2018-2019学年上海市杨浦区控江中学高二(上)期末数学试卷(含详细解答)

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1、在一张画有直角坐标系的足够大的白纸上,画两个圆分别是O1: (x2)2+(y 1)22,O2: (x+3)2+(y+3)22,并将这两个圆的圆内部分均涂满阴影,过原 点画一条斜率为 k 的直线 l, 沿着 l 将该纸剪成两张纸 若两张纸上阴影部分的面积相等, 则 k 的值的集合为 二、选择题(本大题满分二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 第 2 页(共 16 页) 答题纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得答题纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分分,否则一律得零分

2、 13 (5 分)已知常数 D、E、F 是实数,则“D2+E24F0”是“方程 x2+y2+Dx+Ey+F0 是圆方程”的( ) A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 14 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,设点集 G(x,y)|y2x,则 G 中的点都落在曲 线( ) A上 By2|x|上 C上 Dx2y 上 15 (5 分)已知曲线的参数方程(0) 若以下曲线中有一个是,则 曲线是( ) A B C D 16 (5 分)已知 A、B 是双曲线的左、右顶点,动点 P 在上且 P 在第一 象限若 PA、PB 的斜率分别为 k1,k2,则以下总为定值的是(

3、 ) Ak1+k2 B|k1k2| Ck1k2 D 三、解答题(本大题满分三、解答题(本大题满分 0 分)本大题共分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规应编号的规 定区域内写出必要的步骤定区域内写出必要的步骤 17设常数 mR,已知两条直线 l1:mx+3y10,l2:x+(m2)y+10 (1)若 l1与 l2垂直,求 m 的值 (2)若 l1与 l2平行,求 m 的值 18在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A 的坐标为(1,0) ,点 B 的坐标为(1,0) ,动 第 3 页(共 16 页) 点 P(x,y)满足 (1)若 P 在线段

4、AB 上,求 P 的坐标 (2)证明 P 总落在一个定圆上,并给出该定圆的方程 19已知过点 P(2,0)的直线 l 与抛物线 C:y24x 交于 A、B 两点 (1)若直线 l 的倾斜角为 30,求 l 与抛物线 C 的准线的交点坐标 (2)求弦长|AB|的最小值,并给出相应的直线 l 的方程 20已知双曲线的右顶点为 A,点 B 的坐标为 (1)设双曲线的两条渐近线的夹角为 ,求 cos (2)设点 D 是双曲线上的动点,若点 N 满足、,求点 N 的轨迹方程 (3)过点 B 的动直线 l 交双曲线于 P、Q 两个不同的点,M 为线段 PQ 的中点,求直 线 AM 斜率的取值范围 21定义

5、:曲线称为椭圆的“倒椭圆” 已知椭圆, 它的“倒椭圆” (1)写出“倒椭圆”C2的一条对称轴、一个对称中心;并写出其上动点横坐标 x 的取值 范围 (2)过“倒椭圆”C2上的点 P,作直线 PA 垂直于 x 轴且垂足为点 A,作直线 PB 垂直于 y 轴且垂足为点 B,求证:直线 AB 与椭圆 C1只有一个公共点 (3)是否存在直线 l 与椭圆 C1无公共点,且与“倒椭圆”C2无公共点?若存在,请给 出满足条件的直线 l,并说明理由;若不存在,请说明理由 第 4 页(共 16 页) 2018-2019 学年上海市杨浦区控江中学高二(上)期末数学试卷学年上海市杨浦区控江中学高二(上)期末数学试卷

6、 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题(本大题满分一、填空题(本大题满分 54 分)本大题共有分)本大题共有 12 题,考生应在答题纸相应空格内填写结果,题,考生应在答题纸相应空格内填写结果, 第第 16 题每个空格填对得题每个空格填对得 4 分,第分,第 712 题每个空格题每个空格填对得填对得 5 分,否则一律得零分分,否则一律得零分 1 (4 分)设非零向量 是直线的一个方向向量,则 可以是 () (只 需填写一个) 【分析】直接利用直线的斜率和向量的关系的应用求出结果 【解答】解:直线的整理得:3x2y30,则 k 故非零向量 为() , 故答案为: () 【点评】本题考查

