1、已知复数 z13+4i，z2t+i（其中 i 为虚数单位） ，且是实数，则实数 t 等于 6 （3 分）如果实数 x，y 满足：，则目标函数 z4x+y 的最大值为 7 （3 分）如图，已知正方体 ABCDA1B1C1D1，AA12，E 为棱 CC1的中点，则点 A1到 平面 ADE 的距离为 8 （3 分）正方形 ABCD 在平面 M 的同一侧，若 A、B、C 三点到 M 的距离分别是 2、3、4， 则直线 BD 与平面 M 的位置关系是 9 （3 分）如图，RtABC 的直角顶点 A 在平面 内，BC，AB、AC 与 分 别成 30，45角，则 BC 与平面 的距离是 10 （3 分）已知
2、 z1，z2C，下列命题： （1）若，则 z1z20； （2）若|z|1，则1z1； （3）若 z1z2，则 z1z20； （4）若，则 z 是纯虚数； 第 2 页（共 20 页） 其中真命题的序号是 11 （3 分）下列五个正方体图形中，l 是正方形的一条对角线，点 M、N、P 分别为其所在 棱的中点， 能得出 l面 MNP 的图形的序号是 （写出所有符合要求的图形序号） 12 （3 分）已知复数 z1，z2满足|z1|1，1Rez21，1Imz21，若 zz1+z2，则 z 在复平面上对应的点组成的图形的面积为 二、选择题二、选择题 13 （3 分）已知空间三条直线 l、m、n若 l 与
3、m 异面，且 l 与 n 异面，则（ ） Am 与 n 异面 Bm 与 n 相交 Cm 与 n 平行 Dm 与 n 异面、相交、平行均有可能 14（3 分） 若 m、 n 为两条不同的直线， 、 为两个不同的平面， 则以下命题正确的是 （ ） A若 m，n，则 mn B若 mn，m，则 n C若 m，n，则 mn D若 m，mn，则 n 15 （3 分）已知集合 Az|z+5i|z5i|8，zC与 Bz|z|4，zC，则集合 AB 中 的元素个数为（ ） A1 B2 C3 D4 16 （3 分）四棱锥 PABCD 底面为正方形，侧面 PAD 为等边三角形，且侧面 PAD底面 ABCD，点 M
4、在底面正方形 ABCD 内运动，且满足 MPMC，则点 M 在正方形 ABCD 内 的轨迹一定是（ ） 第 3 页（共 20 页） A B C D 三、解答题三、解答题 17已知关于 x 的一元二次方程 x22x+m0 （1）若 m2，求此时方程的解； （2）若方程的一个根 满足|2，求实数 m 的值 18已知三种食品 P、Q、R 的维生素含量与成本如表所示，现将 x 公斤的食品 P、y 公斤的 食品 Q、z 公斤的食品 R 混合，制成 10 公斤的混合物如果这 10 公斤的混合物中至少要 含 320 单位的维生素 A 与 640 单位的维生素 B 食品 P 食品 Q 食品 R 维生素 A（单
5、位/公斤） 40 30 30 维生素 B（单位/公斤） 60 80 40 成本（元/公斤） 7 8 5 （1）当 x1，y2 时，求 10 公斤混合物中维生素 A 的总含量； （2）当 x、y、z 为何值时，混合物的成本为最小？ 19如图，已知四棱锥 PABCD，底面 ABCD 为矩形，PAAB2，AD2AB，PA平面 ABCD，E，F 分别是 BC，PC 的中点 （1）求直线 FB 与平面 ABCD 所成的角的余弦值； （2）求二面角 FAED 的大小（用反三角函数表示） 第 4 页（共 20 页） 20已知虚数 z 使得是实数 （1）求|z|的值； （2）求 m 的取值范围； （3）若（z
6、+2） （1+i）是纯虚数，求 z 的值 21如图，在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是棱 AB、AD 的中点 （1）求异面直线 BC1与 EF 所成角的大小； （2）连接 AC，与 EF 交于点 M，点 N 在线段 A1C 上移动求证 MN 与 EF 保持垂直； （3）已知点 G 是直线 A1E 上一点，过直线 B1D1和点 G 的平面交平面 A1EF 于直线 GH， 试根据点 G 的不同位置，判断直线 B1D1与直线 DH 的位置关系，并证明你的结论 第 5 页（共 20 页） 2018-2019 学年上海市杨浦区控江中学高二（下）期中数学试卷学年上海市杨浦区
