2018-2019学年上海市杨浦区控江中学高二(下)期末数学试卷(含详细解答)

上传人:hua****011 文档编号:137742 上传时间:2020-05-31 格式:DOC 页数:17 大小:301.50KB
下载 相关 举报
2018-2019学年上海市杨浦区控江中学高二(下)期末数学试卷(含详细解答)_第1页
第1页 / 共17页
2018-2019学年上海市杨浦区控江中学高二(下)期末数学试卷(含详细解答)_第2页
第2页 / 共17页
2018-2019学年上海市杨浦区控江中学高二(下)期末数学试卷(含详细解答)_第3页
第3页 / 共17页
2018-2019学年上海市杨浦区控江中学高二(下)期末数学试卷(含详细解答)_第4页
第4页 / 共17页
2018-2019学年上海市杨浦区控江中学高二(下)期末数学试卷(含详细解答)_第5页
第5页 / 共17页
点击查看更多>>
资源描述

1、在半径为 1 的球面上,若 A,B 两点的球面距离为,则线段 AB 的长|AB| 6 (3 分)双曲线 H 的渐近线为 x+2y0 与 x2y0若 H 经过点 P(2,0) ,则双曲线 H 的方程为 7(3分) 设圆x2+y21上的动点P到直线3x+4y100的距离为d, 则d的最大值为 8 (3 分)若一组数据 x1,x2,x3,xn的总体方差为 3,则另一组数据 2x1,2x2,2x3, 2xn的总体方差为 9 (3 分)空间直角坐标系中,两平面 与 分别以(2,1,1)与(0,2,1) 为其法向量,若 l,则直线 l 的一个方向向量为 (写出一个方向向量的坐 标) 10 (3 分)四面体

2、 ABCD 中,ABCD2,ACADBCBD4,则异面直线 AB 与 CD 的夹角为 11 (3 分)若复数 z 满足|1z|1+z|2,则|z|的最小值为 12 (3 分)关于旋转体的体积,有如下的古尔丁(guldin)定理: “平面上一区域 D 绕区域 外一直线(区域 D 的每个点在直线的同侧,含直线上)旋转一周所得的旋转体的体积, 等于 D 的面积与 D 的几何中心(也称为重心)所经过的落程的乘积” 利用这一定理, 第 2 页(共 17 页) 可求得半圆盘,绕直线 x旋转一周所形成的空间图形的体积为 二、选择题二、选择题 13 (3 分)若一圆柱的侧面积等于其表面积的,则该圆柱的母线长与

3、底面半径之比为 ( ) A1:1 B2:1 C3:1 D4:1 14 (3 分)已知 z1,x2C “z1z20”是“|z1|+z220”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 15 (3 分)参数方程(R)表示的曲线是( ) A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 16 (3 分)设(x1,x2,x3,x4,x5)是 1,2,3,4,5 的一个排列,若(xixi+1) (xi+1 xi+2)0 对一切 i1,2,3恒成立,就称该排列是“交替”的 “交替”的排列的数目 是( ) A8 B16 C24 D32 三、解答题三、解答题 17已知 m 是实数,关于

4、x 的方程 E:x2mx+(2m+1)0 (1)若 m2,求方程 E 在复数范围内的解; (2)若方程 E 有两个虚数根 x1,x2,且满足|x1x2|2,求 m 的值 18已知椭圆 E 的方程为+y21,其左焦点和右焦点分别为 F1,F2,P 是椭圆 E 上位于 第一象限的一点 (1)若三角形 PF1F2的面积为,求点 P 的坐标; (2)设 A(1,0) ,记线段 PA 的长度为 d,求 d 的最小值 19 设 是正实数, (1+x) 20 的二项展开式为 a0+a1x+a2x2+a20x20, 其中 a0, a1, , 第 3 页(共 17 页) a20均为常数 (1)若 a312a2,

