1、 1 / 12 西城区高三诊断西城区高三诊断性性测试测试 数学数学 2020.5 第卷第卷（选择题（选择题 共共 40 分）分） 一、选择题一、选择题：本大题共：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求 的一项的一项 01设集合 3Ax x，2 ,Bx xk kZ，则AB= （A）0,2 （B）2,2 （C）2,0,2 （D）2, 1,0,1,2 02若复数z满足i1iz ，则在复平面内z对应的点位于 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 03下列函数中，
2、值域为R且区间(0,)上单调递增的是 （A） 3 yx （B）yx x （C） 1 yx （D）yx 04抛物线 2 4xy的准线方程为 （A）1x （B）1x （C）1y （D）1y 05在ABC中，若: :4:5:6a b c ，则其最大内角的余弦值为 （A） 1 8 （B） 1 4 （C） 3 10 （D） 3 5 06设 0.2 3a ， 3 log 2b ， 0.2 log3c ，则 （A）acb （B）abc （C）bca （D）bac 07某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 （A）6 （B）4 （C）3 （D）2 08若圆 22 420xyxya与x轴，y轴均有公共点，
3、则实数a的取值范围是 （A）(,1 （B）(,0 （C）0,) （D）5,) 09若向量a与b不共线，则“0ab”是“2abab”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 10设函数( )(1)exf xx若关于x的不等式( )1f xax有且仅有一个整数解，则正数a的取值范围是 2 / 12 （A）(0,e （B） 2 (0,e （C） 2 e 1, 2 （D） 2 e1 1, 2 第卷第卷（非选择题（非选择题 共共 110 分）分） 二、二、填空填空题题：本大题共：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分 1
4、1设平面向量(1, 2)a，( ,2)kb满足ab，则b_ 12若双曲线 22 2 1(0) 16 xy a a 经过点(2,0)，则该双曲线渐近线的方程为_ 13设函数 2 ( )sin22cosf xxx，则函数( )f x的最小正周期为_；若对于任意xR，都有( )f xm成 立，则实数m的最小值为_ 14甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，其中有两人最终获奖在比赛结果揭晓之前，四人的猜测如 下表，其中“”表示猜测某人获奖， “”表示猜测某人未获奖，而“”则表示对某人是否获奖 未发表意见已知四个人中有且只有两个人的猜测是完全正确定的，那么两名获奖者是_，_ 甲获奖 乙获奖 丙获奖 丁获奖
5、 甲的猜测 乙的猜测 丙的猜测 丁的猜测 15在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PA底面ABCD，4PAAB，, ,E F H分别是棱 ,PB BC PD的中点，对于平面EFH截四棱锥PABCD所得的截面多边形，有以下三个结论： 截面的面积等于4 6； 截面是一个五边形； 截面只与四棱锥PABCD四条侧棱中的三条相交 其中，所有正确结论的序号是_ 三、解答题三、解答题：本大题共：本大题共 6 小题，共小题，共 85 分分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 16 （本小题满分 14 分） 如图，在几何体ABCDEF中，底面ABCD是
6、边长为2的正方形，DE 平面ABCD，DEBF，且 22DEBF （）求证：平面BCF 平面ADE； （）求钝二面角DAEF的余弦值 3 / 12 17 （本小题满分 14 分） 从前n项和 2 () n Snp pR， 1 3 nn aa ， 6 11a 且 12 2 nnn aaa 这三个条件中任选一个， 补充到下面的问题中，并完成解答 在数列 n a中， 1 1a ，_，其中 * nN （）求 n a的通项公式； （）若 1, , nm a a a成等比数列，其中 * ,m nN，且1mn，求m的最小值 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 18 （本小题满分 14 分） 某花
7、卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃馨种子在当地环境下 的发芽率，并按发芽率分为 8 组：0.486,0.536)，0.536,0.586)，0.836,0.886)加以统计，得到 如图所示的频率分布直方图 企业对康乃馨的种子进行分级，将发芽率不低于0.736的种子定为“A 级” ，发芽率低于0.736但不低 于0.636的种子定为“B 级” ，发芽率低于0.636的种子定为“C 级” （）现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，估计该种子不是“C 级”种子的概率； （）该花卉企业销售花种，且每份“A 级” 、 “B 级” “C 级”康乃馨种子的售价分别为 20 元、1
8、5 元、 10 元某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花费X元，以频率为概率， 求X的分布列和数学期望； （）企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的1.1倍，那么对于这些康 乃馨的种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差是否发生变化？若 发生变化，是变大了还是变小了？（结论不需要证明） 4 / 12 19 （本小题满分 14 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 1 2 ，右焦点为F，点( ,0)A a，且1AF （）求椭圆C的方程； （）过点F的直线l（不与x轴重合）交椭圆C于点,M N，直线,MA