7、控江中学高二（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题一、填空题 1 （3 分）复数 1i 的虚部是 1 【分析】利用虚部的定义即可得出 【解答】解：复数 1i 的虚部是1 故答案为：1 【点评】本题考查了复数虚部的定义，属于基础题 2 （3 分）两条异面直线所成的角的取值范围是 （0， 【分析】由异面直线所成角的定义求解 【解答】解：由异面直线所成角的定义可知： 过空间一点，分别作相应直线的平行线，两条相交直线所成的直角或锐角为异面直线所 成的角 故两条异面直线所成的角的取值范围是（0， 故答案为： （0， 【点评】本题主要考查异面直线所成的角，同时，还考查了转化思
8、想，属基础题 3 （3 分）若两直线 a、b 与面 所成的角相等，则 a 与 b 的位置关系是 平行或相交或异 面 【分析】不妨设直线 a、b 与面 所成的角为 0，则 a，b 与平面 平行或 a，b 在平面 上，从而得出 a，b 的位置关系 【解答】解：假设直线 a、b 与面 所成的角均为 0，则 a，b 在平面 上，或 a，b 与 平行 若 a，b，则 a，b 平行或相交 若 a，b，则 ab 或 a 与 b 异面 故答案为：平行或相交或异面 【点评】本题考查了空间直线的位置关系，直线与平面所成的角，属于基础题 4 （3 分）计算： 第 6 页（共 20 页） 【分析】利用复数代数形式的乘
9、除运算化简，转化为三角形式，再由三角形式的运算化 简得答案 【解答】解：， cos+isin cos+isin 故答案为： 【点评】本题考查复数代数形式化为三角形式，考查复数三角形式的运算，是基础题 5 （3 分）已知复数 z13+4i，z2t+i（其中 i 为虚数单位） ，且是实数，则实数 t 等于 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为 0 求得 t 的值 【解答】解：z13+4i，z2t+i， （3+4i） （ti）3t+4+（4t3）i， 是实数， 4t30，得 t 故答案为： 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础的计算题 6 （3 分）如果实
10、数 x，y 满足：，则目标函数 z4x+y 的最大值为 【分析】作出不等式组表示的平面区域，再将直线 l：z3x4y 进行平移，得当 l 经过 点 A 时，z 达到最大值，联解方程组得 A 点坐标，代入目标函数，即可求得 z3x4y 的最大值 【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如右图阴影部分三角形 将直线 l：z4x+y 进行平移，可知它越向上、向右移，z 的值越大 当 l 经过点 A 时，z 达到最大值 由，解得 x，y 第 7 页（共 20 页） A 的坐标为（，） ，z 最大值为 4+ 故答案为： 【点评】本题给出线性约束条件，求目标函数的最大值，着重考查了二元一次不等式组 表示的
11、平面区域和简单线性规划等知识，属于基础题 7 （3 分）如图，已知正方体 ABCDA1B1C1D1，AA12，E 为棱 CC1的中点，则点 A1到 平面 ADE 的距离为 【分析】 由已知分别求出三角形 ADE 与三角形 A1AD 的面积， 再由求 点 A1到平面 ADE 的距离 【解答】解：E 为棱 CC1的中点，CE1，则 DE ， ，E 到平面 A1AD 的距离为 2， 设点 A1到平面 ADE 的距离为 h 由，得， 即，得 h 故答案为： 第 8 页（共 20 页） 【点评】本题考查空间中点到面距离的求法，训练了利用等积法求多面体的体积，是中 档题 8 （3 分）正方形 ABCD 在
