2018-2019学年上海市杨浦区控江中学高二(下)期末数学试卷(含详细解答)
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1、在半径为 1 的球面上,若 A,B 两点的球面距离为,则线段 AB 的长|AB| 6 (3 分)双曲线 H 的渐近线为 x+2y0 与 x2y0若 H 经过点 P(2,0) ,则双曲线 H 的方程为 7(3分) 设圆x2+y21上的动点P到直线3x+4y100的距离为d, 则d的最大值为 8 (3 分)若一组数据 x1,x2,x3,xn的总体方差为 3,则另一组数据 2x1,2x2,2x3, 2xn的总体方差为 9 (3 分)空间直角坐标系中,两平面 与 分别以(2,1,1)与(0,2,1) 为其法向量,若 l,则直线 l 的一个方向向量为 (写出一个方向向量的坐 标) 10 (3 分)四面体
2、 ABCD 中,ABCD2,ACADBCBD4,则异面直线 AB 与 CD 的夹角为 11 (3 分)若复数 z 满足|1z|1+z|2,则|z|的最小值为 12 (3 分)关于旋转体的体积,有如下的古尔丁(guldin)定理: “平面上一区域 D 绕区域 外一直线(区域 D 的每个点在直线的同侧,含直线上)旋转一周所得的旋转体的体积, 等于 D 的面积与 D 的几何中心(也称为重心)所经过的落程的乘积” 利用这一定理, 第 2 页(共 17 页) 可求得半圆盘,绕直线 x旋转一周所形成的空间图形的体积为 二、选择题二、选择题 13 (3 分)若一圆柱的侧面积等于其表面积的,则该圆柱的母线长与
3、底面半径之比为 ( ) A1:1 B2:1 C3:1 D4:1 14 (3 分)已知 z1,x2C “z1z20”是“|z1|+z220”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 15 (3 分)参数方程(R)表示的曲线是( ) A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 16 (3 分)设(x1,x2,x3,x4,x5)是 1,2,3,4,5 的一个排列,若(xixi+1) (xi+1 xi+2)0 对一切 i1,2,3恒成立,就称该排列是“交替”的 “交替”的排列的数目 是( ) A8 B16 C24 D32 三、解答题三、解答题 17已知 m 是实数,关于
4、x 的方程 E:x2mx+(2m+1)0 (1)若 m2,求方程 E 在复数范围内的解; (2)若方程 E 有两个虚数根 x1,x2,且满足|x1x2|2,求 m 的值 18已知椭圆 E 的方程为+y21,其左焦点和右焦点分别为 F1,F2,P 是椭圆 E 上位于 第一象限的一点 (1)若三角形 PF1F2的面积为,求点 P 的坐标; (2)设 A(1,0) ,记线段 PA 的长度为 d,求 d 的最小值 19 设 是正实数, (1+x) 20 的二项展开式为 a0+a1x+a2x2+a20x20, 其中 a0, a1, , 第 3 页(共 17 页) a20均为常数 (1)若 a312a2,
5、求 的值; (2)若 a5an对一切 n0,1,20均成立,求 的取值范围 20如图,长方体 ABCDA1B1C1D1中,ADAA11,ABm,点 M 是棱 CD 的中点 (1)求异面直线 B1C 与 AC1所成的角的大小; (2)是否存在实数 m,使得直线 AC1与平面 BMD1垂直?说明理由; (3)设 P 是线段 AC1上的一点(不含端点) ,满足,求 的值,使得三棱锥 B1 CD1C1与三棱锥 B1CD1P 的体积相等 21设抛物线的方程为 y24x,点 P 的坐标为(1,1) (1)过点 P,斜率为1 的直线 l 交抛物线于 U,V 两点,求线段 UV 的长; (2)设 Q 是抛物线