5、求 的值; (2)若 a5an对一切 n0,1,20均成立,求 的取值范围 20如图,长方体 ABCDA1B1C1D1中,ADAA11,ABm,点 M 是棱 CD 的中点 (1)求异面直线 B1C 与 AC1所成的角的大小; (2)是否存在实数 m,使得直线 AC1与平面 BMD1垂直?说明理由; (3)设 P 是线段 AC1上的一点(不含端点) ,满足,求 的值,使得三棱锥 B1 CD1C1与三棱锥 B1CD1P 的体积相等 21设抛物线的方程为 y24x,点 P 的坐标为(1,1) (1)过点 P,斜率为1 的直线 l 交抛物线于 U,V 两点,求线段 UV 的长; (2)设 Q 是抛物线

6、上的动点,R 是线段 PQ 上的一点,满足2,求动点 R 的轨 迹方程; (3)设 AB,CD 是抛物线的两条经过点 P 的动弦,满足 ABCD点 M,N 分别是弦 AB 与 CD 的中点,是否存在一个定点 T,使得 M,N,T 三点总是共线?若存在,求出点 T 的坐标;若不存在,说明理由 第 4 页(共 17 页) 2018-2019 学年上海市杨浦区控江中学高二(下)期末数学试卷学年上海市杨浦区控江中学高二(下)期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题一、填空题 1 (3 分)设直线 l:x+y20 的倾斜角为 ,则 的大小为 【分析】根据直线的方程求出斜率,再求直线

7、的倾斜角 【解答】解:直线 l:x+y20 化为 yx+2, 则直线的斜率为 k1, 设倾斜角为 ,且 0,) , 则 故答案为: 【点评】本题考查了直线的斜率与倾斜角的应用问题,是基础题 2 (3 分)已知复数 z 满足(1+2i) (1+z)7+16i,则 z 的共轭复数 46i 【分析】把已知等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解:由(1+2i) (1+z)7+16i, 得 z1+, 故答案为:46i 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题 3 (3 分)在 3 男 2 女共 5 名学生中随机抽选 3 名学生参加某心理评测,则抽中的学生全

8、是 男生的概率为 (用最简分数作答) 【分析】 基本事件总数 n, 抽中的学生全是男生包含的 基本事件个数 m 1,由此能求出抽中的学生全是男生的概率 【解答】解:在 3 男 2 女共 5 名学生中随机抽选 3 名学生参加某心理评测, 基本事件总数 n, 抽中的学生全是男生包含的 基本事件个数 m1, 第 5 页(共 17 页) 则抽中的学生全是男生的概率为 p 故答案为: 【点评】本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能 力,是基础题 4 (3 分)在正方体 ABCDA1B1C1D1,二面角 ABDA1的大小为 arctan 【分析】连接 AC,ACBDO,连接

9、A1O,则A1OA 为二面角 ABDA1的平面角; 【解答】解:连接 AC,ACBDO,连接 A1O,则A1OA 为二面角 ABDA1的平 面角 设正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 a, AO, tanA1OA; 所以A1OAarctan 故答案为:arctan 【点评】本题考查面面角与线面角,解题的关键是确定线面角与面面角,属于基础题 5 (3 分)在半径为 1 的球面上,若 A,B 两点的球面距离为,则线段 AB 的长|AB| 第 6 页(共 17 页) 【分析】若 A,B 两点的球面距离为,则 AB 弧所对的大圆的圆心角为,在扇形 AOB 中解决即可 【解答】解:依题意,若 A,

10、B 两点的球面距离为,则 AB 弧所对的大圆的圆心角为 , 所以扇形 OAB 如图, (O 为球心) , 设 C 为 AB 中点,连接 OC,则 OCAB, 所以 OC 平分AOB, 所以AOC, 所以 AB2AC2AO 故答案为: 【点评】本题考查了球面距离及其他计算,考查空间想象能力,是基础题 6 (3 分)双曲线 H 的渐近线为 x+2y0 与 x2y0若 H 经过点 P(2,0) ,则双曲线 H 的方程为 1 【分析】根据题意,双曲线的渐近线方程是 x2y0,因此设双曲线方程为 x24y2 (0) ,代入 P 的坐标求出 4,即可求出双曲线的标准方程 【解答】解:双曲线的一条渐近线方程