12、平面 M 的同一侧，若 A、B、C 三点到 M 的距离分别是 2、3、4， 则直线 BD 与平面 M 的位置关系是 BD平面 M 【分析】因为 ABCD，ABCD，并且 B 比 A 高 1，所以 C 比 D 高 1，可得点 D 到平 面的距离为 3，再利用空间中点与平面的位置关系可得答案 【解答】解：因为 ABCD，ABCD，并且 B 比 A 高 1， 所以 C 比 D 高 1， 所以点 D 到平面的距离为 3， 因为正方形 ABCD 在平面 M 的同一侧，并且 B 点到 M 的距离是 3， 所以直线 BD平面 M 故答案为：BD平面 M 【点评】本题主要考查空间中点、线、面的位置关系，考查学
13、生的空间想象能力，此题 属于基础题 9 （3 分）如图，RtABC 的直角顶点 A 在平面 内，BC，AB、AC 与 分 别成 30，45角，则 BC 与平面 的距离是 2 【分析】分别过 C、B 向平面 引垂线 CC1、BB1，垂足分别为 C1、B1设 CC1BB1 x，则在直角三角形 ABC 中分别表示出 AB 和 AC，再由利用勾股定理求得 x 得答案 【解答】解：分别过 C、B 向平面 引垂线 CC1、BB1，垂足分别为 C1、B1 设 CC1BB1x， 第 9 页（共 20 页） 则 AC2（）22x2， AB2（）24x2 又 AC2+BA2CB2， 6x2，x2 BC 与平面 的
14、距离是 2 故答案为：2 【点评】本题主要考查了点到面的距离计算，解决本题的关键在于根据条件表示出 AC， AB，再由勾股定理求解，是中档题 10 （3 分）已知 z1，z2C，下列命题： （1）若，则 z1z20； （2）若|z|1，则1z1； （3）若 z1z2，则 z1z20； （4）若，则 z 是纯虚数； 其中真命题的序号是 【分析】 （1）取 z1i，z21，验证即可； （2）取验证即可； （3）若 z1z2，则 z1，z2是实数，可得 z1z20； （4）取 z0，验证即可； 【解答】解： （1）取 z1i，z21，则，不满足 z1z20，故错； （2）取满足|z|1，不满足1z1
15、，故错； （3）若 z1z2，则 z1，z2是实数，故 z1z20，故正确； （4）取 z0，满足，可是 z 不是纯虚数，故错； 故答案为： 【点评】本题考查了复数的定义、运算性质，属于中档题 第 10 页（共 20 页） 11 （3 分）下列五个正方体图形中，l 是正方形的一条对角线，点 M、N、P 分别为其所在 棱的中点， 能得出 l面 MNP 的图形的序号是 （写出所有符合要求的图形序 号） 【分析】能得出 l面 MNP，关键是看平面 MNP 中有没有与 1 垂直的直线，逐一判断即 可 【解答】解：如图，设正方体为 ABCDA1B1C1D1 在题图中，连结 AB1，则 AB1MN，又 A
16、B1是 l 在面 ABB1A1内的射影， lMN同理，lMP l平面 MNP故符合 在题图中，延长 MP 交 C1D1的延长线于 E，连结 NE，若 l面 MNP，则 lNE 又 C1D 是 l 在平面 CDD1C 内的射影，CD1C1D， lCD1l平面 CDD1C1，矛盾不符合 在题图中，平面 MNP 与题图中的平面 MNP 不是同一平面，它们又过同一点， 题图不符合 在题图中，lMP，lMN， l平面 MNP延长 PM 交 AB 于 F，取 CD 的中点 G，则 GNMP， G平面 MNP连结 FG 交 BC 于 H，则 H平面 MNP，可证 H 是 BC 的中点 题图与题图中的平面 M
17、NP 实为同一平面 也符合 答案： 第 11 页（共 20 页） 【点评】点评：本题要先想象直观判断哪些图形符合，再加以推理，考查了空间想象能 力、反证法、线面的位置关系等知识，通过这个试题可看出试题在向增加思维量、综合 考查同学们的各种能力转化 12 （3 分）已知复数 z1，z2满足|z1|1，1Rez21，1Imz21，若 zz1+z2，则 z 在复平面上对应的点组成的图形的面积为 12+ 【分析】由题意设出 z1、z2，结合 zz1+z2得到 z 的轨迹（xa）2+（yb）21，由圆 心变化得到 z 所对应点的图形，则面积可求 【解答】解：复数 z1，z2满足|z1|1，1Rez21，