6、上的动点,R 是线段 PQ 上的一点,满足2,求动点 R 的轨 迹方程; (3)设 AB,CD 是抛物线的两条经过点 P 的动弦,满足 ABCD点 M,N 分别是弦 AB 与 CD 的中点,是否存在一个定点 T,使得 M,N,T 三点总是共线?若存在,求出点 T 的坐标;若不存在,说明理由 第 4 页(共 17 页) 2018-2019 学年上海市杨浦区控江中学高二(下)期末数学试卷学年上海市杨浦区控江中学高二(下)期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题一、填空题 1 (3 分)设直线 l:x+y20 的倾斜角为 ,则 的大小为 【分析】根据直线的方程求出斜率,再求直线
7、的倾斜角 【解答】解:直线 l:x+y20 化为 yx+2, 则直线的斜率为 k1, 设倾斜角为 ,且 0,) , 则 故答案为: 【点评】本题考查了直线的斜率与倾斜角的应用问题,是基础题 2 (3 分)已知复数 z 满足(1+2i) (1+z)7+16i,则 z 的共轭复数 46i 【分析】把已知等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解:由(1+2i) (1+z)7+16i, 得 z1+, 故答案为:46i 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题 3 (3 分)在 3 男 2 女共 5 名学生中随机抽选 3 名学生参加某心理评测,则抽中的学生全
8、是 男生的概率为 (用最简分数作答) 【分析】 基本事件总数 n, 抽中的学生全是男生包含的 基本事件个数 m 1,由此能求出抽中的学生全是男生的概率 【解答】解:在 3 男 2 女共 5 名学生中随机抽选 3 名学生参加某心理评测, 基本事件总数 n, 抽中的学生全是男生包含的 基本事件个数 m1, 第 5 页(共 17 页) 则抽中的学生全是男生的概率为 p 故答案为: 【点评】本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能 力,是基础题 4 (3 分)在正方体 ABCDA1B1C1D1,二面角 ABDA1的大小为 arctan 【分析】连接 AC,ACBDO,连接
9、A1O,则A1OA 为二面角 ABDA1的平面角; 【解答】解:连接 AC,ACBDO,连接 A1O,则A1OA 为二面角 ABDA1的平 面角 设正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 a, AO, tanA1OA; 所以A1OAarctan 故答案为:arctan 【点评】本题考查面面角与线面角,解题的关键是确定线面角与面面角,属于基础题 5 (3 分)在半径为 1 的球面上,若 A,B 两点的球面距离为,则线段 AB 的长|AB| 第 6 页(共 17 页) 【分析】若 A,B 两点的球面距离为,则 AB 弧所对的大圆的圆心角为,在扇形 AOB 中解决即可 【解答】解:依题意,若 A,
10、B 两点的球面距离为,则 AB 弧所对的大圆的圆心角为 , 所以扇形 OAB 如图, (O 为球心) , 设 C 为 AB 中点,连接 OC,则 OCAB, 所以 OC 平分AOB, 所以AOC, 所以 AB2AC2AO 故答案为: 【点评】本题考查了球面距离及其他计算,考查空间想象能力,是基础题 6 (3 分)双曲线 H 的渐近线为 x+2y0 与 x2y0若 H 经过点 P(2,0) ,则双曲线 H 的方程为 1 【分析】根据题意,双曲线的渐近线方程是 x2y0,因此设双曲线方程为 x24y2 (0) ,代入 P 的坐标求出 4,即可求出双曲线的标准方程 【解答】解:双曲线的一条渐近线方程
11、是 x2y0, 双曲线的另一条渐近线方程是 x+2y0 因此,设双曲线方程为(x+2y) (x2y)(0) , 即 x24y2(0) 第 7 页(共 17 页) 双曲线经过点 P(2,0) ,4, 可得双曲线的方程为 x24y24 化成标准方程得:1 故答案为:1 【点评】本题已知双曲线满足的条件,求双曲线的标准方程着重考查了双曲线的标准 方程与简单几何性质等知识,考查了有共同渐近线的双曲线方程的设法,属于基础题 7(3 分) 设圆 x2+y21 上的动点 P 到直线 3x+4y100 的距离为 d, 则 d 的最大值为 3 【分析】圆心(0,0)到直线 3x4y100 的距离等于2,用 2