7、的知识要点:直线我的方程的应用,直线的斜率和向量的关系的应用, 主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型 2 (4 分)直线 y2x+1 与圆 x2+y21 的位置关系是 相交 【分析】求出圆心点到直线的距离小于半径,可得直线和圆相交 【解答】解:根据圆心(0,0)到直线 y2x+1 的距离为,小于半径 1,可得 直线和圆相交, 故答案为:相交 【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的判定,点到直线的距离公式的应用,属于 基础题 3 (4 分)若直线 l 的参数方程是(tR) ,则 l 的斜率为 2 【分析】根据题意,将直线的参数方程变形为普通方程,据此分析可得答案 【解答】解

8、:根据题意,直线 l 的参数方程是(tR) ,其普通方程为 y+1 2(x2) , 其斜率 k2; 故答案为:2 【点评】本题考查直线的参数方程,注意将直线的方程变形为普通方程,属于基础题 第 5 页(共 16 页) 4 (4 分)已知点 A 的坐标为(5,0) ,点 B 是圆(x1)2+(y2)21 上的动点,则线 段 AB 的长的最大值为 【分析】由题意画出图形,利用两点间的距离公式求出 A 与圆心的距离,则线段 AB 的 长的最大值可求 【解答】解:如图, 圆(x1)2+(y2)21 的圆心坐标为(1,2) ,半径为 1, 则线段 AB 的长的最大值为 故答案为: 【点评】本题考查直线与

9、圆位置关系的应用,考查数形结合的解题思想方法,是基础题 5 (4 分)已知椭圆中心在原点,一个焦点为(,0) ,且长轴长是短轴长的 2 倍,则该 椭圆的标准方程是 【分析】先根据题意 a2b,c并且 a2b2+c2求出 a,b,c 的值,代入标准方程得 到答案 【解答】解:根据题意知 a2b,c 又a2b2+c2 a24 b21 1 故答案为:1 【点评】 本题主要考查椭圆的标准方程, 要注意双曲线与椭圆 a、 b、 c 三者关系的不同 属 基础题 6 (4 分)抛物线 y22px(p0)上的动点 Q 到焦点的距离的最小值为 1,则 p 2 第 6 页(共 16 页) 【分析】利用抛物线的顶点

10、到焦点的距离最小,即可得出结论 【解答】解:因为抛物线 y22px(p0)上的动点 Q 到焦点的距离的最小值为 1, 所以1, 所以 p2 故答案为:2 【点评】本题考查抛物线的方程与性质,考查学生的计算能力,比较基础 7 (5 分)已知双曲线(常数 0)的一条渐近线为 y2x,则 4 【分析】利用双曲线的标准方程写出其渐近线方程是解决本题的关键,根据已知给出的 一条渐近线方程对比求出 b 的值 【解答】解:该双曲线的一条渐近线方程为:, 由题意该双曲线的一条渐近线的方程为 y2x,又 0,可以得出 4 故答案为:4 【点评】本题考查根据双曲线方程求解其渐近线方程的方法,考查学生对双曲线标准方

11、 程和渐近线方程的认识和互相转化,考查学生的比较思想,属于基本题型 8 (5 分)已知椭圆的右焦点为 F,过原点 O 作直线交椭圆于 A、B 两点,点 A 在 x 轴的上方若三角形 ABF 的面积为 2,则点 A(p,q)的纵坐标 q 【分析】求出椭圆的右焦点的坐标,利用三角形的面积,转化求解 A 的纵坐标即可 【解答】解:椭圆的右焦点为 F(3,0) , 过原点 O 作直线交椭圆于 A、B 两点,点 A 在 x 轴的上方若三角形 ABF 的面积为 2, 设 A 的纵坐标为 q, 可得, 解得 q 故答案为: 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,三角形的面积的求法,考查转化思想以及计 第 7