18、1Imz21， 则可设 z1cos+isin，z2a+bi（1a1，1b1） ， 由 zz1+z2，得 z（a+cos）+（b+sin）i， 设 zx+yi，则， （xa）2+（yb）21 当 a，b 变化时，z 点的轨迹如图： 则 z 在复平面上对应的点组成的图形的面积为： 图中内部边长为 2 的正方形面积+四个长为 2 宽为 1 的长方形面积+四个四分之一圆的面 积 等于 故答案为：12+ 【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查数形结合的解题思想方法，关 键是对题意的理解，属中档题 二、选择题二、选择题 13 （3 分）已知空间三条直线 l、m、n若 l 与 m 异面，且 l
19、与 n 异面，则（ ） 第 12 页（共 20 页） Am 与 n 异面 Bm 与 n 相交 Cm 与 n 平行 Dm 与 n 异面、相交、平行均有可能 【分析】可根据题目中的信息作图判断即可 【解答】解：空间三条直线 l、m、n若 l 与 m 异面，且 l 与 n 异面， m 与 n 可能异面（如图 3） ，也可能平行（图 1） ，也可能相交（图 2） ， 故选：D 【点评】本题考查平面的基本性质，着重考查学生的理解与转化能力，考查数形结合思 想，属于基础题 14（3 分） 若 m、 n 为两条不同的直线， 、 为两个不同的平面， 则以下命题正确的是 （ ） A若 m，n，则 mn B若 m
20、n，m，则 n C若 m，n，则 mn D若 m，mn，则 n 【分析】A，m，n，则 m 与 n 位置关系不定； B，由线面垂直的性质定理可得 n 是正确的 C，m，n 可能相交，也可能平行，也可能异面 D，若 m，mn，则 m 与 相交或 m 【解答】解：A，m，n，则 m 与 n 位置关系不定，故错； B：由线面垂直的性质定理可得：若 mn，m，则 n 是正确的，故正确 C，若 m，n，则 m，n 可能相交，也可能平行，也可能异面，故错误 D，若 m，mn，则 m 与 相交，或 m，故错误 故选：B 第 13 页（共 20 页） 【点评】本题考查的知识点是，判断命题真假，比较综合的考查平
21、行与垂直，我们可以 根据立体几何中平行与垂直的一些性质对四个结论逐一进行判断， 可以得到正确的结论 15 （3 分）已知集合 Az|z+5i|z5i|8，zC与 Bz|z|4，zC，则集合 AB 中 的元素个数为（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】由|z5i|z+5i|8，得 z 为以（0，5） ， （0，5）为焦点，实轴长为 4 的双曲 线的下支方程为1（y4） ；由|z|4，得 z 是以 O（0，0）为圆心，以 4 为半径的圆，由此能求出集合 AB 中的元素个数 【解答】解：|z5i|z+5i|8 表示 z 到（0，5） （0，5）的距离差为 8 z 为以（0，5） ， （0，5）为焦
22、点，实轴长为 4 的双曲线的下支 方程为1（y4） ， |z|4，z 是以 O（0，0）为圆心，以 4 为半径的圆， 方程为 x2+y216， AB（0，4） 集合 AB 中的元素个数为 1 故选：A 【点评】本题考查交集中元素个数的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能 力，是基础题 16 （3 分）四棱锥 PABCD 底面为正方形，侧面 PAD 为等边三角形，且侧面 PAD底面 ABCD，点 M 在底面正方形 ABCD 内运动，且满足 MPMC，则点 M 在正方形 ABCD 内 的轨迹一定是（ ） 第 14 页（共 20 页） A B C D 【分析】先确定轨迹是 2 个平面的交线，