12、加上半径 1,即为所求 【解答】解:圆 x2+y21 的圆心(0,0)到直线 3x4y100 的距离等于 2, 故圆 x2+y21 上的动点 P 到直线 3x4y100 的距离的最大值为 2+13, 故答案为:3 【点评】本题考查直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式,求出圆心(0,0)到直 线 3x4y100 的距离,是解题的关键 8 (3 分)若一组数据 x1,x2,x3,xn的总体方差为 3,则另一组数据 2x1,2x2,2x3, 2xn的总体方差为 12 【分析】设第一组数据的平均数,利用方差公式:每一个(样本数据平均数)的平方 相加再除以样本总量可得计算结果; 【解答】解:样本 x1
13、、x2、xn的平均数为: ,方差为:s2 3, 另一组数据 2x1,2x2,2x3,2xn; 另一组数据中的各个数据都扩大 2 倍,代入上面公式则新数据的平均数扩大 2 倍,方 差扩大其平方倍即 22倍, 样本 2x1,2x2,2x3,2xn的方差为:22312, 故答案为:12 【点评】本题考查样本数字特征故居总体,考查平均数,方差计算公式,属于基础题 第 8 页(共 17 页) 9 (3 分)空间直角坐标系中,两平面 与 分别以(2,1,1)与(0,2,1) 为其法向量,若 l,则直线 l 的一个方向向量为 (,1,2) (写出一个方 向向量的坐标) 【分析】设直线 l 的一个方向向量为
14、(x,y,z) ,运用向量垂直的条件:数量积为 0, 化简可得所求向量 【解答】解:设直线 l 的一个方向向量为 (x,y,z) , 由两平面 与 分别以(2,1,1)与(0,2,1)为其法向量, 可得 2x+y+z0, 2y+z0, 可得 z2y,xy, 可设 y1,则 x,z2, 可得 (,1,2) 故答案为: (,1,2) 【点评】本题考查空间向量的数量积的坐标表示,考查方程思想和运算能力,属于基础 题 10 (3 分)四面体 ABCD 中,ABCD2,ACADBCBD4,则异面直线 AB 与 CD 的夹角为 【分析】取 AB 中点 E,连接 CE,DE,由已知可得 CEAB,EDAB,
15、再由线面垂直的 判定可得 AB平面 CED,从而得到异面直线 AB 与 CD 的夹角为 【解答】解:如图, 第 9 页(共 17 页) 取 AB 中点 E,连接 CE,DE, ACBC,CEAB, ADBD,EDAB, 又 CEDEE,AB平面 CED,则 ABCD 即异面直线 AB 与 CD 的夹角为 故答案为: 【点评】本题考查异面直线所成角的求法,考查数学转化思想方法,是中档题 11 (3 分)若复数 z 满足|1z|1+z|2,则|z|的最小值为 1 【分析】利用复数的运算法则和模的计算公式放缩后解不等式即可得出 【解答】解:设 za+bi;|1z|1+z|2, 即:2 , 令|z|t
16、 (t0) , 则 t2a2+b2, 所以 24t4+2t2+14a2, 因为 a20,所以 4t4+2t2+1, 所以 t4+2t230, 解得:t21 或者 t23(舍) , 所以 t1, 故答案为:1 【点评】本题考查了复数的运算法则和模的计算公式,复数求模,属中档题 12 (3 分)关于旋转体的体积,有如下的古尔丁(guldin)定理: “平面上一区域 D 绕区域 外一直线(区域 D 的每个点在直线的同侧,含直线上)旋转一周所得的旋转体的体积, 等于 D 的面积与 D 的几何中心(也称为重心)所经过的落程的乘积” 利用这一定理, 可求得半圆盘,绕直线 x旋转一周所形成的空间图形的体积为
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- 2018 2019 学年 上海市 杨浦区 中学 期末 数学试卷
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