12、 页(共 16 页) 算能力,是基础题 9 (5 分)若实数 x、y 满足,则 y2x 的取值范围为 2,2 【分析】把已知方程变形,令 ty2x,得 y2x+t,联立后求出曲线与直线相切时的 t 值,画出图形,数形结合即可求得 t 的范围 【解答】解:由,得(y0) 令 ty2x,得 y2x+t 联立,得 8x2+4tx+t240 由16t232(t24)12816t20,得 t 如图, 又当直线 ty2x 过(1,0)时 t2, y2x 的取值范围为2,2 故答案为:2,2 【点评】本题考查直线与圆锥曲线位置关系的应用,考查数形结合的解题思想方法,训 练了利用待定系数法求最值,是中档题 1

13、0 (5 分) 已知双曲线, F1, F2是的左右焦点, 点 P 是上的点, 若|PF1| |PF2|4,则的值为 0 【分析】求得双曲线的焦点坐标,设|PF1|m,|PF2|n,运用双曲线的定义和勾股定理 的逆定理可得 PF1PF2,再由向量垂直的条件:数量积为 0,可得所求值 【解答】解:F1(,0) ,F2(,0)是的左右焦点, 设|PF1|m,|PF2|n,由双曲线的定义可得|mn|2a2, 又 mn4,可得 m2+n212+2mn12+820, 第 8 页(共 16 页) 而|F1F2|24c220, 即有|PF1|2+|PF2|2|F1F2|2, 可得 PF1PF2, 即0 故答案

14、为:0 【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质,考查向量数量积的定义和性质,考查运 算能力,属于基础题 11 (5 分)已知点 A 的坐标为(0,2) ,点 P 是抛物线 y4x2上的点,则使得OPA 是等 腰三角形的点 P 的个数是 6 【分析】抛物线上的点设出,由等腰三角形分 3 种情况讨论可得,由 6 个符合条件的点 【解答】解:如图所示:由题意设 P 坐标(x,4x2) ,OPA 是等腰三角形分 3 种情况: OPOA 时:x2+16x44,即:16x2+x240,x2有一个值,所以 x 有 2 个值,即有 2 个 p 点符合条件; OPAP,x2+16x4x2+(4x22)2,解得

15、:x2,同符合条件的 P 有 2 个; OAAP:4x2+(4x22)2解得:x2,也有 2 个点, 综上符合条件的 P 点共有 6 个; 故答案为:6 【点评】考查抛物线的性质,属于中档题 12 (5 分)在一张画有直角坐标系的足够大的白纸上,画两个圆分别是O1: (x2)2+(y 1)22,O2: (x+3)2+(y+3)22,并将这两个圆的圆内部分均涂满阴影,过原 点画一条斜率为 k 的直线 l, 沿着 l 将该纸剪成两张纸 若两张纸上阴影部分的面积相等, 则 k 的值的集合为 (,2,+) 【分析】根据题意,分析直线 l 的方程以及两个圆的圆心,分析可得两圆的圆心不会同 时在直线 l

16、上,结合直线与圆的位置关系可得两圆的圆心 O1、O2在直线 l 的两侧且两圆 第 9 页(共 16 页) 圆心到直线 l 的距离相等或两圆的圆心 O1、O2在直线 l 的两侧且直线 l 与两圆都相离或 相切,据此分析可得 k 的值,即可得答案 【解答】解:根据题意,直线 l 为过原点且斜率为 k 的直线,则直线 l 的方程为 ykx, 即 kxy0; O1: (x2)2+(y1)22,其圆心为(2,2) ,O2: (x+3)2+(y+3)22,其圆 心为(3,3) ; 两圆的圆心不会同时在直线 l 上, 若两张纸上阴影部分的面积相等,则有 2 种情况: 、两圆的圆心 O1、O2在直线 l 的两