23、PC 的中垂面 和正方形 ABCD 的交线，再确 定交线的准确位置，即找到交线上的 2 个固定点 【解答】解：MPMC， M 在 PC 的中垂面 上，点 M 在正方形 ABCD 内的轨迹一定是平面 和正方形 ABCD 的交线， ABCD 为正方形，侧面 PAD 为等边三角形， PDCD，取 PC 的中点 N，有 DNPC， 取 AB 中点 H，可证 CHHP， HNPC， 点 M 在正方形 ABCD 内的轨迹一定是 HD 故选：B 【点评】本题考查面面垂直的性质，轨迹的确定方法 三、解答题三、解答题 17已知关于 x 的一元二次方程 x22x+m0 （1）若 m2，求此时方程的解； （2）若方
24、程的一个根 满足|2，求实数 m 的值 【分析】 （1）当 m2，判别式0，方程有两个互为共轭的虚根，根据求根公式求得 即可 （2）根据方程的一个根 满足|2，当方程的解为实数根时，由|2 得 2，代 入原方程得 m 的值；当方程的解为虚数根时，则两根互为共轭复数，可由韦达定理解得 m 的值 第 15 页（共 20 页） 【解答】解： （1）当 m2，原方程为 x22x+20，求根公式求解得：x1 i 故方程的解为：x11+i，x21i （2）依题意，方程的根 满足|2，当方程的解为实数根时，由|2 得 2，代 入原方程得 m0 或 m8当方程的解为虚数根时，令 a+bi，另一根为 abi 由
25、韦达定理，m4 综上，m0 或 m8 或 m4 【点评】本题考查了一元二次方程的解得情况，当判别式0 时，有两个实数解；当判 别式0 时，有两个虚数解，它们是共轭复数本题属于基础题 18已知三种食品 P、Q、R 的维生素含量与成本如表所示，现将 x 公斤的食品 P、y 公斤的 食品 Q、z 公斤的食品 R 混合，制成 10 公斤的混合物如果这 10 公斤的混合物中至少要 含 320 单位的维生素 A 与 640 单位的维生素 B 食品 P 食品 Q 食品 R 维生素 A（单位/公斤） 40 30 30 维生素 B（单位/公斤） 60 80 40 成本（元/公斤） 7 8 5 （1）当 x1，y
26、2 时，求 10 公斤混合物中维生素 A 的总含量； （2）当 x、y、z 为何值时，混合物的成本为最小？ 【分析】 （1）当 x1，y2 时，z7，根据表格即可求出 10 公斤混合物中维生素 A 的 总含量； （2）由题意可知，x+y+z10，z10xy，设混合物的成本为 B，B7x+8y+5z 2x+3y+50，目标函数 m2x+3y， 变量 x，y 需满足的约束条件为：，画出可行域，利用线性规划的知识即可 求解 【解答】解： （1）当 x1，y2 时，z7， 第 16 页（共 20 页） 所以 10 公斤混合物中维生素 A 的总含量为：40+230+730310（公斤） ， （2）由题意
27、可知，x+y+z10，则 z10xy， 设混合物的成本为 B，B7x+8y+5z2x+3y+50， 根据题意 xy，z 需满足，把 z10xy 代入得：， 又xN，yN，zN， 变量 x，y 需满足的约束条件为：， 目标函数 m2x+3y， 画出可行域，如图所示： 当目标函数 m 过点 P 时，取得最小值， 由得：， 目标函数 m 的最小值为：22+3519， 当 x2，y5，z3 时，混合物的成本为最小，最小值为 19+5069 【点评】本题主要考查了函数的实际应用，以及简单的二元线性规划，是中档题 19如图，已知四棱锥 PABCD，底面 ABCD 为矩形，PAAB2，AD2AB，PA平面
28、ABCD，E，F 分别是 BC，PC 的中点 第 17 页（共 20 页） （1）求直线 FB 与平面 ABCD 所成的角的余弦值； （2）求二面角 FAED 的大小（用反三角函数表示） 【分析】先根据题意可建立如图所示的空间直角坐标系，并求出各点的坐标， （1）求出直线 FB 的方向向量与平面 ABCD 的法向量，利用向量的夹角公式即可得出； （2）求出平面 FAE 的法向量以及平面 AED 的法向量，利用向量公式可求得其正切值， 再用反三角表示即可 【解答】解：依题意，以 A 为坐标原点，AB，AD，AP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A（0，