11、是 x2y0, 双曲线的另一条渐近线方程是 x+2y0 因此,设双曲线方程为(x+2y) (x2y)(0) , 即 x24y2(0) 第 7 页(共 17 页) 双曲线经过点 P(2,0) ,4, 可得双曲线的方程为 x24y24 化成标准方程得:1 故答案为:1 【点评】本题已知双曲线满足的条件,求双曲线的标准方程着重考查了双曲线的标准 方程与简单几何性质等知识,考查了有共同渐近线的双曲线方程的设法,属于基础题 7(3 分) 设圆 x2+y21 上的动点 P 到直线 3x+4y100 的距离为 d, 则 d 的最大值为 3 【分析】圆心(0,0)到直线 3x4y100 的距离等于2,用 2

12、加上半径 1,即为所求 【解答】解:圆 x2+y21 的圆心(0,0)到直线 3x4y100 的距离等于 2, 故圆 x2+y21 上的动点 P 到直线 3x4y100 的距离的最大值为 2+13, 故答案为:3 【点评】本题考查直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式,求出圆心(0,0)到直 线 3x4y100 的距离,是解题的关键 8 (3 分)若一组数据 x1,x2,x3,xn的总体方差为 3,则另一组数据 2x1,2x2,2x3, 2xn的总体方差为 12 【分析】设第一组数据的平均数,利用方差公式:每一个(样本数据平均数)的平方 相加再除以样本总量可得计算结果; 【解答】解:样本 x1

13、、x2、xn的平均数为: ,方差为:s2 3, 另一组数据 2x1,2x2,2x3,2xn; 另一组数据中的各个数据都扩大 2 倍,代入上面公式则新数据的平均数扩大 2 倍,方 差扩大其平方倍即 22倍, 样本 2x1,2x2,2x3,2xn的方差为:22312, 故答案为:12 【点评】本题考查样本数字特征故居总体,考查平均数,方差计算公式,属于基础题 第 8 页(共 17 页) 9 (3 分)空间直角坐标系中,两平面 与 分别以(2,1,1)与(0,2,1) 为其法向量,若 l,则直线 l 的一个方向向量为 (,1,2) (写出一个方 向向量的坐标) 【分析】设直线 l 的一个方向向量为

14、(x,y,z) ,运用向量垂直的条件:数量积为 0, 化简可得所求向量 【解答】解:设直线 l 的一个方向向量为 (x,y,z) , 由两平面 与 分别以(2,1,1)与(0,2,1)为其法向量, 可得 2x+y+z0, 2y+z0, 可得 z2y,xy, 可设 y1,则 x,z2, 可得 (,1,2) 故答案为: (,1,2) 【点评】本题考查空间向量的数量积的坐标表示,考查方程思想和运算能力,属于基础 题 10 (3 分)四面体 ABCD 中,ABCD2,ACADBCBD4,则异面直线 AB 与 CD 的夹角为 【分析】取 AB 中点 E,连接 CE,DE,由已知可得 CEAB,EDAB,

15、再由线面垂直的 判定可得 AB平面 CED,从而得到异面直线 AB 与 CD 的夹角为 【解答】解:如图, 第 9 页(共 17 页) 取 AB 中点 E,连接 CE,DE, ACBC,CEAB, ADBD,EDAB, 又 CEDEE,AB平面 CED,则 ABCD 即异面直线 AB 与 CD 的夹角为 故答案为: 【点评】本题考查异面直线所成角的求法,考查数学转化思想方法,是中档题 11 (3 分)若复数 z 满足|1z|1+z|2,则|z|的最小值为 1 【分析】利用复数的运算法则和模的计算公式放缩后解不等式即可得出 【解答】解:设 za+bi;|1z|1+z|2, 即:2 , 令|z|t

16、 (t0) , 则 t2a2+b2, 所以 24t4+2t2+14a2, 因为 a20,所以 4t4+2t2+1, 所以 t4+2t230, 解得:t21 或者 t23(舍) , 所以 t1, 故答案为:1 【点评】本题考查了复数的运算法则和模的计算公式,复数求模,属中档题 12 (3 分)关于旋转体的体积,有如下的古尔丁(guldin)定理: “平面上一区域 D 绕区域 外一直线(区域 D 的每个点在直线的同侧,含直线上)旋转一周所得的旋转体的体积, 等于 D 的面积与 D 的几何中心(也称为重心)所经过的落程的乘积” 利用这一定理, 可求得半圆盘,绕直线 x旋转一周所形成的空间图形的体积为