17、侧且两圆圆心到直线 l 的距离相等, 则有,解可得 k2; 、两圆的圆心 O1、O2在直线 l 的两侧且直线 l 与两圆都相离或相切, 则有,解可得:k或 k, 故 k 的值的集合为(,2,+) ; 故答案为: (,2,+) 【点评】本题考查直线与圆的位置关系,涉及点到直线的距离公式,注意分析阴影部分 的面积相等的条件,属于综合题 二、选择题(本大题满分二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题纸的相应编答题纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律

18、得零分分,否则一律得零分 13 (5 分)已知常数 D、E、F 是实数,则“D2+E24F0”是“方程 x2+y2+Dx+Ey+F0 是圆方程”的( ) A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 【分析】利用圆的一般方程,结合配方法求出圆的标准方程形式,求出圆的等价条件, 结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可 第 10 页(共 16 页) 【解答】解:x2+y2+Dx+Ey+F0 等价为(x+)2+(y+)2,若方程表 示圆,则 D2+E24F0, 即“D2+E24F0”是“方程 x2+y2+Dx+Ey+F0 是圆方程”的充要条件, 故选:A 【点评】本题主要

19、考查充分条件和必要条件的判断,结合圆的一般方程和标准方程的关 系进行转化是解决本题的关键比较基础 14 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,设点集 G(x,y)|y2x,则 G 中的点都落在曲 线( ) A上 By2|x|上 C上 Dx2y 上 【分析】利用抛物线的性质以及抛物线的图形,判断选项的正误即可 【解答】解:在平面直角坐标系 xOy 中,设点集 G(x,y)|y2x,图形是抛物线开 口向右,顶点在坐标原点,对称轴为 x 轴,所以 G 中的点都落在曲线 y2|x|上 故选:B 【点评】本题考查曲线与方程的关系,是基本知识的考查,基础题 15 (5 分)已知曲线的参数方程(0) 若以

20、下曲线中有一个是,则 曲线是( ) A B C D 【分析】根据题意,将曲线的参数方程变形为普通方程,结合椭圆的标准方程以及参数 的取值范围分析可得答案 【解答】解:根据题意,曲线的参数方程(0) ,变形可得+y2 1, (0x2,1y1) , 第 11 页(共 16 页) 其图形为椭圆+y21 的右半部分; 故选:B 【点评】本题考查椭圆的参数方程,注意参数的取值范围,属于基础题 16 (5 分)已知 A、B 是双曲线的左、右顶点,动点 P 在上且 P 在第一 象限若 PA、PB 的斜率分别为 k1,k2,则以下总为定值的是( ) Ak1+k2 B|k1k2| Ck1k2 D 【分析】求得双

21、曲线的顶点坐标,设 P(m,n) ,代入双曲线的方程,运用直线的斜率公 式,计算斜率乘积可得所求定值 【解答】解:A(2,0) 、B(2,0)是双曲线的左、右顶点, 设 P(m,n) ,可得1,即有, k1k2 故选:C 【点评】本题考查双曲线的方程和性质,考查直线的斜率公式的运用,化简运算能力, 属于基础题 三、解答题(本大题满分三、解答题(本大题满分 0 分)本大题共分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤定区域内写出必要的步骤 17设常数 mR,已知两条直线 l1:mx+3y10,l2:x+(m2)y+10

22、 (1)若 l1与 l2垂直,求 m 的值 (2)若 l1与 l2平行,求 m 的值 【分析】 (1)根据题意,由直线垂直的判断方法,分析可得 m+3(m2)0,解可得 m 的值; (2)根据题意,由直线平行的性质可得 m(m2)133,解可得 m 的值,验证直 线是否重合即可得答案 【解答】解: (1)根据题意,直线 l1:mx+3y10,l2:x+(m2)y+10 第 12 页(共 16 页) 若 l1与 l2垂直,必有 m+3(m2)0, 解可得 m; (2)直线 l1:mx+3y10,l2:x+(m2)y+10, 若 l1与 l2平行,必有 m(m2)133, 解可得:m1 或 3,