29、0，0） ，B（2，0，0） ，C（2，4，0） ，D（0，4，0） ，P（0，0，2） ，E（2，2， 0） ，F（1，2，1） ， （1）易知平面 ABCD 的一个法向量为，又， 设直线FB与平面ABCD所成的角为，则 ， ，即直线 FB 与平面 ABCD 所成的角的余弦值为 ； （2），设平面 FAE 的一个法向量为， 则，可取， 易知平面AED的一个法向量为，故 ， 由图可知，为锐角， 第 18 页（共 20 页） ， ， 故二面角 FAED 的大小为 【点评】本题主要考查利用空间向量解决空间角问题，同时也涉及了反三角的表示，考 查计算能力，属于基础题 20已知虚数 z 使得是实数 （
30、1）求|z|的值； （2）求 m 的取值范围； （3）若（z+2） （1+i）是纯虚数，求 z 的值 【分析】 （1）设 za+bi，代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部 为 0 求解； （2）由（1）中得到的 a2+b24，化简实部可得 m 的取值范围； （3）把 z 代入（z+2） （1+i） ，利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为 0 且虚部不 为 0 求得 a，b 的值，则 z 可求 【解答】解： （1）设 za+bi， 则 依题意，得 a2+b24， ； （2）； （3）由（1）za+bi， 第 19 页（共 20 页） 且 a2+b24（z+2） （1+i）（a+2+
31、bi） （1+i）（a+2b）+（a+2+b） i 当此式为纯虚数时，a+2b0， 联立方程组求得（舍）或 z2i 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 21如图，在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是棱 AB、AD 的中点 （1）求异面直线 BC1与 EF 所成角的大小； （2）连接 AC，与 EF 交于点 M，点 N 在线段 A1C 上移动求证 MN 与 EF 保持垂直； （3）已知点 G 是直线 A1E 上一点，过直线 B1D1和点 G 的平面交平面 A1EF 于直线 GH， 试根据点 G 的不同位置，判断直线 B1D1与直线
32、DH 的位置关系，并证明你的结论 【分析】 （1）如图所示，连接 BD，DC1，可得BDC1为等边三角形可得异面直线 BC1 与 EF 所成角为DBC1 （2）由正方体的性质可得：BD平面 ACC1A1，可得 BDMN，进而证明结论 （3）过直线 B1D1和点 G 的平面交平面 A1EF 于直线 GH，由 EFBD，BDB1D1，可 得 EFB1D1，可得直线 B1D1与直线 DH 不可能平行，进而判断出位置关系 【解答】解： （1）如图所示，连接 BD，DC1，可得BDC1为等边三角形 EFBD，异面直线 BC1与 EF 所成角为DBC1，大小为 （2）由正方体的性质可得：BD平面 ACC1A1，又 MN平面 ACC1A1， BDMN，又 EFBD，NNEF （3）过直线 B1D1和点 G 的平面交平面 A1EF 于直线 GH， EFBD，BDB1D1， EFB1D1， 直线 B1D1与直线 DH 不可能平行 当三点 D1，B，H 共线时，DHB1D1D1，此时直线 B1D1与直线 DH 相交，点 H 为直 第 20 页（共 20 页） 线 A1F 上其它点时，直线 B1D1与直线 DH 为异面直线 【点评】本题考查了考查了正方体的性质、等边三角形的性质、异面直线所成的角，考 查了推理能力与计算能力，属于基础题