17、 2 第 10 页(共 17 页) 【分析】 设几何中心到原点的距离为 x, 将半圆绕 y 轴旋转一周得到一个半径为 1 的球体, 从而 2x (),解得 x,再根据古尔丁(guldin)定理求绕直 线 x旋转一周所形成的空间图形的体积即可 【解答】 解: 显然半圆的几何中心在半圆与 x 轴的交线上, 设几何中心到原点的距离为 x, 则由题意得: 2x (),解得 x, 所以几何中心到直线 x的距离为:+, 所以得到的几何体的体积为:V(2) ()2 故答案为:2 【点评】本题考查了对古尔丁(guldin)定理的理解与应用,考查分析解决问题的能力, 本题属于中档题 二、选择题二、选择题 13

18、(3 分)若一圆柱的侧面积等于其表面积的,则该圆柱的母线长与底面半径之比为 ( ) A1:1 B2:1 C3:1 D4:1 【分析】设圆柱的底面圆半径为 r,母线长为 l,根据题意列方程求得圆柱的母线长与底 面半径之比 【解答】解:如图所示, 设圆柱的底面圆半径为 r,母线长为 l, 第 11 页(共 17 页) 则圆柱的侧面积为 S侧面积2rl, 表面积为 S表面积2r2+2rl, 则 2rl(2r2+2rl) , 化简得 l2r, 即圆柱的母线长与底面半径之比为 l:r2:1 故选:B 【点评】本题考查了圆柱的侧面积与表面积的计算问题,是基础题 14 (3 分)已知 z1,x2C “z1z

19、20”是“|z1|+z220”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 【分析】利用复数的运算根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可 【解答】解:已知 z1,x2C若: “z1z20”可以推出“|z1|+z220” ; 若: “|z1|+z220” ;设 Z1a+bi,Z2c+di,|Z1|;Z22c2+2cdid2 即: ,+c2+2cdid20; 即:+c2d2+2cdi0;可得+c2d20;2cd0;cd 中可能全为 0, 或 cd 中有 c 为 0,d0; 故: “|z1|+z220”推不出“z1z20” 所以:已知 z1,x2C “z1z

20、20”是“|z1|+z220”的充分不必要条件; 故选:A 【点评】本题主要考查复数的运算,充分条件和必要条件的判断,根据充分条件和必要 条件的定义是解决本题的关键 15 (3 分)参数方程(R)表示的曲线是( ) A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 【分析】由(R) ,得,然后利用同角三角函数 的基本关系即可得到关于 x,y 的方程,再判断方程表示的曲线即可 【解答】解:由(R) ,得, (2x+y)2+(x2y)225,即 x2+y25, 第 12 页(共 17 页) 表示以(0,0)为圆心,为半径的圆 故选:A 【点评】本题考查了参数方程化为普通方程和同角三角函数的基本关系,考查了消元法,

21、 属基础题 16 (3 分)设(x1,x2,x3,x4,x5)是 1,2,3,4,5 的一个排列,若(xixi+1) (xi+1 xi+2)0 对一切 i1,2,3恒成立,就称该排列是“交替”的 “交替”的排列的数目 是( ) A8 B16 C24 D32 【分析】由已知可得:xixi+1与 xi+1xi+2异号,有两种情况: (1)xixi+10 且 xi+1 xi+20; (2)xixi+10 且 xi+1xi+20,分别讨论可以求得结果,也可以列举得解 【解答】解:由已知可得:xixi+1与 xi+1xi+2异号,有两种情况: (1)xixi+10 且 xi+1xi+20,此时 当第二和

22、第四位是 1 或 2 时,有12 种; 当第一位是 2,第二位和第四位是 1 或 3 时有4 种, 共计 12+416 种 (2)xixi+10 且 xi+1xi+20,此时 当第二位和第四位是 4 或 5 时,有12 种; 当第一位是 2,第二位和第四位是 3 或 4 时,有4 种, 共计 12+416 种 综上可得,一共有 16+1632 种 故选:D 【点评】本题考查分类计数原理,属于难度较大题目 三、解答题三、解答题 17已知 m 是实数,关于 x 的方程 E:x2mx+(2m+1)0 (1)若 m2,求方程 E 在复数范围内的解; (2)若方程 E 有两个虚数根 x1,x2,且满足|