23、当 m1 时,直线 l1:x+3y10,l2:x3y+10,两条直线重合,不合题意; 当 m3 时,直线 l1:3x+3y10,l2:x+y+10,两条直线平行,符合题意; 故 m3 【点评】本题考查直线的一般式方程以及直线平行、垂直的判断,属于基础题 18在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A 的坐标为(1,0) ,点 B 的坐标为(1,0) ,动 点 P(x,y)满足 (1)若 P 在线段 AB 上,求 P 的坐标 (2)证明 P 总落在一个定圆上,并给出该定圆的方程 【分析】 (1)根据题意,分析可得 P 在 x 轴上,设 P 的坐标为(x,0) ,且1x1, 进而分析可得(x+1)2

24、(1x) ,解可得 x 的值,即可得答案; (2) 根据题意, 设 P 的坐标为 (x, y) , 由分析可得 (x+1) 2+y24 (x1)2+4y2, 变形可得方程 x2+y2x+10,由圆的一般方程形式分析可得结论 【解答】解: (1)根据题意,点 A 的坐标为(1,0) ,点 B 的坐标为(1,0) , 若 P 在线段 AB 上,则 P 在 x 轴上,设 P 的坐标为(x,0) ,且1x1, 又由,即|PA|2|PB|, 则有(x+1)2(1x) ,解可得:x, 故 P 的坐标为(,0) ; (2)证明:根据题意,设 P 的坐标为(x,y) ; 若,即|PA|2|PB|,则有(x+1

25、)2+y24(x1)2+4y2, 变形可得:x2+y2x+10,其表示一个圆; 故点 P 总落在一个定圆上,且该圆的方程为 x2+y2x+10 第 13 页(共 16 页) 【点评】本题考查轨迹方程的计算,注意轨迹方程的求法步骤即可,属于基础题 19已知过点 P(2,0)的直线 l 与抛物线 C:y24x 交于 A、B 两点 (1)若直线 l 的倾斜角为 30,求 l 与抛物线 C 的准线的交点坐标 (2)求弦长|AB|的最小值,并给出相应的直线 l 的方程 【分析】 (1)由题意直接写出直线 l 的方程,及准线方程,联立方程组即可求出交点坐 标; (2)设直线方程,联立抛物线方程得出纵坐标的

26、和与积,利用弦长公式可得关于参数平 方的二次函数,进而解出弦长的最小值即此时的参数的值,写出直线方程即可 【解答】解: (1)由抛物线方程可得,准线方程为:x1;直线 l 的倾斜角为 30 时, 直线 l 的方程为:y(x2) ,与准线联立得:x1,y, 所以 l 与抛物线 C 的准线的交点坐标为: (1,) ; (2) ,设 A(x,y) ,B(x,y) ,显然直线 l 的斜率不为零,设直线 l 的方程为:xmy+2, 代入抛物线方程得:y24my80,y+y4m,yy8, 所以弦长|AB|yy| 4, m20,所以当 m20 时,弦长|AB|最小值为 4, 这时直线 l 的方程为:x2 【

27、点评】考查直线与抛物线相交的弦长公式,属于基础题 20已知双曲线的右顶点为 A,点 B 的坐标为 (1)设双曲线的两条渐近线的夹角为 ,求 cos (2)设点 D 是双曲线上的动点,若点 N 满足、,求点 N 的轨迹方程 (3)过点 B 的动直线 l 交双曲线于 P、Q 两个不同的点,M 为线段 PQ 的中点,求直 线 AM 斜率的取值范围 【分析】 (1)求得双曲线的渐近线方程,运用两直线的夹角公式,以及同角的基本关系 式可得所求值; (2)设 D(x0,y0) ,由题意可得 N 为 BD 的中点,由坐标转移法和中点坐标公式,可得 所求轨迹方程; 第 14 页(共 16 页) (3)设过点