9、 NA分别与直线4x 交于点P， Q，求PFQ的大小 20 （本小题满分 15 分） 设函数( )ecos x f xax，其中aR （）已知函数( )f x为偶函数，求a的值； （）若1a ，证明：当0x 时，( )2f x ； （）若( )f x在区间0,内有两个不同的零点，求a的取值范围 5 / 12 21 （本小题满分 14 分） 设N为正整数，区间,1 kkk Ia a（其中 k a R，1,2,kN）同时满足下列两个条件： 对任意0,100x，存在k使得 k xI； 对任意1,2,kN，存在0,100x，使得 i xI（其中1,2,1,1,ikkN） （）判断(1,2,) k ak
10、N能否等于1k 或1 2 k ； （结论不需要证明） （）求N的最小值； （）研究N是否存在最大值，若存在，求出N的最大值；若不在在，说明理由 6 / 12 数学参考答案 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分. 1C 2A 3B 4D 5. A 6. B 7. D 8. A 9. A 10. D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 小小题，每小题题，每小题 5 分，共分，共 25 分分. 112 5 12 2yx 13， 21 14乙，丁 15 注：第 14 题全部选对得 5 分，其他得 0 分；第 15 题全部选对得
11、 5 分，不选或有错选得 0 分，其他得 3 分. 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 85 分分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 16 （本小题满分 14 分） 解： （）因为 /DEBF，DE 平面ADE，BF 平面ADE， 所以/BF平面ADE. 3 分 同理，得/BC平面ADE. 又因为BCBFB，BC 平面BCF，BF 平面BCF， 所以平面/BCF平面ADE. 6 分 （）由DE 平面ABCD，底面ABCD为正方形， 得,DA DCDE两两垂直，故分别以, ,DA DCDE为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角
12、坐 标系， 7 分 则(0,0,0)D，(0,0,2)E，(2,2,1)F，(2,0,0)A， 所以( 2,0,2)AE ，(0,2,1)AF . 8 分 设平面AEF的法向量( , , )x y zn， 由0AE n，0AF n，得 220, 20, xz yz 令1y ，得( 2,1, 2) n. 11 分 平面DAE的法向量 (0,1,0)m. 设钝二面角DAEF的平面角为， 则 1 |cos| |cos,| | | |3 m n m n mn ， A B C F E D y x z 7 / 12 所以 1 cos 3 ，即钝二面角D AEF的余弦值为 1 3 . 14 分 17 （本小
13、题满分 14 分） 解：选择 ： () 当1n 时，由 11 1Sa，得0p . 2 分 当2n时，由题意，得 2 1 (1) n Sn ， 3 分 所以 1 21 nnn aSSn （ 2n）. 5 分 经检验， 1 1a 符合上式， 所以21 () n annN* *. 6 分 ()由 1, , nm a a a成等比数列，得 2 1nm aaa， 8 分 即 2 (21)1 (21)nm . 9 分 化简，得 22 11 2212() 22 mnnn ， 11 分 因为m，n是大于 1 的正整数，且mn， 所以当2n 时，m有最小值5 14 分 选择 : ()因为 1 3 nn aa ，
14、所以 1 3 nn aa 2 分 所以数列 n a是公差3d 的等差数列 4 分 所以 1 (1)32() n aandnnN* *. 6 分 ()由 1, , nm a a a成等比数列，得 2 1nm aaa， 8 分 即 2 (32)1 (32)nm . 9 分 化简，得 22 22 3423() 33 mnnn， 11 分 因为m，n是大于 1 的正整数，且mn， 所以当2n 时，m取到最小值 6 14 分 选择 ： () 由 12 2 nnn aaa ，得 121nnnn aaaa . 所以数列 n a是等差数列 2 分 又因为 1 1a ， 61 511aad， 8 / 12 所以
15、2d 4 分 所以 1 (1)21() n aandnnN* *. 6 分 () 因为 1, , nm a a a成等比数列，所以 2 1nm aaa， 8 分 即 2 (21)1 (21)nm . 9 分 化简，得 22 11 2212() 22 mnnn ， 11 分 因为m，n是大于 1 的正整数，且mn， 所以当2n 时，m有最小值5 14 分 18 （本小题满分 14 分） 解： （）设事件M为： “从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子不是“C 级”种子” ， 1 分 由图表，得(0.4 1.24.06.04.4 1.20.4) 0.051a， 解得2.4a . 2 分 由图表，
16、知“C 级”种子的频率为(0.4 1.22.4) 0.050.2， 3 分 故可估计从这些康乃馨种子中随机抽取一种，该种子是“C 级”的概率为0.2. 因为事件M与事件“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子是“C 级”种子”为对立事 件， 所以事件M的概率()1 0.20.8P M . 5 分 （） 由题意，任取一种种子，恰好是“A 级”康乃馨的概率为(4.4 1.20.4) 0.050.3， 恰好是“B 级”康乃馨的概率为(4.06.0) 0.050.5， 恰好是“C 级”的概率为(0.4 1.22.4) 0.050.2. 7 分 随机变量X的可能取值有20，25，30，35，40， 且