23、x1x2|2,求 m 的值 【分析】 (1)将 m2 代入方程中,然后在复数范围内解方程; 第 13 页(共 17 页) (2)设 x1a+bi,则 x2abi,然后由根与系数的关系可得 x1+x22am, ,再根据条件解出 m 【解答】解: (1)当 m2 时,x2mx+(2m+1)x22x+50, x,x1+2i 或 x12i 方程 E 在复数范围内的解为 x1+2i 或 x12i; (2)方程 E 有两个虚数根 x1,x2, 根据实系数多项式虚根成对定理,不妨设 x1a+bi,则 x2abi, x1+x22am, |x1x2|2bi|2,b21, m0 或 m8 【点评】本题考查了实系数

24、多项式虚根成对定理和复数的代数形式,考查了计算能力, 属基础题 18已知椭圆 E 的方程为+y21,其左焦点和右焦点分别为 F1,F2,P 是椭圆 E 上位于 第一象限的一点 (1)若三角形 PF1F2的面积为,求点 P 的坐标; (2)设 A(1,0) ,记线段 PA 的长度为 d,求 d 的最小值 【分析】 (1)利用三角形 PF1F2的面积为等于 SPF1F2|F1F2|y,可求点 P 的坐标; (2)设 A(1,0) ,记线段 PA 的长度为 d,表达 d 的函数,利用 P(x0,y0) ;2x00, 可求 d 的最小值 【解答】解:椭圆 E 的方程为+y21,其左焦点和右焦点分别为

25、F1,F2, 所以:椭圆的顶点坐标(2,0) ; (0,1) ,焦点:F1(,0) ,F2(,0) , |F1F2|2; P 是椭圆 E 上位于第一象限的一点,设 P(x,y) ;2x0,y0; (1)若三角形 PF1F2的面积为,即:SPF1F2|F1F2|y; 解得:y, 第 14 页(共 17 页) 因为 P 是椭圆 E 上位于第一象限的一点,满足椭圆的方程,代入椭圆方程得: x1, 所以:点 P 的坐标 P(1,) ; (2)设 A(1,0) ,记线段 PA 的长度为 d,P 是椭圆 E 上位于第一象限的一点, 设 P(x0,y0) ;2x00,y00; 所以:d 当 2x00,x0时

26、,d 有最小值, d 的最小值 d 【点评】本题考查椭圆的性质的综合运用,椭圆区曲线的最值问题,属于中档题 19 设 是正实数, (1+x) 20 的二项展开式为 a0+a1x+a2x2+a20x20, 其中 a0, a1, , a20均为常数 (1)若 a312a2,求 的值; (2)若 a5an对一切 n0,1,20均成立,求 的取值范围 【分析】 (1)根据通项公式列式可得; (2)假设第 r+1 项系数最大,依题意得,解得r ,根据 a5最大列式可得 【解答】解: (1)通项公式为 Tr+1Crxr,r0,1,2,20 由 a312a2得,C312C2,解得 2 (2)假设第 r+1

27、项系数最大,依题意得,解得r , ,解得 【点评】本题考查了二项式定理,属中档题 20如图,长方体 ABCDA1B1C1D1中,ADAA11,ABm,点 M 是棱 CD 的中点 第 15 页(共 17 页) (1)求异面直线 B1C 与 AC1所成的角的大小; (2)是否存在实数 m,使得直线 AC1与平面 BMD1垂直?说明理由; (3)设 P 是线段 AC1上的一点(不含端点) ,满足,求 的值,使得三棱锥 B1 CD1C1与三棱锥 B1CD1P 的体积相等 【分析】 (1)连接 BC1,可得 B1CBC1,再由 ABCDA1B1C1D1为长方体,可得 AB B1C,得 B1C平面 ABC

