n aandnnN* *. 6 分 () 因为 1, , nm a a a成等比数列,所以 2 1nm aaa, 8 分 即 2 (21)1 (21)nm . 9 分 化简,得 22 11 2212() 22 mnnn , 11 分 因为m,n是大于 1 的正整数,且mn, 所以当2n 时,m有最小值5 14 分 18 (本小题满分 14 分) 解: ()设事件M为: “从这些康乃馨种子中随机抽取一种,且该种子不是“C 级”种子” , 1 分 由图表,得(0.4 1.24.06.04.4 1.20.4) 0.051a, 解得2.4a . 2 分 由图表,

16、知“C 级”种子的频率为(0.4 1.22.4) 0.050.2, 3 分 故可估计从这些康乃馨种子中随机抽取一种,该种子是“C 级”的概率为0.2. 因为事件M与事件“从这些康乃馨种子中随机抽取一种,且该种子是“C 级”种子”为对立事 件, 所以事件M的概率()1 0.20.8P M . 5 分 () 由题意,任取一种种子,恰好是“A 级”康乃馨的概率为(4.4 1.20.4) 0.050.3, 恰好是“B 级”康乃馨的概率为(4.06.0) 0.050.5, 恰好是“C 级”的概率为(0.4 1.22.4) 0.050.2. 7 分 随机变量X的可能取值有20,25,30,35,40, 且

17、(20)0.2 0.20.04P X , (25)0.2 0.50.5 0.20.2P X , (30)0.5 0.50.3 0.20.2 0.30.37P X , (35)0.3 0.50.5 0.30.3P X , (40)0.3 0.30.09P X . 9 分 所以X的分布列为: X 20 25 30 35 40 P 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09 9 / 12 10 分 故X的数学期望()20 0.0425 0.230 0.3735 0.340 0.0931E X . 11 分 ()与旧的发芽率数据的方差相比,技术改进后发芽率数据的方差变大了. 14 分 19 (本小题

18、满分 14 分) 解: ()由题意得 1 , 2 1, c a ac 解得2a ,1c , 3 分 从而 22 3bac, 所以椭圆C的方程为 22 1 43 xy 5 分 ()当直线l的斜率不存在时,有 3 (1, ) 2 M, 3 (1,) 2 N,(4, 3)P,(4,3)Q,(1,0)F, 则(3, 3)FP ,(3,3)FQ ,故0FP FQ,即90PFQ 6 分 当直线l的斜率存在时,设 :(1)l yk x ,其中0k 7 分 联立 22 (1), 3412, yk x xy 得 2222 (43)84120kxk xk 8 分 由题意,知0 恒成立, 设 11 ( ,)M x

19、y, 22 (,)N xy,则 2 12 2 8 43 k xx k , 2 12 2 412 43 k x x k 9 分 直线MA的方程为 1 1 (2) 2 y yx x 10 分 令4x ,得 1 1 2 2 P y y x ,即 1 1 2 (4,) 2 y P x 11 分 同理可得 2 2 2 (4,) 2 y Q x 12 分 所以 1 1 2 (3,) 2 y FP x , 2 2 2 (3,) 2 y FQ x 因为 12 12 4 9 (2)(2) y y FP FQ xx 2 12 12 4(1)(1) 9 (2)(2) kxx xx 2 1212 1212 4()1

20、9 2()4 kx xxx x xxx 22 2 22 22 22 4128 4(1) 4343 9 41216 4 4343 kk k kk kk kk 2222 222 4(412)8(43) 9 (412)164(43) kkkk kkk 0, 所以90PFQ M P A F N x y O Q 10 / 12 综上,90PFQ. 14 分 20 (本小题满分 15 分) 解: ()函数 ( )f x为偶函数, 所以 ( )()ff ,即 e1e1aa , 2 分 解得0a . 验证知0a 符合题意. 4 分 ()( )esin x fxx. 6 分 由0x ,得e1 x ,sin 1,

21、1x , 7 分 则( )esin0 x fxx,即( )f x在(0,)上为增函数. 故( )(0)2f xf,即( )2f x . 9 分 ()由( )ecos0 x f xax,得 cos ex x a . 设函数 cos ( ) ex x h x ,0,x, 10 分 则 sincos ( ) ex xx h x . 11 分 令( )0h x,得 3 4 x . 随着x变化, ( )h x 与 ( )h x的变化情况如下表所示: x 3 (0,) 4 3 4 3 (,) 4 ( )h x 0 ( )h x 极大值 所以 ( )h x在 3 (0,) 4 上单调递增,在 3 (,) 4

22、 上单调递减. 13 分 又因为(0)1h , ()eh , 3 4 32 ()e 42 h , 所以当 3 4 2 e ,e) 2 a 时,方程 cos ex x a 在区间0,内有两个不同解,且在区间 3 0,) 4 与 3 (, 4 上各有一个解. 即所求实数a的取值范围为 3 4 2 e,e) 2 . 15 分 11 / 12 21 (本小题满分 14 分) 解:() k a可以等于1k ,但 k a不能等于1 2 k . 3 分 () 记ba为区间 , a b的长度, 则区间0,100的长度为100, k I的长度为1. 由,得100N. 6 分 又因为 1 0,1I , 2 1,2

23、I , 100 99,100I显然满足条件,. 所以N的最小值为100. 8 分 () N的最大值存在,且为200. 9 分 解答如下: (1)首先,证明200N. 由,得 12 , N I II互不相同,且对于任意k,0,100 k I . 不妨设 12n aaa. 如果 2 0a,那么对于条件,当1k 时,不存在0,100x,使得 i xI(2,3,)iN. 这与题意不符,故 2 0a . 10 分 如果 11 1 kk aa ,那么 11kkk III , 这与条件中“存在0,100x,使得 i xI(1,2,1,1,)ikkN”矛盾, 故 11 1 kk aa . 所以 42 11aa

24、 , 64 12aa , 200198 199aa , 则 200 1100a . 故 12200 0,100III. 若存在 201 I,这与条件中“存在0,100x,使得 i xI(1,2,200)i ”矛盾, 所以200N. 12 分 (2)给出200N 存在的例子 . 令 1100 (1) 2199 k ak ,其中1,2,200k ,即 12200 ,a aa为等差数列,公差 100 199 d . 由1d ,知 1kk II ,则易得 12200 1 201 , 22 III , 所以 12200 ,I II满足条件. 又公差 1001 1992 d , 所以100(1) 199 k kI,100(1) 199 i kI(1,2,1,1,)ikkN.(注:100(1) 199 k 12 / 12 为区间 k I的中点对应的数) 所以 12200 ,I II满足条件. 综合(1) (2)可知N的最大值存在,且为200. 14 分

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