17、(20)0.2 0.20.04P X ， (25)0.2 0.50.5 0.20.2P X ， (30)0.5 0.50.3 0.20.2 0.30.37P X ， (35)0.3 0.50.5 0.30.3P X ， (40)0.3 0.30.09P X . 9 分 所以X的分布列为： X 20 25 30 35 40 P 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09 9 / 12 10 分 故X的数学期望()20 0.0425 0.230 0.3735 0.340 0.0931E X . 11 分 （）与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差变大了. 14 分 19 （本小题
18、满分 14 分） 解： （）由题意得 1 , 2 1, c a ac 解得2a ，1c ， 3 分 从而 22 3bac， 所以椭圆C的方程为 22 1 43 xy 5 分 （）当直线l的斜率不存在时，有 3 (1, ) 2 M， 3 (1,) 2 N，(4, 3)P，(4,3)Q，(1,0)F， 则(3, 3)FP ，(3,3)FQ ，故0FP FQ，即90PFQ 6 分 当直线l的斜率存在时，设 :(1)l yk x ，其中0k 7 分 联立 22 (1), 3412, yk x xy 得 2222 (43)84120kxk xk 8 分 由题意，知0 恒成立， 设 11 ( ,)M x
19、y， 22 (,)N xy，则 2 12 2 8 43 k xx k ， 2 12 2 412 43 k x x k 9 分 直线MA的方程为 1 1 (2) 2 y yx x 10 分 令4x ，得 1 1 2 2 P y y x ，即 1 1 2 (4,) 2 y P x 11 分 同理可得 2 2 2 (4,) 2 y Q x 12 分 所以 1 1 2 (3,) 2 y FP x ， 2 2 2 (3,) 2 y FQ x 因为 12 12 4 9 (2)(2) y y FP FQ xx 2 12 12 4(1)(1) 9 (2)(2) kxx xx 2 1212 1212 4()1
20、9 2()4 kx xxx x xxx 22 2 22 22 22 4128 4(1) 4343 9 41216 4 4343 kk k kk kk kk 2222 222 4(412)8(43) 9 (412)164(43) kkkk kkk 0， 所以90PFQ M P A F N x y O Q 10 / 12 综上，90PFQ. 14 分 20 （本小题满分 15 分） 解： （）函数 ( )f x为偶函数， 所以 ( )()ff ，即 e1e1aa ， 2 分 解得0a . 验证知0a 符合题意. 4 分 （）( )esin x fxx. 6 分 由0x ，得e1 x ，sin 1,
21、1x ， 7 分 则( )esin0 x fxx，即( )f x在(0,)上为增函数. 故( )(0)2f xf，即( )2f x . 9 分 （）由( )ecos0 x f xax，得 cos ex x a . 设函数 cos ( ) ex x h x ，0,x， 10 分 则 sincos ( ) ex xx h x . 11 分 令( )0h x，得 3 4 x . 随着x变化， ( )h x 与 ( )h x的变化情况如下表所示： x 3 (0,) 4 3 4 3 (,) 4 ( )h x 0 ( )h x 极大值 所以 ( )h x在 3 (0,) 4 上单调递增，在 3 (,) 4
22、 上单调递减. 13 分 又因为(0)1h ， ()eh ， 3 4 32 ()e 42 h ， 所以当 3 4 2 e ,e) 2 a 时，方程 cos ex x a 在区间0,内有两个不同解，且在区间 3 0,) 4 与 3 (, 4 上各有一个解. 即所求实数a的取值范围为 3 4 2 e,e) 2 . 15 分 11 / 12 21 （本小题满分 14 分） 解：() k a可以等于1k ，但 k a不能等于1 2 k . 3 分 () 记ba为区间 , a b的长度， 则区间0,100的长度为100， k I的长度为1. 由，得100N. 6 分 又因为 1 0,1I ， 2 1,2
23、I ， 100 99,100I显然满足条件，. 所以N的最小值为100. 8 分 () N的最大值存在，且为200. 9 分 解答如下： （1）首先，证明200N. 由,得 12 , N I II互不相同，且对于任意k，0,100 k I . 不妨设 12n aaa. 如果 2 0a，那么对于条件，当1k 时，不存在0,100x，使得 i xI(2,3,)iN. 这与题意不符，故 2 0a . 10 分 如果 11 1 kk aa ，那么 11kkk III ， 这与条件中“存在0,100x，使得 i xI(1,2,1,1,)ikkN”矛盾， 故 11 1 kk aa . 所以 42 11aa
24、 ， 64 12aa ， 200198 199aa ， 则 200 1100a . 故 12200 0,100III. 若存在 201 I，这与条件中“存在0,100x，使得 i xI(1,2,200)i ”矛盾， 所以200N. 12 分 （2）给出200N 存在的例子 . 令 1100 (1) 2199 k ak ，其中1,2,200k ，即 12200 ,a aa为等差数列，公差 100 199 d . 由1d ，知 1kk II ，则易得 12200 1 201 , 22 III ， 所以 12200 ,I II满足条件. 又公差 1001 1992 d ， 所以100(1) 199 k kI，100(1) 199 i kI(1,2,1,1,)ikkN.（注：100(1) 199 k 12 / 12 为区间 k I的中点对应的数） 所以 12200 ,I II满足条件. 综合（1） （2）可知N的最大值存在，且为200. 14 分