28、B 的动直线 l 的方程为 yk(x1) ,联立双曲线的方程,由判别式大 于 0 和韦达定理,中点坐标公式以及直线的斜率公式,不等式的性质,即可得到所求范 围 【解答】解: (1)双曲线的渐近线方程为 yx 和 yx, 即有 tan|2,且 0, 由2,sin2+cos21,解得 cos; (2)设 D(x0,y0) ,可得 2x02y024, 点 N(x,y)满足,可得 N 为 BD 的中点, 由点 B 的坐标为,可得 2x1+x0,2y+y0, 即 x02x1,y02y, 则 2(2x1)2(2y)24,可得 N 的轨迹方程为 2(x)2(y)21; (3)设过点 B 的动直线 l 的方程

29、为 yk(x1) , 代入双曲线方程 2x2y24,可得(2k2)x22k(k)x4(k)20,k , 由4k2(k)2+4(2k2) (4+(k)2)0,解得3k或 k, 设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,可得 x1+x2, 即有 PQ 的中点 M(,) , 可得直线 AM 的斜率为 kAM, 由3k或k,可得 kAM(43,)(, ) 【点评】本题考查双曲线的方程和性质,考查直线方程和双曲线方程联立,运用判别式 大于 0,以及韦达定理,中点坐标公式,考查化简运算能力和推理能力,属于难题 第 15 页(共 16 页) 21定义:曲线称为椭圆的“倒椭圆” 已知椭圆, 它的“倒椭圆”

30、(1)写出“倒椭圆”C2的一条对称轴、一个对称中心;并写出其上动点横坐标 x 的取值 范围 (2)过“倒椭圆”C2上的点 P,作直线 PA 垂直于 x 轴且垂足为点 A,作直线 PB 垂直于 y 轴且垂足为点 B,求证:直线 AB 与椭圆 C1只有一个公共点 (3)是否存在直线 l 与椭圆 C1无公共点,且与“倒椭圆”C2无公共点?若存在,请给 出满足条件的直线 l,并说明理由;若不存在,请说明理由 【分析】 (1)直接由题意写出倒椭圆的对称轴和对称中心,由倒椭圆的方程得出动点的 横坐标的取值范围; (2)设 P 点坐标,由题意得 A,B 的坐标,进而写出直线 AB 的方程,联立椭圆 C1,从

31、 判别式等于零得结论; (3)分别讨论直线 l 与椭圆和倒椭圆有公共点时点的坐标的关系,进而得没有公共点时 坐标的关系,从而得出不存在这样的直线 【解答】解: (1)由题意得倒椭圆 C2的 x 轴或 y 轴,对称中心(0,0) , 1(0,1) , x(,2)(2,+) ; (2)设 P(x0,y0) ,代入倒椭圆中:1, 4y02+x02x02y02且 x0y00,则 A(x0,0) ,B(0,y0) , 所以直线 AB 的方程为:, 代入椭圆 C1得: (x02+4y02)x28x0y02x+4x02(y021)0, 则64x02y0416(x02+4y02)x02(y021)16x02(

32、x02y02x024y02)0, 所以直线 AB 与椭圆 C1只有一个公共点 (3)设直线 l 上任意一点 Q(m,n) , 第 16 页(共 16 页) 若 Q 是 l 与椭圆的 C1的公共点,则 12, |mn|1,也即 Q 不是 l 与椭圆 C1的公共点时,则必有|mn|1, 同理,若 Q 是与倒椭圆 C2的公共点时则 12|mn|4, 所以 Q 若不是直线 l 与倒椭圆的公共点时,|mn|4, 从而得 Q 不是直线 l 与 C1,C2的公共点时则必有 1|mn|4, 对于直线 l 上任意一点 Q(m,n) ,mn0 或 mnR, 不存在符合题意的直线 l 【点评】考查椭圆知识的创新,及直线与椭圆和倒椭圆的应用,属于中难题

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