28、1,则 B1CAC1,可得异面直线 B1C 与 AC1所成的角的大小为 90; (2) 当 m时, CM, 利用三角形相似可得CABMBC, 结合CAB+ACB 90,得MBC+ACB90,即 ACBM,同理可证 AC1D1M,再由线面垂直的 判定可得直线 AC1平面 BMD1; (3)利用等体积法求解时,三棱锥 B1CD1C1与三棱锥 B1CD1P 的体积 相等 【解答】解: (1)连接 BC1,由四边形 BCC1B1为正方形,可得 B1CBC1, 又 ABCDA1B1C1D1为长方体,可得 ABB1C,而 ABBC1B, B1C平面 ABC1,而 AC1平面 ABC1,B1CAC1, 即异

29、面直线 B1C 与 AC1所成的角的大小为 90; (2)存在实数 m,使得直线 AC1与平面 BMD1垂直 事实上,当 m时,CM, BC1,则 RtABCRtBCM, 则CABMBC, CAB+ACB90,MBC+ACB90,即 ACBM, 又 CC1BM,ACCC1C,BM平面 ACC1,则 BMAC1, 同理可证 AC1D1M, 第 16 页(共 17 页) 又 D1MBMM,直线 AC1平面 BMD1; (3), , 设 AC1 与平面 B1CD1 的斜足为 O,则 AO2OC1, 在线段 AC1上取一点 P,要使三棱锥 B1CD1C1与三棱锥 B1CD1P 的体积相等, 则 P 为

30、 AO 的中点,即 【点评】本题考查异面直线所成角的求法,考查线面垂直的判定,考查空间想象能力与 思维能力,训练了利用等积法求多面体的体积,是中档题 21设抛物线的方程为 y24x,点 P 的坐标为(1,1) (1)过点 P,斜率为1 的直线 l 交抛物线于 U,V 两点,求线段 UV 的长; (2)设 Q 是抛物线上的动点,R 是线段 PQ 上的一点,满足2,求动点 R 的轨 迹方程; (3)设 AB,CD 是抛物线的两条经过点 P 的动弦,满足 ABCD点 M,N 分别是弦 AB 与 CD 的中点,是否存在一个定点 T,使得 M,N,T 三点总是共线?若存在,求出点 T 的坐标;若不存在,

31、说明理由 【分析】 (1)根据条件表示出直线 l,与抛物线方程联立,利用根与系数关系即可求出线 段 UV 的长; (2)设 R(x0,y0) ,Q(x,y) ,利用2,即可整理出点 R 的轨迹方程; (3)表示出直线 AB 的方程并与抛物线方程联立,表示出 M 坐标,同理得到 N 点坐标, 进而表示出 MN 的方程,即可求出其所过定点 T 【解答】解: (1)根据条件可知直线 l 方程为 y(x1)+1,即 x+y20, 联立,整理得 x28x+40, 第 17 页(共 17 页) 则 xU+xV8,xUxV4, 所以线段 UV|xUxV|4; (2)设 R(x0,y0) ,Q(x,y) ,则

32、(x01,y01) ,(xx0,yy0) , 根据2, 则有 2 (xx0) x01, 2 (yy0) y01, 所以 x, y, 因为点 Q 在抛物线上,所以()24,整理得(3y01)28(3x0 1) , 即点 R 的运动轨迹方程为(3y1)28(3x1) ; (3)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,C(x3,y3) ,D(x4,y4) , 根据题意直线 AB,CD 的斜率存在且不为 0,不妨设 AB 的方程为 yk(x1)+1, 联立,整理得 k2x22(k2k+2)x+(1k)20, 则 x1+x2,所以可得 M(,) ,同理可得 N(1+k+2k2,k) , 则 kMN 所以直线 MN 的方程为 yx(1+k+2k2)k(x3) ,即直线 MN 必过点(3,0) , 故存在一个定点 T(3,0) ,使得 M,N,T 三点总是共线 【点评】本题考查点的轨迹方程,考查直线与抛物线形成线段长度,考查直线恒过定点 问题,综合性较强,属于中档题

展开阅读全文
相关资源
相关搜索
资源标签

当前位置:首页 > 高中 > 高中数学 > 期末试卷 > 高二下